第四章 集中趋势测量法_社会统计学

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2. 对于分组资料
fX X PX f
注意：对求和符号，此时流动脚标的变动范围是1,2,3 … ,n， n是组数，而不是总体单位数。
很显然，算术平均数不仅受各变量值(X)大小的影 响，而且受各组单位数(频数)的影响。由于对于总体的影 响要由频数( f )大小所决定，所以 f 也被称为权数。值得 注意的是，在统计计算中，权数不仅用来衡量总体中各标 志值在总体中作用，同时反映了指标的结构，所以它有两 种表现形式：绝对数（频数）和相对数（频率）。这样一 来，在统计学中，凡对应于分组资料的计算式，都被称为 加权式。
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1. 对未分组资料
(1)、先把所有数据按大小顺序排 列，如果总体单位数为奇数，则取 第（N+1）/2 位上的变量值为中位 数; （2）、如果总体单位数为偶数。 因为居中的数值不存在，按惯例， 取第 N/2位和第（N+1）/2 位上的 两个变量值的平均作为中位数。
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例 求54，65，78，66，43这些数字的中位 数。 例、求54，65，78，66，43，38 这些数字的 中位数。
fX X f
间距
148―152 152―156 156―160 160―164 164―168 168―172 172―176 176―180 180―184 184―188 188―192 192―196
合计
频数（f）
1 2 5 10 19 25 17 12 5 3 0 1
100
组中值（X)
150 154 158 162 166 170 174 178 182 186 190 194
——
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3. 算术平均数的性质
各变量值与算术平均数的离差之和等于0。 各变量值对算术平均数的平方和，小于它们对任 何他数偏差的平方和 算术平均数受抽样变动影响较小。 受极端值影响较大。
分组资料如遇有开放组距时，不经特殊处理 不能进行算术平均数的计算。
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第二节 中位数按大小 顺序排列，位于正中处的变量值，即为中位数， 用Md表示。 Md可用于定序、定距、定比资料。
合计
50
1.00
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求下表中的众数
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3. 众数的性质
(1) 众数仅受上下相邻两组频数大小的影响，不受极 端值影响，对开口组仍可计算众数； (2) 受抽样变动影响大； (3) 众数不唯一确定。 (4) 众数标示为其峰值所对应的变量值，能很容易区 分出单峰、多峰。因而具有明显偏态集中趋势的频数分 布，用众数最合适。
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在上述计算平均价格的过程中，早、中、 晚三个时段购买蔬菜所花费的现金是计算 平均价格的权数，这种方法我们称为加权 调和平均法。 由以上分析过程得出调和平均数的定义：
调和平均数是各个变量值倒数的算术平均 数的倒数，习惯上用(H)表示。
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3. 各种平均数的关系
(1) 当总体呈正态分布时： (2)当总体呈偏态分布时：中位数总在均数和众数之间 正偏： 负偏： （注： 和 合称位置平均数） (3) 皮尔逊发现 ，在钟形分布的偏态不大显著时， 、
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[例] 求下表(单项数列)所示数据的算术平 均数 。
人口数（X）
2 3 4 5 6 7 8
户数(f)
5 8 16 10 6 4 1
频率(P)
0.10 0.16 0.32 0.20 0.12 0.08 0.02
合计
50
1.00
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对于组距数列，要用每一组的组中值权充该 组统一的变量值。 [例] 求下表所示数据的的算术平均数
你会吗？

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2. 对于分组资料 （1）单项数列
根据N/2在累计频数分布中找到中位数所在组， 该组变量值就是Md 。
中 位 数
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（2）组距数列
当根据组距数列求中位数时，要采用所谓的比 例插值法：先根据N／2在累计频数分布中找到中位 数所在组，然后假定该组中各变量值是均匀分布的， 再用以下任何一种方法求出中位数(注意：此处用 的是向上累计)。 按中位数所在组的下限：
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请从下表中指出第一四分位数和第三四分 位数
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求出下表中的第一四分位数和第三四分数
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第三节 众数(Mode)
众数是在一组资料中，出现次数(或频 数)呈现出“峰”值的那些变量值，用Mo表示。 众数只与次数有关，可以用于定类、定序、 定距、定比资料。
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1. 对于未分组资料 直接观察 首先，将所有数据顺序排列；然后，只要 观察到某些变量值(与相邻变量值相比较)出现 的次数(或频数)呈现“峰”值，这些变量值就 是 众数。
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萨姆：每周100元又是怎么回事呢？ 吉斯莫：那称为众数，是大多数人挣 的工资。 吉斯莫：老弟，你的问题是出在你不 懂平均数、中位数和众数之间的区别。 萨姆：好，现在我可懂了。我……我 辞职！
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第一节 算术平均数(MEAN)
用总体标志总量除以总体单位数即得 算术平均数（Arithematic mean）。
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第四节 几何平均数、调和平均数（了解）
1. 几何平均数Mg (geometric mean ）
N个变量值连乘积的N次方根。(不能有变量值为
0）。适用于：(1) 计算某种比率的平均数；(2) 计算大 致具有几何级数关系的一组数字的平均数，如经济指标 的平均发展速度。 （1）简单几何平均数
对数式：
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2. 对于分组资料
单项式：观察频数分布 (或频率分布 )
组距式：
Lo为众数组下限； Δ１为众数组频数与前一组频数之差； Δ２为众数组频数与后一组频数之差； ho为众数组组距。
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求下表中的众数
人口数（X） 众 数
2 3 4 5 6 7 8
户数(f)
5 8 16 10 6 4 1
频率(P)
0.10 0.16 0.32 0.20 0.12 0.08 0.02
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1. 对于未分组资料
X X N
注意：对求和符号，此时流动脚标的变动范围是1, 2, 3, … ,N ，
N是总体单位数。
[例] 求74、85、69、9l、87、74、69这些数字的 算术平均数。 [解]
X X ＝ N
74 85 69 91 87 74 69 ＝78.4 7
萨姆；你欺骗我！我已经找其他工人核 对过了，没有一个人的工资超过每周100 元。平均工资怎么可能是一周300元呢？ 吉斯莫：啊，萨姆，不要激动。平均工 资是300元。我要向你证明这一点。
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吉斯莫：这是我每周付出的酬金。我得 2400元，我弟弟得1000元，我的六个亲 戚每人得250元，五个领工每人得200元， 10个工人每人100元。总共是每周6900元， 付给23个人，对吧？ 萨姆：对，对，对！你是对的，平均工 资是每周300元。可你还是蒙骗了我。 吉斯莫；我不同意！你实在是不明白。 我已经把工资列了个表，并告诉了你， 工资的中位数是200元，可这不是平均工 资，而是中等工资。
我们有三种方法选择集中趋势： （1）根据频数：哪个变量值出现次数越 多，就选择哪个变量值，比如民主决策的表决 机制。 （2）根据居中：比如一个城镇居民的生活 水平，居中的是小康家庭，那么就用小康家庭 来代表该城镇的生活水平。 （3）根据平均：用平均数来代表变量的 平均水平。
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关于集中趋势的一个故事
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第三种买法：早、中、晚各买一元
在这种情况下，计算蔬菜平均价格比上述 两种方法稍微复杂一些，我们得先计算出 一元钱所购买蔬菜的数量，然后再计算蔬 菜的平均价格。 要计算蔬菜的平均价格，首先应该计算出 早、中、晚各花费1元钱所购买蔬菜的数量：

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这种计算平均指标的方法同算术平均法有 很大的不同，由于资料中缺乏总体单位总 量，所以，就不可能直接用算术平均的方 法计算平均指标。为了达到计算目的，首 先要用变量值的倒数计算出总体单位总量 来，然后再计算平均指标，调和平均数法 因此而得名，也正是由于这个原因，调和 平均数又称为倒数平均数。
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[例] 某地区GDP 1991～1995年平均发展速度 为107.2%，1996～1998年平均发展速度为 108.7%，1999～2000年平均发展速度为110%， 求该地区1991～2000年间的平均发展速度。
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2. 调和平均数Mh ( harmonic mean)
N个变量值倒数算术平均数的倒数， 也称倒数平均数。适用于：掌握的情况 是总体标志总量而缺少总体单位数的资 料时。
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4. 四分位数
中位数所有单位被等分为两部分，因而被称为二分 位数。类似于求中位数，我们还可求出四分位数、十分 位数、百分位数。 将总体中的各单位分割成相等的四部分，则这三个 分割的变量值就是四分位数。若以Q1、Q2、Q3分别代表 第一、第二、第三四分位数。Q2 即中位数，Q1、Q3的算 法分别是
、
三者大致构成一个比较固定的关系：
(4) 、 和 合称数值平均数
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第四章 集中趋势测量法
算术平均数
主 要 内 容
中位数 众数 几何平均数和调和平均数
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统计分析首先要解决的问题，就是寻求 一个简单数值以代表搜集所得的资料。 平均指标就是表明同质总体在一定条件 下某一数量标志所达到的一般水平。 平均指标把总体各单位之间的差异加以 抽象概括，其中个别标志值的偶然性被 相互抵消，从而反映出总体分布的集中 趋势。


吉斯莫先生有一个小工厂，生产超级小 玩意儿。 管理人员由吉斯莫先生、他的弟弟、六 个亲戚组成。工作人员由5个领工和10个 工人组成。工厂经营得很顺利，现在需 要一个新工人。 现在吉斯莫先生正在接见萨姆，谈工作 问题。