最新高中数学不等式知识点归纳汇总

最新高中数学不等式知识点归纳汇总
知识点一：绝对值三角不等式
1．定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b|≤|a|＋|b|，
当且仅当ab ≥０时，等号成立．
2．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c|≤ |a －b|+ |b －c|，当且仅当(a-b)(b-c)
≥０时，等号成立．知识点二：绝对值不等式的解法
1．不等式|x|<a 与|x|>a 的解集：
不等式
a>0a ＝0a<0|x|<a
{x|－a<x<a}??|x|>a {x|x>a ，或x<－a}{x|x ≠0}R
2．|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：
(1)|ax ＋b|≤ｃ?-c ≤ax ＋b ≤ｃ；
(2)|ax ＋b|≥ｃ?ax ＋b ≤-c 或ax ＋b ≥c.
(3)|x －a|＋|x －b|≥c(c>0)和|x －a|＋|x －b|≤c(c>0)型不等式的解法：
巩固专区：典例
[例1].函数y=|x+1|+ |x+3|的最小值为___________.
解析：由|x+1|+ |x+3|≥｜（x+1）-（x+3）|=2，故y 的最小值2。

[例2].不等式|2x-1|<x+1的解集为__________.
解析：∵|2x-1|<x+1，即-（x+1）<2x-1<x+1,
∴Error!即Error!，∴解集为{x|0<x<2}．
[例3].(2012·肇庆模拟)|x|2－2|x|－15>0的解集是________．
解析：∵|x|2－2|x|－15>0，∴|x|>5或|x|<－3(舍去)，∴x<－5或x>5.
答案：(－∞，－5)∪(5，＋∞）
[例4].若存在实数x 满足不等式|x －4|＋|x －3|<a ，则实数a 的取值范围是________．解析：由绝对值不等式的性质知，
|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1，所以函数y ＝|x －4|＋|x －3|的最
小值为1，
又因为原不等式有实数解，所以
a 的取值范围是(1，＋∞）．答案：(1，＋∞）
[例5].(2012·湖南高考)不等式|2x ＋1|－2|x －1|＞0的解集为________．
解析：原不等式即
|2x ＋1|＞2|x －1|，两端平方后解得12x ＞3，即x ＞.答案：Error!14方法总结(一)：
1.不等式|x －a|＋|x －b|≥ｃ的解就是数轴上到A(a)，B(b)两点的距离之和不小于c 的点所对应的实数，只
要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．2．不等式|a|－|b|≤|a ＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是
ab ≥０，左侧“＝”成立的条件是ab ≤０且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a －b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab ≤０，左侧“＝”成立的条件是ab ≥０且|a|≥|b|.[例6]　(2012·新课标全国卷)已知函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －2|.
的解集；
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥３
－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
(2)若f(x)≤|x
解：(1)当a＝－3时，f(x)＝Error!
当x≤２时，由f(x)≥３得－2x＋5≥３，解得x≤１；
当2＜x＜3时，f(x)≥３无解；
当x≥３时，由f(x)≥３得2x－5≥３，解得x≥４；
所以f(x)≥３的解集为{x|x≤１，或x≥4}．
(2)f(x)≤|x
－4|?|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.
当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|
－a.
?4－x－(2－x)≥|x＋a|,?－2－a≤x≤２
由条件得－2－a≤１且2－a≥２，即－3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．
在本例条件下，若f(x)≥３对一切实数x恒成立，求a的取值范围．
解：∵f(x)＝|x＋a|＋|x－2|，
∴f(x)≥|(x＋a)－(x－2)|＝|a＋2|.
由条件知|a＋2|≥３
，即
a＋2≥３或a＋2≤－3，
∴a≥１或a≤－5.
即a的取值范围为(－∞，－5]∪[1，＋∞）．
方法总结(二)：
　1.形如|x－a|±|x－b|≥ｃ不等式的常用解法：
(1)零点分段讨论法，其步骤为：
①求零点；②划分区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值．
(2)用|x－a|±|x－b|的几何意义求解．
(3)数形结合，作出y＝|x－a|±|x－b|的图象，直观求解．
[例7]．已知函数f(x)＝|x－8|－|x－4|.
(1)作出函数y＝f(x)的图象；
(2)解不等式|x－8|－|x－4|>2.
解：(1)f(x)＝Error!
图象如下：
(2)不等式|x－8|－|x－4|>2，即f(x)>2.
由－2x ＋12＝2，得x ＝5.
由函数f(x)图象可知，原不等式的解集为(－∞，5)．
[例8].(2015·延边质检)已知函数f(x)＝|2x ＋1|＋|2x －3|＋a.
(1)当a ＝0时，解不等式f(x)≥６；
(2)若不等式f(x)≥3a 2对一切实数x 恒成立时，求实数a 的取值范围．
[自主解答]　(1)当a ＝0时，求得
f(x)＝Error!由f(x)≥６?x ≤－1或x ≥2.
所以不等式的解集是(－∞，－1]∪[2，＋∞）．
(2)法一：f(x)＝Error!的最小值是4＋a.
要使不等式f(x)≥3a 2恒成立，只要4＋a ≥3a 2，
解得－1≤a ≤.所以a 的取值范围是.
4
3[－1，4
3]法二：因为|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4.
所以f(x)min ＝4＋a ，
要使f(x)≥3a 2对一切实数x 恒成立，只要4＋a ≥3a 2，
解得－1≤a ≤.所以a 的取值范围为.
4
3[－1，4
3]方法总结(三)：
1.对于求y ＝|x －a|＋|x －b|或y ＝|x ＋a|－|x －b|型的最值问题，利用绝对值不等式的性质更方便．形如y ＝|x －a|＋|x －b|的函数只有最小值，形如y ＝|x －a|－|x －b|的函数既有最大值又有最小值．
[例9]．(2012·长春模拟)设函数f(x)＝|2x －1|＋|2x －3|，x ∈R.
(1)解不等式f(x)≤５；
(2)若g(x)＝的定义域为R ，求实数m 的取值范围．
1
()f x m 解：(1)原不等式等价于Error!或Error!或Error!
因此不等式的解集为.
[－1
4，9
4](2)由于g(x)＝的定义域为R ，则f(x)＋m ＝0在R 上无解．
1
()f x m 又f(x)＝|2x －1|＋|2x －3|≥|2x －1－2x ＋3|＝2，f(x)的最小值为2，
所以－m<2，即m>－2，m 的取值范围为(－2，＋∞).
[例10].(2012·长春调研)已知f(x)＝，a ≠ｂ，求证：|f(a)－f(b)|<|a －b|.
1＋x 2　证明：∵|f(a)－f(b)|＝|－|
1＋a 21＋b 2＝＝，
|a 2
－b 2|1＋a 2＋1＋b 2|a －b||a ＋b|
1＋a 2＋1＋b 2又|a ＋b|≤|a|＋|b|＝＋<＋，a 2b 21＋a 21＋b 2。