1.2_晶格的基本类型
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材料成型基础复习题 (1)
复习题一、填空题1．材料力学性能的主要指标有硬度、塑性、冲击韧度、断裂韧性、疲劳强度等2．在静载荷作用下，设计在工作中不允许产生明显塑性变形的零件时，应使其承受的最大应力小于屈服强度，若使零件在工作中不产生断裂，应使其承受的最大应力小于抗拉强度。
3．ReL（σs）表示下屈服强度，Rr0.2（σr0.2）表示规定残余伸长强度，其数值越大，材料抵抗塑性性别能力越强。
4．材料常用的塑性指标有断后伸长率和断面收缩率两种。
其中用断后伸长率表示塑性更接近材料的真实变形。
5．当材料中存在裂纹时，在外力的作用下，裂纹尖端附近会形成一个应力场，用应力强度因子KI来表述该应力场的强度。
构件脆断时所对应的应力强度因子称为断裂韧性，当K I >K I c6密排六方晶格三种。
7．亚共析钢的室温组织是铁素体+珠光体（F+P），随着碳的质量分数的增加，珠光体的比例越来越大，强度和硬度越来越高，塑性和韧性越来越差。
8．金属要完成自发结晶的必要条件是过冷，冷却速度越大，过冷度越大，晶粒越细，综合力学性能越好。
9．合金相图表示的是合金的_成分___ 、组成、温度和性能之间的关系。
10. 根据铁碳合金状态图，填写下表。
11．影响再结晶后晶粒大小的因素有加热温度和保温时间、杂质和合金元素、第二项点、变形程度。
12．热加工的特点是无加工硬化现象；冷加工的特点是有加工硬化现象。
13．马氏体是碳全部被迫固溶于奥氏体的饱和的固溶体，其转变温度范围（共析刚）为+230~-50 。
14．退火的冷却方式是缓慢冷却，常用的退火方法有完全退火、球化退火、扩散退火、去应力退火、等温退火和再结晶退火。
15．正火的冷却方式是空冷，正火的主要目的是细化金属组织晶粒、改善钢的机械性能、消除在锻轧后的组织缺陷。
16．调质处理是指淬火加高温回火的热处理工艺，钢件经调质处理后，可以获得良好的综合机械性能。
17．W18Cr4V钢是高速工具钢，其平均碳含量（Wc）为：1％。
固体物理第一章(3)
编辑课件
1.4 原子的周期性阵列
一、晶格平移矢量
（a）空间格点
在理想情况下，晶体是由全同的原子 团在空间无限重复排列而构成的，这 样的原子团被称为基元（basis）。
（b）基元，包含两个不同的原子
在数学上，这些基元可以抽象为几何 点，而这些点的集合被称为晶格 （lattice）。
在三维情况下，晶格可以通过三个平
20世纪开始，电子论有很大的发展，对固体的电学、磁性、 光学性质发展了理论，然而是较简单的。由于X射线的发现， 对原子结构有了很好的了解，并且用X射线研究了原子排列， 使得对原子如何结合成为晶体的认识大大深入了一步。量子力 学提高了经典的电子论，使得更深刻地理解固体的电学、磁学、 光学性质。此外，技术的发展大大利用了固体的性质。
编辑课件
理想石英晶体
一种人造晶体
mm两面夹角：600' mR两面夹角：3813' mr两面夹角：3813'
三、各向异性
晶体的物理性质是各向异性的：
1、平行石英的c轴入射单色光，不产生双折射；而沿其它方向入射产生单色光； 2、晶体沿某些确定方位的晶面发生解理的现象：方解石、云母。
由于晶体的物理性质是各向异性的，因此有些物理常数一般不能用一个 数值来表示。例如弹性常数、压电常数、介电常数、电导率等一般需要 用张量来描述。 晶体的各向异性是晶体区别于非晶体的重要特征。
对于六角密堆积结构，任一个原子有12个最近邻。若原子以刚性球堆积，中心在1 的原子与中心在2、3、4的原子相切，中心在5的原子与中心在6、7、8的原子相切， 晶胞内的原子O与中心在1、3、4、5、7、8处的原子相切，即O点与中心在5、7、 8处的原子分布在正四面体的四个顶上。因为四面体的高：
1.4 原子的周期性阵列
一、晶格平移矢量
（a）空间格点
在理想情况下，晶体是由全同的原子 团在空间无限重复排列而构成的，这 样的原子团被称为基元（basis）。
（b）基元，包含两个不同的原子
在数学上，这些基元可以抽象为几何 点，而这些点的集合被称为晶格 （lattice）。
在三维情况下，晶格可以通过三个平
20世纪开始，电子论有很大的发展，对固体的电学、磁性、 光学性质发展了理论，然而是较简单的。由于X射线的发现， 对原子结构有了很好的了解，并且用X射线研究了原子排列， 使得对原子如何结合成为晶体的认识大大深入了一步。量子力 学提高了经典的电子论，使得更深刻地理解固体的电学、磁学、 光学性质。此外，技术的发展大大利用了固体的性质。
编辑课件
理想石英晶体
一种人造晶体
mm两面夹角：600' mR两面夹角：3813' mr两面夹角：3813'
三、各向异性
晶体的物理性质是各向异性的：
1、平行石英的c轴入射单色光，不产生双折射；而沿其它方向入射产生单色光； 2、晶体沿某些确定方位的晶面发生解理的现象：方解石、云母。
由于晶体的物理性质是各向异性的，因此有些物理常数一般不能用一个 数值来表示。例如弹性常数、压电常数、介电常数、电导率等一般需要 用张量来描述。 晶体的各向异性是晶体区别于非晶体的重要特征。
对于六角密堆积结构，任一个原子有12个最近邻。若原子以刚性球堆积，中心在1 的原子与中心在2、3、4的原子相切，中心在5的原子与中心在6、7、8的原子相切， 晶胞内的原子O与中心在1、3、4、5、7、8处的原子相切，即O点与中心在5、7、 8处的原子分布在正四面体的四个顶上。因为四面体的高：
1.2 晶格的周期性、晶向晶面
a a1 2 a a 2 2 a a 3 2
i jk
Leabharlann i j k i jk
2. 简单晶格和复式晶格 简单晶格：每一个原胞只有一个原子 晶格中所有原子是完全等价的 bcc结构的碱金属、fcc结构的Au、Ag、Cu 复式晶格：每一个原胞包含两个或更多原子 晶格中存在两种或更多种等价的原子或离子 NaCl结构、六角密排结构、金刚石结构、 CsCl结构、ZnS结构
立方晶格的(100)、(110)、(111)面
(101)
写 出 晶 面 指 数
(122) (122)
可以证明，简单立方晶格中的一个晶面的 密勒指数和晶面法线的晶向指数完全相同
与立方边[100]、面对角线[110]、体对角线[111] 垂直的分别就是(100)、(110)、(111)面
等效晶面用花括号表示，如{100}、{111}、{110} 它们可用正立方体、正八面体、十二面体表示出来
同一格子可以形成方向不同的晶列
如果从一个格点沿晶列方向到最近邻格点的位移 矢量为 l1a1+l2a2+l3a3 晶向就用l1、l2、l3来标志，写成 [l1 l2 l3]，称为 晶向指数
负指数用头顶上一横表示
用〈 l1 l2 l3 〉表示一组对称的晶向
[111]
立方晶格中的 [100]、[110] 和 [111] 晶向
表示一个空间格子（点阵）
一组 l1、l2、l3 的取值表示格子中的一个格点 这个空间格子表征了晶格的周期性，称为布拉伐格子 Bravais lattice
晶格被抽象成格点构成的几何结构
Cu金属的面心立方晶格 Si的金刚石晶格 NaCl晶格
凝聚态物理课程教学大纲
朱卡的
课程网址
(CourseWebpage)
无
*课程简介（Description）
本课程将凝聚态系统中的固体体系作为研究对象，主要包括宏观尺度的理想晶体系统。课程从基本理论和实验知识出发，并结合固体物理前沿领域的最新发展，着重讲解晶体结构、晶体衍射和倒格子、晶体结合、晶格振动与热学性质、自由电子费米气体、能带理论、半导体晶体、费米面和金属以及晶体中的基本元激发等，探讨这些固体系统中的基本理论以及在未来信息技术和能源技术等方面的潜在应用可能性。通过本课程，培养学生掌握在固体物理中的思维方式及研究方法，为进一步深入学习其它课程打下扎实的基础。
3.2离子晶体
3.3共价晶体
3.4金属晶体
每周4学时
课堂讲授
第四章晶格振动与热学性质（第7-10周）
4.1晶格振动和声子
4.2声子比热
4.3非谐晶体相互作用
4.4导热性
每周4学时
课堂讲授
第五章自由电子费米气体（第11-12）
5.1自由电子气
5.2电子气比热
5.3电导
5.4磁场中的电子运动
每周4学时
课堂讲授
*课程简介（Description）
Condensed matter physics is the biggest subfield in modern physics. In this course, I will focus on thecrystal structure, reciprocal lattice, crystal binding, crystal vibrations(phonons)and thermal properties, free electron Fermi gas, energy bands, semiconductors, Fermi surfaces and metals,and some elementary particles in crystal such asplasmons, polaritons, and polarons.Based on the newest developments incondensed matterphysics, I will introduce the fundamental physics and experimental knowledge on these subjects. Their potential applications in future information and nanoscale optoelectronic devices will be also discussed. The main goal of this course is to let students know how to do cutting edge researches incondensed matterphysics.
课程网址
(CourseWebpage)
无
*课程简介（Description）
本课程将凝聚态系统中的固体体系作为研究对象，主要包括宏观尺度的理想晶体系统。课程从基本理论和实验知识出发，并结合固体物理前沿领域的最新发展，着重讲解晶体结构、晶体衍射和倒格子、晶体结合、晶格振动与热学性质、自由电子费米气体、能带理论、半导体晶体、费米面和金属以及晶体中的基本元激发等，探讨这些固体系统中的基本理论以及在未来信息技术和能源技术等方面的潜在应用可能性。通过本课程，培养学生掌握在固体物理中的思维方式及研究方法，为进一步深入学习其它课程打下扎实的基础。
3.2离子晶体
3.3共价晶体
3.4金属晶体
每周4学时
课堂讲授
第四章晶格振动与热学性质（第7-10周）
4.1晶格振动和声子
4.2声子比热
4.3非谐晶体相互作用
4.4导热性
每周4学时
课堂讲授
第五章自由电子费米气体（第11-12）
5.1自由电子气
5.2电子气比热
5.3电导
5.4磁场中的电子运动
每周4学时
课堂讲授
*课程简介（Description）
Condensed matter physics is the biggest subfield in modern physics. In this course, I will focus on thecrystal structure, reciprocal lattice, crystal binding, crystal vibrations(phonons)and thermal properties, free electron Fermi gas, energy bands, semiconductors, Fermi surfaces and metals,and some elementary particles in crystal such asplasmons, polaritons, and polarons.Based on the newest developments incondensed matterphysics, I will introduce the fundamental physics and experimental knowledge on these subjects. Their potential applications in future information and nanoscale optoelectronic devices will be also discussed. The main goal of this course is to let students know how to do cutting edge researches incondensed matterphysics.
1-2 晶体学基础
晶向指数的确定步骤：
4 i
1)以晶胞的某一阵点O为原点，过原点的 晶轴为坐标轴，以晶胞点阵矢量的长度 ． 作为坐标轴的长度单位.
2)过原点O作一直线OP，使其平行于待定的晶向。 3)在直线OP上任取一点P，求出P在三个坐标轴 上的坐标值。 4) 将这3个坐标值化为最小整数u,v,w,加上方 括号,[uvw]即为待定晶向的晶向指数。
为便于描述空间点阵的图形，可用许多平行 的直线将所有阵点连接起来，于是就构成一个 三维几何格架，称为空间格子，也叫晶格。
导出空间格子的方法：
首先在晶体结构中找出相当点，再将相当点按照 一定的规律连接起来就形成了空间格子。
相当点（两个条件：1、性质相同，2、周围环境相同。）
5.628Ǻ
2.8148Ǻ
1 11 1 1 1
111 1 1 1
晶向族：由晶体学上的等价晶向构成
晶面指数
4 i
三、晶面指数 晶体内部构造中由物质质点所组成的平面 称为晶面， 用来表征晶面的一组数字称为晶面指数。
n i
晶面指数的确定步骤 1) 建立坐标系,方法同晶向指数，但坐标原点 不能在待确定指数的晶面上。 2) 求待定晶面在三个坐标上的截距。 若晶面与某轴平行，则在此轴上截距为∞； 若晶面与某轴负方向相截，则在此轴上 截距为一负值 3) 取截距的倒数，并化成互质的整数比， 加上圆括号，记为（hkl），即为晶面指数。
● ●
结点：空间格子中的等同点。
行列：结点在直线上的排列。
行列中相邻结点间的距离称结点间距。同行列方向上结
点间距相等；不同方向的行列，结点间距一般不等。
●
面网：结点在平面上的分布。
单位面积内结点的数目称面网密度；相邻面网间的垂直 距离称面网间距。 相互平行的面网间面网密度和面网间距相等；否则一般 不等且面网密度大的其面网间距亦大。
金属学与热处理-1.2-金属的晶体结构课件.ppt
C
B
A
C
C层
B
A
A
ABABABAB ABCABCABC
B层 ACACACAC ACBACBACB
25
26
ABCA ABA
27
面心立方晶格密排面的堆垛方式 28
密排六方晶格密排面的堆垛方式
29
典型金属晶体中原子间的间隙
四面体空隙（tetrahedral interstice），由4个球体所构成， 球心连线构成一个正四面体； 八面体空隙（octahedral interstice），由6个球体构成，球 心连线形成一个正八面体。
r 3a 4
r 2a 4
ra 2
14
配位数与致密度
➢配位数和致密度定量地表示原子排列的紧密程度。 ➢配位数（coordination number，CN）：晶体结构中 任一原子周围最近且等距离的原子数。 ➢致密度（K）：晶胞中原子所占的体积分数，
K nv V
式中，n为晶胞原子数，v原子体积，V晶胞体积。
22
晶体中原子的堆垛方式
面心立方和密排六方结构的致密度均为0.74， 是纯金属中最密集的结构。 面心立方与密排六方虽然晶体结构不同，但配 位数与致密度却相同，为搞清其原因，必须研究 晶体中原子的堆垛方式。 面心立方与密排六方的最密排面原子排列情况 完全相同，但堆垛方式不一样。
23
24
A
A
C
B A
(11 1)
59
练习4：下图标注了立方晶体的4个晶面，在每个晶 面上给出了3个晶面指数，选择正确的答案。
60
ACF
FN
ABD’E’
A’F’
AFI
BC
ADE’F’
O’M
B
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B
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B层 ACACACAC ACBACBACB
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ABCA ABA
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面心立方晶格密排面的堆垛方式 28
密排六方晶格密排面的堆垛方式
29
典型金属晶体中原子间的间隙
四面体空隙（tetrahedral interstice），由4个球体所构成， 球心连线构成一个正四面体； 八面体空隙（octahedral interstice），由6个球体构成，球 心连线形成一个正八面体。
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配位数与致密度
➢配位数和致密度定量地表示原子排列的紧密程度。 ➢配位数（coordination number，CN）：晶体结构中 任一原子周围最近且等距离的原子数。 ➢致密度（K）：晶胞中原子所占的体积分数，
K nv V
式中，n为晶胞原子数，v原子体积，V晶胞体积。
22
晶体中原子的堆垛方式
面心立方和密排六方结构的致密度均为0.74， 是纯金属中最密集的结构。 面心立方与密排六方虽然晶体结构不同，但配 位数与致密度却相同，为搞清其原因，必须研究 晶体中原子的堆垛方式。 面心立方与密排六方的最密排面原子排列情况 完全相同，但堆垛方式不一样。
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A
A
C
B A
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练习4：下图标注了立方晶体的4个晶面，在每个晶 面上给出了3个晶面指数，选择正确的答案。
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ACF
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AFI
BC
ADE’F’
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晶胞晶体晶格晶界晶粒的关系
晶胞晶体晶格晶界晶粒的关系1. 认识基础概念让我们先来聊聊这些科学名词——晶胞、晶体、晶格、晶界、晶粒。
别担心，听起来复杂，其实很简单。
想象你在拼乐高，每一个小块儿代表的就是这些概念中的一个部分。
1.1 晶胞：小小的基础单位晶胞，顾名思义，就是晶体的基本单位。
它是一个小小的立方体或其它几何形状的结构，像乐高的一个小块儿一样。
它包含了构成整个晶体的基本元素或分子。
这些晶胞像砖块一样一个个堆砌起来，组成了更大的晶体结构。
简单点说，晶胞就像你搭建乐高时的一个基础单元。
1.2 晶体：结构的整体当你把许多个晶胞按照一定的规律排列起来，就形成了一个晶体。
晶体就像是一个完整的乐高模型，它的每一部分都是由这些晶胞拼接而成的。
晶体的美妙之处在于它们的排列是有规律的，这种规律叫做晶格。
2. 晶格与晶体结构2.1 晶格：有序的排列晶格其实就是一种规则的排列方式，像棋盘上的格子一样。
每个晶胞都在一个特定的位置上，按照一定的规律排列，这样就形成了晶格。
不同的晶体有不同的晶格结构，比如立方体、六角形等。
就像不同的乐高模型可能有不同的形状和结构。
2.2 晶体的多样性由于晶格的不同，晶体有很多种类。
例如，钻石和石墨都是由碳元素构成的，但它们的晶格结构不同，所以它们的性质也大相径庭。
钻石的晶格非常紧密，所以它非常坚硬，而石墨的晶格则比较松散，导致它滑腻且易于剥离。
3. 晶界与晶粒：结构的细节3.1 晶界：界限的存在晶界就是不同晶粒之间的“隔阂”。
就像两个不同的乐高模型接触的地方一样，晶界是晶体中不同区域之间的界限。
晶界的存在可能会影响晶体的性质，比如它们可能会影响晶体的强度和韧性。
想象一下，如果你在搭建乐高时，接缝处拼接得不太好，那么整个模型的稳定性也会受到影响。
3.2 晶粒：大块的集合体晶粒是指晶体中的一个个小区域，每个区域都是由无数个晶胞组成的。
不同的晶粒有不同的晶体取向，就像不同的乐高模型部件可能朝向不同的方向。
晶粒的大小和分布会影响材料的整体性质，比如金属的强度和韧性。
固体物理-第一章2
原胞的基本平移矢量，简称基矢。 简称基矢 基矢。
1.原胞的分类 (1)固体物理学原胞(简称原胞) (1)固体物理学原胞(简称原胞) 固体物理学原胞 原胞 构造：取一格点为顶点， 构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个 不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理 不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理 学原胞。 学原胞。 特点：格点只在平行六面体的顶角上， 特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格 只在平行六面体的顶角上
v = a⋅ b×c = n
( )
(3)维格纳--塞茨原胞 (3)维格纳--塞茨原胞 维格纳-构造：以一个格点为原点， 构造：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中 垂面(或中垂线) 由这些中垂面(或中垂线) 垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积 (或面积)即为W-- 原胞。 或面积)即为 --S原胞。 -- 原胞 特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含 特点：它是晶体体积的最小重复单元，每个原胞只包含1 个格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。 个格点。其体积与固体物理学原胞体积相同。
-的坐标为 Cl
1 1 1 + ) ， Na 的坐标为 (000)。 2 2 2
(c)氯化铯结构 c)氯化铯结构
Cl −
Cs +
氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移1/2的 氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移 的 长度套构而成。 Cl-和Cs+分别组成简立方格子，其布拉维晶 分别组成简立方格子， 长度套构而成。 格为简立方， 格为简立方，氯化铯结构属简立方。 简立方 每个固体物理学原胞包含1个格点 每个结晶学原胞包含1 个格点， 每个固体物理学原胞包含 个格点，每个结晶学原胞包含 个格点。基元由一个Cl-和一个 +组成。 格点。基元由一个 和一个Cs 组成。
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B′C′ = BC[1+2cos(π-α)]
2
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
m BC= BC[1+2cos(π-α)] cosα = (1-m)/2 m α -1 0 0
2π 6
-1≤m≤3 2
2π 3
1
2π 4
3
2π 2
如绕轴旋转2π/n角度及其整数倍为对称操 角度及其整数倍为对称操 如绕轴旋转 作，则称该轴为 n 度轴（n 重轴）. n=1，称为不 重轴） ， 变操作，旋转2π角度相当于不动 变操作，旋转 角度相当于不动 结论：晶体中不存在 度轴 也不存在7度 度轴， 结论：晶体中不存在5度轴，也不存在 度 以及7度以上的对称轴 以及 度以上的对称轴
13
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
1.2. 2 .
二维晶格的分类 四大晶系和五种布拉维格子
1. 斜方
a≠b
γ ≠ 90
o
v b γ v a
布拉维格子： 布拉维格子：简单斜方
14
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
18
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
1.2. 3 .
三维晶格的分类 七大晶系和十四种布拉维格子
1. 三斜
a≠b≠c
c
α ≠ β ≠γ
布拉维格子： 布拉维格子：简单三斜
β α a b γ
19
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
1.2. 0 .
晶体的对称性
1. 对称操作
一几何体在旋转、反演、 一几何体在旋转、反演、镜面反映等变换 下不变， 下不变，则该变换就称为几何体的对称操作
σ
v v r → −r
旋转 镜面反映 反演
1
固体物理导论 固体物理导论 物理
9
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
32个点群（熊夫利符号记法） 32个点群（熊夫利符号记法） 个点群
1. 只含一个元素（不动），用C1标记，表示没 只含一个元素（不动）， ），用 标记， 有任何对称的晶体， 个 有任何对称的晶体，1个 2. 只包含一个旋转轴的点群称为回旋群，标记 只包含一个旋转轴的点群称为回旋群， 为 C2， C3， C4， C6 ，共4个 个 3. 包含一个 n 度轴和 n 个与之垂直的 度轴的点群 个与之垂直的2度轴的点群 称为双面群， 称为双面群，标记为 D2， D3， D4， D6 ，共4个 个
o
β α a γb
c
21
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
4. 四方
a=b≠c
α = β = γ = 90
布拉维格子： 布拉维格子： 1. 简单四方 2. 体心四方
o
β α b a γ
c
22
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
26
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型 所属点群 C4、S4、C4h、D4 C4V、D2d、D4h C3、S6、D3 C3Ｖ、D3d
晶系 布拉维格子 四方 简单四方 体心四方 三角
晶胞参数 a=b ≠c α= β ＝γ= 90º a=b=c α= β ＝γ ≠ 90º
三角
六角
六角 简单立方 体心立方 面心立方
a=b ≠c C6、C3h、C6h、D6、 C6V、D3h、D6h α= β ＝ 90º, γ=120º a=b=c α= β ＝γ＝ 90º T、Th、Td O、Oh
27
立方
1 =i
2=m
7
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
8. 群
一组定义了群乘运算的元素的集合G， 一组定义了群乘运算的元素的集合 ，如果满 足以下条件，就称为群，群元的个数称为群的阶 足以下条件，就称为群， 1. 2. 3. 4. 单位元存在，设为 ， 单位元存在，设为E，有 AE=EA=A，A∈G ， ∈ 逆元存在， 逆元存在，BA=AB=E, 记 B=A-1, A,B∈G ∈ 满足结合律 (AB)C=A(BC), A,B,C∈G ∈ 具有封闭性, 具有封闭性 若A,B ∈G，则 AB=C ∈G ，
8
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
9. 点群
晶体的对称操作满足群的性质， 晶体的对称操作满足群的性质，因此常用 对称性群来描述晶体的宏观对称性，对称操作 对称性群来描述晶体的宏观对称性， 即为群的元素 上述晶体的宏观对称操作都不改变一个特 殊点的位置，即选定的原点， 殊点的位置，即选定的原点，常称晶体宏观对 称性群为晶体点群。晶体点群共32种 称性群为晶体点群。晶体点群共 种。
三维维晶格的七大晶系和十四种布拉维格子
晶系 三斜 布拉维格子 简单三斜 简单单斜 底心单斜 简单正交 底心正交 体心正交 面心正交 晶胞参数 a≠b ≠c α≠β≠γ a≠b ≠c α=γ=90º ≠β a≠b ≠c α= β ＝γ= 90º 所属点群 C1、Ci C2、Cs、C2h
单斜
正交
D2、C2V、D2h
10
固体物理导论 固体物理导论 物理
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
4. C1群加上中心反演组成 Ci 群； C1群加上镜面 反映组成 Cs 群，2个 个 5. Cn群加上与 n 度轴垂直的镜面反映组成 Cnh 4个 群，共4个； Cn群加上 n 个含 n 度轴的镜面反 映组成 Cnv 群，共4个 个 6. Dn群加上与 n 度轴垂直的镜面反映组成 Dnh 群， 度轴及两2度轴角平分线的 共4个；Dn群加上通过 n 度轴及两 度轴角平分线的 个 只有D 镜面反映组成 Dnd 群，只有 2d、D3d，共2个 个
第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
2. 晶体许可的旋转对称轴
设绕通过格点B垂直 设绕通过格点 垂直 于纸面的轴旋转α角度为 于纸面的轴旋转 角度为 对称操作 C → C′
C′
α
B
α
C
B′
A
D
根据格点的等价性，绕通过 点垂直于纸面 根据格点的等价性，绕通过C点垂直于纸面 的轴旋转-α角度也为对称操作 的轴旋转 角度也为对称操作 B → B′ BC // B′C′ B′C′ = m BC, m∈ Z
o
2. 长方
a≠b
γ = 90
v b
简单长方
γ
v a
有心长方
v b γ
v a
15
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第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
3. 正方
a=b
简单正方
γ = 90
o
v b
γ
v a
16
固体物理导论 固2 . 晶格的基本类型
4. 六角
2. 单斜
a≠b≠c o α = γ = 90 ≠ β
布拉维格子： 布拉维格子： 1. 简单单斜 2. 底心单斜
c a
β
α b γ
20
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第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
3. 正交
a≠b≠c
α = β = γ = 90
布拉维格子： 布拉维格子： 1. 简单正交 2. 底心正交 3. 体心正交 4. 面心正交
5. 立方
c
a=b=c
α = β = γ = 90
布拉维格子： 布拉维格子： 1. 简单立方 2. 体心立方 3. 面心立方
o
β α b γ a
23
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第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
6. 三角
a=b=c
α = β = γ < 120 , ≠ 90
o
o
布拉维格子： 布拉维格子：三角
a=b
简单六角
γ = 120
o
v b
γ
v a
17
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第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
二维晶格的晶系和布拉维格子 晶系 斜方 长方 正方 六角 轴和角度 a≠b, γ ≠90° a≠b, γ =90° a=b, γ =90° a=b, γ =120° 布拉维格子 简单斜方 简单长方 有心长方 简单正方 简单六角
3
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第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
3. 反演
对原点O的反演， 对原点 的反演，使 的反演 中心反演， 中心反演，用符号 i 表示
v v r → − r 的操作称为
4. 旋转反演
旋转与反演的结合的对称操作， 旋转与反演的结合的对称操作，称为 n 度 旋转反演对称 度及7度 受周期性制约，同样不存在5度 不存在 度及 受周期性制约，同样不存在 度、7度及 度 以上的旋转反演轴
4
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第 1 章 晶体结构
1.2 . 晶格的基本类型
5. 立方体的对称操作
对称操作 对称操作数 不动 6个2度轴 个 度轴 4个3度轴 个 度轴 3个4度轴 个 度轴 旋转反演 1 6 8 9 24