高中数学第2章推理与证明2_1_1合情推理第2课时类比推理学案苏教版选修1-2

第2课时类比推理1.结合实例，理解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理.(重点、难点)2.区别归纳推理与类比推理，了解合情推理的合理性.(易混点)[基础·初探]教材整理1 类比推理阅读教材P34“例1”以上部分，完成下列问题.根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法.其思维过程为：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论1.判断正误：(1)类比推理是特殊到特殊的推理.( )(2)类比推理的结论一定正确.( )【答案】(1)√(2)×2.对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的________.【导学号：】【解析】“边的中点”类比为“各面的中心”.【答案】中心教材整理2 合情推理阅读教材P35“练习”以上部分，完成下列问题.1.合情推理的含义根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程称为合情推理.归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理.2.合情推理的特点(1)合情推理的结论超越了前提所包容的范围，带有猜想的成分，因此推理所得的结论未必正确；(2)合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供证明的思路和方向的作用.如图2­1­9所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，每个图形总的点数记为a n，则a6＝________，a n＝________(n>1，n∈N*).图2­1­9【解析】依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6-3＝15.由n＝2,3,4,5,6的图形特点归纳得a n＝3n-3(n>1，n∈N*).【答案】15 3n-3[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]数列中的类比推理n 1012a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19-n (n <19，n ∈N *)成立.类比上述性质，相应地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有什么样的等式成立？【精彩点拨】 在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和类比等比数列中的积，差类比商，积类比幂.【自主解答】 在等差数列{a n }中，a 10＝0，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＋…＋a 19＝0，即a 1＋a 2＋…＋a n ＝-a 19-a 18-…-a n ＋1.又由a 10＝0，得a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a n ＋a 20-n＝a n ＋1＋a 19-n ＝2a 10＝0，∴a 1＝-a 19，a 2＝-a 18，…，a 19-n ＝-a n ＋1，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19-n ，若a 9＝0，同理可得a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 17-n ，相应的，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则可得b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17-n (n <17，n ∈N *).1.有关数列的类比推理必须寻找合适的类比对象，从等差、等比数列的定义、性质、通项公式与前n 项和公式探求，充分挖掘事物的本质及内在联系.2.类比推理的一般步骤为：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)；(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想；(3)检验这个猜想.[再练一题]1.若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n(n ∈N *)也是等差数列.类比上述性质，相应地：若数列{c n }(n ∈N *)是等比数列，且c n >0，则数列d n ＝________(n ∈N *)也是等比数列.【解析】 和类比积，高类比开方，因此d n ＝n c 1·c 2·c 3·…·c n【答案】 n c 1·c 2·c 3·…·c n类比推理在几何中的应用a b c P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，p b ，p c ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＝1.图2­1­10证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明.【精彩点拨】 三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高.【自主解答】 p a h a ＝12BC ·p a 12BC ·h a ＝S △PBC S △ABC ， 同理，p b h b ＝S △PAC S △ABC ，p c h c ＝S △PAB S △ABC. ∵S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB ＝S △ABC ，∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＝S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB S △ABC＝1. 类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a ，h b ，h c ，h d 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P 为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为p a ，p b ，p c ，p d ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d＝1. 证明如下：p a h a ＝13S △BCD ·p a 13S △BCD ·h a ＝V P ­BCD V A ­BCD ， 同理，p b h b ＝V P ­ACD V A ­BCD ，p c h c ＝V P ­ABD V A ­BCD ，p d h d ＝V P ­ABC V A ­BCD . ∵V P ­BCD ＋V P ­ACD ＋V P ­ABD ＋V P ­ABC ＝V A ­BCD ，∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d＝V P ­BCD ＋V P ­ACD ＋V P ­ABD ＋V P ­ABC V A ­BCD＝1.1.一般地，平面图形与空间图形类比如下： 平面图形 点 线 边长 面积 线线角 三角形 空间图形 线 面 面积 体积 二面角 四面体(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论.[再练一题]2.在上例中，若△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，其对角分别为A ，B ，C ，那么由a ＝b ·cos C ＋c ·cos B 可类比四面体的什么性质？【解】 在如图所示的四面体中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面PAB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小.猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.[探究共研型]类比推理在其他问题中的应用探究1 开木材，它们在功能上是类似的.因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的.你认为该过程为归纳推理还是类比推理？【提示】 类比推理.探究2 在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，有如下方法：先改写第k 项：k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)-(k -1)k (k ＋1)]，由此得 1×2＝13(1×2×3-0×1×2)， 2×3＝13(2×3×4-1×2×3)， ……n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)-(n -1)n (n ＋1)]，相加得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝13n (n ＋1)(n ＋2). 类比上述方法，请你计算“1×3＋2×4＋…＋n (n ＋2)”，其结果写成关于n 的一次因式的积的形式为______________.【提示】 1×3＝16×(1×2×9-0×1×7)，2×4＝16×(2×3×11-1×2×9)， 3×5＝16×(3×4×13-2×3×11)， ……n (n ＋2)＝16[n (n ＋1)(2n ＋7)-(n -1)n (2n ＋5)]， 各式相加，得1×3＋2×4＋3×5＋…＋n (n ＋2)＝16n (n ＋1)(2n ＋7). 已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值，试写出双曲线x 2a 2-y 2b2＝1(a >0，b >0)具有类似特征的性质，并加以证明. 【精彩点拨】双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论→双曲线中的相应结论→理论证明 【自主解答】 类似性质：若M ，N 为双曲线x 2a 2-y 2b2＝1(a >0，b >0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则N (-m ，-n ).因为点M (m ，n )是双曲线上的点，所以n 2＝b 2a 2m 2-b 2.同理y 2＝b 2a 2x 2-b 2. 则k PM ·k PN ＝y -n x -m ·y ＋n x ＋m ＝y 2-n 2x 2-m 2＝b 2a 2·x 2-m 2x 2-m 2＝b 2a 2(定值). 1.两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征.2.进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征；然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想.[再练一题]3.三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为________.【解析】 △ABC 的内心为O ，连结OA ，OB ，OC (图略)，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a ，b ，c ；类比：设四面体A ­BCD 的内切球球心为O ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r ，所以有V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r . 【答案】 13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1，S 2，S 3，S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径) [构建·体系]1.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________.【解析】 由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.【答案】 1∶82.正方形的面积为边长的平方，则在立体几何中，与之类比的图形是________，结论是________.【导学号：】【答案】 正方体 正方体的体积为棱长的立方3.在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和.可类比得到的结论是________.【解析】 因为等差数列{a n }的公差d ＝3，所以(S 30-S 20)-(S 20-S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)-(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝10d ＋10d ＋…＋10d 10个＝100d ＝300，同理可得：(S 40-S 30)-(S 30-S 20)＝300，所以数列S 20-S 10，S 30-S 20，S 40-S 30是等差数列，且公差为300.即结论为：数列S 20-S 10，S 30-S 20，S 40-S 30也是等差数列，且公差为300.【答案】 数列S 20-S 10，S 30-S 20，S 40-S 30也是等差数列，且公差为3004.类比圆的下列特征，找出球的相关特征.(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆；(2)平面内不共线的3个点确定一个圆；(3)圆的周长与面积可求.【解】 (1)在空间中，与定点距离等于定长的点的集合是球；(2)空间中不共面的4个点确定一个球；(3)球的表面积与体积可求.我还有这些不足：(1)(2) 我的课下提升方案：(1)(2)。