关于求余数问题的一个简单方法
妙用弃数法求余数
妙用弃数法求余数作者：黄旭军来源：《数学大王·中高年级》2019年第11期今天的数学课上到最后，老师出了这样一道思考题：现共有红珠子、白珠子、黑珠子2004颗，按1红、2白、2黑的顺序排列。
第1176颗珠子是什么颜色？班里的“小调皮”马上举手：“老师，这是个周期问题。
每5颗珠子为一个周期，所以只要用2004除以5，再求余数，就可以知道了。
”老师说：“说得好，现在大家来比比谁做得快！”同学们一听要比速度，纷纷拿出草稿纸列起了除法竖式，才写到一半，数学课代表就举手了。
“不会吧？”同学们都惊呆了。
老师示意数学课代表讲方法。
课代表得意地说：“我们只要求余数，不必大动干戈列竖式！我有更好的方法，这里求1176除以5的余数，因为1175除以5没有余数，所以1176-1175=1，1就是余数！”同学们一算，果真如此！老师带头鼓掌，边表扬边总结道：“只求余数时，可以弃掉一些能够整除的数，无论弃掉多少，都不会改变余数的大小。
接下来，我们再来进一步体会一下这个“弃数法”的奇妙之处。
例1 下面图形按◇△☆的顺序排列，第691823个是什么图形？◇△☆◇△☆◇△☆◇△☆◇△☆◇△☆◇△☆……已知要求的是第691823个图形，三个图形构成的周期是◇△☆，只要用691823除以3，再求余数就可以了。
我们可以用列竖式的方法来解决问题。
求得余数是2，所以第691823个图形，也就是◇△☆中的第二个图形△。
用691823除以3求余数，可以弃掉3的倍数，因为一个数各个数位上的数都是3的倍数，这个数就是3的倍数。
我们先弃掉高位上的6和9再弃掉1和8因为一个数的各个数位上的数字之和是3的倍数，这个數就是3的倍数，所以这里1+8=9也必能被3整除。
例如21与12，207与702等都是3的倍数。
再弃掉3无论23还是32，各个数位上的数字和都是2+3=5。
而去掉3之后，只剩下十位上的“2”，所以余数是2，对应的图形是△。
答：第691823个图形是△。
五年级奥数-数论之余数问题
数论之余数问题余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b=q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：(1)当时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理0r =0r ≠a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m 同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
行测余数问题万能技巧
带余除法。
一般地，如果.α是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，使得α÷b＝q……r或α＝b×q＋r当r=0时，我们称α能被b整除。
当r≠0时，我们称α不能被b整除，r为α除以b的余数，q为α除以b的不完全商(也简称为商)。
带余除法最关键就是理清被除数、除数、商、余数的关系，特别需要注意的是，余数肯定小于除数。
出题者常常会在这里设置陷阱。
㈡余数周期。
这其中又分为递推数列（给一串数，要求第χ个数除以某个数的余数）和n次幂（求一个数的n次方除以某个数的余数）相关的余数问题，处理这两类问题一个最直接的做法就是找规律，因为它们除以某数的余数都是有周期的。
例如，求3130÷13的余数。
例如尖子班作业1。
㈢同余问题。
1、什么是“同余”？整数α和b除以整数c，得到的余数相同，我们就说整数α、b对于模c同余。
记作：α ≡b （mod c）例如：15÷4＝3 (3)23÷4＝5 (3)15和23对于除数4同余。
记作：15 ≡23 （mod4）可以理解为15和23除以4的余数相同。
2、“同余”的四个常用性质是什么？同余性质1：如果α ≡ b (mod m)，则m︱（α－b）若两数同余，他们的差必是除数的倍数。
例如，73 ≡23 (mod 10)则10︱（73－23）73与23的差是10的倍数。
同余性质2：如果α ≡ b (mod m)，c ≡d (mod m),则α ± c ≡ b ± d (mod m)两数和的余数等于余数的和。
两数差的余数等于余数的差。
例如，73 ≡3 (mod 10)84 ≡4 (mod 10)73+84 ≡3+4≡ 7 (mod 10)84－73≡4－3≡1 (mod 10)同余性质3：如果α ≡ b (模m)，c ≡d (模m),则α × c ≡ b×d (模m)两数积的余数等于余数的积。
第四讲 余数问题
第四讲余数问题在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。
（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。
例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。
注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。
注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。
将5056分解质因数，得到5056=26×79。
由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2 被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
小学奥数 余数问题 完整版教案带解析和答案
数论问题之余数问题教学目标余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
三大余数定理：1、余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2、余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、弃九法原理而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。
余数的妙用一
余数的妙用一一、考点，难点回顾1、知道余数求被除数（最大、最小）2、知道除数、商，求余数和被除数（最大、最小）3、利用这种思想解决其他问题（平均分配）二、知识点回顾同学们已经学会了有余数的除法,在有余数的除法里,余数要比除数小.利用有余数的除法里的余数，可以解决许多有趣的实际问题. 就看你会不会巧妙地应用了.要解决除数最小、余数最大的问题. 最主要是要掌握除数和余数的关系, 余数必须比除数小,即除数必须比余数大, 掌握了这一点才能找到正确答案.要求平均分给几位小朋友. 平均每人种多少棵树等这类问题时,应该首先从总数里去掉多余的部分,使其能够除尽,这样就能符合题意.求出问题的答案. 三、典型例题及课堂练习【思路导航】（1）根据余数一定要比除数小的道理,如果余数是4,那么除数的范围就比4大.比4大的数有许多,最小的是几呢?答案是5.因为最小的除数只要比余数大1 就可以了。
（2）根据余数一定要比除数小的道理,1,2,3,4,5 都可以作为本题的余数,5 是最大的余数.确定最大的余数, 只要比除数小1就可以了.【思路导航】除数是8, 根据余数比除数小,余数可以是1，2,3,4,5,6,7, 根据“除数X商十余数二被除数”这一等式，当商、除数、余数已知时，可求出最大的被除数为3X 8+7=31 ;最小的被除数为8X 3+仁25.列式如下：最大:3 X 8+7=31最小:3 X 8+仁25答; 被除数放大是31, 最小是25.王牌例题3老师拿出15颗小红星,每人奖2颗,还余1颗,老师奖给了几个同学【思路导航】老师拿出15 颗小红星最后余1 颗，师已奖给同学15-1 = 14（颗）.14颗小红星，每人奖2颗可奖给14 + 2=7（个）同学.列式如下；15-1=14（颗）14- 2=7（个）答: 老师奖给了7 个同学。
王牌例题4有28 个梨, 最少拿走几个, 就使得6 个小朋友分得一样多?每个小朋友分几个?【思路导航】要求从28 个梨里最少拿走几个, 就使得6 个小朋友分得一样多, 就是把28个梨平均分给6个小朋友后, 求余下的个数. 列式如下；28- 6=4（个）……4（个）答: 最少拿走4 个, 每个小朋友分4 个。
求余数
求余数文/乐家骏来源：小学数学教师计算一个较小自然数除以非零自然数的商和余数，那是容易的事情，但要计算出一个较大的自然数除以非零自然数的余数，就不是一个简单的问题了，我们必须借助余数的性质来寻求简捷的解法。
下面先介绍四条余数的性质。
为了叙述简洁，我们把一个自然数N除以非零自然数p 所得的余数称为数N的p余数。
（1）设a、b是两个自然数，a＞b，p是非零自然数，a=pq1+r，b=pq2+s（q1，q2，r，s是整数，0≤r＜p，0≤s＜p），则（a×b）的p余数等于（r×s）的p余数；（a+b）的p余数等于（r+s）的p余数；（a-b）的p余数等于r-s（当r≥s时）或p+r-s（当r＜s时）。
（2）A×10n（A，n都是非零自然数）的9余数等于A的9余数。
以上两条性质的证明过程较简单，请读者自行推导。
（3）把n位自然数N任意切成p段（p≤n），切成p个整数N1，N2，N3，…，Np，这p个整数的和的9余数等于N的9余数。
性质（3）的证明如下：把n位数N任意切成p段（p≤n），切成p个整数N1，N2，N3，…，Np，则N可以表示成p-1个形如Ni×10k（i=1，…，p-1）的数加上Np的和。
根据性质（2），Ni×10k的9余数等于Ni的9余数，所以N的9余数等于p个整数的和（N1+N2+N3+…+Np）的9余数。
特殊情况：一个自然数的9余数等于这个数的各位数字之和的9余数。
如1020304除以9的余数，等于1+0+2+0+3+0+4=10除以9的余数1。
（4）9个连续自然数连写所组成的多位数能被9整除。
证明：设9个连续自然数为a，a+1，a+2，…，a+8，它们的和为9a+36，能被9整除。
根据性质（3），9个连续自然数连写组成的多位数的9余数，等于这9个连续自然数之和的9余数0，即这个多位数能被9整除。
例1设A=2006+2006×2006+2006×2006×2006，那么A除以11的余数是。
最新小学奥数 余数问题(绝对经典)
最新小学奥数余数问题知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。
由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、弃九法原理：在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：++++=例如：检验算式12341898189226789671789028899231234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
文档：小数除以整数,除到被除数的末位仍有余数的计算方法
小数除以整数，除到被除数的末位仍有余数的计算方法问题导入买6把笤帚共花了元。
每把笤帚多少元？估一估，算一算。
过程讲解1．理解题意求每把笤帚多少元，就是把元平均分成6份，求每份是多少，用除法计算，列式为18. 9÷6。
2．探究÷6的计算方法方法一估算。
把看作18元，18÷6=3（元），每把笤帚比3元多一些。
方法二利用拆分的方法计算。
元=18元+元18÷6=3(元)元=90分90÷6=15（分）=0. 15（元）3元+0. 15元=3. 15元方法三用竖式计算。
(l)方法讲解。
与整数除法的计算步骤相同，先从被除数的最高位除起，18除以6商3写在被除数个位的上面，接着点上小数点；然后用被除数十分位上的9除以6商1写在十分位上，结果数是3，在3的后面添“0”继续除，30除以6等于5，5表示5个0. 01写在百分位上，这样正好除尽。
(2)计算过程。
÷6=3．解决问题÷6=3. 15(元)答：每把笤帚3. 15元。
问题（2）导入买4个簸箕共花了26元。
每个簸箕多少元？（教材4页例题）1．理解题意求每个簸箕多少元，就是把26元平均分成4份，求每份是多少，用除法计算，列式为26÷4。
2．探究26÷4的计算方法方法一估算。
可以这样想：6×4- 24（元），7×4—28（元），所以每个簸箕6元多一些。
方法二用竖式计算。
(1)方法讲解。
计算时要注意小数点的位置，如果有余数，就在余数的后面添“0”继续除。
(2)计算过程。
26÷4 =3．解决问题26÷4 =（元）答：每个簸箕元。
归纳总结小数除以整数，除到被除数的末位仍有余数的计算方法：从被除数的最高位除起，商的小数点要和被除数的小数点对齐，除到被除数的末位仍有余数，就在余数的后面添“0”继续除。
第14讲 余数问题
第14讲余数问题在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。
（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。
例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。
注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。
注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。
将5056分解质因数，得到5056=26×79。
由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2 被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
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关于求余数问题的一个简单方法-增强版
个人建议：在您看这份文档的同时，准备一支笔，一
张草稿纸。
如果看到例题，跟我的步骤，一步一步地
同时写下来，这样比光看屏幕，要理解得更快！
我在自己的讨论稿文档里，求余的时候，都会用到mod这个运算符。
mod：模。
意思就是求余数。
比如说：5mod3=2，100mod11=1
读作：五模三余二，一百模十一余一
这是标准的公式化写法，大家可能不太熟悉，但是知道意思了，其实也很简单。
引入Mod，主要是可以用数学公式来写，而且可以把求余数的问题化简成为普通的四则运算的问题，也比较容易表达。
在讲如何求余之前，先来普及一下余数的一些性质。
首先就是余数的加减法：比如说100除以7余2，36除以7余1。
那么100+36 除以7余几呢？或者100-36除以7余几呢？很显然，只要用100除以7的余数2与36除以7的余数1进行加减就可以得到答案。
通过这个例子可以很明显的看出来，余数之间是可以加减的。
总结写成书面的公式的话，就是：(M＋N)modq=(（Mmodq）+（Nmodq）)mod
q
然后我们再看余数的乘法：我们继续来看上面这个例子，如果要求100*36除以7的余数是多少，该怎么求呢？
我们不妨来这样做：
100=98+2=7*14+2，36=35+1=7*5+1；
这时100*36=（7*14+2）（7*5+1）=7*14*7*5+2*7*5+7*14*1+2*1
很明显，100*36除以7的余数就等于2*1=2
于是我们可以得出这样的一个结论：求M*N除以q的余数，就等于M除以q的余数乘以N除以q的余数。
类似的，如果是求N^m除以q的余数呢？只要我们将N^m=N*N*N*...*N，也就是说分别地用每个N除以q的余数相乘，一共m个，得出的结果再对q求余数，即可求出结果。
举例来说：求11^4除以9的余数。
化成公式即是：
11^4mod9=?11^4mod9=(9+2)^4mod9=2^4mod9=16mod9=7
于是我们可以总结出这样的公式：
M*Nmodq=（Mmodq）*（Nmodq）modq
（M^nmodq=（Mmodq）^nmodq）
那么，我们知道了这些性质之后对解题又有什么帮助呢？
Asweallknow，如果一个数乘以1，还是等于原数；而1的任意次方，还是等
于1。
所以在解答这一类的问题的时候，只要我们尽量把计算中的余数凑成与1相关的乘式，结果显然会好算很多的。
（或者-1，2之类的比较容易进行计算的数字都
可以，因题而异。
）
举例说明：求3^11除以8的余数。
题目即是：3^11mod8=?
3^11mod8
=3^10*3^1（mod8）
=(3^2)^5*(3^1)（mod8）
=9^5*3（mod8）
=(8+1)^5*3（mod8）
=1^5*3（mod8）=3
发现没有，甚至没有去计算什么尾数的规律，答案就算出来了，而且只用了加减乘除。
那么再来看一道题目：求（2^100）*（3^200）除以7的余数
先化成计算公式：
(2^100)*(3^200)mod7
=[2^(3*33+1)]*[3^(3*66+2)]mod7=[(2^3)^33*2]*[(3^3)^66*3^2]mod7
=(8^33*2)*(27^66*9)mod7=[(7+1)^33*2]*[(28-1)^66*9]mod7=(1^33*2)*[(-
1)^66*9]mod7
=2*9mod7
=4
注意：如果余数有负号，就当做负数一样计算。
我步骤写得很详细，但其实只要是熟练了，基本上只要三四步答案一定就出来了，有没有觉得很简单呢？赶紧找一两题来练练手吧，甚至随便写几个数字来做做试试看，像我上面的例题都是临时编的。
相信只要练习了三四道题目，以后再碰到这样的余数题，就会会心地一笑：小样，秒掉你！。