集中趋势和离中趋势的度量 优秀课件
第四章 集中趋势和离中趋势 《统计学》 ppt课件
六种相对数指标的比较
不同时期
同一现象 比较
不同现象 比较
同一时期比较 同类现象比较
动态 相对数
不同总体 比较
强度
同一总体中
部分与部分 部分与总体实际与计划
相对数 比 较 比 较 比 较 比 较
比例 相对数
结 构 计划完成
相对数 相对数 相对数
五、计算和应用相对指标的原则
1、正确选择对比的基础（即分母） 2、保证分子、分母的可比性 3、注意相对指标与总量指标结合运用 4、多个相对指标结合运用
(xi x) 0
(xi x) f 0
（2）各个变量值与算术平均数的离差平方和为最 小值。
(xi x)2 min
II调和平均数（H）
与算术平均数没有本质区别，是算术平均数的变形。 是根据变量值ｘ的倒数计算的，又称为倒数平均数。 1、简单调和平均数：未分组资料
步骤：（1） x1、x2、、xn
计量单位表现为两种形式：
一种是复名数，即双重计量单位。在计算这种强度相对指标时，由 于其分子与分母的计量单位在计算时无法约去，故计算后仍保留 对比双方的单位，如人口密度用“人/平方公里”表示，人均国 民生产总值用“元/人”表示；
另一种是无名数，即无计量单位。在计算这种强度 相对指标时，由于其分子与分母的计量单位相同， 在计算时已约去，故计算后其无单位，一般用千 分数、百分数表示，如：人口出生率用千分数来 表示。
（2） 1 、1 、 、1
x1 x2
xn
（3）
1 x
n
（4）
H
n
1 x
2、加权调和平均数：
各组变量值x 各组标志总量 m=xf
将算术平均数公式变形，得：
H
第三章集中量数
三、算术平均数的性质
一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的乘积， 一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的乘积， 即 ∑ X = NX 一组变量值的离均差之和等于零， 一组变量值的离均差之和等于零，即
∑ (X − X ) = 0
在一组变量值中，每个变量值加上或减去 、乘以或 在一组变量值中，每个变量值加上或减去、 除以常数 ， 所得的平均数等于原平均数减去或 加上，除以或乘以常数 加上， 。
i N Mdn = La − − Fa f 2
5 57 = 74.5 − − 24 = 74.5 − 1.5 = 73 15 2
分组次数表与重复次数中位数的联系
1N Mdn = Lb + − Fb f 2
三、百分位数与四分位数
（一）百分位数：在任一百分位上的数值。
例3-6：五名学生的物理成绩分别55,64,89,98, 34请问五名学生的平均成绩是多少？
解：1、排序：34、55、64、89、98 2、 N=5，为奇数 为奇数 N +1 3、 中数位置= 2 =3 4、排在第 个位置上的数是 ，所以中位数 排在第3个位置上的数是 排在第 个位置上的数是64， 是64 答：五名同学的的物理平均成绩是64分。 五名同学的的物理平均成绩是 分
Fl →u
Fu→l
Fa = 24
57 54 46 33 18 9 3 1 —
3 11 24 39 48 54 56 57 —
④代入公式计算中数
i N Mdn = Lb + − Fb f 2 5 57 = 69.5 + − 18 = 69.5 + 3.5 = 73 15 2
例3-7:六架直升飞机的最大速度分别为 六架直升飞机的最大速度分别为450km/h、 六架直升飞机的最大速度分别为 、 420km/h、500km/h 、 530km/h 、600km/h 、 、 1100km/h，请问平均速度是多少 ，请问平均速度是多少? 1、排序：420、450、500、530、600、1100 N 2、N=6，为偶数 中数位置= 2
第2讲 频数分布的集中趋势与离散趋势
第二讲 频数分布的集中趋势与离散趋势① 频数分布通过调查或试验取得原始资料后，要对全部资料进行检查和核对后，才能进行数据的整理。
根据样本资料的多少确定是否分组，一般样本容量n<30称为小样本，可直接进行统计描述分析，样本容量n>30称为大样本，此时须将数据分成若干组后进行描述分析。
1、频数分布表1）、频数表的编制相同观察结果出现的次数称为频数。
将所有观察结果的频数按一定顺序排列在一起便是频数表(frequency table)。
步骤：① 找出最大和最小值，计算极差 R=X max ―X min② 根据斯梯阶公式确定组距n RH log 322.31+=③ 扫描样本值，划记后获得频数 2）、频数表的用途① 大样本数据（不限于计量资料）常用的表达方式。
② 便于观察数据的分布类型。
③ 便于发现资料中远离群体的某些特大或特小的可疑值，必要时经检验后舍去。
④ 当样本含量足够大时，各组段的分布频率作为分布概率的估计值。
样本量与分组数量的关系样本量分组数30 ~ 60 5 ~ 860 ~ 100 7 ~ 10100 ~ 200 9 ~ 12200 ~ 500 10 ~ 18500以上15 ~ 30例1：某地随机检查了140名成年男性红细胞数(1012/L)4.765.26 5.61 5.95 4.46 4.57 4.31 5.18 4.92 4.27 4.77 4.885.00 4.73 4.47 5.34 4.70 4.81 4.93 5.04 4.40 5.27 4.63 5.50 5.24 4.97 4.71 4.44 4.94 5.05 4.78 4.52 4.63 5.51 5.24 4.98 4.33 4.83 4.56 5.44 4.79 4.91 4.26 4.38 4.87 4.99 5.60 4.46 4.95 5.07 4.80 5.30 4.65 4.77 4.50 5.37 5.49 5.22 4.58 5.074.81 4.54 3.82 4.01 4.89 4.625.12 4.85 4.59 5.08 4.82 4.935.05 4.40 4.14 5.01 4.37 5.24 4.60 4.71 4.82 4.94 5.05 4.79 4.52 4.64 4.37 4.87 4.60 4.72 4.83 5.33 4.68 4.80 4.15 4.65 4.76 4.88 4.61 3.97 4.08 4.58 4.31 4.05 4.16 5.04 5.15 4.50 4.62 4.73 4.47 4.58 4.70 4.81 4.55 4.28 4.78 4.51 4.63 4.36 4.48 4.59 5.09 5.20 5.32 5.05 4.41 4.52 4.64 4.75 4.49 4.22 4.71 5.21 4.94 4.68 5.17 4.91 5.02 4.76R= 5.95 ― 3.82 = 2.13连续型资料:红细胞数(1012/L)（1）频数f(2)组中值X（3）Fx(4)=(2)*(3)3.80~4.00~ 4.20~ 4.40~ 4.60~4.80~5.00~ 5.20~ 5.40~ 5.60~ 5.80~ 261125322717134213.904.104.304.504.704.905.105.305.505.705.907.824.647.3112.5150.4132.386.768.922.011.45.9合计140（∑f）669.8（∑fX）离散型资料:我国某地农村1995年已婚育龄妇女现有子女数的分布子女数（1）妇女数f（2）频率（%）（3）累计频数（4）累计频率（%）（5）0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ≥10 合计137512519130426285602171913695725532681513731561455259.4517.3020.9119.6214.929.414.982.250.100.260.11100.0013751389226934897908119627133322140577143845144996145369145525——9.4526.7547.6567.2882.2091.6196.6098.8599.6499.89100.00——（一）、均数（mean ）的计算① 直接法n xn x x x x x in∑=+++=...32 1例2. 10名7岁男童体重（kg ）分别为：17.3、 18.0、 19.4、 20.6、21.2、21.8、 22.5、 23.2、 24.0、 25.5，求平均体重。
第三章 集中趋势和离中趋势
38
（三）分位数
四分位数的计算方法：
与中位数计算相类似
（1）未分组资料计算
首先对数据进行排序，然后确定四分位数
所在位置。
设：下四分位数为 QL
上四分位数为 QU
=1502.5/1460=102.91%
15
15
表二（用于计算调和平均数）
计划完成（%） 企业数（个）
95——100
5
100——105
8
105——110
3
110以上
2
合计
18
实际完成数（万元） 97.5 1230.0 107.5 67.5 1502.5
要求同上：计算18个企业税收收入平均计划完成程度。
32
32
（二）中位数
2、中位数的确定
Hale Waihona Puke 单项数列（2）分组资料确定中位数 组距数列 由单项数列计算中位数：
首先，计算各组的累积次数；
然后，根据中点位置（总次数/2）在累积 次数中确定中位数所在组，以确定中位数。
33
（二）中位数
2、中位数的确定 （2）分组资料确定中位数 由组距数列计算中位数（情况要复杂一些）： 分三步骤： 第一步，计算累积次数； 第二步，计算中位数位置（总次数/2），以
f1 f2 ... fn
f
式中：f—— 代表各组的次数或频数（即各组的单位数）。
比较两个公式，并解释为什么次数f又称之为权数？
9
X x1 x2 n
n
xn
xi
i 1
n
n
第三章---数据的概括性度量PPT课件
vs
s x
.
39
4.3 偏态与峰态的度量
• 4.3.1 偏态及其测度 • 4.3.2 峰态及其测度
.
40
偏态与峰态分布的形状
.
41
偏态(skewness)
1. 统计学家Pearson于1895年首次提出 2. 数据分布偏斜程度的测度
3. 偏态系数=0为对称分布
4. 偏态系数> 0为右偏分布
5. 偏态系数< 0为左偏分布
(Population variance and Standard deviation)
.
34
标准分数(standard score)
1. 也称标准化值 2. 对某一个值在一组数据中相对位置的度量 3. 可用于判断一组数据是否有离群点(outlier) 4. 用于对变量的标准化处理 5. 计算公式为
6. 偏态系数大于1或小于-1，被称为高度偏态分布； 偏态系数在0.5～1或-0.5～-1之间，被认为是中 等偏态分布；偏态系数越接近0，偏斜程度就越 低
第 3 章 数据的概括性度量
• 集中趋势的度量 • 离散程度的度量 • 偏态与峰态的度量
.
1
数据分布的特征
.
2
3.1集中趋势(central tendency)
• 一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度 • 测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值
或中心值 • 不同类型的数据用不同的集中趋势测度值 • 低层次数据的测度值适用于高层次的测量
4. 按着这一逻辑，如果对n个观测值附加的 约束个数为k个，自由度则为n-k
.
32
5. 样=据本5可。有以当3自个由x数取=值值5，确，即定另x后1一=2，个，x则x1，2=不4x能，2和x自x3=3由有9，取两则值个数，x 比取其如他x1=值6，x2=7，那么x3则必然取2，而不能
集中趋势与离散趋势
允许用户自定义查询条件、筛选数据和调整图表 参数，以便更深入地探索数据的内在规律和关联 关系。
数据动画
将数据变化过程以动画形式展现出来，帮助用户 更直观地理解数据的变化趋势和动态特征。
06 总结与展望
CHAPTER
主要发现与结论
集中趋势描述
通过平均数、中位数和众数等指标，可以有 效地描述数据的集中趋势，反映数据分布的 中心位置。
众数
一组数据中出现次数最多的数。众数可能不唯一，也可能不存在。众数适用于分类数据和顺序数据，对于数值型 数据，如果数据分布的波动性较大，众数可能不能很好地代表数据的集中趋势。
03 离散趋势
CHAPTER
定义与概念
离散趋势
指一组数据中各数值之间的差异程度 或离散程度，是数据分布的另一个重 要特征。
直方图（Histogram）
将数据按照一定范围进行分组并用矩形条表示，通过矩形条的高度和宽度反映数据的分布 规律。
散点图（Scatter Plot）
用点的位置表示两个变量之间的关系，可通过观察点的分布情况和趋势线分析数据的集中 和离散趋势。
动态数据可视化在趋势分析中的应用
1 2 3
时间序列分析
通过动态展示数据随时间变化的情况，揭示数据 的长期趋势、季节波动和周期性规律。
• 关注数据质量和异常值处理：在实际数据分析中，异常值和数据质量问题是不 可忽视的。未来的研究可以关注如何有效地处理异常值和数据质量问题，以提 高集中趋势和离散趋势分析的准确性和可靠性。例如，可以采用稳健的统计方 法或者数据清洗技术对异常值进行处理，以保证分析结果的稳定性和可靠性。
谢谢
THANKS
Tableau
功能强大的数据可视化工具，支持交互式数据分析和动态图表展示， 适用于大数据处理。
统计数据集中趋势和离中趋势分析(平均指标) PPT
适用情况：
x1 x 2 x n n
x
n
①未分组资料；②分组中各个标志值出现的次数相同 2.加权算术平均数
适用情况：
x 1f1 x 2f2 ... x k fk xf x f1 f2 ... fk f
总体分组，且各个标志值出现的次数不同 当权数为比重或频率形式时： X
三、平均指标的计算与分析——调和平均数H
1.定义：总体各统计变量倒数的算术平均数的倒数， 也称倒数平均数。 2.公式： H
n 1
X1
1
X2
1
n
Xm
X
1
（简单） （加权）
m1 m 2 m n H m1 m m 2 n X1 X2 Xn
m m X
X
X i fi i
1
m
fi i
1
m
9710 12.1375(件） 800
二、平均指标的计算与分析——算术平均数 (x )
【练习 3】某校开展“节约每一滴水”活动，为了了解开展活 动的一个月以来节约用水的病况，从八年级的 400名同学中选 出20名同学统计了解各自家庭一个月的节水情况，见下表：
9710 800
m/x 70 100 380 150 100 800
12.1375 件
H
m m X
三、平均指标的计算与分析——调和平均数H
【练习 5】市场上有三种苹果，甲种每斤 2 元，乙种每斤 1.6元，丙种每斤1.2元。试问： （1）甲种苹果买2斤，乙种买3斤，丙种买5斤，则平均每 斤价钱是多少？ （2）三种苹果各买2元，则平均每斤价钱又是多少？
第4章 综合指标分析法(二)
单项分布数列：求20名工人日产量的中位数
日 产量 （件） 14 x
15
16
17
18
合计
工 人人数 （人）
2f
4
8
5
1
20
向上累计 向下累计
人数
人数
2
20
6
18
14
14
19
6
20
1
－
－
排序：向上累计人数或向 下累计人数；
确定中间位置：（20+1）/2 ＝10.5位
确定中位数：第10.5位在 第三组，故他们日产量的 中位数是16件。
1.排序 2.计算中间位置（n+1）/2 3.确定中间位置的变量值－－中位数 。
顺序数据的中位数
(例题分析)
甲城市家庭对住房状况评价的频数分布 解：这里的数据为
满意程度
甲城市
顺序数据。变量为
户数 (户) 百分比 (%) “满意程度”
非常不满意
24
不满意
108
一般
93
满意
45
非常满意
30
8
该城市中对住
不受极端值影响 具有不唯一性 据分布偏斜程度较大时应用
中位数 不受极端值影响
数据分布偏斜程度较大时应用
均值
易受极端值影响 数学性质优良 数据对称分布或接近对称分布时应用
众数、中位数和均值的关系
均值＜中位数＜众数 均值 = 中位数 = 众数
众数＜ 中位数＜ 均值
左偏分布
对称分布
右偏分布
小结：集中趋势的度量
由组距数列计算算术平均数：
某企业60个工人的月工资分组资料如下：
月工资 （元）
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频数（Fi） 3 5 8 14 10 6 4
合计
—
50
Xf
X
6160 123.（ 2 个）
f
50
XiFi 322.5 562.5 940.0 1715.0 1275.0 795.0 550.0
6160.0
加权均值
(权数对均值的影响)
甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下
甲组： 考试成绩（X ）: 0 20 100 人数分布（F ）：1 1 8
5. 选用哪一个测度值来反映数据的集中趋势，要根据所掌握 的数据的类型来确定
(一)平均指标的概念
平均指标静态平均数 一般平均数本章数 位值 置平 平均 均数 数 动态平均数 序时平均数第八章
是一种综合指标,是在同度质总体内将 各单位数量差异抽象化,用以反映总体在 一定时间、地点、条件下的一般水平.
f
f
对x发生作用
注意:1.两种情况权数不起作用
1x1 x2 ┅ xn
2 f1 f 2 ┅ f n
f
2.各组权数f是通过f 大小对平均数发生作用.
《例》
投资项目评估
市场情况
景气 一般 不景气 合计
年利润（万元） （x）
200 120 50 －
频率(%) (f/∑f)
50 30 20 100
集中趋势和离中趋 势的度量
第五章 集中趋势和 离中趋势的度量
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
集中趋势指标概述 数值平均数 位置平均数 离中趋势的度量 偏度与峰度 -----略,自学
数据分布的特征
集中趋势 (位置)
离中趋势 (分散程度) 偏态和峰度 （形状）
数据分布的特征和测度
数据的特征和测度
-5
10
0－10
5
5
10－20
15
3
20－30
25
2
合计
－
20
企业资金(万元)
80 100 500 800 1480
x 5% 10 5% 5 15% 3 25% 2 70% 3.5%┅错误
10 5 3 2
20
x 5% 80 5% 100 15% 500 25% 800 104 7.03%┅正确
集中趋势
众数 中位数 均值
离散程度
分布的形状
异众比率 四分位差 方差和标准差 离散系数
偏态 峰度
集中趋势的测度
一. 定类数据：众数 二. 定序数据：中位数和分位数 三. 定距和定比数据：均值 四. 众数、中位数和均值的比较
第一节 集中趋势指标概述
第一节 集中趋势指标概述
一、集中趋势指标及其特点 （一）概念 ▪ 集中趋势 ▪ 平均指标
fn
xf f
权数系数公式:
x
x
f
f
加权均值
（算例）
【例】计算50 名工人日加工零件数的均值
某车间50名工人日加工零件均值计算表
按零件数分组
105~110 110~115 115~120 120~125 125~130 130~135 135~140
组中值（Xi） 107.5 112.5 117.5 122.5 127.5 132.5 137.5
（二）特点
1.是一个代表值,代表总体各个单 位某一数量标志的一般水平;
2.把某一数量标志在总体单位之 间数值差异抽象化了.
• 反映总体各单位标志值分布的 集中趋势.
• 是总体分布的重要特征值.
二、作用 1.比较分析作用 2.说明事物的发展过程和变化趋势 3.可以作为论断事物的一种数量标准或参考 4.可以进行数量上的推断 三、种类: 包括算术平均数、调和平均数、
乙组： 考试成绩（X ）: 0 20 100
人数分布（F ）：8 1 1
Xf
X甲 ∑f
0×1+20×1+100×8 10
82（分）
Xf
X乙 ∑f
0×8+20×1+100×1 10
12（分）
f－权数
xf权－数加的权表现形式相 绝对 对数 数或: 次小数数f
:
频率
f
f
各组变量值x的大小
加权算术平均数 X 大小影响因素各组次数f的多少 通过
x x x1 x 8 6
8.5
三、加权算术平均数---分组资料
设分组后的数据为： x1 , x2 , ┅xn
相应的频数为：
f1 , f 2 , ┅f n
• 公式:
x
x1 f1 x2 f 2 ┅xn1 f n1 xn f1 f 2 ┅ f n1 f n
几何平均数、中位数、分位数和众数.
平均指标静态平均数 一般平均数本章数位值置平平均均数数 动态平均数 序时平均数第八章
第二节 数值平均数
第一部分
算术平均数(均值)
均值
(概念要点)
1. 集中趋势的测度值之一 2. 最常用的测度值 3. 一组数据的均衡点所在 4. 易受极端值的影响 5. 用于数值型数据，不能用于定类数据和定
正指标
劳动生产率
劳动时间 产品数量
逆指标
关系:互为倒数
序数据
一、算术平均数的基本公式
算术平均数
总体标志总量 总体单位总量
• 注意:分子、分母必须是属于同一总体的.
二、简单算术平均数---未分组资料
• 应用条件:已知x1, x2 xn1, xn ,求其代表值
• 公式:
x x1 x2 xn x
n
n
简单均值
(算例)
原始数据: 10 5 9 13 6 8
集中趋势
(Central tendency)
1. 一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度 2. 测度集中趋势就是寻找数据一般水平的代表值或中心值 3. 不同类型的数据用不同的集中趋势测度值
4. 低层次数据的集中趋势测度值适用于高层次的测量数据， 反过来，高层次数据的集中趋势测度值并不适用于低层次 的测量数据
80 100 500 800
1480
均值
(数学性质)
1. 各变量值与均值的离差之和等于零
n
(Xi X) 0
i1
2. 各变量值与均值的离差平方和最小
n
(Xi X )2 min
i1
第二部分 调和平均数
一、概念:是各标志值倒数的算术平均数的倒数,又 称倒数平均数.
《例》
劳动生产率
产品数量 劳动时间
X(f/∑f)
100 36 10 146
x x f 200 50% 120 30% 50 20% 146万元 f
计算表明, 该投资项目可期望平均年利润146万元的收益.
3.xf要具有标志值总量的实际意义.
《例》 某公司所属企业资金利润率
资金利润(%) 组中值(%) 企业数(个)
-10－0