大学物理波动理论及习题
大学物理 波动
x
u)]
Wk
Wp
1 2
V2 A2
s in 2 [ (t
x)] u
3. 总机械能
W
Wk
Wp
V 2 A2
sin 2 [ (t
x)] u
4. 能量密度
w
wk
wp
2 A2
s in 2 [ (t
x)] u
5. 平均能量密度
w 1 T A2 2 sin2[(t x)]dt 1 A2 2
T0
u2
讨论：1)平均能量密度与振幅平方 、频A率2 平
球面波
在各向同性的媒质中 波线 波面。
§2 一维简谐波的波函数
一、简谐波波函数
用数学表达式描述波线上每一质点在每一时刻的位移 ，这样的函数 y=y(x,t)称为行波的波函数。
设一列简谐波向右传播，波速为u。沿波的传播方 向建立ox轴，x轴上各点代表各质元平衡位置，y轴
表示质元离开平衡位置的位移。
o
间双重周期性。
x ut
4. 沿x轴负向传播的简谐波函数
y0 Acos(t )
u y
P
y y0 (t t)
o
x
xx
t
Acos[(t t) ]
u
u
Acos[(t x ) ]
u
已知x=0处振动方程: y0 Acos(t )
则简谐波函数:
y Acos[(t x ) ]
绳 上
·························t = T/4
的 简 谐 横
··················································t
t = T/2 = 3T/4
大物习题册答案及详解(山东理工大学大二上学期2020版)
4.如图所示，一点电荷q位于正立方体的A角上，则通过侧面abcd的电通量Φe=q/24ε0
考点: 高斯定理公式 （课本118页 6-18） 解法：1.建立一正方体高斯面（补7个如图正方体），使A点位于正中心
考点:电势是一个与引进电荷无关，完全由电场自身的性质和相对位置决定的物理量。电场中某点电势的大小与零 电势点的选取有关。
2.在边长为a的正方体中心处放置一电量为Q的点电荷，设无穷远处为电势零点，则在一个侧面的中心处的电势为
（B）
（A）Q/4πε0a
（B）Q/2πε0a
（C）Q/πε0a
（D）Q/2√2πε0a
q/(1/r-1/r0)/4πε0
考点：电势的计算
解法：U=∫
r0 r
E·dr
=∫
r0 qdr r 4πε0r
2
=q/(1/r-1/r0)/4πε0
（课本122页
6-29b）
பைடு நூலகம்
3.一质量为m、电量为q的小球，在电_场__力__作__用下，从电势为U的a点移动到电势为零的b点，若已知小球在b点的 速率为Vb，则小球在a点的速率Va=√Vb2-2qU/m
②均匀带电球面内的电势UP2=Q/4πε0R（课本123页例6-8结论得）， ③UP=UP1+UP2.
6.在带电量为-Q的点电荷A的静电场中，将另一带电量为q的点电荷B从a点移到b点，a、b两点距离点电荷A的距 离分别为r1和r2，如图所示，则移动过程中电场力做的功为（C） （A）-Q（1/r1-1/r2)/4πε0 （B）qQ（1/r1-1/r2)/4πε0 （C）-qQ（1/r1-1/r2)/4πε0 （D）-qQ/4πε0（r2-r1) 考点：电场力的功 解法：Aeab=q（UA-UB）=q(-Q/4πε0r1— -Q/4πε0r2）=-qQ（1/r1-1/r2)/4πε0 （课本123页 6-31）
大学物理 驻波(一)
大学物理驻波（一）引言概述：驻波是在介质中传播的波在与逆向传播的波相遇时形成的一种特殊波动现象。
它在大学物理中有着重要的应用和理论意义。
本文将从驻波的基本概念和特点入手，详细介绍了驻波的形成条件，驻波的数学描述以及驻波的实验观察等。
正文：1. 驻波的基本概念和特点- 驻波是由两个相同频率、振幅相等而方向相反的波在空间中相遇而形成的。
- 驻波的震动节点是固定不动的，而虚节点一直在不断地交替出现。
- 驻波是由于波的干涉而形成的，不会传输能量或物质。
2. 驻波的形成条件- 驻波形成的必要条件是波的传播速度相同，波长相等且频率相同。
- 在一维情况下，驻波形成的充分条件是两波的幅值、频率、相位相同。
3. 驻波的数学描述- 驻波可以用数学方程来描述，常用的方程为y(x,t) = Acos(kx)cos(ωt + φ)，其中A为振幅，k为波数，ω为角频率，φ为初相位。
- 驻波方程中的k和ω与波长λ和周期T之间有着确定的关系：k = 2π/λ，ω = 2π/T。
4. 驻波的实验观察- 驻波可以通过在一定条件下的波的传播介质中观察到，如绳上的驻波、声管中的驻波等。
- 在实验观察中，可以通过调节波的频率、振幅、传播介质的长度等参数来观察驻波的形成与特性。
5. 驻波的应用- 驻波在声学、光学、电磁学以及其他物理学领域中有着广泛的应用，如乐器共鸣现象、干涉仪的工作原理等。
- 驻波还可以用于测量波的参数，如测量波速、波长等。
总结：驻波是在介质中传播的波在与逆向传播的波相遇时形成的一种特殊波动现象。
它具有震动节点固定、虚节点不断交替出现的特点，是由波的干涉形成的。
驻波的形成需要满足波的传播速度相等、波长相等且频率相同的条件。
驻波可以通过实验观察到，并可用数学方程进行描述，有着广泛的应用价值。
《大学物理AII》作业 No.02 波动方程 参考答案
2、一平面简谐波，波长为 12m，沿 Ox 负向传播。如图所示为原点处质点的振 动曲线，求： （1）原点处质点的振动方程， （2）此波的波函数。
解：由题意得：振幅 A=0.4m，初始位置 y0 0.2 相为
2 ， 其对应旋转矢量如上图所示。 从图还可以看出 5s 后， 矢量转动的角度： 3 5 2 t 5 12 s ； ，则 ， T 3 2 6 6 2 ) m） 所以其振动方程为 y 0.4 cos( t （ 6 3 2 12 s ，波速 u 1( m / s ) ，又因传播方向为负， （2）由题意 12m ， T T 2 （ ] m） 所以波函数为： y 0.4 cos[ （t x） 6 3
答：振动是波动的基础，振动在空间的传播就形成波动。平面简谐波动方程是关 于时间和空间的函数， 而简谐振动方程只是关于时间函数；当平面简谐波动方程 中的空间变量 x 确定时，波动方程成为表述该点运动的振动方程。振动曲线是以 位移为纵坐标， 时间为横坐标做的曲线，描述质点在不同时刻离开平衡位置的位 移；波形曲线是位移为纵坐标，介质元空间位置为横坐标做的曲线，用来描述某 一时刻，波线上各个质元离开平衡位置的距离。 2、平面简谐行波波函数的表达式与哪些因素有关？总结求波函数的基本步骤。 答：平面简谐行波波函数与波的特征量：振幅、周期、频率、波速及其传播方向 有关， 此外与坐标原点、 计时起点的选择有关。 求波函数的基本步骤可以概况为： （1）选择一个参考点，根据已知条件确定出该参考点的振动方程； （2）选定坐标原点，选定正方向，建立坐标；
《大学物理 AII》作业
No.02 波动方程
班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______
解析大学物理中的波动力学理论
解析大学物理中的波动力学理论波动力学是大学物理课程中重要的一部分，涉及到波的传播、干涉、衍射、驻波等现象。
本文将对大学物理中的波动力学理论进行解析。
一、波动力学基础概念在开始介绍波动力学理论之前，有必要先说明一些基础概念。
波是一种能量传播的方式，它通过媒介传递能量，而不传递物质。
波的重要性源于其在自然界中广泛存在的现象，如光的传播、声音的传播等。
二、波的分类波可以分为机械波和电磁波两大类。
机械波是指需要介质进行传播的波，如水波、声波等；而电磁波是不需要介质进行传播的波，如光波、无线电波等。
本文将主要关注机械波的波动力学理论。
三、波动方程波动力学的核心是波动方程，通过该方程可以描述波的传播过程。
一维波动方程可以表示为:∂^2ψ/∂x^2 = (1/v^2) ∂^2ψ/∂t^2其中，ψ表示波的振幅，x表示位置，t表示时间，v表示波速。
四、波的传播波动力学理论告诉我们，波的传播方式可以分为纵波和横波。
纵波是指波动方向与振动方向平行的波，如声波；横波是指波动方向与振动方向垂直的波，如水波。
五、波的干涉和衍射波动力学理论还涉及到波的干涉和衍射现象。
干涉是指两个或多个波相遇时产生的干涉条纹现象，其实质是波的叠加。
典型的干涉现象包括双缝干涉和薄膜干涉。
衍射是波遇到障碍物时发生的弯曲现象，其实质是波在障碍物周围传播时受到阻碍而发生弯曲。
六、波的驻波驻波是指在一定条件下，两个同频率、相同振幅、但传播方向相反的波相互叠加形成的波动现象。
驻波具有节点和腹节点，节点处的振幅为零，腹节点处的振幅最大。
典型的驻波现象包括弦上的驻波和声管中的驻波。
七、波动力学的应用波动力学理论在实际生活中有广泛的应用。
例如，在音乐产生中，乐器发出的声音可通过波动力学理论解释；在光学中，通过衍射和干涉现象可以制造出各种精密的光学器件；在地震学中，可以通过地震波的传播来了解地球内部的结构等。
总结：通过对大学物理中的波动力学理论进行解析，我们了解到波的基础概念、分类、波动方程、传播方式以及干涉、衍射、驻波等现象。
大学物理-第十四章-波动光学
一部分反射回原介质即光线a1， 另一部分折入另一介质，其中一 部分又在Ｃ点反射到Ｂ点然后又 折回原介质，即光线a2。因a1,a2是
从同一光线S1Ａ分出的两束，故
满足相干条件。
S
S1
a
a1
iD
e
A
B
C
a2
n1
n2
n1
31
2 薄膜干涉的光程差
n2 n1
CDAD
sin i n2
跃迁 基态
自发辐射
原子能级及发光跃迁
E h
普通光源发光特 点： 原子发光是断续
的，每次发光形成一
长度有限的波列, 各 原子各次发光相互独
立，各波列互不相干.
10
3.相干光的获得：
①原则：将同一光源同一点发出的光波列，即某个原子某次 发出的光波列分成两束，使其经历不同的路程之后相遇叠加。
S2
r2
P
20
为计算方便，引入光程和光程差的概念。
2、光程
光在真空中的速度 光在介质中的速度
c 1 00
u 1
u1 cn
介质的 折射率
真空
u n c
介质中的波长
n
n
n n
21
介质中的波长
n
n
s1 *
r1
P
波程差 r r2 r1
k 0,1,2,
x
d
'
d
(2k
1)
k 0,1,2,
暗纹
d
2
k=0,谓之中央明纹，其它各级明（暗）纹相对0点对称分布
物理波动试题
物理波动试题波动是物理学中重要的一个分支，它涉及到波的传播、干涉、衍射等现象。
本试题将涵盖波动的基本概念、公式和应用，旨在考察学生对波动知识的理解和应用能力。
1.简答题（每题10分）（1）什么是波动？简要说明波动的特点及分类。
波动是指能量或信息沿着空间传播的现象。
特点：波动是在介质中传播的，介质不随波传播而移动；波动是由某种原因（振动源）激发产生的；波动可以传播能量和动量；波动可以壁相互作用产生干涉、衍射等现象。
分类：机械波和电磁波。
（2）什么是机械波？它们传播的基本特点是什么？机械波是指需要介质来传播的波动现象。
机械波传播的基本特点是：需要介质来传播，介质的微小部分进行振动，振动的能量沿波的传播方向传递。
（3）什么是波长和频率？它们之间的关系是怎样的？波长是指一次完整振动所对应的距离，用符号λ表示。
频率是指在单位时间内波动上通过某一点的次数，用符号f表示。
它们之间的关系可以由式子v = fλ表示，其中v代表波速。
波速等于波长乘以频率。
（4）什么是相位差？简要说明相位差对波动干涉的影响。
相位差是指两个波源相对于某一点的等效相位差。
它是由波源到该点距离的变化与波长之比所决定。
相位差对波动干涉的影响是：当相位差为整数倍的倍数时，波峰和波峰或波谷和波谷同时到达干涉点，形成增强干涉；当相位差为奇数倍的半数时，波峰和波谷同时到达干涉点，形成减弱干涉。
2.计算题（每题20分）（1）一根被两端固定的弦子上，泛起了两个频率相同且弦长相同的基本振动波。
若两波的相位差为π/4，求出相邻两个波腹之间的距离。
解析：相邻两个波腹之间的距离等于半个波长，即λ/2。
根据相位差为π/4，可以得出相位差对应的距离变化为λ/8。
所以，λ/2 = λ/8，化简可得λ = 4d，其中d为波腹之间的距离。
所以相邻两个波腹之间的距离为4d。
（2）一个平面波以速度v在某介质中传播，当波长λ减小一倍，频率f变为2f，则速度v变为多少？解析：根据波速公式v = fλ，代入新的波长和频率，得到新的波速v' = 2v。
大学物理-波动方程
通过将波动方程中的空间和时间变量分离，简化求解过程。
傅里叶分析
利用傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，便于分析波的频率 和振幅。
数值解法
对于复杂边界条件和初始条件，采用数值方法求解波动方程。
三维波动方程的应用
声波传播
研究声波在介质中的传播规律，如声呐、超声成像等。
光学研究
解释光波在介质中的传播规律，如折射、干涉、衍射等现象。
波动方程在声学中的应用
声波传播规律
波动方程可以用来描述 声波在空气、固体等介 质中的传播规律，如声 速、声压、声强等。
声学仪器设计
在声学仪器设计中，如 超声波探伤仪、声呐等， 需要利用波动方程来计 算和优化仪器的性能。
声音信号处理
在声音信号处理中，如 音频压缩、降噪等，可 以利用波动方程对声音 信号进行分析和变换。
数值解法
对于一些复杂的问题，可以通过 数值计算方法求解二维波动方程， 如有限差分法、有限元法等。
二维波动方程的应用
声波传播
在声学领域，二维波动方程可以用来描述声波在 固体、液体或气体中的传播规律。
地震波传播
在地球物理学中，二维波动方程可以用来模拟地 震波在地壳中的传播和散射。
电磁波传播
在电磁学领域，二维波动方程可以用来描述电磁 波在介质中的传播特性。
物理背景
波动方程基于物理原理，如牛顿第二定律和弹性力学 等，用于描述波在空间中的传播和变化。
建立过程
通过将物理原理和数学方法相结合，可以建立二维波 动方程的数学表达式。
二维波动方程的解法
分离变量法
通过将二维波动方程中的空间和 时间变量分离，将问题简化为求 解一系列一维方程。
傅里叶分析
利用傅里叶变换将时间和空间域 的函数转换为频率域的函数，从 而简化求解过程。
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子波波源
波 的 折 射
波 的 反 射
大学物理学 振动和波动
波的叠加原理 波的干涉 1. 波传播的独立性原理: 若干列波在传播过程中相遇 , 每列波仍将保持其原有的振动 特性(频率,波长,振幅,振动方向), 不受其它波的影响. 2. 波的叠加原理: 在相遇区域内,任 一质元振动的位移 是各列波单独存在 时在该点引起的位 移的矢量和.
大学物理学 振动和波动
波的能量 波动的过程是能量 传播的过程. 波动表达式:
x y A cos (t ) u
dm Sdx
1. 介质元的能量
dV Sdx
质元的振动动能:
1 dEk dm v 2 2 y x v A sin (t ) t u
u
l
T
nT
or l uT
大学物理学 振动和波动
关于波速
1. 波速是振动能量或振动形式的传播, 非质点的振动速度. 2. 影响波速的因素: 介质的特性(弹性模量,介质的密度等). 拉紧的绳或弦中,横波的速度: u 固体中,横波的速度: u
G
FT
l
纵波的Βιβλιοθήκη 度: u BY
液体和气体内部只能传播纵波, 其速度: u 3. 波速与频率无关.
1. 当 x = x0(常数)时, 表示x0处质元的振动方程,
x0 y (t ) A cos t u
2. 当 t = t0(常数)时, 表示各质元的位移分布函数,
x y ( x) A cos t0 u
2π y A cos t ( x x0 ) l
说明: 1. “” 反映波的传播方向. 相位和波程关系: 2. x0 是波源坐标. 3. 是波源的振动初相位.
u
2π
l
大学物理学 振动和波动
波函数的物理意义
x y ( x, t ) A cos t u
x y A cos t u
若波沿x轴的负向传播, 则P点相位比O点相位超前t=x/u, 则
x y A cos t u
大学物理学 振动和波动
波动表达式的一般形式
x x0 y A cos t u
振幅: A
l
A12
2 A2
2 A1 A2 cos[1 2
2 r1
2π
l
(r1 r2 )]
)
初相: tan
大学物理学 振动和波动
波的能量密度和能流密度
能量密度: 单位体积中波的能量 dE x 2 2 2 w A sin (t ) dV u
1 平均能量密度: w T
0
T
1 2 2 wdt A 2
平均能流 : 单位时间内垂直通过某一面积 的平均能量 .
u
ut
S
P w uS
) ( m)
B
A
x
B点为原点的波动表达式: 波源坐标为:
x0 5m
x 5 y ' 3 cos 4π (t ) (m) 20
大学物理学 振动和波动
例题3: 有一平面简谐波沿Ox轴方向传播,在距反射面B为L 处的振动规律为 y =Acost, 设波速为u, 反射时无半波损失, 求入射波和反射波的波动表达式. 解: 入射波表达式:
波速:
大学物理学 振动和波动
例题2: 一平面简谐波在介质中以速度 u=20m/s,沿Ox轴的 负向传播. 已知A点的振动方程为y=3cos4t, 则(1)A点为坐 标原点求波动方程; (2)以距A点5m处的B为坐标原点求波 动表达式. y y’ 解: u x
y 3 cos 4π ( t
20
大学物理学 振动和波动
相干波的干涉加强和减弱条件
y1S A10 cos( t 1 )
y2S A20 cos( t 2 )
y1P A1 cos( t 1
y2 P A2 cos( t 2
S1
r1 r2
P
2π r1
2π r2
l
)
)
S2
yP y1P y2P A cos( t )
大学物理学 振动和波动
波的干涉 满足一定条件的两列 (或多列 )波在空间相遇(叠加),在空 间的某些地方振动始终加强 , 而在空间的另一些地方振动 始终减弱或完全消失的现象, 称为波的干涉. 相干条件:
(1) 频率相同; (2) 振动方向相同; (3) 有恒定的相位差. 相干波: 能产生干涉现象的波.
xL L 反射波表达式: y A cos ( t ) u u x 2L A cos ( t ) u u
x y A cos ( t ) u L y B A cos ( t ) u
u
u
B x
O
x
L
波动方程 x 波动表达式: y A cos[ (t ) ] u y x 质点的振动速度: v A sin[ (t ) ] t u x v 2 y 2 质点的振动加速度 : a 2 A cos[ (t ) ] t t u 2 x 2 y A 2 cos[ (t ) ] 2 u 2 2 u x
x
A:振幅; :波长
y
A O x1
u λ
x2
x
u△t
②经一段时间后, 波形图沿波速方向平移. ③各质点的振动速度的方向如图.
例题1: 已知t=0时的波形曲线为I, 波沿x方向传播, 经 t=0.5s 后波形变为曲线II. 已知波的周期 T > 1s, 试根据图中绘出 的 条 件 求 出 波 的 表 达 式 , 并 求 A 点 的 振 动 表 达 式 .( 已 知 y(cm) A=0.01m) II I A 解: A 0.01m 5 6 l 0.04m 1 2 3 4 x(cm)
大学物理学 振动和波动
y 1 y 2 2 2 x u t
—— 平面波的波动方程
可以证明对于无吸收的各向同性的均匀介质, 在三维空 间传播的一切波动过程都满足下列方程: 2 2 2 1 2 2 (ξ: 质点的位移) 2 2 2 x y z u t 2
波线、波面和波阵面
大学物理学 振动和波动
从波源沿各传播方向所画的带箭头的线 , 称为波线, 用 以表示波的传播路径和传播方向. 波在传播过程中, 所有振动相位相同的点连成的面, 称 为波面. 最前面的那个波面称为波阵面(波前). 平面波 波阵面 波线 波面 波阵面 球面波
波线
波面
• 波在传播过程中波面有无穷多个. • 在各向同性介质中波线和波面垂直.
dEk dEp
体元的总能量:
x dE dEk dEp dVA sin (t ) u
2 2 2
大学物理学 振动和波动
说明: 1. 介质元的动能、势能变化是同周期的, 而且相等. 2. 峰值处: Ek=Ep=0 ; 平衡位置处 y=0, Ek=Ep max
3. 介质元的机械能不守恒 , 因为它属于开放系统, 与相邻 介质元有能量交换.
解:
P w uS
u
l
T
T
P
2π
2π wS
u
l
2π
l
大学物理学 振动和波动
§4-8 波的干涉和波的衍射
衍射 : 波在传播的过程中遇到障碍 物或小孔后, 能够绕过障碍物的边缘 继续传播的现象.
隔 墙 有 耳
大学物理学 振动和波动
惠更斯原理 介质中波传播到各点,可看作是发射子波的 波源 , 在其后的任一时刻 , 这些子波波面的 包迹决定了原波动的新波前.
横波和纵波 横波: 质点的振动方向和波动的传播方向垂直.
大学物理学 振动和波动
特征: 波峰和波谷 纵波: 质点的振动方向和波动的传播方向相平行. 特征: 稀疏和稠密 • 在机械波中,横波只能在固体中出现. • 纵波可在气体、液体和固体中出现. • 空气中的声波是纵波. • 液体表面的波动情况较复杂,不是单纯的纵波或横波.。
波速由弹性介质性质决定 , 频率(或周期)则由波源的振 动特性决定.
大学物理学 振动和波动
§4-6 平面简谐波
在平面波传播的过程中 ,若介质中各质元均作同频率同 振幅的简谐运动, 称平面简谐波. 波函数的建立 波函数(或称波动表达式): 描述波传播到的各点的质点 的振动状态. 设 y 方向振动的平面简谐 波沿x方向传播, 传播速度为 u, 有
大学物理学 振动和波动
§4-5 机械波的产生和传播
振动和波动
振动: 于平衡位置, 无随波逐流. 波动: 振动的传播过程.
波动的种类 电磁波: 交变电磁场在空间的传播过程
大学物理学 振动和波动
机械波: 机械振动在弹性介质中的传播过程
物质波: 微观粒子的运动，其本身具有的波粒二象性 波动的共同特征 具有一定的传播速度, 且都伴有能量的传播. 能产生反 射、折射、干涉和衍射等现象. 机械波产生的条件 1. 波源 —— 被传播的机械振动 . 2. 弹性介质 —— 任意质点离开平衡位置会受到弹性力作 用. 在波源发生振动后, 因弹性力作用,带动邻近的质点 也以同样的频率振动. 如此将振动传播出去. 故机械振动 只能在弹性介质中传播.
大学物理学 振动和波动
1 dEk dm v 2 2
y x v A sin (t ) t u
1 x 2 2 2 质元的振动动能: dEk ( dV ) A sin (t ) 2 u