心理统计学(一) 第三章 集中量数
第三章集中量数 心理统计学PPT课件
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（二）应用 有极端值数据； 心理物理学中等距、等比量表编制
30
例3-6：某一研究者想研究介于S与S二感觉之 间的感觉的物理刺激是多少。他随机选10名被 试，让其调节一个可变的物理刺激，使产生的 感觉恰介于S与S之间。10名被试的结果如下： 5.7、6.2、6.7、6.9、7.5 、8.0、7.6、10.0、 15.6、18.0。问这10名被试二感觉之间的那个 感觉的物理刺激平均值是多少？
X11 35 02,X2
303 10
代入公式得：
MH 1
1 1
1
1 2.4 5
( )
2 2 3 12
答：该生学习生词的平均速度为 2.4字分 。
38
例3-9：在一个学习实验中，统计了6名被试在2小时的解题 量，依次为24题，20题，16题，12题，8题，4题。问这6 名被试平均每小时解多少题？
解：设六名被试单位时间解题数依次为 X 1,X2,X3,X4,X5,X6,
总体平均数——
3
（二）计算公式 1、未分组数据计算平均数方法
公式一：X Xi
N
例3-1：现有一组实验观测数据，25，27，28，27，25，29， 30，34，32，33。计算它们的平均数。
： 解：根据题意，已知N=10，根据公式
X2 52 7...3 3292 09 10 10
4
公式二：
—
7984 28
7
① 将 fm，N 代入上面第一个公式计算：
X=
fm
N
7984
= 100
=79.84
② 设 AM=79,将 AM， fd，N，i 代入上面第二个公式计算：
X = AM + fd N
心理统计学第三章
第三章第三章集中量数第一节算术平均数 ................................................. 错误!未定义书签。
第二节中位数 ................................................................. 错误!未定义书签。
第三节众数 ....................................................................... 错误!未定义书签。
第四节几何平均数和倒数平均数............................... 错误!未定义书签。
第五节 SPSS实验——均数、中数和众数...................... 错误!未定义书签。
同步练习与思考题 ............................................................... 错误!未定义书签。
学习目标1．识记和理解各种集中量指标的概念2．熟练掌握各种平均指标的计算方法3．掌握均数、中数和众数应用范围4．了解几何平均数和倒数平均数的应用在实验、测量或调查中获得的大量观测数据，具有一种向数据中央某一点靠拢的趋势，这种趋势在统计学中称为集中趋势（central tendency），它是数据分布的特征之一。
用于描述观测数据集中趋势的量数称为集中量数。
集中量数（central measures）是一组数据的代表值，用以说明一组数据分布的典型情况或一般水平，它比个别数据更能反映客观现象或事物的实际情况。
集中量数还可以用于组与组之间的差异比较。
譬如，某教师在两个平行班进行了传统教学法和多媒体教学的实验研究，通过一年实验后，观测到两个班级的平均成绩之间出现较大的差异。
描述客观现象集中趋势的数量指标有算术平均数、加权平均数、中数、众数、几何平均数和倒数平均数。
3集中量数
（五）调和平均数 1. 概念 调和平均数是一组数据倒数的算术平均数的倒数， 也称为倒数平均数。用 表示。 2. 在教育上的应用 调和平均数在教育方面主要用来求学习速度 学习速度（如： 学习速度 阅读速度、解题速度、识字速度等） 页书， 例：一名学生阅读2页书，读前一页时的速度折合为 一名学生阅读 页书 每小时20页 读后一页时的速度折合为每小时40页 每小时 页，读后一页时的速度折合为每小时 页， 问该生平均每小时的阅读速度为多少？ 问该生平均每小时的阅读速度为多少？
5. 离差平方和最小。 离差平方和最小。
算术平均数的优缺点
1. 优点 :
–反应灵敏 反应灵敏 –计算简单、严密 计算简单、 计算简单 –概念明了，简洁 概念明了， 概念明了 –适合于进一步的代数运算 适合于进一步的代数运算 –较少受抽样变动的影响 较少受抽样变动的影响
缺点： 2. 缺点：
–易受极端数据的影响（修剪平均 易受极端数据的影响（ 易受极端数据的影响 数） –出现模糊数据时，无法计算平均 出现模糊数据时， 出现模糊数据时 常用中位数） 数（常用中位数）
计算和应用平均数的原则
1. 同质性原则
各科考试难易程度不同时，计 算总平均分；研究某团体中人们 的个人收入，常因有极值的情况 而掩盖真实情况。
2. 平均数与标准差、方差相结 合的原则
Hale Waihona Puke （二）中位数1、概念 一组按大小顺序排列的数据中，居中间位置对应 的数据值即为中位数，用符号 表示。 2、中位数的计算方法 （1）对原始数据计算中位数 步骤：数据排序 计算中位数位深
（2）对频数分布表计算中位数
关键： 关键：
表示中位数所在组的精确下限 表示小于中位数所在组下限的频数总和 表示中位数所在组的精确上限 表示大于中位数所在组上限的频数总和 表示中位数所在组的频数
统计心理-第三章 集中量数
例。
XT
ni X i ni
加权平均数
例1：某小学三年级举行英语测验。甲班32名学生的平均 分为72.6，乙班40名学生平均分为80.2，丙班36名学生的 平均分为75分。求全年级英语测验的总平均分数。
xwN1xN 11NN 2x22N N 33x3
加权平均数
例2：某课题组在8个省区进行一项调查，各省区的取样 人数和平均分数见下表，求该项调查的总平均数。
2
中数；若数据个数为偶数时，则 X N 2 X N 2 1 2为中 数。
①求数列4，6，7，8，12的中数。 ②有2，3，5，7，8，10，15，19共8个数，求其中数。
（二）中数的计算方法
（2）一组数据中有重复数值的情况
①当重复数值没有位于数列中间时 求数列5，5，6，10，12，15，17的中数。
集中趋势与离中趋势
集中趋势是指数据分布中大量数据向某方向集中 的程度。
集中趋势与离中趋势
集中趋势是指数据分布中大量数据向某方向集中 的程度。
离中趋势是指数据分布中数据彼此分散的程度。 集中量数与差异量数：描述一组数据集中趋势和
离中趋势的统计量，共同描述一组数据的全貌及 统计特征。 测度集中趋势即寻找数据水平的代表值或中心值 集中量数包括算术平均数、中数、众数、加权平 均数、几何平均数、调和平均数等。
Mo3Md2M
第三节 其他集中量数
一、加权平均数 所得数据单位权重不相等时要使用加权平均数。
k
M WW 1X W 1 1W W 2X 22 W W nnXni
1
W
k
i
W
X
i
i
i1
W为权数，指各变量在构成总体中的相对重要性。
心理统计学第三章集中量数
04 集中量数的计算方法
简单平均数计算方法
总结词
简单平均数是集中量数中最基本的计算方法，它通过将一组数值相加后除以数值 的数量来得出平均值。
详细描述
简单平均数计算公式为 $overline{x} = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} x_i$，其中 $n$ 是数值的数量，$x_i$ 是每一个数值。这种方法适用于数据分布均匀且无异常值的 情况。
对未来研究的展望
01 02
探索新的集中量数
随着数据类型和复杂性的增加，传统的集中量数可能无法满足某些研究 需求。未来研究可以探索新的集中量数，以更准确地描述数据的集中趋 势。
改进现有集中量数的计算方法和性质
现有集中量数的计算方法和性质可能存在一些局限性和不足之处，未来 研究可以尝试改进这些方法和性质，以提高集中量数的准确性和可靠性。
06 总结与展望
总结心理统计学第三章集中量数的要点
集中量数
集中量数是描述数据集中趋势的统计量，用于反映一组 数据的中心位置或典型值。
常见集中量数
常见的集中量数包括算术平均数、中位数和众数等。
算术平均数
算术平均数是所有数值的和除以数值的个数，是最常用 的集中量数之一。它具有线性性和可加性，能够反映数 据的平均水平。
在社集中量数来描述被调查者的社会特征， 例如通过平均年龄和标准差等指标来分析被调查者的社会 经济地位和人口结构。
社会政策制定
政府和社会组织可以利用集中量数来制定社会政策，例如 通过分析不同地区居民的平均收入和收入分布来制定社会 保障政策。
社会问题研究
研究者可以利用集中量数来研究社会问题，例如通过平均 失业率和标准差等指标来分析社会经济不平等和就业状况。
心理统计学第三章 集中量数
有重复数时，需考虑重复数的影响。
例：求11，11，11，11，13，13，13，17， 17的中 数。
分析：N=9，中间位置为5，第5个数为13。
但是数据中有3个13，需要重新考虑。
有3个13，意味着3个13占了一个单位。
第五位的13 ，中数计算（12.5+12.83） /2=12.665
或者12.5+1/3*1/2=12.666
例题3-4 计算加权平均数
省区代码 1 2 3 4 5 6 7 8
人数 平均分数
627
98
268
60
400
82
670
96
411
80
314
65
610
96
500
88
3800
665
解：
62798 268 60 50088
MW
3800
330496 86.97 3800
例题3-5 课堂练习
大。
练习
P79 5-6（10分钟）
第二节 中数与众数
一、中数 中位数又称中点数，中位数，中值，简称中数，用符
号Md 或Mdn表示，是位于按一定顺序排列的一组数 中央位置的数值。 中数是一种位置量数。 能将数据分成较大的一半和较小的一半。
（一）未分组数据的中数计算
1.中数附近无重复数时 若数据个数（N）为奇数时，中数则为（N+1）/2
2.众数的计算 （1）直接观察法 未分组数据——次数最多的数值 次数分布表——次数最多一组的组中值
例题3-3 计算众数
组别 81～ 78～ 75～ 72～ 69～ 66～ 63～ 60～
f
向上累加次数
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(完整版)现代心理与教育统计学
心理统计学第一章概述描述统计定义：研究如何把心理与教育科学实验或调查得来的大量数据科学的科学的加以整理概括和表述作用：使杂乱无章的数字更好的显示出事物的某些特征，有助于说明问题的实质。
具体内容：1数据分组：采用图与表的形式。
2计算数据的特征值：集中量数（平均数中数）离散量数（方差）3计算量事物间的相关关系：积差相关（2列3列多列）推断统计定义：主要研究如何利用局部数据（样本数据）所提供的信息，依据数理统计提供的理论和方法，推论总体情形。
作用：用样本推论总体。
具体内容：1如何对假设进行检验。
2如何对总体参数特征值进行估计。
3各种非参数的统计方法。
心理与教育统计基础概念数据类型一从数据来源来划分1计数数据：计算个数或次数而获得的数据。
（都是离散数据）2测量数据：借助一定测量工具或测量标准而获得的数据。
（连续数据）二根据数据所反映的测量水平1称名数据（分类）定义：指用数字代表事物或数字对事物进行分类的数据。
特点：数字只是事物的符号，而没有任何数量意义。
统计方法：百分数次数众数列联相关卡方检验等。
（非参检验）2顺序数据（分类排序）定义：指代事物类别，能够表明不同食物的大小等级或事物具有的某种特征的程度的数据。
（年级）特点：没有相等单位没有绝对零点。
不表示事物特征的真正数量。
统计方法：中位数百分位数等级相关肯德尔和谐系数以及常规的非参数检验方法。
3等距数据（分类排序加减（相等单位））（真正应用最广泛的数据）定义：不仅能够指代物体的类别等级，而且具有相等的单位的数据。
（成绩温度）特点：真正的数量，能进行加减运算，没有绝对零点，不能进行乘除计算。
统计方法：平均数标准差积差相关Z检验t检验F检验等。
4比率数据（分类排序加减法乘除法（绝对零点））定义：表明量的大小，也具有相等单位，同时具有绝对零点。
（身高反应时）特点：真正的数字，有绝对零点，可以进行加减乘除运算。
在统计中处理的数据大多是顺序数据和等距数据。
三按照数据是否具有连续性离散数据连续数据变量观测值随机变量变量：指心理与教育实验观察调查种想要获得的数据。
心理与教育统计学第3章 集中量数
（3．9b）
公式中:La为中位数所在组的精确上限 fa为中位数所在组上限以上的累积频数 n为数据总数 fMd为中位数所在组的频数 i为组距
表3-7 52名学生数学成绩中位数计算表
成绩 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 45
合计
频数f 2 2 3 5 8 11 9 5 4 2 1 52
次数分布表计算平均数的基本公式：
f1 X C1 f 2 X C 2 f k X Ck X f1 f 2 f k
f
j 1 k j 1
k
j
X Cj
j
1 X fX C N
f
(3.3)
N f f1 f 2 f k
Xc 为分组区间的组中值 f 为各组次数
正态分布的3σ准则
3.1.5 计算和应用算术平均数的 原则
• 同质性原则：算术平均数只能用于表 示同类数据的集中趋势。 • 平均数与个体数值相结合的原则：在 解释个体特征时，既要看平均数，也 要结合个体的数据。 • 平均数与标准差、方差相结合原则： 描述一组数据时既要分析其集中趋势， 也要分析离散程度。
n i Md Lb f b 2 f Md
（3．9a）
公式中:Lb为中位数所在组的精确下限 fb为中位数所在组下限以下的累积频数 n为数据总和 fMd为中位数所在组的频数 i为组距
由上至下累积频数计算公式
n i Md La f a 2 f Md
3.2.2 次数分布表计算中数
• 由次数分布表计算中位数需要用到 累积次数分布表。 • 当表中数据的累积方向不同时，计 算公式也不同。
表3-6 52名学生数学成绩次数分布表
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[学习重点]
集中量数
1.各种集中量数的概念和性质 2.各种集中量数的计算方法 3.各种集中量数的具体应用
第三章
集中量数
集中趋势与离中趋势是次数分布的两个 基本特征。数据的集中趋势就是指数据分布 中大量数据向某方向集中的程度，离中趋势 是指数据分布中数据彼此分散的程度。用来 描述一组数据这两种特点的统计量分别称为 集中量数和差异量数。这两种量数一起共同 描述或反映一组数据的全貌及其各种统计特 征。
算术平均数的计算方法
（1）未分组数据（原始数据）计算法
X X1 X 2 X N X i N N
fX c N
（2）数据分组后（次数分布表）计算法
X
（式中 XC 为各区间的组中值，f 为各区间的次数）
算术平均数的优缺点
算术平均数具备一个良好的集中量数所应具备的一些条件： ① 反应灵敏； ② 严密确定； ③ 简明易懂； ④ 计算简单； ⑤ 适合代数运算； ⑥ 较少受抽样变动的影响。 除此之外，算术平均数还有以下一些特殊的优点： ① 只知一组观察值的总和及总频数就可以求出算术平均数； ② 用加权法可以求出几个平均数的总平均数； ③ 用样本数据推断总体集中量数时，算术平均数最接近总体集中量数的 真值，它是总体平均数的最好估计值； ④ 在计算方差、标准差、相关系数以及进行统计推断时，都要用到它。 但是算术平均数也有一些缺点： ① 易受极端数据的影响； ② 若出现模糊不清的数据时，无法计算平均数。
算术平均数的概念
算术平均数是所有观察值的总和除以总频数所得之商。用
表示。 X
若以 X1，X2，· · · ，XN 表示变量 X 的各个观察值，N 表示 观察值的个数，则算术平均数可表示为：
X1 X 2 X N Xi X N N
算术平均数的特点
（1）在一组数据中每个变量与平均数之差的总和等于0，
一项研究调查了19名大学生，他们的月消费（单位： 思考题
人民币元）如下： 220，227，230，231，232，232，235，236， 237，239，240，245，246，249，253，258， 260，510，600 现欲了解他们的平均月消费？
由于这19名大学生的月消费中存在极端数据，算术平 解：
均数（
元）不能很好地反映他们的平均月消费 X 272.63 （19人中17人月消费低于272.63元），应求中数：
N 1 19 1 10 2 2
（元） Md 239 答：这些大学生的平均月消费是239元。
众数的概念
众数有理论众数和粗略众数两种定义方法。理论众数是指 与次数分布曲线最高点相对应的横坐标上的一点。粗略众数是 指一组数据（或次数分布）中次数出现最多的那个数的数值。
第三章
集中量数
对一组数据集中趋势的度量，就是确定 描述一组数据这种特点的代表性的统计量。 用于描述数据集中程度的统计量，即集中量 数有多种，包括算术平均数、中数、众数、 加权平均数、几何平均数、调和平 中数与众数
第三节
其他集中量数
第一节
算术平均数
一、平均数的计算方法 二、平均数的特点 三、平均数的意义 四、平均数的优缺点 五、计算和应用平均数的原则
即
Xi X 0 。
（2）在一组数据中，每一个数都加上一常数C，则所得的平均数为原 。
来的平均数加常数C，即 X i C X C
N
（3）在一组数据中，每一个数都乘以一常数C，则所得的平均数为原 来的平均数乘以常数C，即 X i C C X
N
。
a
Fb i f Md
或
Fa Md La i f Md
N 2
中数的意义与应用
中数的意义
中数虽然也具备一个良好集中量数所应具备的一些条件，如计算简单，
严密确定，简明易懂；但与算术平均数相比是相形见绌的，如反应不够灵
敏，受抽样的影响较大，不适合代数运算等。因此，在一般情况下，中数 不被普遍应用，但在一些特殊情况下，它的应用受到重视。 中数适用的情况 （1）当一组观测结果中出现两极端数目时； （2）当次数分布的两端数据或个别数据不清楚时； （3）当需要快速估计一组数据的代表值时。
2
数据分组后（次数分布表）求中数的方法
将原始数据整理成次数分布表后，求中数的原理同重复数目求中数是一
样的，也是取序列中将N平分为两半的那一点的值作为中数。
Md Lb
b
N 2
式中 为中数所在分组区间的精确下限， 为中数所在分组区间的精确 L L
上限， 为该组以下各组的累加次数， 为该组以上各组的累加次数， 为 Fa Fb f Md 该组的次数。
算术平均数的意义、适用条件及应用原则
算术平均数的意义
算术平均数是应用最普遍的集中量数，它是“真值”渐近、最佳的估计 值。 算术平均数的适用的条件 一组数据是比较准确，可靠又同质，而且需要每一个数据都加入计算， 同时还要作进一步代数运算时，这时就需要用算术平均数表示其集中趋势。 计算和应用算术平均数的原则 ① 同质性原则； ② 平均数与个体数值相结合的原则； ③ 平均数与标准差、方差相结合的原则。
第二节
中数与众数
一、中数 二、众数 三、平均数、中数与众数的关系
中数的概念
中数是按顺序排列在一起的一组数据中居于中间位置的数，即在这组数据中， 有一半的数据比它大，有一半的数据比它小。中数用Ｍd 表示。
未分组数据（原始数据）求中数的方法
（1）一组数据中无重复数值的情况
指一组数据中没有相同的数，这时取处于序列中间位置的那个数为中数。 1 如果数据个数为奇数，则中数为 N 位置的那个数；如果数据个数为偶数，则 2 N N 1 中数为居于中间位置两个数的平均数，即第 与第 位置的两个数据的平 2 2 均数。 （2）一组数据中有重复数值的情况 指一组数据中有相同数值的数据，这时计算中数的方法基本与无重复数 值的单列数据相同。但根据重复数值数据在该组数据中所处的位置又细分为 以下两种情况： ① 当重复数值没有位于数列中间时，求中数的方法与无重复数据时求中 数的方法相同。 ② 当重复数目位于数列中间时，需要假设位于中间的几个重复数目为连 N 续数目，取序列中上下各 那一点上的数值为中数。