2007-2008(2)《概率统计》试题A卷解答
2008年概率统计期末考试试卷
石家庄铁道学院2007-2008学年第Ⅱ学期2006 级本科班概率统计期末考试试卷一、（20分）计算下列各题1.（10分）某工厂有四种机床：车床、钻床、磨床和刨床，其台数之比为9:3:2:1，而在某段时间内需要修理的台数之比为1:2:3:1，在该段时间内任取一台机床，(1)求取出机床需要修理的概率。
(2)已知取出机床需要修理，问这台机床是车床的概率是多少？ 2．(10分) 服从拉普拉斯分布的随机变量X 的概率密度1()2xf x e-=(1)求X 的分布函数F(x)；(2)求E X ；(3)求3Y X =的概率密度。
二、（30分）计算下列各题1．（10分）在10件产品中有两件一级品、7件二级品和1件次品，从中不放回抽取三件，用Y X 、分别表示抽到的一级品和二级品的件数， (1)求),(Y X 的分布律；(2)求关于Y X ,的边缘分布律； (3)判断YX ,是否相互独立。
2．（12分）二维..(,)R V X Y 密度函数为{0(,)0.yex y f x y -≤≤=，其他(1)求二维..(,)R V X Y 关于,X Y 的边缘密度函数；(2),X Y 是否独立，为什么？(3)求()E XY ；(4) 求{2,2}P X Y >>。
3．（8分）系统L 由两个子系统L 1和L 2串联组成，子系统L 1和L 2的寿命X 和Y 分别服从参数为α和β的指数分布且互相独立，0,0αβ>>, 求系统寿命min{,}Z X Y =的概率密度。
三、（20分）解下列数理统计问题 1．（10分）设2~(0,)XN σ，2σ未知，n X X X ,,,21 为样本，12,,,n x x x 为样本观测值，求2σ的极大似然估计量。
2．（10分）机器自动包装食盐，包装好的袋装盐的净重服从正态分布，机器正常时平均每袋盐的重量为500克。
某天开工后，为了检验机器是否正常工作，从已经包装好的食盐中随机抽取9袋，测得样本均值499x =，样本方差为2216.03s =。
概率论与数理统计2007—2008学年第一学期期末考试试卷及参考答案与评分标准
2007-2008学年第一学期期末考试试卷考试科目：概率论与数理统计 得 分：学生所在系： _________ 姓名 ______________ 学 号：______________________（考期：2008年1月22日，闭卷，可用计算器）一、 （15分）一串0,1数字（独立同分布）组成的序列中1的概率p 代表了某种有用的 信息，由于某种原因需要对其保密。
现对该串数字进行随机加密，对序列中的每一个数字抛 一枚硬币（每次正面出现的概率为〃），若抛出的为正面，则原序列的数字不变，若抛出的 为反面，则原序列中相应的数字由工变成1-工（即0变成1, 1变成0）。
加密后的序列可 以公布，其中1的概率p*可以估计出来。
若知道〃的值，就可以从加密后的序列中的1的频 率为〃*计算出原序列的p,所以〃称为“密钥”。
（1） 现己知p = 0.7 ,如果“密钥” "=0.4,试求p ；（2） 试说明为什么均匀硬币（7 = 0.5）不适合用来加密。
二、 （15 分）设随机变量 X 满足：| X |< 1, P （X = -1） = 1/8, P （X = 1） = 1/4 ,而且, X 在（-1, 1）内任一子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比。
试求：（1） X 的概率分布函数F （x ） = P （X < x ）；（2）X 取负值的概率； （3） X 的数学期望项X ）。
三、（20分）二维随机变量（X,F ）的密度函数为:（1）试求系数A = ? ； （2） X 与Y 是否独立?（3）试求Z = X + Y 的密度函数心（z ）；(4) 试求W (X|X + y = l)of(x, y)=（而-（35）3 > 0, > > 0)其他四、（20分）设样本（X“X2，・・・,X〃）抽自正态总体X ~N（", 1）,々为未知参数（1）试求0 = P（X>2）的极大似然估计0"（结果可用（D（.）的形式表示）;（2）写出日的（1一。
2007-08概率统计A卷试题及答案
2007 – 2008学年第一学期《概率论与数理统计A 》试卷答案一、填空题（每小题3分，满分21分，把答案填在题中横线上）1．设()()P A P B p ==，且,A B 至少有一个发生的概率为0.2，,A B 至少有一个不发生的概率为0.6，则p = 0.3 ． 解 已知()0.2,()0.6P A B P A B == ，0.2()()()()2()P A B P A P B P AB p P AB ==+-=- ，0.6()1()1()P A B P A B P AB ==-=- ，()0.4P AB =， 0.3p =2．11个人随机地围一圆桌而坐，则甲乙两人相邻而坐的概率为 0.2 ．解 设A 表示事件“甲乙相邻而坐”。
样本空间所包含的基本事件数为11！，事件A 包含的基本事件数为1129!⨯⨯11292()0.21110P A ⨯⨯===！！ 3．设随机变量~(,)X B n p ，则对任意实数x ，有limn x P →∞⎫≤=⎬⎭()x Φ或22t xdt -⎰． 4．设随机变量X Y 与的方差和相关系数分别为XY ()3,()4,0D X D Y ρ===，则(21)D X Y -+= 16 ．解 (21)(2)D X Y D X Y -+=-(2)()2cov(2,)D X D Y X Y =+- 4()()4cov(,)D X D Y X Y =+-4()()4XY D X D Y ρ=+-=165．设~(0,1)X N ，1.96是标准正态分布的上0.025分位点，则{}1.96P X =≤ 0．975 ．解 1.96是标准正态分布的上0.025分位点，即{}0.0251.96P X =≥{}1.96P X =≤{}110.0250.9751.96P X -=-=>6．设12(,,,)n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，则当常数k =11n -时， 221()ni i k X X σ==-∑ 是参数2σ的无偏估计量．7．设总体2~(,)X N μσ，12(,,,)n X X X 是来自总体X 的样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，2σ未知，若检验假设0010:,:H H μμμμ=≠~ t (n-1).二、选择题（每小题3分，满分18分）X Y 与满足条件()()()D X Y D X D Y +=+， 则下面结论不成立的是（ C ）（A ）X Y 与不相关．（B ）()()()E XY E X E Y =．（C ）X Y 与相互独立． （D ）cov(,)0X Y =．2．设随机变量X 的概率密度为cos ,||,2()0,||.2k x x f x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩ 则k 等于（ B ）（A ）14． （B ）12． （C ）0． （D ）1．3．某班12名战士各有一支归自己使用的枪，枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了一支枪，则拿到是自己枪的人数的数学期望是（ D ） （A ）112． （B ）0． （C ）12． （D ）1． 解 设1,i 0,i i X ⎧=⎨⎩第个战士拿到自己的枪，第个战士没拿到自己的枪，1,2,,12i = ，则1(),12i E X = 设X 表示拿到自己枪的人数.则121i i X X ==∑1212111()()12112i i i i E X E X E X ==⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭∑∑4．设X Y 与为相互独立的随机变量，其分布函数分别为()X F x 和()Y F y ，则随机变量max(,)Z X Y =的分布函数为（ A ） （A ）()()()Z X Y F z F z F z =．（B ）[][]()1()1()Z X Y F z F z F z =--．（C ）()1()()Z X Y F z F z F z =-．（D ）()()()Z X Y F z F z F z =+．5．设1210(,,,)X X X 是来自总体2(0,)N σ的样本，则下面结论正确的是（ C ）（A ）1022211~(9)kk Xχσ=∑．（B ）1021~(9)k k X t =∑．（C ）1022211~(10)k k X χσ=∑． （D ）1021~(10)k k X t =∑．6．设总体2~(,)X N μσ，μ为未知参数，样本12,,,n X X X 的方差为2S ，对给定的显著水平α，检验假设2201:2,:2H H σσ=<的拒绝域是（ B ） （A ）221/2(1)a n χχ-≤-． （B ）221(1)a n χχ-≤-． （C ）221/2()a n χχ-≤．（D ）221()a n χχ-≤．三、计算题（每小题10分，满分50分）1．一个系统中有三个相互独立的元件，元件损坏的概率都是0.2．当一个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.25; 当两个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.6; 当三个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.95; 当三个元件都不损坏时，系统不发生故障. 求系统发生故障的概率． 解 设A 表示“系统发生故障”的事件，i B 表示“有i 个元件发生故障”的事件，1,2,3i =；由全概率公式 112233()()()()()()()P A P B P A B P B P A B P B P A B =++ 由已知，1()0.25P A B =，2()0.6P A B =，3()0.95P A B =1213()0.20.80.384P B C =⨯⨯= ，2223()0.20.80.096P B C =⨯⨯= ，3333()0.20.008P B C ==所以1612.095.0008.06.0096.025.0384.0)(=⨯+⨯+⨯=A P 2．设随机变量X 的分布律为X -1 0 1 2P 0.1 2.0 a b若()1E X =，(1)求常数a , b ; (2)求Y=X 2 的分布律.解 (1)由 0.10.21a b +++=,()E X =10.100.212a b -⨯+⨯+⨯+⨯=1,解得a =0.3, b =0.4. (2) Y=X 2的可取值为0,1,4.{}0P Y =={}0P X ==0.2,{}1P Y =={}1P X =-+{}1P X ==0.1+0.3=0.4, {}4P Y =={}==2X P 0.4, 因此Y=X 2 的分布律为Y 0 1 4 P 2.0 0.4 0.43．设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为,0<1,(,)0,Ax x y f x y <<⎧=⎨⎩其他.（1）求常数A ； （2）求关于,X Y 的边缘概率密度函数；（3）判断X Y 与是否相互独立；（4）求{1}P X Y +≤． 解（1）由(,)d d 1f x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰，有 1001d d 6yAy Ax x ==⎰⎰，得6A =； （2）()X f x =(,)d f x y y +∞-∞⎰, 当0x ≤或1x ≥时，()X f x =0,当01x <<时，1()6d 6(1)X x f x x y x x ==-⎰， 所以6(1),01;()0.X x x x f x -<<⎧=⎨⎩其它同理 23,01;()0.Y y y f y ⎧<<=⎨⎩其它（3）由(,)()()X Y f x y f x f y ≠，所以X Y 与不相互独立 （4）11201(1)6d d 4xx P X Y x x y -+≤==⎰⎰.4．设随机变量X Y 与相互独立，其概率密度分别为0;e ,()0,0.xX x f x x ->⎧=⎨≤⎩ 20;1e ,()20,0.yY y f y y ->⎧⎪=⎨⎪≤⎩求Z X Y =+的概率密度．解法1 由卷积公式 ()()()d Z X Y f z f x f z x x +∞-∞=-⎰因为e >0;()00.xX x f x x -⎧=⎨≤⎩ 21e>0;()200.yY y f y y -⎧⎪=⎨⎪≤⎩所以 0()()()d e ()d xZ X Y Y f z f x f z x x f z x x -+∞+∞-∞=-=-⎰⎰e ()d t zY z t z x f t t --∞=--⎰令e()d t zzY f t t --∞=⎰当0z ≤时 ()e ()d 0t zzZ Y f z f t t --∞==⎰ 当0z >时 201()e ()d ee d 2tt zt zzzZ Y f z f t t t ----∞==⎰⎰2e (e 1),z z -=- ()()()d Z X Yf z f x f z x x +∞-∞=-⎰2e (e 1),0,0,0.zz z z -⎧⎪->=⎨⎪≤⎩解法2 先求Z 的分布函数()Z F z . 联合密度函数为21,0,0,(,)()()20,,y x X Y e e x y f x y f x f y --⎧>>⎪==⎨⎪⎩其它(){}{}(,)Z x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰当0z ≤时, ()(,)0,Z x y zF z f x y dxdy +≤==⎰⎰当0z >时, 21()(,)2yx Z x y zDF z f x y dxdy e e dxdy --+≤==⎰⎰⎰⎰20012yzz x x e dx e dy ---=⎰⎰221z ze e --=-+分布函数为 221,0()0,0z z Z e e z F z z --⎧⎪-+>=⎨⎪≤⎩再求导,得概率密度 2e (e 1),0,()()0,0.zz Z Z z f z F z z -⎧⎪->'==⎨⎪≤⎩5．设12(,,,)n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，求μ和2σ的最大似然估计量． 解 设12,,,n x x x ，相应的样本观测值，则似然函数为2()22122221L(,)11exp ()22i x ni nni i x μσμσμπσσ--===⎛⎫⎧⎫=--⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭∑取对数，得222211ln L(,)(ln 2ln )()22n i i n x μσπσμσ==-+--∑将2ln L(,)μσ分别对μ与2σ求偏导数，并令其等于零， 得方程组2122241ln 1()0ln 1()022ni i ni i L x L n x μμσμσσσ==∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+-=⎪∂⎩∑∑ 解此方程组，得到参数μ和2σ的最大似然估计值是12211ˆ;1().n i i ni i x x n x x n μσ==⎧==⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑∑ 因此,μ和2σ的最大似然估计量是12211ˆ;1().n i i ni i X X n X X n μσ==⎧==⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑∑四、证明题（共2道小题，满分11分）1．（6分）若(|)(|)P A B P A B >，试证(|)(|)P B A P B A >． 证明 因为()(|)()()()()()(|)()1()1()P AB P A B P B P AB P A AB P A P AB P A B P B P B P B =--===--由 (|)(|)P A B P A B >， 所以得()()()()1()P AB P A P AB P B P B ->- ()()()()()()()P AB P B P AB P A P B P B P AB ->- ()()()P AB P A P B ∴>从而 ()()()()()()()P AB P A P AB P A P B P A P AB ->-即()()()()P AB P A P A P BA > ()()()()P AB P BA P A P A > 所以(|)(|)P B A P B A >．2．（5分）设12(,,,)n X X X 是来自总体(0,1)N 的样本，证明{}21202ni i n P X n n=-<<≥∑． 证明 根据2221~()ni X n χχ=∑，且22(),()2E n D n χχ==，由切比雪夫不等式，有{}{}2221|()|02ni P P E nX n χχ=-<<<∑22()21D n n nχ-≥-=．。
广州大学2007至2008学年第二学期概率论与数理统计期末考试试题A
广州大学2007至2008学年第二学期概率论与数理统计期末考试试题A学院领导审批并签名A 卷广州大学2007-2008学年第二学期考试卷课程：概率论与数理统计考试形式：闭卷考试题次一二三四五六七八总分分数15 15 12 10 16 12 1010100得分评卷人一、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题3分，总计15分）1 对于任意两个事件A与B,必有P(A-B)=( C )A. P(A)-P(B) BP(A)-P(B)+P(AB) C P(A)-P(AB) D P(A)+P(B)2.某种动物活到25岁以上的概率为0.8，活到30岁的概率为0.4，则现年25岁的这种动物活到30岁以上的概率是（ D ）。
A. 0.76B. 0.4C.0.32 D. 0.53.设F(x)和f(x)分别为某随机变量的分布函数和概率密度,则必有( C )A f(x)单调不减 B C D4.设随机变量与相互独立，且，服从于参数为9的泊松分布，则（C ）。
A. –14B. –13C.40 D. 416.设二维随机变量(X,Y)的联合分布列为若X与Y独立,则( A )二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分）（1）设A、B为互不相容的随机事件则（0.9）（2）三个人独立地破译密码，他们能译出的概率分别为、、，此密码能被译出的概率为（3/5）。
（3）已知随机变量，且，则（3）。
（4）设和是相互独立的两个随机变量，且服从（－1，2）上的均匀分布，，则（1/2），（19/4）。
（5）设随机变量和相互独立，，，令，则（），（），的概率密度函数为（）。
三、（本大题共2小题，每小题6分，总计12分）1．袋子内放有两个伍分、三个贰分和伍个壹分的硬币，从中任取五个，求钱额总和超过一角的概率。
解法1：。
6分解法2：。
6分2. 甲、乙是位于某省的二个城市，考察这二城市六月份下雨的情况，以A，B分别表示甲，乙二城市出现雨天这一事件，根据以往的气象纪录知, ,求和.解: 。
2007级概率统计(理工类)考试试卷A答案
暨 南 大 学 考 试 试 卷上分位数（除填空题外，其它题用到的分位数请详细列明）0025002582306, 92262..().().,t t == 00500581859, 91833..().().t t ==20.025(8)17.532χ=， 20.025(9)19.022=χ， 20.975(8) 2.18=χ， 20.975(9) 2.7=χ 108413().Φ= ，1645095(.).Φ=，1960975(.).Φ=， 2509938(.).Φ=得分 评阅人二、选择题（共8小题，每小题2分，共16分）答案填写在右表1. 设随机变量X 服从正态分布2(,) N μσ，则随着标准差σ的增大，概率{}P X μσ-<如何变化（ C ）(A) 单调增大; (B) 单调减少; (C) 保持不变; (D) 增减不定。
2. 离散型随机变量X 的概率分布为()kP X k A λ== (1,2,k =)的充要条教 师 填写 2008 - 2009 学年度第__二_ 学期课程名称：__概率论与数理统计（理工类）_ 授课教师姓名：_____刘中学______考试时间:____2009__年 7_月__15__日课程类别必修[√ ] 选修[ ]考试方式开卷[ ] 闭卷[√ ] 试卷类别(A ，B,…) [ A ] 共 7 页考 生 填 写学院(校) 专业 班(级)姓名 学号 内招[ ] 外招[ ]题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分得 分题 号1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 C A D A C B B A 得 分件是（ A ）。
（A ）1(1)A λ-=+且0A >； （B ）1A λ=-且01λ<<； （C ）1A λ=-且1λ<； （D ）0A >且01λ<<. 3. 已知()0.5P A =，()0.4P B =，()0.6P AB =，则()P A B =（D ）(A) 0.2 ； (B) 0.45； (C) 0.6 ； (D) 0.75。
2007—2008学年概率论第一学期期终考试及参考答案
¯ ∼ N (0, 1), X ¯ − 1 ∼ N (−1, 1). (2) X 7. (1) E (X ) =
θ , θ +1
ˆ MM = θ
¯ X ¯; 1−X n i =1
(2) ln L(θ) = n ln θ + (θ − 1)
ln Xi , θ MLE = −
n i=1
n . ln Xi
1
上
专业
海
班级
海
事
姓名
大
学
学号
试
卷
得分
概率论与数理统计(卷A): 20080114
本试卷共8大题(第1, 2, 5, 6题每题10分, 第3, 4, 7, 8题每题15分) 可能用到的分位点表如下: z0.05 = 1.645 z0.0025 = 1.960 t0.025 (27) = 2.0518 t0.05 (27) = 1.7033 t0.025 (28) = 2.0484 t0.025 (29) = 2.0452 t0.05 (29) = 1.6991 t0.05 (13) = 1.7709 F0.025 (11, 16) = 211) = 3.28 F0.025 (7, 6) = 5.70 F0.025 (6, 7) = 5.12 1. 设A, B为两事件, 已知P(A) = 0.3, P( B) = 0.5, 计算: (1) 若A, B相互独立, 求P(A ∪ B); ¯ ). (2) 若P(A| B) = 0.4, 求P(A| B
3 8. 某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱, 从两条自动化流水线上分别抽取样 本(X1 , · · · , X12 )与(Y1 , · · · , Y17 ), 观测后算得 x ¯ = 10.6(g), y ¯ = 9.5(g), s2 1 = 2.4, 2 s2 = 4.7, 假 设 这 两 条 流 水 线 上 灌 装 的 番 茄 酱 的 重 量 分 别 服 从 正 态 分 2 2 2 布N (µ1 , σ2 1 )与 N (µ2 , σ2 ), 且相互独立. µ1 , σ1 , µ2 , σ2 均未知. 求:
08级本科《概率论与数理统计》A卷答案(教考分离)
上海立信会计学院2009～2010学年第二学期2008级本科《概率论与数理统计》期终考试试卷（A ）（本场考试属闭卷考试，考试时间120分钟，可使用计算器） 共8页学院 班级 学号 姓名一、单项选择题（每题2分，共10分）在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
1．对于事件设B A ,，下列命题正确的是 （ ） A .若B A ,互不相容，则A 与B 也互不相容 B .若B A ,相容，则A 与B 也相容C .若B A ,互不相容，且概率都大于零，则A 与B 也相互独立D .若B A ,相互独立，则A 与B 也相互独立2．将一枚骰子掷两次，记21X X 、分别第一、第二掷出的点数。
记：}10{21=+=X X A ,}{21X X B <=。
则=)|(A B P （ ）A .31 B .41 C .52 D .65 3．设随机变量X 与Y 均服从正态分布，)2,(~2μN X ，)5,(~2μN Y ，记}2{1-≤=μX P p ，}5{2+≥=μY P p ，则 （ ）A .对任何实数μ，都有21p p =B .对任何实数μ，都有21p p <C .只对μ的个别值才有21p p =D .对任何实数μ，都有21p p > 4．设随机变量21,X X 独立，且21}1{}0{====i i X P X P （2,1=i ），那么下列结论正确的是 （ ）A .21X X =B .1}{21==X X PC .21}{21==X X P D .以上都不正确 5．设21,X X 取自正态总体)2,(μN 的容量为2的样本，下列四个无偏估计中较优的是（ ）A .2114341ˆX X +=μB .2122121ˆX X +=μC .21332ˆX X +=μD .2147374ˆX X +=μ 二、填空题（每题2分，共10分）1．设B A ,为随机事件，5.0)(=A P ，6.0)(=B P ，8.0)|(=A B P ，则=)(B A P2．设离散型随机变量X 的分布列为kA k X P )2/1(}{==（ ,2,1=k ），则常数=A3．设X 的概率密度为21)(x ex f -=π，则=)(X D4．已知随机变量X 的密度为⎩⎨⎧<<=其它010)(x x a x f ，则=a5．设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布)3,0(2N ，而91,,X X 和91,,Y Y 分别是来自总体X 和Y 简单随机样本，则统计量292191YY X X U ++++=服从 分布。
概率论期末考试试卷(A卷)答案
设随机变量 X 服从泊松分布，且 P ( X ≤ 1) = 4 P ( X = 2) ，求 P( X = 3) 的值。 （提示：若 X ∼ π (λ ) ，即 P ( X = k ) = λ k e − λ , k = 0,1, 2, ）
k! 解答： P( X ≤ 1) = P( X = 0) + P( X = 1) = e−λ + λe−λ , P( X = 2) = λ2 e−λ
2、在一标准字典中有 55 个由两个不相同的字母所组成的单词，若从 26 个英文字母中任取
两个字母予以排列，能排列上述单词的概率是 11/130
。。
3、已知随机变量 X ,Y 相互独立，且 X ∼ N (1, 3) ，Y ∼ N (2, 4) ，若 Z = 3X − 2Y ，则 Z 服
从分布为 N (−1, 43)
∫ ∫ 故： P ⎧⎨0 < X < 1 ,e < Y < 6⎫⎬ =
1 2
6 2xe−( y−5)dxdy = 1 (1− e−1)
⎩
2
⎭ 05
4
……………………………… 2 分
（2）因为： E(3X + Y ) = E(3X ) + E(Y ) = 3E( X ) + E(Y )
……………………………… 3 分
第5页共6页
而
∫ ∫ ∫ ∫ E(X ) =
+∞
+∞
xf (x, y)dxdy =
1
+∞ 2x2e−( y−5)dxdy
−∞ −∞
05
∫ ∫ = 1 +∞ 2x2e−( y−5)dxdy = 2
05
3
∫ ∫ ∫ ∫ E(Y ) =
南昌大学07、08年概率论期末考试试题及答案
南昌大学2007~2008年概率统计期末试题一、填空题（每空3分，共15分）1.如果每次试验成功的概率均为p(0<p<1)，并且已知在三次独立重复试验中至少成功一次的概率为19/27，则p=__________2.设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X+2Y的方差为______3.同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面向上的概率为_________4.设随机变量X~B(10, 0.4)，则X2的数学期望为_________5.设随机变量X的概率密度为f(x)=，则2X的概率密度为_________二、求下列概率（20分）1.箱中有m件正品，n件次品，现把产品随机地一件件取出来，求第2次取出的一件产品是正品的概率.（10分）2.在区间(0, 1)中随机地取两个数，试求取得的两数之积小于1/4的概率.（10分）三、计算题（25分）1．已知随机变量X的概率密度为f(x)=，且.(1)求a，b；(2)计算.（15分）2.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 (x,y)=.求随机变量Z=X+2Y 的分布函数.（10分）四、解答题（30分）1.设随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)=，求(1)系数A；(2)X的数学期望.（15分）2.设随机变量X与Y相互独立同分布，X的概率密度为f(x)=，求.（15分）五、应用题（10分）一学生金工实习时，用同一台机器连续独立地制造2个同样的零件，第i个零件时合格品的概率p i = (i=1,2)，以X表示2个零件中合格品数，求X得数学期望.南昌大学2007~2008年概率统计期末试题答案一、1. 1/3 2. 44 3. 3/8 4. 18.4 5.二、1. =2. Ω={(x,y): 0<x<1, 0<y<1}, A={(x,y): xy<1/4}∩Ωp===三、1.===1===解得a=1, b=1/2==2.当z≤0时, F Z(z)=0当z>0时, F Z(z)=P{Z≤z}=P{X+2Y≤z}===1-e-z-ze-z 四、1.=1⇒=1⇒A=12E(X)===1/32.(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)====五、令X i=,则X1~B(1, 1/2), X2~B(1, 2/3)X=X1+X2E(X1)=1/2 E(X2)=2/3 E(X)=E(X1)+E(X2)=1/2+2/3=7/6 或X=0,1,2 P(X=0)=(1-p1)(1-p2)=1/6 P(X=1)=p1(1-p2)+(1-p1)p2=1/2P(X=2)=p1p2=1/3 E(X)=0⨯1/6+1⨯1/2+2⨯1/3=7/6南昌大学2008~2009年概率统计期末试题一填空题1. 设A，B相互独立，且，则__________.2、设、是随机事件，，，则3. 已知，且，则__________.4．3个人独立破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，则此密码被破译出的概率是.5．设随机变量的分布函数为：，则.二选择题1. 一盒产品中有只正品，只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为【A】(A) ；(B) ；(C) ；(D) .2．设、为两个互不相容的随机事件，且，则下列选项必然正确的是【 B 】；；；．3．检查产品时，从一批产品中任取3件样品进行检查，则可能的结果是：未发现次品，发现一件次品，发现两件次品，发现3件次品。
07级《概率论与数理统计》期末考试A卷答案与评分标准
07级《概率论与数理统计》期末考试A卷答案与评分标准海南师范大学物理、电子、自动化、地理、城规、计算机专业《概率论与数理统计》2008—2009学年度第一学期期末考试（A ）卷答案与评分标准注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚 2. 所有答案请直接答在试卷上 3．考试形式：闭卷4. 本试卷共五大题，满分100分，考试时间100分钟一、单项选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1、设A,B 为随机事件,若P(A ∪B)=P(A)+P(B),且P(A)>P(B)>0,则( D ); A: A,B 互不相容; B: A,B 非互不相容; C: A,B 相互独立; D: A,B 相互不独立;2、设随机变量X 只能取3,4,5, …,17这15个值, 且取每个值的概率均相同, 则概率P{0<="" 2A ：1514; B ：157; C ：152; D ： 154 ;3、己知二维随机向量(X,Y)具有联合密度:),,(,)1)(1(1),(22+∞<<-∞+∞<<-∞++=y x y x C y x f 则常数C=( D )A:1 ; B:π ; C:2π D: π2 4、己知随机变量X 服从二项分布B(5,0.2), 则D(X)/E(X)=（ B ）; A ：1 ; B 0.8; C: 0.2; D: 1.25; 5、己知随机变量X 的期望E(X)=20, 方差D(X)=8, 则( A );; A: P(|X-20|≥6)≤2/9 ; B: P(|X-20|≤6)≥2/9 ; C: P(|X-20|≤6)≤2/9 ; D: P(|X-20|≥6)≥2/9 ;6、设4321,,,X X X X 是来自正总体N(μ,σ2)的简单随机样本，下列四个μ的无偏估计量中, 最有效的是( B );A: )(313211X X X ++=μ; B: )(4143212X X X X +++=μ;C: 13X =μ,; D: 6233214X XX ++=μ;二、填空题（本题共6小题，每小题 3分，共18分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
广州大学2007-2008学年第二学期考试卷
一、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题3分，总计15分） 1 对于任意两个事件A 与B,必有P(A-B)=( C )
A. P(A)-P(B) B P(A)-P(B)+P(AB) C P(A)-P(AB) D P(A)+P(B)
2.某种动物活到25岁以上的概率为0.8，活到30岁的概率为0.4，则现年25岁的这种动物活到30岁以上的概率是（ D ）。
A. 0.76 B. 0.4 C. 0.32 D. 0.5
3.设F(x)和f(x)分别为某随机变量的分布函数和概率密度,则必有( C )
A f(x)单调不减 B
()1F x dx +∞
-∞
=⎰ C ()0F -∞= D ()()F x f x dx +∞
-∞
=⎰
4.设随机变量X 与Y 相互独立，且⎪⎭
⎫ ⎝
⎛21,16~B X ，Y 服从于参数为9的泊松分布，则=+-)12(Y X D （ C ）。
A. –14
B. –13
C. 40
D. 41 6.设二维随机变量(X,Y)的联合分布列为
学
院
专 业
班 级 姓 名
若X 与Y 独立,则( A
)
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分）
（1）设A 、B 为互不相容的随机事件,6.0)(,3.0)(==B P A P 则=⋃)(B A P （0.9） （2）三个人独立地破译密码，他们能译出的概率分别为
51、41、3
1
，此密码能被译出的概率为（3/5）。
（3）已知随机变量)16,3(~N ξ，且)()(c P c P ≥=<ξξ，则=c （3）。
（4）设X 和Y 是相互独立的两个随机变量，且X 服从（－1，2）上的均匀分布，
)4,1(~N Y ，则=)(XY E （1/2），=)(XY D （19/4）。
（5）设随机变量X 和Y 相互独立，),(~211σμN X ，),(~2
22σμN Y ，令
Y X Z +=，则=)(Z E （12μμ+），=)(Z D （12σσ+），Z 的概率密度
函数为（
122211()
2()
()z f z e
μμσσ---
+=
）。
三、（本大题共2小题，每小题6分，总计12分）
1．袋子内放有两个伍分、三个贰分和伍个壹分的硬币，从中任取五个，求钱额总和超过一角的概率。
解法1：。
6分
2313112228235235
5
101
2C C C C C C C C P C ++==
解法2：。
6分
2. 甲、乙是位于某省的二个城市，考察这二城市六月份下雨的情况，以A ，B 分别表示甲，乙二城市出现雨天这一事件，根据以往的气象纪录知
()()0.4P A P B ==, ()0.28P AB =, 求(|)P B A 和()P A B ⋃.
解: P(AB)0.28
P(B |A)0.7P(A)0.4
=
== 。
3分 P (A ∪B )=P (A )+P (B )-P (AB )=0.4+0.4-0.28=0.52. 。
6分 四、（本题满分为10分）
1．某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，如果每个车间的正品率分别
为95%,90%，90%，已知甲、乙、丙三个车间的产量分别占总产量的25％，25％ ，50% 。
现从全厂产品中任取一件产品，求取到的为正品的概率。
解：设123,,A A A 分别表示“取到的产品为甲、乙、丙车间生产的” B 表示“取到的产品为正品”，则 123()25%,()25%,()50%
P A P A P A === 123(|)95%,(|)90%,(|)90%
P B A P B A P B A ===。
4分 由全概率公式，所求概率为 3
1
()()(|)
i
i i P B P A
P B A ==
∑ 25%95%25%90%50%90%=⨯+⨯+⨯
91.25%=。
10分
五、（本题满分为16分） 设连续型随机变量ξ的密度函数为
⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤-+=其它,01
1,)1(2
1
)(x x x p 5
11314823525
5
101
12
C C C C C C P C ++=-=
求：1）{}5.0<ξP ；2）12-=ξη的密度函数)(y p η；3）)1(2
-ξE 。
解：1）{}5.0<ξP
＝{}5.05.0<<-ξP （3分）
＝0)1(2
1
5
.05.0=+⎰-dx x 。
5分 2）⎪⎩⎪⎨⎧<<-+=+=其它
,01
3,)3(8
1
)21(21)(y y y p y p η 。
10分 3）=
-)1(2
ξE 3
21)1(21)1(5
.05
.02
-=-+-⎰-dx x x 。
16分 六、（本题满分为12分）
设随机变量(,)X Y 服从{(,)01,}D x y x y x =<<<内的均匀分布，求 （1） (,)X Y 的联合密度函数 （2） 2Z X Y =+的数学期望 （3） 2Z X Y =+的方差. 解：（1）
1,(,)0,x D f x y ∈⎧=⎨
⎩其它。
2分 （2）(2)14/3D
E x y d σ+⋅=⎰⎰
（Z ）＝。
7分 (3)2
2
(2)18/3D
x y d σ+⋅=⎰⎰
E(Z ）＝。
10分
22()()8/9D Z E Z =-=E(Z ）。
12分
七、（本题满分为10分）
设二维随机变量(,)X Y 在区域
{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤
上服从均匀分布. 求
(1) (,)X Y 关于X 、Y 的边缘概率密度； (2)判断X 、Y 是否独立。
解：（1）2,(,)0,x D
f x y ∈⎧=⎨
⎩其它。
1分
102(1),012,01()(,)0,0,x X x x dy x f x f x y dy -+∞
-∞
⎧-≤≤≤≤⎧⎪
==⎨⎨
⎩⎪⎩⎰⎰
＝其它其它。
4分 102(1),012,01()(,)0,0,
y
Y y y dy y f x f x y dx -+∞
-∞
⎧-≤≤≤≤⎧⎪
==⎨⎨
⎩⎪⎩⎰⎰
＝其它其它。
7分 （2）(,)()()f x y f x f y ≠
所以X 、Y 不独立。
10分 八、（本题满分为10分）
设随机变量θ服从[0,2]π上均匀分布，取cos ,cos()X Y r θθ==+，其中r 为 常数，求,X Y 的协方差。
解：1/2,02()0,t f t θππ
≤≤⎧=⎨
⎩
其它。
2分 20
()(1/2)cos 0E X tdt π
π==⎰。
4分
20
()(1/2)cos()0E Y t r dt π
π=+=⎰。
6分
20
1
()cos cos()cos 2
E XY t t r dt r π
=⋅+=
⎰。
8分 1
cov(,)()()()cos 2
X Y E XY E X E Y r =-=。
10分。