圆锥曲线的弦长公式及其推导过程
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程
二.双曲线：
设直线与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K,则
|P1P2|=|x1-x2| 或|P1P2|=|y1-y2| {K=(y2-y1)/(x2-x1)}
=
三.抛物线：
(1)核心弦：已知抛物线y²=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB为抛物线的核心弦,则
同理 的核心弦长为
的核心弦长为 ,所以抛物线的核心弦长为
由以上三种情形可知应用直线竖直角求过核心的弦长,异常简略明白,应予以控制.
圆锥曲线的弦长公式
一.椭圆：
设直线与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K,则
|P1P2|=|x1-x2| 或|P1P2|=|y1-y2| {K=(y2-y1)/(x2-x1)}
则 ,由余弦定理可得 , ,
整顿可得,
是以核心在x轴的核心弦长为
同理可得核心在y轴上的核心弦长公式
个中a为实半轴,b为虚半轴,c为半焦距, 为AB的竖直角.
三. 抛物线的核心弦长
若抛物线 与过核心 的直线 订交于两点 ,若 的竖直角为 ,求弦长|AB|.（图4）
解：过A.B两点分离向x轴作垂线AA1.BB1,A1.B1为垂足, ,则点A的横坐标为 ,点B横坐标为 ,由抛物线定
设双曲线 个中两核心坐标为 ,过F1的直线 的竖直角为 ,交双曲线于两点 求弦长|AB|.
解：（1）当 时,（如图2）
直线 与双曲线的两个交点A.B在统一支上,连 ,设 ,由双曲线界说可得 ,由余弦定理可得
整顿可得 , ,则可求得弦长
（2） ,如图3,
直线 与双曲线交点 在两支上,连F2A,F2B,设
|AB|=x1+x2+p或|AB|=2p/(sin² ）{ 为弦AB的竖直角}
圆锥曲线设m系直线的弦长公式
圆锥曲线设m系直线的弦长公式圆锥曲线是数学中重要的一类曲线，其特点是在平面中呈现出不同于直线、抛物线、椭圆和双曲线的形态。
在学习圆锥曲线的过程中，我们经常要涉及到直线的概念，并且在解题中常常涉及到求取直线的一些基本性质。
其中一个比较重要的性质就是圆锥曲线上的任何两点都可以用一条过中心的直线来连接。
而这条连接两点的中心直线的长度则称为该圆锥曲线的弦长。
圆锥曲线的弦长公式是指，在圆锥曲线上任选两点，连接它们的中心直线的长度与这两点之间的距离存在某种固定的关系。
对于椭圆和双曲线而言，这个关系式比较简单，可以直接通过勾股定理得到：对于椭圆：中心直线的长度为a^2-b^2+c^2，其中a和b为椭圆的长短半轴，c为椭圆中心到焦点的距离；两点之间的距离为2a*sin （Θ/2），其中Θ为两点所在的圆心角。
对于双曲线：中心直线的长度为a^2+b^2+c^2，其中a和b为双曲线的长短半轴，c为双曲线中心到焦点的距离；两点之间的距离为2a*sinh（Θ/2），其中Θ为两点所在的圆心角的双曲正弦函数。
而对于圆锥曲线的第三种形态——抛物线来说，其弦长公式相对而言就较为复杂。
这是因为在抛物线上，任意两点之间的距离都相等，且其中心直线的长度与这个距离有关。
因此，在求解抛物线的弦长时，我们需要加入一些额外的推导工作，其中的关键就是确定一条通过两点的切线，并计算出其在抛物线上的交点。
通过这个交点，我们就能够得到弦长的具体数值。
总的来说，圆锥曲线的弦长公式是一个非常重要的数学工具，在解题过程中起着关键的作用。
不论是在研究圆锥曲线的一般性质，还是在具体的应用中，对这个公式的掌握都会事半功倍。
因此，在学习圆锥曲线的过程中，我们必须认真研究弦长公式，掌握其推导方法和具体应用技巧，才能在数学研究或实际问题求解中更加得心应手。
圆锥曲线焦奌弦长公式推导
圆锥曲线焦奌弦长公式推导圆锥曲线焦弦长公式是指在圆锥曲线上，焦点到曲线上一点的弦长与该点到曲线直径的比例是一个常数。
下面是推导圆锥曲线焦弦长公式的过程：设在圆锥曲线上有一点P(x, y)，焦点为F(f, 0)，曲线的方程为f(x, y) = 0。
我们要求点P到焦点F的弦长。
首先，我们可以得到点P到焦点F的距离为：PF = √((x - f)^2 + y^2)然后，我们设圆锥曲线的直径为2a，即曲线上的点到直径的距离为a。
因此，点P到直径的距离为：PD = a - x根据圆锥曲线的定义，我们有：PF = e * PD其中，e为离心率。
将PD代入上式，得到：√((x - f)^2 + y^2) = e * (a - x)对上式两边进行平方，得到：(x - f)^2 + y^2 = e^2 * (a - x)^2展开并整理上式，得到：x^2 - 2fx + f^2 + y^2 = e^2 * (a^2 - 2ax + x^2)移项并整理，得到：(1 - e^2) * x^2 + 2fx - 2ax + f^2 - e^2 * a^2 + y^2 = 0由于点P(x, y)在圆锥曲线上，所以上式左边为0，即：(1 - e^2) * x^2 + 2fx - 2ax + f^2 - e^2 * a^2 + y^2 = 0我们可以将上式写成标准形式：(1 - e^2) * x^2 + 2(f - a) * x + (f^2 - e^2 * a^2 + y^2) = 0注意到上式是一个二次方程，其系数满足关系：A = 1 - e^2B = 2(f - a)C = f^2 - e^2 * a^2 + y^2根据二次方程的性质，可以求出x的两个解，即x1和x2。
那么点P到焦点F的弦长为：PF = |x1 - x2|将x1和x2代入上式，即可得到圆锥曲线焦弦长公式的推导结果。
需要注意的是，具体的圆锥曲线焦弦长公式会根据不同的圆锥曲线类型（如椭圆、双曲线、抛物线等）而有所差异。
高中数学圆锥曲线弦长公式(一)
高中数学圆锥曲线弦长公式(一)高中数学圆锥曲线弦长公式1. 椭圆的弦长公式•椭圆是圆锥曲线中的一种•弦是椭圆内部的两点之间的线段•椭圆的弦长可由弦与椭圆的焦点坐标计算得到2. 椭圆弦长公式•假设椭圆的焦点为F1(0, c)和F2(0, -c)，椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b•弦的两个端点的坐标为(Ax, Ay)和(Bx, By)•椭圆的弦长公式为：d = 2a * √(1-(Ax-Bx)²/(4a²)) + 2b * √(1-(Ay-By)²/(4b²))举例说明•假设有一个椭圆的长轴长度为6，短轴长度为4，焦点坐标为F1(0, 2)和F2(0, -2)•弦的端点坐标为A(3, -2)和B(-3, 2)•根据椭圆弦长公式：d = 26 √(1-(3+3)²/(46²)) + 24 * √²/(4*4²))•化简得：d = 12 * √(1-36/144) + 8 * √(1-16/64)•继续化简得：d = 12 * √(1-1/4) + 8 * √(1-1/4)•最终结果为：d = 12 * √(3/4) + 8 * √(3/4)•进一步化简得：d = +•因此，该椭圆的弦长为约。
3. 抛物线的弦长公式•抛物线是圆锥曲线中的一种•弦是抛物线内部的两点之间的线段•抛物线的弦长公式可通过两点间的距离计算得到举例说明•假设有一个抛物线的焦点为F(0, p)，准线方程为y = -p，焦距为2p•弦的两个端点的坐标为(Ax, Ay)和(Bx, By)•则抛物线的弦长公式为：d = √((Ax-Bx)²+(Ay-By)²)4. 双曲线的弦长公式•双曲线是圆锥曲线中的一种•弦是双曲线内部的两点之间的线段•双曲线的弦长公式可通过两点间的距离计算得到举例说明•假设有一个双曲线的焦点为F1(c, 0)和F2(-c, 0)，双曲线的长轴长度为2a，短轴长度为2b•弦的两个端点的坐标为(Ax, Ay)和(Bx, By)•则双曲线的弦长公式为：d = √((Ax-Bx)²-(Ay-By)²)以上是高中数学中圆锥曲线弦长公式的相关介绍和举例说明。
求解圆锥曲线的弦长公式的推导过程
圆锥曲线的弦长公式是：L=2π√(R^2+r^2)/2-Rr 。
推导过程如下：
1、将圆锥曲线分解成外部半径为R的大圆和内部半径为r的小圓，由于它们有相同的中心，因此可以将它们看作一条弧。
2、根据余弦定理可得出大圆和小圓之间的夹角θ=cos-1((R-r)/d) （d表示大小圓之间的距离）。
3、根据三角形周长公式可得出该三角形周长L=a+b+c （a,b,c分别表示大小圓之间夹边所对应的三条弦）。
4、由于该三角形是一个平行四边形中心旁切剖而成，因此有a=b=c=(R+r)sinθ/2
（sinθ/2表示斜对边所对应的半径所成外劈边所对应的斜对辰～也就是说斜对辰也是一条直径~ 就能通过上述方法将原始问题化整个思想流畅明了~ 正好可以使电子学习者不会陷入难以理解和无法适应学习氛围中~ 呵呵~ 终于有人能帮助你理清思想流畅明了~ 正好可以使电子学习者不会陷入难以理解和无法适应学习氛围中~ 呵呵~ 终于有人能帮助你理清思想流畅明了~~). 5、将上述步骤代入L = a + b + c , 即 L = 2 ( R + r ) sin θ / 2 . 6、根据正弦定理sin θ = 2 sin ( θ / 2 ) cos ( θ / 2 ) , 就可以将L = 4 R r cos ( θ / 2 ) . 7、再根据余弦定理cos ( θ / 2 ) = √ [ 1 - sin ^ { 2 } ( θ / 2 )] , 最后便可得出L = 4 R r √ [ 1 - ( R - r d ) ^
{ 2 } ] . 8. 最后化整即L = 4 π √(R^2+r^2)/4-Rr。
高中数学圆锥曲线弦长公式(二)
高中数学圆锥曲线弦长公式(二)高中数学圆锥曲线弦长公式1. 弦长公式弦长公式是关于圆锥曲线上两点之间弦的长度的公式，根据不同的圆锥曲线类型有不同的表达式。
下面将列举各个圆锥曲线的弦长公式，并给出相应的示例。
椭圆的弦长公式椭圆是一种圆锥曲线，其弦长公式为：L=2asin(θ2 )其中，L为弦长，a为椭圆长轴的长度，θ为弦与椭圆长轴所夹的角度。
例如，假设椭圆长轴长度为6，弦与椭圆长轴所夹角度为60°，代入公式计算得到：L=2×6sin(60°2)=2×6sin30°=6×1=6所以该椭圆上所给定的两点之间的弦长为6。
双曲线的弦长公式双曲线是一种圆锥曲线，其弦长公式为：L=2asinh(θ2 )其中，L为弦长，a为双曲线长轴的长度，θ为弦与双曲线长轴所夹的角度，sinh为双曲正弦函数。
例如，假设双曲线长轴长度为4，弦与双曲线长轴所夹角度为45°，代入公式计算得到：L=2×4sinh(45°2)=2×4sinh°=2×4×=所以该双曲线上所给定的两点之间的弦长约为。
抛物线的弦长公式抛物线是一种圆锥曲线，其弦长公式为：L=|8a2 3ℎ|其中，L为弦长，a为抛物线的焦点到顶点的距离，ℎ为弦与抛物线的对称轴之间的垂直距离。
例如，假设抛物线的焦点到顶点的距离为6，弦与抛物线的对称轴之间的垂直距离为2，代入公式计算得到：L=|8×623×2|=|2886|=48所以该抛物线上所给定的两点之间的弦长为48。
2. 总结•椭圆的弦长公式为L=2asin(θ2)；•双曲线的弦长公式为L=2asinh(θ2)；•抛物线的弦长公式为L=|8a 23ℎ|。
以上是圆锥曲线弦长公式的相关内容，通过这些公式我们可以计算出给定圆锥曲线上两点之间的弦长。
圆锥曲线弦长公式精编版
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯圆锥曲线弦长公式对于直线与圆锥曲线订交求弦长，通用方法是将直线代入曲线方程，化为对于 x 的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长，这类整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线订交弦长是十分有效的，但是对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这类方法对比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及相关定理导出各样曲线的焦点弦长公式就更加简捷。
. 椭圆的焦点弦长若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A、B两点，求弦长。
解：连接，设，由椭圆定义得，由余弦定理得，整理可得，同理可求得，则弦长同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为（a为长半轴， b 为短半轴， c 为半焦距）结论：椭圆过焦点弦长公式：二.双曲线的焦点弦长设双曲线，此中两焦点坐标为，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|。
解：（ 1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点 A、B 在同一交点上，连，设，由双曲线定义可得，由余弦定理可得整理可得，同理，则可求得弦长（ 2）当或时，如图3，直线l与双曲线交点A、B 在两支上，连，设，则，，由余弦定理可得，整理可得，则所以焦点在 x 轴的焦点弦长为同理可得焦点在y 轴上的焦点弦长公式三此中 a 为实半轴， b 为虚半轴， c 为半焦距，为 AB的倾斜角。
. 抛物线的焦点弦长若抛物线与过焦点的直线订交于A、B两点，若的倾斜角为，求弦长 |AB| ？（图 4）解：过 A、B两点分别向 x 轴作垂线为垂足，设，，则点 A 的横坐标为，点B横坐标为，由抛物线定义可得即则同理的焦点弦长为的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为由以上三种状况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，特别简单明确，应予以掌握。
一。
弦长公式证明及应用详解
弦长公式证明及应用详解公式为： ｜AB ｜2121x x k -+=2122124)(1x x x x k -++=和：|AB|=122121224)(||11y y y y y y k-+=-+作用:应用弦长公式很方便，它所解决的问题是求直线与所有圆锥曲线所交弦的弦长，因为直线的斜率往往是已知的，这样再知道两个交点的横坐标或者纵坐标就可以直接利用公式求出来，如果不知道横纵坐标也可以直接把直线和圆锥曲线联立方程组，进而转化成一元二次方程利用韦达定理不用解方程代入公式直接求出弦长 公式证明：证法一：若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则 弦长221221)()(y y x x AB -+-=221221)]([)(b kx b kx x x +-++-= 2121x x k -+= 2122124)(1x x x x k-++=其实用三角函数来证明也很简单 方法如下 证法二：表示倾斜角）ααααααα(cos 1111cos cos cos sin tan222222==+=+=+k 又因为：αcos ||||21=-AB x x 所以||1||cos 1cos ||||2122121x x k x x x x AB -+=-=-=αα2122124)(1x x x x k -++= 同理:｜AB|=122121224)(||11y y y y y y k-+=-+推导方法如下：是倾斜角）αα(sin ||||21=-AB yy ; 又因为：αααααααsin 111211sin sin cos sin sin cos 222222==+=+=+k所以：｜AB ｜=122121224)(||11y y y y y y k-+=-+特殊的,在如果直线AB 经过抛物线的焦点，则|AB ｜=2P例题1:已知直线1+=x y 与双曲线14:22=-y x C 交于A 、B 两点，求AB 的弦长 解：设),(),,2211y x B y x A （ 由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=14122y x x y 得224(1)40x x -+-=得23250x x --= 则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+35322121x x x x 得,2383209424)(1212212=+=-++=x x x x k AB 练习1：已知椭圆方程为1222=+y x 与直线方程21:+=x y l 相交于A 、B 两点,求AB 的弦长练习2：设抛物线x y 42=截直线m x y +=2所得的弦长AB 长为53,求m 的值分析：联立直线与抛物线的方程,化简,根据根与系数的关系，求弦长 解：设 ),(),,2211y x B y x A （联立方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=122122y x x y 得03462=-+x x则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+21322121x x x x3112)21(4)32(24)(12212212=-⨯--=-++=∴x x x x k AB解: 设),(),,2211y x B y x A （联立方程：⎩⎨⎧+==mx y x y 242得0)44(422=+-+m x m x则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+4122121m x x m x x 53)1(54)(122212212=--=-++=m m x x x x kAB4-=∴m例题2：已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称相异的两点A 、B ，求弦长AB分析：A 、B 两点关于直线0=+y x 对称，则直线AB 的斜率与已知直线斜率的积为1-（根据直线垂直斜率之积是-1）且AB 的中点在已知直线上解:B A 、 关于0:=+y x l 对称 1-=⋅∴AB l k k 1-=l k 1=∴AB k设直线AB 的方程为b x y += ，),(),,2211y x B y x A （ 联立方程⎩⎨⎧+-=+=32x y bx y 化简得032=-++b x x121-=+∴x x AB ∴中点)21,21(b M +--在直线0=+y x 上 1=∴b 022=-+∴x x则 ⎩⎨⎧-=-=+212121x x x x238)1(24)(12212212=+-=-++=∴x x x x k AB小结：在求直线与圆锥曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法，在求解过程中一般采取步骤为：设点→联立方程→消元→韦达定理→弦长公式作业:（1） 过抛物线24y x =的焦点,作倾斜角为α的直线交抛物线于A ，B 两点，且316=AB ，求α的值 （2） 已知椭圆方程1222=+y x 及点)2,0(-B ,过左焦点1F 与B 的直线交椭圆于C 、D 两点,2F 为椭圆的右焦点,求2CDF ∆的面积。
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(2)设直线与抛物线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则
|P1P2|=|x1-x2| 或|P1P2|=|y1-y2| {K=(y2-y1)/(x2-x1)}
=
=
二、双曲线：
设直线与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则
|P1P2|=|x1-x2| 或|P1P2|=|y1-y2| {K=(y2-y1)/(x2-x1)}
=
三、抛物线：
(1)焦点弦：已知抛物线y²=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB为抛物线的焦点弦，则
设双曲线 其中两焦点坐标为 ，过F1的直线 的倾斜角为 ，交双曲线于两点 求弦长|AB|.
解：（1）当 时，（如图2）
直线 与双曲线的两个交点A、B在同一支上，连 ，设 ，由双曲线定义可得 ，由余弦定理 ，如图3，
直线 与双曲线交点 在两支上，连F2A,F2B,设
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程之阿布丰王创作
关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线 代入曲线方程，化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标 利用韦达定理及弦长公式 求出弦长，这种整体代换、设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，若利用圆锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷.
同理 的焦点弦长为
的焦点弦长为 ，所以抛物线的焦点弦长为
由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握.
圆锥曲线的弦长公式
一、椭圆：
设直线与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则
|P1P2|=|x1-x2| 或|P1P2|=|y1-y2| {K=(y2-y1)/(x2-x1)}
则 ，由余弦定理可得 , ,
整理可得，
因此焦点在x轴的焦点弦长为
同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式
其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距， 为AB的倾斜角.
三、抛物线的焦点弦长
若抛物线 与过焦点 的直线 相交于两点 ，若 的倾斜角为 ，求弦长|AB|.（图4）
解：过A、B两点分别向x轴作垂线AA1、BB1，A1、B1为垂足， ，则点A的横坐标为 ，点B横坐标为 ，由抛物线定
一、椭圆的焦点弦长
若椭圆方程为 ，半焦距为c>0，焦点 ，设过 的直线 的倾斜角为 交椭圆于两点 求弦长 .
解：连结 ，设 ，由椭圆定义得 ，由余弦定理得 ，整理可得 ，同理可求得 ，则 ；
同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为 （a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）.
结论：椭圆过焦点弦长公式：
二、双曲线的焦点弦长