2012年深圳市高三年级第一次调研考试文科数学(深圳一模)

绝密★启用前 试卷类型：A2012年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科） 2012.2.23本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：1．锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高2．独立性检验统计量22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．概率表一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}1,3,5,6,8U =，{}1,6A =，{}5,6,8B =，则()U A B C =A ．{}6B ．{}58，C ．{}68，D ．{}568，，2．已知点( )P x y ,在不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动，则z x y =-的最小值是A ．2-B ．2C ．1-D ．13．已知抛物线28y x = 的准线l 与双曲线222:1x C y a-=相切， 则双曲线C 的离心率e = 3532524．执行如图的程序框图，则输出的λ是A ．4-B ．2-C ．0D ．2-或05．已知过点(0,1)的直线:tan 3tan 0l x y αβ--=的斜率为2，则tan()αβ+=A ．73-B ．73C ．57D ．1６．如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，12,1,A A AB BC AC === 垂直平面11ACC A ，则此三棱柱的侧（左）视图的面积为AB． C ．4 D ．2 7．给出四个函数：xx x f 1)(+=，x x x g -+=33)(，3)(x x u =，x x v sin )(=，其中满足条件：对任意实数x 及任意正数m ，有()()0f x f x -+=及()()f x m f x +>的函数为A ．()f xB ．()g xC ．()u xD ．()v x8．已知,,x y z R ∈，则“lg y 为lg ,lg x z 的等差中项”是“y 是,x z 的等比中项”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数()sgn(ln )ln f x x x =-的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．410．在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”，类似地，我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“ ”。

定义如下：对于任意两个复数111z a bi =+，222z a b i =+（1122,,,a b a b R ∈，i 为虚数单位），“12z z ”当且仅当“12a a >”或“12a a =且12b b >”．下面命题为假命题．．．的是 A ．10iB ．若12z z ，23z z ，则13z zC ．若12z z ，则对于任意z C ∈，12z z z z ++D ．对于复数0z ，若12z z ，则12z z z z ⋅⋅二、填空题：本大题共５小题，考生作答４小题，每小题5分，满分４0分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．11．某人５次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为8，12，10，11，9，估计此人每次上班途中平均花费的时间为 分钟． 12．奇函数1()f x x a=-（其中常数a R ∈）的定义域为 ．13．已知R b a ∈<，且50=ab ，则|2|b a +的最小值为 ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分． 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点π(1,)2P到曲线π:cos()4l ρθ+=上的点的最短距离为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图4，,A B 是圆O 上的两点，且OA OB ⊥，2OA =，C 为OA 的中点，连接BC 并延长BC 交圆O 于点D ，则CD = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x ∈R （其中ππ0,0,22A ωϕ>>-<<），其部分图像如图5所示． （1）求函数()f x 的解析式；（2）已知横坐标分别为1-、1、5的三点M 、N 、P 都在函数()f x 的图像上，求sin MNP ∠的值．17．（本小题满分13分）通过随机询问某校110名高中学生在购买食物时是否看营养说明,得到如下的列联表：（1）从这50名女生中按是否看营养说明采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中看与不看营养说明的女生各有多少名?(2) 从（1）中的5名女生样本中随机选取两名作深度访谈, 求选到看与不看营养说明的女生各一名的概率；（3）根据以上列联表，问有多大把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有关？性别与看营养说明列联表 单位: 名图4DC OA B图5如图，直角梯形ABCD 中，AB CD ∥， AD AB ⊥，24CD AB ==，AD =，E 为CD 的中点，将BCE ∆沿BE 折起，使得⊥CO DE ，其中点O 在线段DE 内. （1）求证：CO ⊥平面ABED ；（2）问CEO ∠(记为θ)多大时, 三棱锥C AOE -的体积最大? 最大值为多少?19．（本小题满分14分）已知函数32()f x x ax bx c =+++(实数,,a b c 为常数)的图像过原点, 且在1x =处的切线为直线12y =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若常数0m >，求函数()f x 在区间[],m m -上的最大值.已知各项为实数的数列{}n a 是等比数列, 且12,a =57248().a a a a +=+ 数列{}n b 满足：对任意正整数n ,有11122(1)22n n n a b a b a b n ++++=-⋅+ .(1) 求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；(2) 在数列{}n a 的任意相邻两项k a 与1k a + 之间插入k 个(1)()N k k b k *-∈后，得到一个新的数列{}n c . 求数列{}n c 的前2012项之和.21．（本小题满分14分）如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>C 的左顶点T 为圆心作圆T ：222(2)(0)x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；（3）设点P 是椭圆C 上异于M ,N 的任意一点，且直线,MP NP 分别与x 轴交于点,R S ，O 为坐标原点，求证：OR OS ⋅为定值．2012年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）参考答案及评分标准说明：1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2. 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算。

共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性。

共5小题，每小题5分，满分20分．其中第14、15两小题是选作题，考生只能选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分． 11．10 12． {}11,0x x x -≤≤≠且 13. 20 14． 15．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，∈R x ，其中ππ0,22ωϕ>-<<. 函数()f x 的部分图像如下图所示. (1)求函数()f x 的解析式；(2) 已知横坐标分别为1,1,5-的三点,,M N P 在函数()f x 的图像上，求sin MNP ∠的值.解：（1）由图可知，4ω ………3分 又π(1)sin()14f ϕ=+= ，且ππ22ϕ-<< 所以ππ3π444ϕ-<+<,πππ,.424ϕϕ+==………………………………5分所以π()sin (1)4f x x =+. …………………………………………………6分(2) 解法一: 因为(1)0,(1)1,f f -==π(5)sin (51)1,4f =+=-MN PN MP ===……………………………………8分从而3cos 5MNP ∠==- ……………………………………10分由[]0,πMNP ∠∈得4sin 5MNP ∠==. ……………12分 解法二: 因为π(1)sin (11)0,(1)1,4f f -=-+==π(5)sin (51)14f =+=-,所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --, ………………………………………7分(2,1),(4,2),NM NP =--=-6NM NP ⋅=- …………………………8分NM NP ===……………………………………9分则3cos 5MNP ∠==- . ………………………10分由[]0,πMNP ∠∈得4sin 5MNP ∠==. ……………12分 【说明】 本小题主要考查了三角函数)sin()(ϕω+=x A x f 的图象与性质，以及余弦定理，同角三角函数关系式，平面向量的数量积等基础知识，考查了简单的数学运算能力． 17．（本小题满分13分）通过随机询问某校110名高中学生在购买食物时是否看营养说明,得到如下的列联表：（1）从这50名女生中按是否看营养说明采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中看与不看营养说明的女生各有多少名?(2) 从（1）中的5名女生样本中随机选取两名作深度访谈, 求选到看与不看营养说明的女生各一名的概率；（3）根据以上列联表，问有多大把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有关？性别与看营养说明列联表 单位: 名解：（1）根据分层抽样可得：样本中看营养说明的女生有530350⨯=名，样本中不看营养说明的女生有520250⨯=名；…………………………2分 （2）记样本中看营养说明的3名女生为123,,a a a ，不看营养说明的2名女生为12,b b ，从这5名女生中随机选取两名，共有10个等可能的基本事件为：12,a a ；13,a a ；11,a b ；12,a b ；23,a a ；21,a b ；22,a b ；31,a b ；32,a b ；12,b b .………………5分其中事件A “选到看与不看营养说明的女生各一名”包含了6个的基本事件： 11,a b ；12,a b ；21,a b ；22,a b ；31,a b ；32,a b .………………………7分所以所求的概率为63().105==P A ………………………………………9分 (3) 假设0H ：该校高中学生性别与在购买食物时看营养说明无关，则2K 应该很小.根据题中的列联表得2110(50203010)5397.4868030605072⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯k………11分由2( 6.635)0.010≥=P K ,2(7.879)0.005≥=P K 可知 有99%的把握认为该校高中学生“性别与在购买食物时看营养说明”有关？………………………………………………………………………………………13分【说明】本题主要考察读图表、抽样方法、随机事件的概率、独立性检验等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和应用意识． 18．（本小题满分13分）如图，直角梯形ABCD 中，AB CD ∥， AD AB ⊥，24CD AB ==，AD =，E 为CD 的中点，将BCE ∆沿BE 折起，使得⊥CO DE ，其中点O 在线段DE 内. （1）求证：CO ⊥平面ABED ；（2）问CEO ∠(记为θ)多大时, 三棱锥C AOE -的体积最大? 最大值为多少? （1）证明: 在直角梯形ABCD 中，2CD AB =，E 为CD 的中点，则AB DE =,又AB DE ∥， AD AB ⊥,知BE CD ⊥.在四棱锥C ABEO -中，BE DE ⊥,BE CE ⊥，CE DE E = ，,CE DE ⊂平面CDE ，则BE ⊥平面CDE .………………………………3分因为CO ⊂平面CDE ,所以.BE CO ⊥…………………………………4分 又CO DE ⊥, 且,BE DE 是平面ABED 内两条相交直线, …………6分故CO ⊥平面ABED .………………………………………………………7分(2)解：由(1)知CO ⊥平面ABED ，知三棱锥C AOE -的体积111332AOE V S OC OE AD OC ∆=⋅=⨯⨯⨯⨯……9分 由直角梯形ABCD 中,24CD AB ==，AD =2CE =， 得三棱锥C AOE -中，cos 2cos ,sin 2sin ,OE CE OC CE θθθθ====……………………10分2V θ=≤， …………………………………………………………11分 当且仅当πsin 21,0,2θθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，即π4θ=时取等号，………………………12分（此时OE DE =<，O 落在线段DE 内）.故当π4θ=时, 三棱锥C AOE -. ………………13分 【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，棱锥的体积及三角函数等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力． 19．（本小题满分14分）已知函数32()f x x ax bx c =+++(实数,,a b c 为常数)的图像过原点, 且在1x =处的切线为直线12y =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若常数0m >，求函数()f x 在区间[],m m -上的最大值.解：（1）由(0)0f =得0c =. …………………………………………………………1分由32()f x x ax bx =++, 得2()32f x x ax b '=++, ………………………3分从而(1)320f a b '=++=, 1(1)12f a b =++=-, 解得3,02a b =-=. ……………………………………………………………5分 故323().2f x x x =-…………………………………………………………6分 （2）由（1）知322233()(),()333(1)22f x x x x x f x x x x x '=-=-=-=-.,(),()x f x f x '的取值变化情况如下：又3()02f =,函数()f x 的大致图像如右图：①当302m <≤时, max ()(0)0f x f ==；……………11分②当32m >时,32max 3()().2f x f m m m ==-…………………………………13分综上可知max3230,02().33,22m f x m m m ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩…………………………………14分【说明】本题主要考查函数导数的几何意义、导数在研究函数性质方面的运用、不等式的求解等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力． 20．（本小题满分14分）已知各项为实数的数列{}n a 是等比数列, 且12,a =57248().a a a a +=+ 数列{}n b 满足：对任意正整数n ,有11122(1)22n n n a b a b a b n ++++=-⋅+ .(1) 求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；(2) 在数列{}n a 的任意相邻两项k a 与1k a + 之间插入k 个(1)()N k k b k *-∈后，得到一个新的数列{}n c . 求数列{}n c 的前2012项之和.解：（1）设等比数列{}n a 的公比为,R q ∈由57248(),a a a a +=+得42211(1)8(1),a q q a q q +=+又212,0,10,a q q =≠+>则38,2q q ==，数列{}n a 的通项公式为2().N n n a n *=∈ ………………………………3分 由题意有211(11)222a b =-⋅+=，得1 1.b =…………………………………4分 当2n ≥时，1122112211()()n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b --=+++-+++1(1)22(2)222n n nn n n +⎡⎤⎡⎤=-⋅+--⋅+=⋅⎣⎦⎣⎦，………………………………5分得n b n =.故数列{}n b 的通项公式为().N n b n n *=∈……………………………………6分 (2)设数列{}n a 的第k 项是数列{}n c 的第k m 项,即k k m a c =()N k *∈.当2k ≥时，[]12(1)k m k k =++++- (1).2k k += ……………………7分 6263626363641953,2016.22m m ⨯⨯====………………………………8分 设n S 表示数列{}n c 的前n 项之和()N n *∈，则1262126312622016()(1)(1)2(1)62a b S a a b b ⎡⎤++++-⋅+-⋅++-⋅⎦=⎣ …9分其中636412632(12)22,12a a a -+++==-- …………………………………10分 2(1)(1)n n n nb n -⋅=-⋅,22(2)(21)41(),n n n n *--=-∈N则12621262(1)(1)2(1)62b b b -⋅+-⋅++-⋅1222622(1)1(1)2(1)62=-⋅+-⋅++-⋅()()()222222222143(2)(21)6261n n ⎡⎤=-+-++--++-⎣⎦()()()41142141(4311)n =⨯-+⨯-++-++⨯-31(4114311)19532⨯-+⨯-==. …………………………………12分 62016464(22)195321951,S =-+=+从而201322014201201201652016()S c a c S c +++=-64626263219513(1)b a =+--⨯-6463219513622=+-⨯- ………………………………………………13分6321765.=+所以数列{}n c 的前2012项之和为6321765.+ ……………………………………14分【说明】考查了等比数列的通项公式，数列的通项与前n 项和之间的关系，数列分组求和等知识，考查化归与转化的思想以及创新意识．21．（本小题满分14分）如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>C 的左顶点T 为圆心作圆T ：222(2)(0)x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）求TM TN ⋅ 的最小值，并求此时圆T 的方程；（3）设点P 是椭圆C 上异于M ,N 的任意一点，且直线,MP NP 分别与x 轴交于点,R S ，O 为坐标原点，求证：OR OS ⋅为定值．解：（1）依题意，得2a =，c e a == 1,322=-==∴c a b c ；故椭圆C 的方程为2214x y += ．…………………………………………………………3分 （2）方法一：点M 与点N 关于x 轴对称，设),(11y x M ，),(11y x N -， 不妨设01>y ．由于点M 在椭圆C 上，所以412121x y -=． （*）……………………………4分 由已知(2,0)T -，则),2(11y x TM +=，),2(11y x TN -+=，21211111)2(),2(),2(y x y x y x -+=-+⋅+=⋅∴ 3445)41()2(1212121++=--+=x x x x 215811()4555x =+-≥-．………………………………………………………6分 由于221<<-x ，故当581-=x 时，TM TN ⋅ 取得最小值为15-． 由（*）式，531=y ，故83(,)55M -，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到21325r =． 故圆T 的方程为：2213(2)25x y ++=． …………………………………………8分 方法二：点M 与点N 关于x 轴对称，故设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-，由已知(2,0)T -，则1cos 1θ-<<,)sin ,2cos 2()sin ,2cos 2(θθθθ-+⋅+=⋅3cos 8cos 5sin )2cos 2(222++=-+=θθθθ24115(cos )555θ=+-≥-． ……………………………………………………6分 故当4cos 5θ=-时，TM TN ⋅ 取得最小值为15-，此时83(,)55M -， 又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到21325r =． 故圆T 的方程为：2213(2)25x y ++=． …………………………………………8分 (3) 方法一：设),(00y x P ，由题意知：0101,x x y y ≠≠±.则直线MP 的方程为：)(010100x x x x y y y y ---=-， 令0y =，得101001y y y x y x x R --=， 同理：101001y y y x y x x S ++=， ……………………10分 故212021202021y y y x y x x x S R --=⋅ （**） ………………………………………11分又点M 与点P 在椭圆上，故)1(42020y x -=，)1(42121y x -=，…………………12分代入（**）式，得： 4)(4)1(4)1(421202*********202021=--=----=⋅y y y y y y y y y y x x S R ． 所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值． ……………………14分方法二：设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-，)sin ,cos 2(ααP ，其中cos cos ,θα≠θαsin sin ±≠．则直线MP 的方程为：)cos 2(cos 2cos 2sin sin sin αθαθαα---=-x y ， 令0y =，得θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2--=R x ， 同理：θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2++=S x ， ………………………………………12分 故4sin sin )sin (sin 4sin sin )sin cos cos (sin 42222222222=--=--=⋅θαθαθαθαθαS R x x ． 所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值． …………………………………14分【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、圆的方程、向量、圆与椭圆的位置关系、直线方程等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．。