函数
函数的基本公式
函数的基本公式
函数的基本公式：正比例函数y=kx(k≠0)。
反比例函数y=k/x （k≠0）。
一次函数y=kx+b(k≠0)。
二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)。
幂函数y=x^a。
指数函数y=a^x(a>0,a≠1)。
对数函数y=log（a）x(a是底数，x是真数，且a>0,a≠1)。
函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。
函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。
其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，变量为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。
自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。
函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。
所有函数的公式大全
所有函数的公式大全1.一次函数（线性函数）：y = mx + b，其中m是直线的斜率，b是直线的截距。
2.二次函数：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，a ≠ 0。
3.三次函数：y = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c、d是常数，a ≠ 0。
4.对数函数（自然对数函数）：y = ln(x)，其中ln表示以e为底的对数函数。
5.指数函数：y=a^x，其中a是正实数，且a≠16.正弦函数：y = sin(x)，其中x是弧度，sin表示正弦函数。
7.余弦函数：y = cos(x)，其中x是弧度，cos表示余弦函数。
8.正切函数：y = tan(x)，其中x是弧度，tan表示正切函数。
9.线性绝对值函数：y = ，ax + b，其中a、b是常数，a ≠ 0。
10. 单位阶跃函数（Heaviside函数）：H(x)={0,x<0{1,x≥011.分段定义函数：f(x)={x,x<a{x^2,a≤x<b{x^3,x≥b12.幂函数：y=x^a，其中a是实数，且a≠0。
13.双曲正弦函数：y = sinh(x)，其中x是弧度，sinh表示双曲正弦函数。
14.双曲余弦函数：y = cosh(x)，其中x是弧度，cosh表示双曲余弦函数。
15.阶乘函数：n!=n(n-1)(n-2)...3×2×1，其中n是正整数。
16.伽玛函数：Γ(x) = ∫[0,∞] (t^(x-1))(e^(-t))dt，其中x是实数，Γ表示伽玛函数。
17.斯特林公式：n!≈√(2πn)(n/e)^n，当n趋近于正无穷时。
18.贝塞尔函数：Jₙ(x)=Σ[((-1)^k)(x^(n+2k))/(2^(2k+n)(k!)((k+n)!))]，其中n是整数，Jₙ(x)表示贝塞尔函数。
19.超几何函数：F(a,b;c;z)=∑[((a)_n*(b)_n)/(c)_n*(n!)]*(z^n)/n!，其中F表示超几何函数。
函数的基础知识大全
函数基础知识大全§1.2.1、函数的概念1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,.2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.3.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域C 和对应法则f .当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.§1.2.2、函数的表示法1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.1.函数的三种表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.2.求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．求函数解析式的常用方法：1、换元法（ 注意新元的取值范围）2、待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）3、整体代换（配凑法）4.赋值法：3.映射的定义：一般地，设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A 、B ，以及集合A 到集合B 的对应关系f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f :A →B.由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A 、B 非空且皆为数集.4.映射的概念中象、原象的理解：(1) A 中每一个元素都有象;(2)B 中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；(3)A 中每一个元素的象唯一。
什么是函数
什么是函数
函数通俗的意思就是由自变量和因变量所确定的一种关系，自变量可能有一个、两个或者N个，但因变量的值当自变量确定的时候也是唯一确定的。
函数的详细介绍
1、表示
首先要理解，函数是发生在集合之间的一种对应关系。
然后，要理解发生在A、B之间的函数关系有且不止一个。
最后，要重点理解函数的三要素。
函数的对应法则通常用解析式表示，但大量的函数关系是无法用解析式表示的，可以用图像、表格及其他形式表示。
2、概念
在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，变量为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。
自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。
函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。
大一高数之函数
……
……
t 年后人口为p＝9.6259×(1+12‰) t
即
p 9.6259 1.012t
到2005年底,即27年后, 我国人口为 p 9.6259 1.012 .
27
两边取常用对数, lg p lg 9.6259 27 lg1.012 4.9835 27 0.0051 5.1212, 查反对数表, p 13.22(亿).
即根据1978年的数据,可推算出2005年底 我国人口为13.22亿.
人口模型 : 设某地某年人口为p0，人口自然 增长率为r，那么t 年后的人口p为 p p0 (1 r ) .
t
马尔萨斯（malthus，英，1776 — 1834） 根据上述模型提出了他的人口理论，这一模 型只适用于生物种群的生存环境较为优雅宽 松的情况.当生物种群数量增长到一定值时， 恶化的生态环境将抑制种群数量的增长，进 而出现负增长，此时马尔萨斯人口模型就不 适用了.
A1 A(1 r )t ；
r 若每期结算m次，则每次利率为 ， m t期内共结算mt次，t期后的本利和为
r mt Am A(1 ) . m 如果，即按照每个瞬间“即存即算” 来计算本利和，则归结为求极限
r mt lim A(1 ) m m
这个求极限问题将在第二章的应用中 介绍.
y cos x
正切函数
y tan x
π π 定义域 : ( kπ , kπ ), k Z; 值域( , ), 2 2 π π 以π 为周期, 在每个开区间( kπ , kπ )上 2 2 递增.
余切函数
y cot x
定义域 : kπ ,( k 1)π ), k Z；值域( , ), （ 以π 为周期, 在每个开区间( π ,( k 1)π ) k 上 递减.
最常用函数公式大全
最常用函数公式大全以下是一些常见的函数公式总结：1. 一次函数（线性函数）：y = mx + b，其中m为斜率，b为截距。
这是一条直线的方程。
2. 二次函数（抛物线）：y = ax^2 + bx + c，其中a, b和c为常数。
二次函数通常呈现U形（a > 0）或者倒U形（a < 0）。
3.指数函数：y=a^x，其中a为底数，x为指数。
指数函数呈现出逐渐上升或者下降的曲线。
4. 对数函数：y = logₐ(x)，其中a为底数，x为参数。
对数函数是指数函数的反函数，它可以用来求解指数方程的解。
5. 三角函数：正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）、余切函数（cot）、正割（sec）和余割（csc）。
这些函数在三角学和波动问题中广泛使用。
6. 反三角函数：正弦反函数（arcsin）、余弦反函数（arccos）、正切反函数（arctan）、余切反函数（arccot）、正割反函数（arcsec）和余割反函数（arccsc）。
这些函数可以用来求解三角方程的解。
7.幂函数：y=x^n，其中n为指数。
幂函数的特点是随着x的增加，y的增长速度会加快或减慢，具体取决于指数的值。
8.绝对值函数：y=，x，x为实数。
绝对值函数的图像呈现V字形。
9. 三角恒等式：三角函数之间有一系列的恒等式，如sin²(x) +cos²(x) = 1和tan(x) = sin(x)/cos(x)等。
这些恒等式在证明和简化三角方程中非常有用。
10.阶乘函数：n!=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1，其中n为正整数。
阶乘函数在组合数学和概率问题中经常出现。
12.组合函数：C(n,r)=n!/(r!×(n-r)!)，其中C为组合数，n和r 为非负整数。
组合函数用于计算在给定元素集合中选择r个元素的不同方式数目。
这只是一些常见的函数公式的概述，实际上有很多其他类型的函数和公式。
函数的概念及公式
函数的概念及公式函数是数学中一个重要的概念，它描述了数值之间的一种关系。
函数可以理解为一种映射，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的一些元素上。
函数通常用字母f,g,h等表示，如f(x),g(x),h(x)。
其中x是自变量，它的取值决定了函数的结果。
函数的结果通常用y,f(x),g(x),h(x)等表示，它们是因变量，它们的值是自变量的函数。
函数有一般函数和特殊函数两种分类，一般函数指的是各种不同类型的函数，特殊函数是数学中特定形式或特定性质的函数，比如线性函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
函数可以用各种不同的公式来表示，具体的公式取决于函数的类型和性质。
以下是一些常见函数的公式：1.线性函数线性函数是形如 y = ax + b 的函数，其中 a 和 b 是常数。
它的图形是一条直线，斜率为 a，截距为 b。
2.幂函数幂函数是形如 y = ax^n 的函数，其中 a 和 n 是常数，n 表示指数。
它的图形可以是直线、曲线、或者抛物线，具体形状取决于指数 n 的值。
3.指数函数指数函数是形如y=a^x的函数，其中a是常数。
它的图像通常是一个递增或递减的曲线，具体形状取决于底数a的值。
4.对数函数对数函数是指满足 y = log_a(x) 形式的函数，其中 a 是常数。
它的图像是指数函数的反函数，通常是一个递增或递减的曲线。
5.三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们是描述角度和三角比之间的关系的函数。
除了以上常见的函数类型和公式，数学中还存在很多其他类型的函数，比如分段函数、复合函数、反函数、隐函数等。
每种函数都有其特点和应用领域，函数在数学中扮演了非常重要的角色。
在实际应用中，函数可以用来描述各种不同的现象和问题。
例如，经济学中可以用函数来描述供求关系、成本收益关系等；物理学中可以用函数来描述物体的运动、能量变化等。
数学各种函数名称
数学各种函数名称
数学中的各种函数名称有很多，以下是一些常见的函数类型及其名称：
1.常函数：y=c
2.幂函数：y=x^n
3.指数函数：y=a^x
4.对数函数：y=log_a|x|
5.三角函数：
1.正弦函数：y=sinx
2.余弦函数：y=cosx
3.正切函数：y=tanx
4.余切函数：y=cotx
5.正割函数：y=secx
6.余割函数：y=cscx
6.反三角函数：
1.反正弦函数：y=arcsinx
2.反余弦函数：y=arccosx
3.反正切函数：y=arctanx
4.反余切函数：y=arccotx
7.其他函数：
1.abs：绝对值函数
2.sqrt：平方根函数
3.ceiling：向上取整函数
4.floor：向下取整函数
5.trunc：截断函数
6.round：四舍五入函数
7.signif：符号函数
8.sinh：双曲正弦函数
9.cosh：双曲余弦函数
10.tanh：双曲正切函数
11.coth：双曲余切函数
12.asinh：双曲反正弦函数
13.acosh：双曲反余弦函数
14.atanh：双曲反正切函数
15.acoth：双曲反余切函数
以上只是部分数学函数的名称，实际上数学中的函数种类繁多，每一种都有其特定的定义和性质。
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（1）当t分别为6点、10点,14点时，相应的气温T大约是多少(℃)
（2）温度T是时间 t的函数吗？. 1 图 17.1
物体的抛射曲线图
h/米
3 2 1 0
1
2
3
4
5
6
S
水库库容与平均水深之间关系的曲线图
库 容 V（ 立 方 米）
30 0
25 0
20 0
15 0
10 0
50
平 均 水深 x（ 米 ）
一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量 x与 y,并
且对于 x 的每一个确定的值, y 都有唯一确定的值与其 对应, 那么我们就说x是自变量, y 是 x 的函数. y x x 1、y = 2x 中,___是___的函数,___是自变量; m t t 2、m = 16 t 中,___是___的函数,___是自变量; 3、 s = 0.085v2中, ___是___的函数,___是自变量； s v v c 4、圆的周长c=2∏r中， ___是___的函数,___是自变量； r r
y
讨论:y＝3是函数吗？
x
例1、写出下列各问题中的关系式，并指出 其中的自变量与函数
（1）正方形的面积S 随边长 x 的变化
S=x2
（2）秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均耕 地面积y随着人数x的变化而变化
y 10 x
6
（3）正多边形的内角和度数y随边数n的变化情况
y=180°(n-2)
例2
学习目标：
1、通过实例，了解函数的概念。 2、了解函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法。
3、理解函数值的概念。
4、会在简单情况下，根据函数的表示式求函数值。
观察1 ：北京某大商场以1分钟售出2套的速度销售
奥运会吉祥物玩具，设经过x分钟，售出y套奥运会 吉祥物玩具： 填写下表:
x/分 钟
1
2
3
(1）请你计算当v分别为2和5时,相应 的跳远距离S是多少?(结果保留2个有效数 字)
(2)
变量S随着哪个量的变化而变化?
对于变量v一个确定的值， 变量s有唯一确定的值
(3) v的值确定时，S的值能确定吗?
探究新知
你能说出上面各问题中两个变量 (y 与x ，s 与 v) 之间的关系有什么共同点吗?
为 n 立方米,应付水费为m元.在这个问题中,m关于n的 m=1.6n 函数解析式是________.当小明家月用水量 n=15时, 24 函数值是_______,这一函数值的实际意义是 ________________________.当小明家月付水费 用水量为15立方米,应付水费24元 m=32元时，n= ________。 20
（2）当x=10时，y=2.5×10=25； 当x=18时，y=2.5×18=45 （3）当y=50时，2.5x=50 x=20
1、在一个变化过程中,如果有两个变量 x与 y,并且对于 y x 的每一个确定的值, 都有唯一确定的值与其对应 那么 , 自变量 . 就说 y 是 x 的函数 , x 是
小明到商店买练习簿，每本单价2.5元，设购买的总数 为x（本），总金额为y（元）
(1) y是关于x的函数吗?为什么?请写出函数解析式。
(2)分别求出x=10, 18时的函数值。
（3）求当函数值y=50时，自变量x的值 解：（1）y是x的函数，对于对于 x 的每一个确定的值, y 都有唯一确定的值, 所以y是x的函数。解析式为：Y=2.5x
6
4
8
5
6
…
x
…
y/个
2
4
10 12
…
2x …
（1）你能说出其中哪些是变量？哪些是常量吗？
（2）给定变量x的一个值，相应的变量y的值唯一确 定吗？ 给定变量x的一个值，相应 （3）怎样用关于x的代数 的变量y有唯一确定的值
式来表示y?
跳远运动员按一定的起跳姿势,其跳远的 距离S(米)与助跑的速度v(米/秒)有关,根 据经验,跳远的距离S=0.085v2 (0<v<10.5)
查表
… 列表法
2 4 6 8 10 12 … 2x … 解析法
y=2x ， S=0.085v2
画一画
代入
图象法
解析法、图象法、列表法是函数的三种常用表示方法 图 17.1.1
代一代、画一画、查一查是求函数值的三种常用表示方法
景宁市民用水的水费的价格是1.6元/立方米,小红
准备收取她所居住大楼各用户这个月的水费.设用水量
s r r 5、圆的面积S=∏r2中， ___是___的函数,___是自变量。
Y=2x，m = 16 t, s = 0.085v2这几个函数用等式来表示, 这种表示函数关系的等式,叫做函数解析式.用函数解析式 表示函数的方法也叫解析法.
这是2006年1月15日景宁一天气温的变化图,从图中 我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T （℃）也随之变化． 这种函数表示 法叫做图象法
1、下列关系中，y不是x函数的是（ D ）
A. y x 2
B.y x
2
C .y
x
D. y x
例2、下列各问题中的变量是否是函数？ （1）y 2 x 中的y与x 是
（2）一天中的气温与时刻 （3）
是 不是
y
x
知识小结：
x/分钟 1 2 3 4 5 y/个 6 … x
2、函数的表示法有： 解析法 ， 列表法 ， 图象法 。
理解函数的概念应扣住下面三点： 1、函数的概念由三句话组成：“两个变 量”，“x的每一个值”，“y有唯一确 定的值”。 2、判断两个变量是否有函数关系不仅看 它们之间是否有关系式存在，更重要地 是看对于x的每一个确定的值，y是否有 唯一确定的值和它对应。
5 10 15 20 25 30 35
1,一个变化过程中有两个变量。 2,因变量与自变量之间是一种对应关系，并且要 求对于x的每一个值y都有唯一的值与之相对应。 3,自变量有一定的取值范围； 4,自变量与函数是可以互相转化的，是相对的， 但一般情况下约定y是函数，x是自变量；
一,请看这些是否是函数？ 1,y＝X＋1 2,y＝2X² +3X－2 3,Y² ＝X＋1 n 二,对于Y³ =X,|Y|=X, 呢?对于 y x 三,看一个函数的图象如下图所示： 它表示的是函数吗？
3、函数不是数，它是指某一变化过程 中两个变量之间的关系。
汽车由丽水开往上海，丽水和上海相距 500公里，汽车的平均速度是100 公里/小时； （1）求汽车与上海的距离s（公里）与行驶 时间t（小时）的函数关系式.
（2）当t=3小时，汽车距上海的距离是多少公里？
（3）当汽车距上海的距离是150公里时，汽车行
使了多少小时？