菱形性质与判定

班级________姓名________
一.学习目标：
1．理解菱形的定义，掌握菱形的性质和判定；
2．能运用菱形的性质和判定进行简单的计算与证明．二．学习重点：菱形的性质、判定的理解和掌握；
学习难点：菱形的性质、判定的综合应用．
三．教学过程
知识梳理1：菱形的定义：
菱形的性质：（边）
（角）
（对角线）
（对称性）
菱形的面积等于．
边讲边练：
Ⅰ.菱形两条对角线、边长之间的关系：
1. 如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则：
①此菱形的边长为．(10 盐城)周长为．(10 北京)
②此菱形的面积为．(10 株洲)
③此菱形对角线的交点O到AB的距离为．(11 昆明)
④菱形内部(包括边界)任取一点P，使△ACP的面积大于6 cm2的概率为．(10 淮安)
2. 已知菱形的边长是5cm，一条对角线长为8cm，则另一条对角线长为___ ___cm．
3．菱形ABCD的周长为40cm，两条对角线AC:BD=4:3，那么对角线AC=_____cm，BD=_____cm．
4．(10 西安)若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线长的平方和为．
Ⅱ.有一个内角为60°的菱形：
1. 如图如图所示，在菱形ABCD中，若AB＝6，∠DAC＝60°则：
①BD＝．(10 南通)②AC＝．(11 中山)
③S菱形ABCD＝．
归纳：有一个内角为60°的菱形，短的对角线等
于；长的对角线等于．
2. 菱形的两邻角之比为1:2，边长为2，则菱形的面积为__________．
3. 己知：如图，菱形ABCD 中，∠B =60°，AB =4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为 ．
4．(11 南京)如图，菱形ABCD 的边长是2㎝，E 是AB 中点，且DE ⊥AB ，则S 菱形ABCD = cm 2
．
5．(10 荷泽) 如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2㎝，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连结AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为 cm ． 、
知识梳理2：
(11 益阳)如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于1,2AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是．．． 形，你判定的理由是： ． 归纳：
第3题图 第4题图 第5题图
的平行四边形是菱形 的四边形是菱形
例题精讲
1．已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AB，DF∥AC．
试判断四边形AFED的形状，并加以证明．
2．已知：如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）(11 肇庆)求证：四边形OCED是菱形；
（2）(10 眉山)若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．（3）若∠ACB＝30 ，菱形OCED的面积为83，求AC的长．
3．两张等宽的矩形纸片如图所示叠放在一起，他们重合的图形是什么形状，并加以证明．
4．如图，□ABCD的对角线BD的垂直平分线与AD、BC分别交于点E、F．
求证：四边形BEDF是菱形．
变式．
(11兰州)已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD
（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF 和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
课外延伸
1．(10 济南)如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2010厘米后停下，则这只蚂蚁停在
点．
2．(11 无锡)菱形具有而矩形不一定具有的性质是
（）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角互补
3．(11武汉)如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论正确的是
（）
①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=
3
4
CG2；③若
AF=2DF，则BG=6GF．其中结论
A．只有①② B．只有①③ C．只有②③ D．①②③
4．(11湖州) 如图已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE=DF ．
(1) 求证：四边形AECF 是平行四边形；
(2) 若BC ＝10，∠BAC ＝90°，且四边形AECF 是菱形，求
BE 的长 ．
5．(11 株洲)如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点， PO 的延长线交BC 于Q . （1）求证： OP =OQ ；
（2）若AD =8厘米，AB =6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）.设点P 运动时间为
t
第1题图 第3题图 第4题图
秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD 是菱形．
一、选择题
1．下列命题正确的是（）
A．有两组邻角相等的四边形是菱形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
2. 如图3所示，菱形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，E、F为垂足，AE=EB，则∠EDF等于（）
A．75° B．60° C．50° D．45°
A
C
D
E
F
第2题
A
B
C
D
E
F
P
第5题
D C
B
O
A
E
第3题
3. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AB 的中点，且OE=a ，则菱形ABCD 的周长为（ ） A ．16a B ．12a C ．8a D ．4a 二、填空题
4.菱形周长为20，相邻两角的比为1:2，则菱形的两对角线的长为 .
5. 如图，P 为菱形ABCD 的对角线上一点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，
PF=3cm ，则P 点到AB 的距离是 cm. 6. 如图，菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为 . 三、解答题
7. 如图，ΔABC 为等腰三角形，把它沿底边BC 翻折后，得到ΔDBC ..请你判断四边形ABDC 的形状，并说出你的理由.
F A
D
E
B
C
第6题
C
A
B
D
8.已知：如图，菱形ABCD 中，E ，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF．
（1）求证：AE=AF．
（2）若∠B=60°，点E，F分别为BC和CD的中点．求证：△AEF为等边三角形．
备选题
1.如图，菱形ABCD的边长为2，∠
ABC=45°，则点D的坐标为．(222)
，O(B)
A D
x y
C
A
B D
C
E F
2.如图，菱形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，AB=5cm ，AO=4cm ，则BD= cm ． 6
3. 如图，下列条件之一能使□ABCD 是菱形的为（ A ）
① ② ③ ④
A ．①③
B ．②③
C ．③④
D ．①②③
4. 菱形ABCD 中，AB=4，E 为BC 中点，AE ⊥BC ，AF ⊥CD 于点F ，CG ∥AE ，CG 交AF 于点H ，交AD 于点G ．如图，求菱形ABCD 的面积．
AC BD ⊥90BAD ∠=o AB BC =AC BD = A
B C D
4. 在菱形ABCD 中，AB=BC=4，又因为E 为BC 中点，所以BE=2，
又因为AE ⊥BC ，在Rt △ABE 中，
，
所以S 菱形ABCD =BC ×AE=4×
，所以菱形ABCD 的面积为
．
答案
一、1.D 2.B 3.C 二、4.5，5
5.3
6.3
三、7.四边形ABCD 为菱形，理由是： 由翻折得△ABC ≌△DBC.所以AC=CD ，AB=BD 因为△ABC 为等腰三角形， 所以AB=AC
=33
所以AC=CD=AB=BD，
故四边形ABCD为菱形
8.证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
又∵BE=DF
∴△ABE≌△ADF
∴AE=AF
(2)连接AC
∵AB=BC，∠B=60°
∴△ABC是等边三角形，E是BC的中点
∴AE⊥BC，∴∠BAE=90°=60°=60°，同理∠DAF=30°∵∠DAF=120°
∴∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=60°
又∵AE=AF
∴△AEF是等边三角形．。