集中趋势度量法
集中趋势的度量
第五章数据分布特征的描述第一节集中趋势指标概述一、集中趋势指标及其特点集中趋势（Central tendency），是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，测度集中趋势也就是要寻找数据一般水平的代表值或是心值。
在现象的同质总体中，各个单位的标志值是不尽相同的。
如果我们的目的是要对总体的数量水平有一个概括地、一般地认识，显然不能用某一单位的标志值表示。
统计平均数就是用来反映总体的一般水平和集中趋势的指标。
通俗的理解就是，在不变更总体总量的情况下，对总体内的全部标志值进行“截长补短”，使得总体各单位拥有同一水平的数量表现，这个同一水平的数量表现就是平均数，即集中趋势指标。
统计平均数有两个重要的特点：第一，平均数是一个代表值，表示被研究总体的一般水平。
例如，某企业职工的工资水平有高有低，有的职工月工资1680元，有的职工月工资1900元，有的职工月工资1870元，有的职工月工资2200元，等等。
若根据该企业各个职工月工资额综合计算出职工月平均工资为1860元，那么，1860元就是一个代表值。
它反映了该企业职工月工资的—般水平。
第二，平均数把被研究总体各单位的标志值的数量差异抽象化了。
例如，某企业职工的月平均工资为1860元，但是各个职工的工资水平有高有低，高于1860元的工资和低于1860元的工资互相抵消了，从而得出平均工资1860元。
由此可见，平均工资（1860元）已把各职工月工资水平的差别抽象化了。
二、集中趋势指标的作用集中趋势指标——统计平均数，在统计研究中被广泛应用，平均数的作用可以归纳为以下几点：1.利用平均数对比不同总体的一般水平。
平均数可以用来对同类现象在各单位、各部门、各地区之间进行比较，以说明生产水平的高低或经济效果的好坏。
例如，要比较不同的生产企业生产水平的好坏，仅对比企业的产品总产量是不足以说明问题的，因为产品总产量受到企业规模大小的影响。
要比较，需要计算各企业生产人员的平均产品产量，即劳动生产率，并分析不同的生产条件，才能做出正确的判断。
第三章集中量数
三、算术平均数的性质
一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的乘积， 一组变量值的和等于变量的个数与其平均数的乘积， 即 ∑ X = NX 一组变量值的离均差之和等于零， 一组变量值的离均差之和等于零，即
∑ (X − X ) = 0
在一组变量值中，每个变量值加上或减去 、乘以或 在一组变量值中，每个变量值加上或减去、 除以常数 ， 所得的平均数等于原平均数减去或 加上，除以或乘以常数 加上， 。
i N Mdn = La − − Fa f 2
5 57 = 74.5 − − 24 = 74.5 − 1.5 = 73 15 2
分组次数表与重复次数中位数的联系
1N Mdn = Lb + − Fb f 2
三、百分位数与四分位数
（一）百分位数：在任一百分位上的数值。
例3-6：五名学生的物理成绩分别55,64,89,98, 34请问五名学生的平均成绩是多少？
解：1、排序：34、55、64、89、98 2、 N=5，为奇数 为奇数 N +1 3、 中数位置= 2 =3 4、排在第 个位置上的数是 ，所以中位数 排在第3个位置上的数是 排在第 个位置上的数是64， 是64 答：五名同学的的物理平均成绩是64分。 五名同学的的物理平均成绩是 分
Fl →u
Fu→l
Fa = 24
57 54 46 33 18 9 3 1 —
3 11 24 39 48 54 56 57 —
④代入公式计算中数
i N Mdn = Lb + − Fb f 2 5 57 = 69.5 + − 18 = 69.5 + 3.5 = 73 15 2
例3-7:六架直升飞机的最大速度分别为 六架直升飞机的最大速度分别为450km/h、 六架直升飞机的最大速度分别为 、 420km/h、500km/h 、 530km/h 、600km/h 、 、 1100km/h，请问平均速度是多少 ，请问平均速度是多少? 1、排序：420、450、500、530、600、1100 N 2、N=6，为偶数 中数位置= 2
集中趋势测量法
05 集中趋势测量法的案例分 析
案例一：算术平均数的应用
场景描述
某公司需要评估员工的薪资水 平，采用算术平均数作为测量
指标。
数据收集
收集公司所有员工的薪资数据 。
计算 数。
结果分析
通过比较算术平均数与市场薪 资水平，可以评估公司薪资水
平的竞争力和合理性。
在社会学中的应用
描述社会现象
01
集中趋势测量法可用于描述社会现象的中心趋势或典型情况，
如人口平均年龄、平均教育水平等。
分析社会差异
02
通过比较不同社会群体的集中趋势指标，可以分析社会差异和
不平等现象。
预测社会变迁
03
基于历史数据的集中趋势分析，可以对未来社会变迁进行预测
和研究，为社会规划和政策制定提供参考。
案例二：中位数的应用
场景描述
某市场研究机构需要分析某地区家庭 收入分布情况，采用中位数作为测量 指标。
数据收集
收集该地区所有家庭的收入数据。
计算方法
将家庭收入数据按照从小到大的顺序 排列，找到位于中间位置的数值，即 为中位数。
结果分析
通过比较中位数与平均数的大小，可 以判断家庭收入分布是否均衡，以及 是否存在极端值的影响。
03
特点
中位数不受极端值影响，对于偏态分布的数据较为适用。
众数
定义
众数是一组数据中出现次数最多的数。如果数据分布没有明显的集中趋势，则可能没有众 数；如果有两个或两个以上的数出现次数相同且最多，则这组数据有多个众数。
计算步骤
统计每个数据出现的次数，找到出现次数最多的数。
特点
众数反映了数据的集中趋势和分布情况，但可能受数据分组的影响。
集中趋势度量均值、中位数、众数
集中趋势度量均值、中位数、众数在统计学中，集中趋势度量是用来衡量数据集中分布的一种统计指标。
常见的集中趋势度量包括均值、中位数和众数。
本文将分别介绍这三种集中趋势度量的概念、计算方法以及在实际应用中的意义。
均值（Mean）是最常用的集中趋势度量之一。
均值是指将所有数据相加后除以数据的个数所得到的结果。
计算均值的公式为：均值 = 总和 / 数据个数。
例如，对于数据集{3, 5, 7, 9, 11}，均值的计算为(3+5+7+9+11) / 5 = 7。
均值的优点是能够充分利用所有数据，但在数据存在极端值（Outlier）时，均值容易受到极端值的影响，使得均值不够稳定。
中位数（Median）是将数据按大小顺序排列后位于中间位置的数值。
如果数据个数为奇数，则中位数就是中间位置的数值；如果数据个数为偶数，则中位数是中间两个数的平均值。
中位数的计算不受极端值的影响，更能反映数据的中间位置。
以数据集{3, 5, 7, 9, 11, 13}为例，中位数为（7+9）/ 2 = 8。
众数（Mode）是数据集中出现次数最多的数值。
一个数据集可能有一个众数、多个众数或者没有众数。
众数可以帮助我们了解数据集中的主要趋势。
例如，对于数据集{3, 5, 5, 7, 9, 9, 9, 11}，众数为9，因为9在数据集中出现的次数最多。
在实际应用中，均值、中位数和众数经常同时使用，以全面了解数据的集中趋势。
均值适合用于连续型数据，能够提供数据的平均水平；中位数适合用于有序数据，能够反映数据的中间位置；众数适合用于离散型数据，能够揭示数据的主要特征。
综合运用这三种集中趋势度量，可以更准确地描述数据的分布特征，为数据分析和决策提供有力支持。
通过本文的介绍，我们了解了集中趋势度量中的均值、中位数和众数的概念、计算方法及应用意义。
在实际统计分析中，选择合适的集中趋势度量对于准确描述数据分布至关重要。
不同的集中趋势度量适用于不同类型的数据，结合使用可以更全面地把握数据的特征，为科学决策提供支持。
第4章 统计数据的分布特征(集中趋势度量法) 应用统计学
已知
计算栏
二、调和平均数(Harmonic Mean)
解： xH 收购额 ＝ 收购量 xH
xf 1 x xf
m 1 xm
xH
61 1.016(元 / 件) 60 m 1 xm 1 1 m x m
11
三、众数(Mode)
1、众数是一组数据中出现次数最多的变量 值，用 M0 表示。 2、单项数列，出现次数最多的变量值即为 众数，举例：教材61页 3、组距数列，计算众数步骤： （1）、确定众数组 （2）、利用公式计算众数
第4 章
集中趋势度量法
（Central Tendency)
本章介绍的主要内容： 算数平均数（均数Mean） 调和平均数(Harmonic) 众数(Mode) 中位数(Median) 几何平均数(Geometric)
1
集中趋势
集中趋势（Central Tendency）是 指一组数据向某一中心值靠拢的倾向， 测度集中趋势是寻找数据一般水平的代 表值或中心值。
8
课堂练习
解：
总成本 平均单位产品成本＝ 总产量 x x f
f
11 22%＋13 40 ％＋ 16 38 ％ ＝ 13.（元 7 / 件）
9
二、调和平均数(Harmonic Mean)
调和平均数是均值的另一种表现形式 例：教材55页：
等级 单价（元/斤）收购额（元）收购量（斤） x xf xf/x 一级 1.2 24 20 二级 1.0 30 30 三级 0.7 7 10 合计 61 60
12
众数与相邻两组的关系示意图
f f f
频 数
f-1
f＋1
频 数
数据集中趋势的度量与分析方法
数据集中趋势度量的应用场景
描述性统计分析中的应用
预测性分析中的应用
推荐系统：根据用户的历史行为数据，预测用户可能感兴趣的内容或产品，为用户提供个性化推荐。
异常检测：通过分析数据的分布规律，发现异常值或突变点，如欺诈行为、故障预警等。
趋势分析：通过对时间序列数据的分析，预测事物的发展趋势，如市场走势、用户行为等。
单击此处输入（你的）智能图形项正文，文字是您思想的提炼，请尽量言简意赅的阐述观点
核密度估计图
概率分布图
定义：表示随机变量取值的概率分布情况的图形
分析方法：观察概率分布图的形状、对称性、异常值等特征，结合数据分布情况进行分析
绘制方法：将数据按照取值范围分成若干个小区间，统计每个区间内数据的个数，并根据概率密度函数绘制图形
中位数：将数据从小到大排序后，位于中间位置的数值，反映数据的集中趋势。
众数与其他度量方法的比较
选择依据：根据数据分布、数据量大小和实际需求选择合适的度量方法
比较：与平均数、中位数等其他度量方法的优缺点比较
特点：不受极端值影响，适用于分类数据，计算简单
定义：众数是一组数据中出现次数最多的数值
描述性统计量与其他度量方法的比较
销售预测：通过分析历史销售数据，预测未来一段时间内的销售趋势，为库存管理、生产计划等提供依据。
可解释性分析中的应用
解释变量对结果的影响
异常值和离群点的检测
特征选择和特征工程
预测模型的可靠性评估
数据可视化中的应用
柱状图：用于比较不同类别之间的数据大小
折线图：用于展示数据随时间的变化趋势
饼图：用于表示各部分在整体中所占的比例
作用：展示数据的概率分布情况，帮助我们了解数据的离散程度和集中趋势
算术平均数、中位数、众数的简介及三者之间的关系
简答题：说明算术平均数、中位数、众数的优缺点及三者之间的关系（一）算术平均数、中位数和众数是统计学中常用的集中趋势度量，它们各自具有不同的优缺点，适用于不同类型的数据分布和分析目的。
以下是它们的优缺点及关系：算术平均数（Mean）：优点：易于计算，能够充分利用全部数据，对异常值不敏感。
缺点：对于包含极端值（异常值）的数据，平均数可能不太代表整体趋势。
中位数（Median）：优点：对于数据中的异常值不敏感，能够反映数据的中间位置。
缺点：需要将数据进行排序，对数据分布的形状了解较少，不能充分利用全部数据信息。
众数（Mode）：优点：易于理解和计算，可以用于分类数据，可以有多个众数。
缺点：可能不存在众数，对连续型数据不太适用，不能反映数据的分散情况。
三者之间的关系：在对称分布（例如正态分布）中，平均数、中位数和众数通常是接近的，且中位数通常等于平均数等于众数。
在偏斜分布（例如右偏或左偏分布）中，平均数受到极端值的影响，可能偏离中位数和众数。
当数据分布对称时，平均数通常是最好的集中趋势度量。
当数据分布有偏斜或包含异常值时，中位数和众数可能更能反映数据的典型特征。
综合来说，选择使用哪种集中趋势度量取决于数据的性质以及分析的目的。
通常建议同时考虑这三种度量，以更全面地了解数据的特征。
（二）算术平均数、中位数和众数是描述数据集中趋势的三种常用方法，它们各有优缺点：算术平均数：优点：算术平均数提供了一种快速、直观的了解数据集的中心位置。
它适用于大多数类型的数据，并且在数学和统计分析中非常有用，尤其是在计算方差和标准差时。
缺点：算术平均数容易受极端值的影响。
在一个数据集中，若存在极端高值或低值，算术平均数可能无法准确反映大多数数据的实际情况。
中位数：优点：中位数不受极端值的影响，因此它在存在异常值时可以更好地代表数据集的中心位置。
当数据分布不对称时，中位数是一个很好的中心趋势度量。
缺点：中位数对数据集的信息利用不如算术平均数全面，特别是在数据集很大时，中位数可能忽略了数据分布的某些特征。
医学统计学(课件)集中趋势
流行病学研究
在流行病学研究中，研究者通常 会关注最常见的人口统计学特征 或健康状况，因为这些特征或状 况最有可能对研究结果产生影响 。
临床诊断
在临床诊断中，医生通常会关注 最常见的症状或体征，因为这些 症状或体征最有可能指示某种疾 病的存在。
众数
在流行病学研究中，众数可以用于描述某种疾病患者的 症状分布。适用于数据分布较为集中，且出现次数最多 的情况。
中位数
在临床试验中，中位数可以用于比较不同组患者的疼痛 程度或生活质量的差异。适用于数据分布不均匀或存在 极端值的情况。
06
医学统计学集中趋势的案例分析
案例一：某地区高血压患者的血糖水平分布
缺点
中位数只能反映数据的集中趋势，不能反映数据的离散程度，因此不能单独使用 来描述数据的整体特征。此外，中位数对于数据量较大的情况下计算相对繁琐。
中位数在医学中的应用
描述定量变量
在医学研究中，中位数常被用来描述定量变量的集中趋势， 特别是当数据呈现出偏态分布时。例如，在描述患者的年龄 时，可能会使用中位数来反映整体情况。
平均数在医学中的应用
描述和比较不同组别或不同时间点的观察结果
在流行病学研究中，平均数是描述疾病发病率和患病 率的重要指标之一
用于诊断和疗效评估
在临床实践中，医生通常会根据患者的平均血压、血 糖等指标来评估其健康状况
03
中位数
定义与计算方法
定义：中位数是一组数据中的一个数值，当这组 数据按从小到大的顺序排列后，处于中间位置的 数值即为中位数
众数（Mode）
众数是指在一组数据中出现次数最多的数值。在某些情况下，众数可以反映数据的集中趋 势，尤其是当数据呈现出明显的偏态分布时。
第4章 综合指标分析法(二)
单项分布数列：求20名工人日产量的中位数
日 产量 （件） 14 x
15
16
17
18
合计
工 人人数 （人）
2f
4
8
5
1
20
向上累计 向下累计
人数
人数
2
20
6
18
14
14
19
6
20
1
－
－
排序：向上累计人数或向 下累计人数；
确定中间位置：（20+1）/2 ＝10.5位
确定中位数：第10.5位在 第三组，故他们日产量的 中位数是16件。
1.排序 2.计算中间位置（n+1）/2 3.确定中间位置的变量值－－中位数 。
顺序数据的中位数
(例题分析)
甲城市家庭对住房状况评价的频数分布 解：这里的数据为
满意程度
甲城市
顺序数据。变量为
户数 (户) 百分比 (%) “满意程度”
非常不满意
24
不满意
108
一般
93
满意
45
非常满意
30
8
该城市中对住
不受极端值影响 具有不唯一性 据分布偏斜程度较大时应用
中位数 不受极端值影响
数据分布偏斜程度较大时应用
均值
易受极端值影响 数学性质优良 数据对称分布或接近对称分布时应用
众数、中位数和均值的关系
均值＜中位数＜众数 均值 = 中位数 = 众数
众数＜ 中位数＜ 均值
左偏分布
对称分布
右偏分布
小结：集中趋势的度量
由组距数列计算算术平均数：
某企业60个工人的月工资分组资料如下：
月工资 （元）
集中趋势度量
集中趋势度量集中趋势度量是统计学中一种描述数据分布中心位置的方法，用于衡量数据的聚集程度。
常见的集中趋势度量包括均值、中位数和众数。
均值（mean）是指将一组数据求和后除以数据个数得到的平均值。
均值对异常值相当敏感，因为每个数据点都会对其产生影响。
均值的计算公式为：mean = (x1 + x2 + ... + xn) / n其中，x1到xn表示数据点，n表示数据个数。
均值的优点是能够反映数据总体的中心位置，但缺点是受异常值的影响较大。
中位数（median）是将一组数据按照大小顺序排列后，处于中间位置的值。
中位数对异常值相对不敏感，因为它只受中间位置的数据影响。
计算中位数的方法有两种，一种是将数据从小到大排列，取中间位置的值；另一种是将数据从小到大排列后，如果数据个数为奇数，则取中间位置的值；如果数据个数为偶数，则取中间两个位置的平均值。
众数（mode）是一组数据中出现频率最高的值。
对于有多个众数的情况，可以称之为多模态。
众数可以用于描述离散型数据分布的集中趋势度量。
除了均值、中位数和众数，还存在其他集中趋势度量方法，例如四分位数、百分位数等。
四分位数是将一组数据按照大小顺序排列后，将数据划分为四个等分，其中第一个四分位数表示处于所有数据的25%的位置，第二个四分位数即中位数，第三个四分位数表示处于所有数据的75%的位置。
百分位数则是将数据按照大小顺序排列后，将数据划分为100等分。
四分位数和百分位数可以用于描述数据分布的集中趋势以及离散程度。
总之，集中趋势度量是衡量数据分布集中位置的方法，常见的度量指标包括均值、中位数和众数，根据数据类型和具体需求可以选择不同的度量方法。
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1. 集中趋势的基本概念 2. 集中趋势各测度值的计算方法 3. 集中趋势各测度值的特点及应用场合
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集中趋势 (位置)
离中趋势 (分散程度)
数据
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无众数
原始数据: 8 一个众数
原始数据:
10 5 9 12 6 659855
多于一个众数 原始数据: 25 28 28 36 42 42
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不同品牌饮料的频数分布
饮料品牌
频数 比例 百分比 (%)
可口可乐
15 0.30 30
旭日升冰茶 11 0.22 22
百事可乐
9 0.18 18
汇源果汁
6 0.12 12
露露
9 0.18 18
合计
50
1
100
解：这里的变量为“饮 料品牌”，这是个分类 变量，不同类型的饮料 就是变量值
所调查的50人中，购 买可口可乐的人数最多， 为15人，占总被调查人 数的30%，因此众数为 “可口可乐”这一品牌， 即
Mo＝可口可乐
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1. 一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度 2. 测度集中趋势就是寻找数据水平的代表值或中心值 3. 不同类型的数据用不同的集中趋势测度值 4. 低层次数据的测度值适用于高层次的测量数据，但高
层次数据的测度值并不适用于低层次的测量数据
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4.2 集中趋势的度量
4.2.1 分类数据：众数 4.2.2 顺序数据：中位数和分位数 4.2.3 数值型数据：平均数 4.2.4 众数、中位数和平均数的比较
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下限公式 : M e L
f
2
Sm1 i L(
f me
f
i
2 Sm1) fme
700 1500 720 100 774.3 1050
偏态和峰态 （形状）
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数据特征的测度
集中趋势
众数 中位数 平均数
离散程度
分布的形状
异众比率 四分位差 方差和标准差 离散系数
偏态 峰态
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4.1 集中趋势的基本概念和 作用
4.1.1 基本概念 4.1.2 作用
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表明同类现象在一定时间、地点条件下，所 达到的一般水平与大量单位的综合数量特征，有 以下3个特点：
中位数 1080
78
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【例】：10个家庭的人均月收入数据
排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000
位 置:
9 10
12 3 4 5 6
位置 n 1 10 1 5.5
2
2
78
中位数 960 1080 1020 2
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1. 排序后处于中间位置上的值
50%
Me
2. 不受极端值的影响
50%
3. 主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能 用于分类数据
4. 各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即 n xi M e min i1 西北工业大学管理学院
原始数据： 中位数位置 n 1 2
300
—
Me=一般
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【例】
原始数据: 1630
排 序: 2000
位 置:
9
9个家庭的人均月收入数据
1500 750 780 1080 850 960 2000 1250
750 780 850 960 1080 1250 1500 1630
1 2 3 4 5 6
位置 n 1 9 1 5 22
Mo＝不满意
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计算公式
1）下限公式
M0
L
1 1 2
i
700
570 570 450
100
755.9
M
：众值
0
L ：众值组的下限
1：众值组次数与下一组次数之差ຫໍສະໝຸດ ：众值组次数与上一组次数之差
2
i：众值组的组距
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计算公式
2）上限公式
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4.2 集中趋势的度量
众数
位置均值
中位数
平均指标
分位数
计算均值
算术平均值 调和均值 几何均值
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mo
1. 一组数据中出现次数最多的变量值 2. 适合于数据量较多时使用 3. 不受极端值的影响 4. 一组数据可能没有众数或有几个众数 5. 主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型
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甲城市家庭对住房状况评价的频数分布
回答类别
甲城市 户数 (户) 百分比 (%)
非常不满意
24
8
不满意
108
36
一般
93
31
满意
45
15
非常满意
30
10
合计
300
100.0
解：这里的数据为顺 序数据。变量为“回 答类别”
甲城市中对住房 表示不满意的户数最 多 ， 为 108 户 ， 因 此 众数为“不满意”这 一类别，即
M0
u
1 1 2
i
800
450 570 450
100
755.9
M
：众值
0
u：众值组的上限
1：众值组次数与下一组次数之差
：众值组次数与上一组次数之差
2
i：众值组的组距
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优点：不受变量数列极端数值的影响，不受变量数列 中开口组的影响。
缺点：要求总体单位数足够多、且具有明显的集中 趋势。
顺序数据： 中位数位置 n 2
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甲城市家庭对住房状况评价的频数分布
回答类别
甲城市 户数 (户) 累计频数
解：中位数的位置为 300/2＝150
非常不满意
24
不满意
108
一般
93
满意
45
非常满意
30
合计
300
24
从累计频数看，
132
中位数在“一般”这
225
一组别中
270
中位数为
1. 用一个代表数值综合反映个体某种标志值的一 般水平。
2. 将个体标志值之间的差异抽象掉了。
3. 计量单位与标志值的计量单位一致。
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• 比较若干总体的某种标志数值的平均水平 • 研究总体某种标志数值的平均水平在时间上的变化 • 分析社会经济现象的依存关系 • 研究和评价事物优劣的数量指标 • 计算和估算其他重要的经济指标