第三讲 函数与方程、函数模型及其应用

第3讲│ 要点热点探究
[点评] 本题给出了函数的模型，但函数模型中含有未知 参数，需要根据已知的试验数据确定未知参数，这也是高考 中命制函数建模试题常见的方式之一．在使用导数求解定义 域有限制的函数的极值时，一般是先把函数的单调性和极值 点求出，再根据函数极值点与函数定义域的相对位置关系进 行分类讨论，讨论的标准是函数的极值点在函数定义域内与 不在函数的定义域内．实际问题中的函数大多是单峰函数， 即在问题的实际范围内函数只有一个极值点，那么这个极值 点就是最值点．
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变式题
x＋1，x≤0， (1)已知函数 f(x)＝ log2x，x>0，
则函数 y＝f[f(x)
＋1]的零点个数是( A．2 B．3
) C．4
D．5
(2)当直线 y＝kx 与曲线 y＝e|lnx|－|x－2|有 3 个公共点时， 实数 k 的取值范围是( ) A．(0,1) B．(0,1] C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
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[答案] (1)B (2)D
[解析] (1)法一：∵f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上单调递增， 且f(0)×f(1)＝－1×1＝－1<0，∴函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1) 上有一个零点． 法二：将2x＋x3－2＝0化为2x＝2－x3，在同一坐标系内 画出y＝2x与y＝2－x3的图象，如图所示，结合图象可知函数 f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上有一个零点．
第3讲 │ 主干知识整合
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第3讲 │ 主干知识整合
1.函数的零点与方程的根 (1)函数的零点与方程根的关系：函数y＝f(x)的零点就是 方程f(x)＝0的实数根，即函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横 坐标．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 ⇔函数y＝f(x)有零点． (2)二分法：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)· f(b)<0的 函数y＝f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在的区间一分为 二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值 的方法叫做二分法．
第3讲│ 要点热点探究
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► 探究点一 函数的零点和方程根的分布 例1 (1)[2012· 天津卷] 函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内 的零点个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，当x 2 ∈[－2,0]时，f(x)＝ x－1，若在区间(－2,6]内关于x的方程 2 f(x)－loga(x＋2)＝0(a>0且a≠1)恰有4个不同的实数根，则实 数a的取值范围是( ) 1 A.4，1 B．(1,4) C．(1,8) D．(8，＋∞)
第3讲 │ 二轮复习建议
预计2013年上述情况会得到延续，但出现变化的可能性 也很大，即有可能直接考查函数的零点，可能在选择题或者 填空题中直接考查函数建模，或者在解答题中以函数建模、 导数解模为主考查函数模型及其应用． 复习建议：该讲的重点是函数与方程的关系，函数零点 的存在性定理，函数建模的基本方法，导数在解决函数模型 中的应用，复习时要围绕这两个重点内容展开．在第一个点 上要注意以数形结合思想为指导，引导学生掌握解决问题的 方法；在第二个点上要注意建模的一般过程的训练，使学生 掌握函数建模的基本方法．
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1 ＋x－2，0<x<1； x |lnx| (2) y＝e －|x－2|＝2x－2，1≤x<2； 2，x≥2.
画出这个函
数的图象以及函数y＝kx的图象如图，如果两个函数图象有3个 公共点，则直线的斜率必须介于0,1之间．(本题主要是分段函 数与数形结合思想)
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51 解：(1)当x＝10时，y＝9.2，即 ×10－a×102－ln1＝ 50 1 51 x2 x 9.2，解得a＝ ，∴f(x)＝ x－ －ln . 100 50 100 10 x 1 12t ∵ ≥t且t> ，∴6<x≤ ，即投入x的取值范围是 2 2x－12 2t－1 12t 6， 2t－1. x －51x＋50 51 x 1 (2)对f(x)求导，得f′(x)＝ － － x ＝－ ＝－ 50 50 50x x－1x－50 .令f′(x)＝0，得x＝50或x＝1(舍去)， 50x
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[答案] (1)C (2)A
[解析] (1)f(x)＝0时，x＝－1或x＝1，故f[f(x)＋1]＝0 时，f(x)＋1＝－1或1.当f(x)＋1＝－1，即f(x)＝－2时，解得x 1 ＝－3或x＝ ；当f(x)＋1＝1，即f(x)＝0时，解得x＝－1或x＝1. 4 故函数y＝f[f(x)＋1]有四个不同的零点．
专题一 集合与常用逻辑用语、 函数与导数、不等式
第1讲 集合与常用逻辑用语 第2讲 函数、基本初等函数 Ⅰ的图象与性质 第3讲 函数与方程、函数模 型及其应用 第4讲 不等式与简单的线性 规划 第5讲 导数在研究函数性质 中的应用
第3讲 函数与方程、函数 模型及其应用
第3讲 │ 云览高考
[云览高考]
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[点评] 函数的零点、方程的根，都可以转化为函数图象 的交点，数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点 个数、方程根的个数的一个有效方法．在解决函数零点问题 时，既要注意利用函数的图象，也要注意根据函数的零点存 在性定理、函数的性质等进行相关的计算，把数与形紧密结 合起来．
第3讲│ 要点热点探究
(2)由f(2＋x)＝f(2－x)得f(4＋x)＝f(－x)，再根据函数是偶函数 得f(4＋x)＝f(x)，故函数f(x)是周期为4的函数．由于函数在[－2,0]上 2x 的解析式为f(x)＝ －1，所以函数在(0,2]上的解析式为f(x)＝ 2 2 －x －1，作出函数在[－2,2]上的图象，根据周期性把函数图 2 象拓展到区间(－2,6]上，再画出函数y＝loga(x＋2)的图象．显然在 0<a<1时，两个函数图象只有一个交点，不符合要求；当a>1时，要 使两个函数的图象有4个公共点，只要f(6)>loga(6＋2)即可， 2－(6－4) 即 －1>loga8，即loga8<1，即a>8.(注意区间的端点值) 2
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[点评] 用二分法求方程近似解时，每一次取中点后，下 一个有根区间的判断原则是：若中点函数值为零，则这个中 点就是方程的解，若中点函数值不等于零，则下一个有根区 间是中点与和这个中点函数值不同号的端点组成的区间．在 用二分法求方程的近似解时，有时需要根据精确度确定近似 解．
第3讲│ 要点热点探究
命题角度：从五年来课程标准卷的考情看，该部分的命题 通常围绕两个点展开．第一个点是围绕函数图象的交点展开， 通过函数图象的交点问题命制综合性较强的试题，如2011年的 1 试题是求“函数y＝ 的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的 x－1 图象所有交点的横坐标之和”，把函数的零点问题以图象的交 点坐标的形式进行表述，而不直接给出函数考查函数的零点(五 年没有一次提到函数零点问题)；第二个点是围绕函数建模展 开，一般是解答题的一个部分，特别值得指出的是课程标准卷 五年来考查的两次函数建模都是与概率统计交汇进行的，这是 课程标准卷的一个命题特点．
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2．函数模型 解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模 型，并要注意定义域．其解题步骤是：(1)审清题意：分析 出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数 学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关 系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学 结果；(4)检验数学结果是否满足实际情况；(5)实际问题作 答：将数学问题的结果转译成实际问题作出解答.
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变式题 某集团为了获得更大的利润，每年要投入一定的 资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费 t(百万元)可增加 销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)． (1)若该集团将当年的广告费控制在三百万元以内， 则应投 入多少广告费，才能使集团由广告费而产生的收益最大？ (2)现在该集团准备投入三百万元， 分别用于广告促销和技 术改造．经预算，每投入技术改造费 x(百万元)，可增加的销 1 3 售额约为－ x ＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案， 3 使该集团由这两项共同产生的收效最大．
2
第3讲│ 要点热点探究
当x∈(6,50)时，f′(x)>0，且f(x)在(6,50)上连续，因此，f(x) 在(6,50)上是增函数； 当x∈(50，＋∞)时，f′(x)<0，且f(x)在(50，＋∞)上连续， 因此，f(x)在(50，＋∞)上是减函数． ∴x＝50为极大值点． 1 25 12t 当 ≥50，即t∈ 2，44 时，投入50万元改造时旅游取得最 2t－1 大增加值； 25 12t 12t ，＋∞ 时，投入 当6< <50，即t∈ 44 万元改造时旅 2t－1 2t－1 游取得最大增加值．
第3讲│ 要点热点探究
[思考流程] (1)(条件)点(10,9.2)在函数图象上，且
x 2x－12
1 ≥t> ⇨ (目标)求出a值与x的取值范围 ⇨ (方法)解方程、解不 2 等式； (2)(条件)函数解析式 ⇨ (目标)求函数的最大值对应的自 变量 ⇨ (方法)求导后根据函数定义域和极值点进行讨论．
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[答案] [1.5,2]
1 [解析] 令f(x)＝lnx－x， 1 2 f(1)＝－1<0，f(2)＝ln2－ ＝ln >ln1＝0，f(1.5)＝ 2 e 2 1 ln1.53－2 ，因为1.53＝3.375，e2>4>1.53，故 ln1.5－ ＝ 3 3 1 1 3 f(1.5)＝ (ln1.5 －2)< (lne2－2)＝0，f(1.5)f(2)<0，下一个有 3 3 根区间是[1.5,2]．