用坐标方法解决立体几何问题
一、用空间向量解决立体几何问题的思路1.坐标法2.基向量法如果在
一、用空间向量解决立体几何问题的思路1．坐标法：2．基向量法如果在所给问题中，不好寻找交于一点的互相垂直的三条直线，或者其坐标难于求出，这时常选图中不共面的三条直线上的线段构造基底，将所给问题的条件和待解决的结论，用基底及其线性表示来表达，通过向量运算来解决．二、空间中的角空间中的角包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角．这些角都是通过两条射线所成的角来定义的，因而这些角的计算方法，都是转化为平面内线与线所成的角来计算的．确切地说，是“化归”到一个三角形中，通过解三角形求其大小．1．异面直线的夹角一般采用平移法，把它们化归到一个三角形中再通过解三角形求得．而利用向量法则可直接运用两直线的方向向量的夹角公式来求得．2．平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是斜线和这个平面内的所有直线所成角中最小的，这个角就是斜线和平面所成的角．3．作二面角的平面角的常用方法有：(1)定义法：根据定义，以棱上任一点为端点，分别在两个半平面内作垂直于棱的两条射线，则形成二面角的平面角．(2)三垂线法：从二面角一个面内某个特殊点P作另一个面的垂线，过垂足A作二面角棱的垂线，垂足为B，连结PB，由三垂线定理得PB与棱垂直，于是∠PBA是二面角的平面角(或其补角)．(3)垂面法：过二面角的棱上一点作平面与棱垂直，分别交两个面的交线，构成二面角的平面角．三、空间的距离1．(1)两点间的距离——连结两点的线段的长度．(2)点到直线的距离——从直线外一点向直线引垂直相交的直线，点到垂足之间线段的长度．(3)点到平面的距离——从平面外一点向平面引垂线，点到垂足间线段的长度．连接平面α外一点与平面α内任一点的线段中，垂线段最短．(4)平行直线间的距离——从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线，这点到垂足间线段的长度．(5)异面直线间的距离——两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度．(6)直线与平面间的距离——如果一条直线和一个平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线，这点到垂足间线段的长度．(7)两平行平面间的距离——两个平面的公垂线段的长度．2．求距离的一般方法和步骤求距离的思想方法和步骤与求角相似，其基本步骤是：①找出或作出有关距离的图形；②证明它符合定义；③在平面图形内计算．空间中各种距离的计算，最终都要转化为线段长度，特殊情况也可以利用等积法．四、平面的法向量1．如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．2．求平面的法向量的方法二、用空间向量研究空间线面的平行与垂直关系1．用向量方法研究两直线间的位置关系设直线l1、l2的方向向量分别为a、b.(1)l1∥l2或l1与l2重合⇔a∥b⇔存在实数t，使a＝t b.(2)l1⊥l2⇔a⊥b⇔a·b＝0.2．用向量方法研究直线与平面的位置关系设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，v1、v2是与α平行的两个不共线向量．(1)l∥α或l⊂α⇔存在两个实数λ、μ，使a＝λv1＋μv2⇔a·n＝0.(2)l⊥α⇔a∥n⇔存在实数t，使a＝t n.l⊥α⇔⎩⎨⎧a⊥v1a⊥v2⇔⎩⎨⎧a·v1＝0a·v2＝03．用向量方法研究两个平面的位置关系设平面α、β的法向量分别为n 1、n 2.(1)α∥β或α与β重合⇔n 1∥n 2⇔存在实数t ，使n 1＝t n 2. (2)α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0.若v 1、v 2是与α平行的两个不共线向量，n 是平面β的法向量．则①α∥β或α与β重合⇔v 1∥β且v 2∥β⇔存在实数λ、μ，对β内任一向量a ，有a ＝λv 1＋μv 2. ②α⊥β⇔⎩⎨⎧n ⊥v 1n ⊥v 2⇔⎩⎨⎧n ·v 1＝0n ·v 2＝0三、用向量法求空间的角 1．求异面直线所成的角设l 1与l 2是两异面直线，a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量，l 1、l 2所成的角为θ，则〈a ，b 〉与θ相等或互补， ∴cos θ＝|a ·b ||a |·|b |. 2．求直线与平面所成的角如图，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n |.3．求二面角平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，<n 1，n 2>＝θ，则二面角α－l －β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|.※四、用向量法求空间距离 1．求点到平面的距离如图所示，已知点B (x 0，y 0，z 0)，平面α内一点A (x 1，y 1，z 1)，平面α的一个法向量n ，直线AB 与平面α所成的角为φ，θ＝〈n ，AB →〉，则sin φ＝|cos 〈n ，AB →〉|＝|cos θ|.由数量积的定义知，n ·AB →＝|n ||AB →|cos θ，∴点B 到平面α的距离d ＝|AB →|·sin φ＝|AB →|·|cos θ|＝|n ·AB →||n |.2．求异面直线间的距离如右图，若CD 是异面直线a 、b 的公垂线，A 、B 分别为a 、b 上的任意两点，令向量n ⊥a ，n ⊥b ，则n ∥CD .则由AB →＝AC →＋CD →＋DB →得，AB →·n ＝AC →·n ＋CD →·n ＋DB →·n ，∴AB →·n ＝CD →·n ∴|AB →·n |＝|CD →|·|n | ∴|CD →|＝|AB →·n ||n |∴两异面直线a 、b 间的距离为d ＝|AB →·n ||n |.3．求直线到平面的距离设直线a ∥平面α，A ∈a ，B ∈α，n 是平面α的法向量，过A 作AC ⊥α，垂足为C ，则AC →∥n ，∵AB →·n ＝(AC →＋CB →)·n ＝AC →·n，∴|AB →·n |＝|AC →|·|n |.∴直线a 到平面α的距离d ＝|AC →|＝|AB →·n ||n |.4．求两平行平面间的距离(1)用公式d ＝|AB →·n ||n |求，n 为两平行平面的一个法向量，A 、B 分别为两平面上的任意两点．(2)转化为点面距或线面距求解．。
坐标法解立体几何
（一）本周学习与研究中的三个重点（一）本周学习与研究中的三个重点1、空间右手直角坐标系及其在空间右手直角坐标系下的向量坐标运算．、空间右手直角坐标系及其在空间右手直角坐标系下的向量坐标运算．空间直角坐标系是在仿射坐标系的基础上，选取空间任意一点O 和一个单位正交基底{}（按右手系排列）建立的坐标系．具体选择坐标系时，注意O 点的任意性，一方面既要有利于作图的直观性，另一方面又要注意有关要求点的坐标容易表示．有关要求点的坐标容易表示．在空间右手直角坐标系下的点，在空间右手直角坐标系下的点，向量坐标是唯一的，向量坐标是唯一的，向量坐标是唯一的，这一点的理解和证明可仿照向量分解定理的唯一性理解和证这一点的理解和证明可仿照向量分解定理的唯一性理解和证明．由此说明相等的向量其坐标是唯一的，这为后面的解题中常常需要进行向量的平移提供理论依据．明．由此说明相等的向量其坐标是唯一的，这为后面的解题中常常需要进行向量的平移提供理论依据．空间向量的坐标运算，加法、减法和数量积等与平面向量类似，具有类似的运算法则，同学们学习中可类比的学习．虽然一个向量在不同空间的表达方式不同，但其实质没变，即向量在平面上是用唯一确定的有序实数对表示，即=(x,y)，而在空间则用唯一确定的有序实数组表示，即=(x,y,z)．如向量的数量积在二维、三维空间都是这样定义的．不同点仅是向量在不同空间具有不同的表达形式．如在平面上,,在空间=(a 1,a 2,a 3), ，不论在平面或空间都有．2、空间两向量平行、垂直的充要条件、空间两向量平行、垂直的充要条件空间两向量平行时与平面两向量平行的表达式不一样，但实质是一致的，即对应坐标成比例，且比值为λ，空间两向量垂直的充要条件形式与平面向量里类似，仅多了一项基向量而已．两向量垂直的充要条件形式与平面向量里类似，仅多了一项基向量而已．3、空间两向量的夹角公式，距离公式，中点坐标公式、空间两向量的夹角公式，距离公式，中点坐标公式（1）（2）（3）为AB 的中点，的中点，则由可知夹角公式在平面向量正文里没有涉及，但可根据数量积的定义推出．这里应注意两向量夹角范围是：0°≤θ≤180°，当θ=0°时，表示两向量为同向共线向量，当θ=90°时，表示两向量垂直，当θ=180°时，表示两向量为反向共线向量．量为反向共线向量．两点间的距离公式是长度公式的推广．其推导过程是首先根据向量的减法，推出向量的坐标表示，然后再用长度公式推出．长度公式推出．这几个公式都与坐标原点的选取无关．这几个公式都与坐标原点的选取无关．（二）本周学习与研究中的两个难点（二）本周学习与研究中的两个难点1、空间任意一点的坐标确定、空间任意一点的坐标确定空间任一点P的坐标确定办法如下：过P分别作三个坐标平面的平行平面（或垂面），分别交坐标轴于A、B、C三点，|x|=OA，|y|=OB，|z|=OC，当方向相同时，x>0，反之x<0，同理，可确定y、z．具体理解，可以以长方体作为模型，以其一共点的三条棱，建立空间直角坐标系来理解．方体作为模型，以其一共点的三条棱，建立空间直角坐标系来理解．这其中同学们应准确判断一点在各坐标平面内的射影的坐标，并比较它们间的关系，以及一些特殊点，如落在坐标轴上的点的坐标形式等．标轴上的点的坐标形式等．2、距离公式，夹角公式的应用、距离公式，夹角公式的应用应用距离公式、夹角公式解决立体几何问题，关键在于选择建立适当的空间直角坐标系．它们在立体几何中的应用有：计算两异面直线所成角时，当用几何方法较困难时，可以建立适当的空间直角坐标系后，利用向量方法求解，此时应注意异面直线所成的角的范围与向量夹角范围的区别；求线段的长度时，有时用几何方法较难构造三角形，此时，可考虑应用向量方法，表示出线段两端点的坐标，然后再用两点间的距离加以解决．时，可考虑应用向量方法，表示出线段两端点的坐标，然后再用两点间的距离加以解决．。
立体几何点的求法
立体几何点的求法立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的数学分支。
在立体几何中，点是最基本的元素，而求解点的位置是解决许多立体几何问题的关键。
下面将介绍立体几何点的求法。
一、坐标表示法在三维坐标系中，每个点都可以用一组有序数表示其位置。
这组有序数就是该点在三个坐标轴上的坐标值。
设一个点P(x,y,z)，其中x、y、z分别为该点在x轴、y轴和z轴上的坐标值，则P可以表示为一个有序三元组(x,y,z)。
利用坐标表示法可以求解两个点之间的距离。
设两个点P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)，则它们之间的距离d为：d = √[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2]二、向量表示法向量是指具有大小和方向的量，用箭头来表示。
在三维空间中，每个向量都可以用一个有序三元组(a,b,c)来表示。
利用向量表示法可以求解线段或线段所在直线上某一点的位置。
设一个线段AB，其起始端点为A(x1,y1,z1)，终止端点为B(x2,y2,z2)，则该线段的向量为：AB = (x2-x1, y2-y1, z2-z1)如果需要求解线段AB上距离A点m倍长度的点P，则可以用以下公式计算P的坐标值：P = A + m(AB)其中，m为实数。
三、平面方程表示法平面是指在三维空间中，由无限多个点组成的一个二维图形。
在立体几何中，平面通常用方程表示。
设一个平面P，其方程为ax+by+cz+d=0。
其中a、b、c是平面法向量的三个分量，d是平面与原点的距离。
对于一个给定的点Q(x,y,z)，如果Q在该平面上，则有：ax+by+cz+d=0如果需要求解过三个已知点A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)和C(x3,y3,z3)的平面方程，则可以用以下公式计算a、b、c和d：a = (y2-y1)(z3-z1)-(z2-z1)(y3-y1)b = (z2-z1)(x3-x1)-(x2-x1)(z3-z1)c = (x2-x1)(y3-y1)-(y2-y1)(x3-x1)d = -ax_0-by_0-cz_0其中，(x_0, y_0, z_0)为三个点的重心坐标。
空间立体几何坐标法向量法求线面交点坐标-概述说明以及解释
空间立体几何坐标法向量法求线面交点坐标-概述说明以及解释1.引言1.1 概述空间立体几何是数学中的一个重要分支，它研究三维空间中的几何结构和性质。
在空间立体几何中，线和面是两个基本的几何元素，线面交点坐标的求解是一个常见且重要的问题。
本文主要介绍了两种方法来求解线面交点的坐标：坐标法和向量法。
通过这两种方法，可以方便地求解线面交点的坐标，进而解决一些实际问题。
通过本文的学习，读者将能够掌握空间立体几何中线面交点坐标的求解方法，为进一步深入学习和应用空间几何提供了基础。
同时，本文还将探讨线面交点坐标的应用和展望，展示其在现实生活中的重要性和价值。
1.2 文章结构:本文主要分为引言、正文和结论三部分。
引言部分将从概述、文章结构和目的三个方面介绍本文的主要内容和研究背景。
正文部分将分为三个小节，首先是关于空间立体几何概念的介绍，接着是详细讨论如何利用坐标法求解线面交点坐标的方法，最后则是向量法求解线面交点坐标的具体过程。
结论部分将总结本文的主要观点和研究成果，探讨该方法的应用前景，并进行最终的结语。
1.3 目的:本文旨在介绍如何利用空间立体几何中的坐标法和向量法来求解线面交点坐标的方法。
通过深入讨论这两种方法的原理和步骤，我们希望读者能够更加深入地理解空间几何中的相关概念，并能够灵活运用这些方法解决实际问题。
通过掌握线面交点坐标求解的技巧，读者能够提升空间几何解题的效率和准确性，同时也能够为进一步学习和研究提供一定的参考和指导。
希望本文能够为读者提供一定的启发和帮助，让大家在空间几何学习中取得更好的成绩和收获。
2.正文2.1 空间立体几何概念空间立体几何是几何学中研究三维空间中图形与几何体的一门学科，是平面几何的延伸和拓展。
在空间立体几何中，我们不再局限于研究平面上的图形，而是考虑到三维空间中的物体和结构。
在空间立体几何中，我们研究的主要对象包括点、线、面和体。
点是空间中的一个位置，用于确定空间中的一个具体位置；线是由无数个点按照一定规律连成的直线段；面是由无数个点和线按照一定规律组成的平面图形；而体则是由无数个面组成的一个三维实体。
解说立体几何中的“坐标法”
解说立体几何中的“坐标法”江苏省姜堰中学张圣官（225500）空间直角坐标系是现行高中数学新增加的内容，在使用上就是把空间的点、向量先用坐标表示，然后利用坐标来计算有关角的大小与线段的长度，或者判断与证明线线、线面以及面面的位置关系。
利用“坐标法”解（证）立体几何题，所作的辅助线明显比纯几何推理需要作的要少，且思路简单明了，更易于程序化来解题。
用“坐标法”解题是数与形结合的典范，它特别适用于易于建立空间直角坐标系的图形（如正方体等）。
下面分别介绍在空间直角坐标系中如何确定点的坐标、常见特殊点的坐标特点及利用“坐标法”解（证）立体几何题的步骤。
一、如何确定空间点的坐标空间点的坐标是有序实数对(x,y,z)，其中的三数x,y,z包含坐标的符号与坐标的绝对值。
要确定一个点的坐标，应先判断三个坐标的符号，然后再确定三个坐标的绝对值。
1．点的坐标的符号判断点在坐标平面上的射影位于坐标轴的正方向，则这点对应的坐标的符号为正，否则符号为负。
如点位于x轴正方向，则横坐标为正；点位于z轴负方向，则竖坐标为负。
2．点的坐标的绝对值确定过这个点向三个坐标平面作垂线，看垂线段平行于哪个轴，则这条线段的长度就是该点的绝对值。
如这条垂线段平行于y轴且长度为a，则点的纵坐标的绝对值是a；如这条垂线段平行于z轴且长度为a，则点的竖坐标的绝对值是a 。
二、常见特殊点的坐标特点1．坐标轴上点的坐标的特点①x轴上的点的纵坐标和竖坐标均为0，形如（a，0，0）；②y轴上的点的横坐标和竖坐标均为0，形如（0，a，0）；③z轴上的点的横坐标和纵坐标均为0，形如（0，0，a）。
2．坐标平面上点的坐标的特点①XOY平面上所有点的竖坐标是0，形如（a，b，0）；②YOZ平面上所有点的横坐标是0，形如（0，a，b）；③ZOX平面上所有点的纵坐标是0，形如（a，0，b）。
三、利用“坐标法”解（证）立体几何题的步骤第一步，建立坐标系通常取垂直且相交于同一点的三条直线作为三条坐标轴，它们的交点作为原点，并选取适当的单位长度；第二步，表示点的坐标将题中相关点（即在问题中出现的且要求的点）用坐标表示，这一步是解（证）题的关键；第三步，表示向量的坐标根据点的坐标可以求出所需要的向量的坐标，即用向量终点的坐标减去起点的坐标；第四步，求出问题的解将点或向量的坐标代入公式（如两向量的夹角公式等）；第五步，作出结论根据上一步所求得的结果，作出问题的正确结论。
坐标法求立体几何题“四步曲”
\ 槡 迄 (槡, —x + y — 2 =0 , 取 y = 1 得 m =
1, 0).
] 迄 —4 =0.
烄 何仃= , MN = 0
—
0
烆狀 烄 狇 厂 狀 且
DN 所以 槡
，取 =—1得 = (2,0,—1).
烆 狆一 厂 A1N = 0.
— 2 =专题突破
微专题突破
坐标法 求立体 几何题“四步曲
南京市第九中学张荣彬
。乜 狓 、狔 、狕 犼 在空间直角坐标系 w中，分别取与 轴 轴 轴方向相同的单位向量i, ，k 狓 作为基底，对于空间任意一个向量a,根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组( ， 狔 狕 狓 狔 狕 ， ),使a=xi+yj +zk，则称( ， , )为向量a的坐标.空间向量的坐标化，为我们证明
“ 图形中的对称关系建系.不管何种情形，都是要利用、发现或构造图形中 三垂直”的关系. (1) ； 题目的背景是长方体、正四棱柱、正方体、直角四面体时，建系无悬念
(2) 正棱锥可以利用底面中心及高所在的直线建系；底面是菱形的直四棱柱，如例1,可
利用所给的菱形特征或利用菱形对角线性质(如图3)来建系；对于正三棱柱通常可以参照图
一
得
• DE = 0
+ +4c = 0, 取
=0,
, 広 , / c = 1得k = (4, 0, 1),由于k • MN = 0 因MN 平面C】DE 所以MN 平面C】DE.
犿 狕 狀 狆 厂 (2)设 = (x, y , )为平面A1MA的法向量， =( ，q , )为平面A1MN的法向量
烄 D \m • A1M = 0,
D
数学解决立体几何问题的四种常用方法
数学解决立体几何问题的四种常用方法数学作为一门科学，其应用范围及其广泛。
在解决现实生活中的各种问题中，立体几何问题是其中之一。
在本文中，将介绍数学解决立体几何问题的四种常用方法，分别是平面几何方法、向量法、投影法和立体坐标法。
一、平面几何方法平面几何方法是解决立体几何问题最常用的方法之一。
该方法的基本思想是将立体几何问题转化为平面几何问题来求解。
具体来说，可以通过绘制立体几何图形的几个视图，将其分解为多个平面几何图形，然后利用平面几何中的定理和性质进行求解。
例如，对于一个立方体求其体积，可以将其展开成一个平面图形，然后计算出展开图形的面积。
再根据立方体的性质，将展开图形的面积乘以立方体高度所得的积即为立方体的体积。
二、向量法向量法是一种几何分析方法，可以有效地解决立体几何问题。
该方法利用向量的运算和性质，将立体几何问题转化为向量计算问题来求解。
在利用向量法解决立体几何问题时，首先需要确定坐标系，并定义几何体的位置和方向。
然后，通过向量运算来计算几何体的性质。
例如，对于一个平行六面体的体积，可以通过计算其底面向量与高度向量的叉积来求解。
三、投影法投影法是解决立体几何问题的另一种常用方法。
该方法利用几何体在不同平面上的投影关系，将立体几何问题转化为投影几何问题来求解。
具体来说，可以通过绘制几何体在不同平面上的投影图形，并利用投影几何的定理和性质进行求解。
例如，对于一个棱柱在某个平面上的截面积，可以通过计算棱柱的投影图形在该平面上的面积来求解。
四、立体坐标法立体坐标法是一种通过引入三维坐标系来解决立体几何问题的方法。
该方法通过确定几何体的坐标，将立体几何问题转化为坐标几何问题来求解。
在利用立体坐标法解决立体几何问题时，首先需要建立一个三维坐标系，并确定几何体的坐标。
然后，通过坐标运算来计算几何体的性质。
例如，对于一个球体求其体积，可以根据球体的坐标及其半径，利用坐标运算公式计算出体积。
总结起来，数学解决立体几何问题的常用方法有平面几何方法、向量法、投影法和立体坐标法。
例说用坐标法解立体几何问题
(5) 点到平面的距离
空 间距离多可转化为点面距离， 用坐标 方 法求点面距离其一般步骤为: 先确定平面 a 的一个法向量n ， 点尸是平面a 内的任意一点，
那 点 。 平 “ 距 为 一i 书丫卫 么 P到 面的 离 “ '
即 P
对值.
_ _. _ _
“_ 、. _ _
}P
. nl
在平面。 法向 方向 的 量n 上投影的 绝
刀 户= x 石 y 刀 ， 从而 杏+ 老
瓦 育= DIP + x赫 + y庞 ，
由 蔺 土万 ， 刀 刀 杏 ;育土刀 定x,y 的 老确 值， 最 计 后 算ID} I 即 点 到 BDE 的 离 9 为 D， 面 距 .
例 2 (2004 年天津卷理) 如图3， 在四棱
锥 尸一ABCD 中， 底面ABCD 是正方形， 侧棱 P D 土 底面 ABCD ,P D = DC ,E 是 P C 的中 点， EF 土 P B 交 P B 于点F . 作
2006 年第6 期
中学数 学
例 说 用坐 标法 解 立 放 n 何 问题
225002 江苏省扬州大学附属中学 昌 明 (垂直) 的判定. 此外， 平面与平面的平行也可用共面向 量定理证得. 《 普通高中数学课程标准》 将空间向量引 入中学数学， 并用它研究空间线、 面的位置关 系， 计算空间角与距离， 使几何 问题代数化， 与立体几何传统的解法相比较， 向量法降低 了对 图形的处理技巧， 也不需要很强的逻辑 推理， 为解决立体几何 问题注入 了新的活力. 空间线面位置关系的判定、 空间角与距 离的计算是立体几何的重要内容， 也是历届 高考的重点和热点. 近年来， 随着空间向量的 普及与推广， 利用向量解决立体几何问题 已 越来越受到重视， 尤其是利用坐标方法证明 平行、 垂直问题， 进行空间角与距离的计算 已 成为近年来考查学生运用向量方法解决立体 几何问题的重点. 本文通过数例， 谈谈用坐标 法求解立体几何问题的常规解题思路. 我们可以把立体几何问题大体上分为两 类: 一类是空间线、 面的位置关系; 另一类是 空间角与距离的计算.
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P
(3)求二面角C-PB-D的大小。
F
E
D
C
A B
解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点， 设DC=1
(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG
依题意得A(1,0,0), P(0,0,1),
Z
11
E(0, , ) 22
P
因为底面ABCD是正方形， 所以点G是此正方形的中心，
解：如图，以A为 点原点，平A面BC为xAy坐标
平面A，B方向为y轴正方向A， B为y轴的单位长
建立空间直角坐标 Ax系 y,z则正三角形的顶点
坐标分别A为(0,0,0),B(0,1,0),C( 3, 1,0). 22
z
F
F
1
3
C
F
2
O
A
B
y
x
500kg
例2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， 侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作 EF⊥PB交PB于点F.
A
D
O
B
E
C
如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质量
为 500kg ，在它的顶点处分别受力 F1, F2, F3 ， 每个力与同它相邻的三角形的两边之间的
角都是 60 ，且 F1 F2 F3 200kg .这块钢
板在这些力的作用下将会怎样运动？这三
个力最小为多少时，才能提起这块钢板？
F3
F1
C
F2
O
A
500kg B
F
E
故点G的坐标为(1 , 1，0) 22
A X
D
G
B
C Y
如图，在四面体 A BCD 中， O, E 分别是 BD, BC 的中点， CA CB CD BD 2, AB AD 2 求证： （1） AO 平面BCD （2）求异面直线 AB与CD 所成角的余弦值 （3）求点 E 到平面 ACD 的距离。