符号微积分与符号方程求解资料重点
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【例 3.14】分别求 1/x 在 0 处从两边趋近、从左边趋近和从右边趋近的三 个极限值。
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置2试时32卷，3各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并25工且52作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
微积分的基础知识与运算
微积分的发展历程
微积分作为现代数学中重要的分支，在牛顿、莱 布尼茨等数学家的努力下逐渐发展成熟。它的应 用领域广泛，是解决现实问题的重要工具之一。
● 05
第五章 链式法则与微分中 值定理
链式法则的概念
链式法则描述了复合 函数的导数计算规则， 对于求解复杂函数的 导数具有重要作用。 通过链式法则，我们 可以更有效地计算复 合函数的导数，提高 求导的效率。
物理学
近似计算物理现象 解决实际问题
工程学
估算工程参数 优化设计方案
微分方程
是求解微分方程的重要工 具
积分中值定理的 概念
积分中值定理描述函 数在某一区间上的平 均值性质，其中有柯 西中值定理、勒贝格 积分中值定理等，为 理解函数性质提供重 要依据。
积分中值定理的应用
性质证明
用于证明函数的 性质
学习微积分的建议
坚持练习
掌握基本概念和 方法
理解应用场 景
将理论知识应用 到实践中
多练习计算
熟练运用微积分 技巧
多与他人交 流
加深理解
拓展学习
学习高阶微积分
掌握不定积分、定积分等 高级概念 深入理解微积分的推导和 应用
探索多元微积分
理解多元函数概念 学习多元微分、多元积分 等内容
应用微积分解决问题
计算复杂图形的面积
03 速度与加速度
通过微积分求解物体的运动特性
微积分的数值计算
复化梯形法
求定积分的数值 近似
牛顿-拉夫逊 插值
曲线的插值与逼 近
预处理法
提高数值解的精 度
龙贝格积分 法
加速定积分的收 敛速度
感谢观看
THANKS
微分中值定理的应用
第13讲：符号微积分及符号方程求解
13.3 符号函数积分
其语法格式分别为：
R = int(S)
R = int(S,v) R = int(S,a,b)
R = int(S,v,a,b)
其中：
S：为符号表达式，可能有多个参数 v：以 S 中的符号 v 进行求积分运算 a,b：定积分下限、上限，不指表示求不定积分
12
1 dx 例6：求积分 2 1 x
5
例2：计算函数的各种极限。
syms x
a t h;
limit(sin(x)/x)
limit(1/x,x,0,‘right’)
% sin(x)/x 趋于0 (默认)
% 1/x趋于0的右极限
limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0) v
= [(1 + a/x)^x, exp(-x)]; % x趋于无穷时的左极限
4
例1：求极限
x(e sin x 1) 2(e tgx 1) lim x 0 sin 3 x
syms x;
%定义符号变量
%确定符号表达式
f=(x*(exp(sin(x))+1)-2*(exp(tan(x))-1))/sin(x)^3； %求函数的极限 w=limit(f) w = -1/2
syms x
int(1/(1+x^2))
ans = atan(x)
例7：计算二重不定积分
syms x y
xe
xy
dxdy
F = int(int('x*exp(-x*y)','x'),'y') F=
微积分知识点概要
微积分(知识点概要)微积分 (知识点概要)第一章函数、极限与连续1．1函数定义与符号1．2极限概念与运算法则1．3求极限的方法1．4函数的连续性1．1函数的定义（P1）1函数的定义1．若变量x、y之间存在着确定的对应关系，即当x的值给定时，唯一y值随之也就确定，则称y是x的函数，记为y=f(x)。
2．确定函数有两个要素：函数的定义域和对应关系。
例如：y=lgx2 与y =2lgx 就不是相同的函数，因为它们的定义域不同。
2函数记号一旦在问题中设定函数y=f(x)，记号“f”就是表示确定的对应规则，f（3）就是表示按此对应规则在x=3时所对应的函数值y等。
3初等函数（P6）称幂函数x k（k为常数），指数函数a x ，对数函数loga x （a为常数，a﹥0，a≠1）三角函数及反三角函数为基本初等函数。
凡由基本初等函数经有限次．．．加、减、乘、除及有限次复合且能用一个式子表达的函数，称为初等函数。
4函数的简单性质（1）有界性：（P5）对于函数f(x)，若存在常数M、m对定义域内所有xf(x)≤M 称f(x)有上界f(x)≥m 称f(x)有下界，既有上界又有下界简称有界。
（2）奇偶性：（P3）若函数f(x)的定义域关于x=0的对称区间，又对于定义域内的任意x均有f(-x)=f(x) 则称f(x)为偶函数。
f(-x)=-f(x) 则称f(x)为奇函数。
（3）单调性：（P4）若函数f(x)在[a、b]上有定义对∀x∊[a、b]x1﹤x2时f(x1)≤f(x2) f(x) 在[a、b]上↗f(x1)≥f(x2) f(x) 在[a、b]上↘（4）周期性:(P5)若存在常数a(a≠0)，使对任意x且有f(x)= f(x+a)则称f(x)为周期函数，称常数a 为f(x)的周期。
1．2极限概念与运算法则1极限的直观定义（P11）当一个变量f(x)在x →a 的变化过程中变化趋势是无限地接近于一个常数b ，则称变量f(x)在x →a 的过程中极限存在。
微积分知识点归纳
知识点归纳1. 求极限2.1函数极限的性质P35唯一性、局部有界性、保号性P34Ax f x x =→)(lim 0的充分必要条件是：Ax f x f x f x f x x x x ==+==-+-→→)()0()()0(lim lim 0002.2 利用无穷小的性质P37：定理1有限个无穷小的代数和仍是无穷小。
0)sin 2(30lim =+→x x x定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
0)1sin (20lim =→x x x定理3无穷大的倒数是无穷小。
反之，无穷小的倒数是无穷大。
例如：lim∞→x 12132335-++-x x x x ∞= , lim∞→x 13123523+--+x x x x 0=2.3利用极限运算法则P412.4利用复合函数的极限运算法则P452.4利用极限存在准则与两个重要极限P47夹逼准则与单调有界准则，lim→x x x tan 1=，lim 0→x x x arctan 1=，lim 0→x x xarcsin 1=，lim )(∞→x ϕ)())(11(x x ϕϕ+e =，lim 0)(→x ϕ)(1))(1(x x ϕϕ+e =2.6利用等价无穷小P55当0→x 时，x x ~sin ，x x ~tan ，x x ~arcsin ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+，x e x ~，221~cos 1x x -，x x αα++1~)1(，≠α0 为常数2.7利用连续函数的算术运算性质及初等函数的连续性P64如何求幂指函数)()(x v x u 的极限？P66)(ln )()()(x u x v x v ex u =，)(ln )()(lim )(lim x u x v x v ax ax ex u →=→2.8洛必达法则P120limax →)()(x g x f )()(lim x g x f a x ''=→ 基本未定式：00，∞∞，其它未定式 ∞⋅0，∞-∞，00，∞1，0∞（后三个皆为幂指函数）2. 求导数的方法2.1导数的定义P77：lim00|)(→∆==='='x x x dx dyx f y x x f x x f xy x ∆-∆+=∆∆→∆)()(000limh x f h x f h )()(000lim-+=→ h x f h x f h ---=→)()(000lim0)()(limx x x f x f x x --=→左极限：h x f h x f x f h )()()(0000lim-+='-→- 右极限：hx f h x f x f h )()()(0000lim-+='+→+定理1：)(x f y =在0x 处可导的充分必要条件是：)()(00x f x f +-'='2.2 求导的四则运算法则P84、反函数的导数P86、复合函数的导数P872.3高阶导数P922.4隐函数的导数P95、对数求导法P97、参数方程的导数P982.5函数的微分定义P1002.6基本初等函数的微分公式与微分运算法则P1033.求积分的方法3.1原函数的定义、不定积分的定义P161 3.2不定积分的性质P163：性质1－性质4例10 ,P1653.3基本积分表 3.4换元积分法3.4.1凑微分法P167常用凑微分公式P1683.4.2变量代换法P170补充基本积分公式P1733.5分部积分法P1753.6有理函数的积分4.6.1有理函数的积分P1804.6.2三角有理函数的积分万能置换公式，修改的万能置换公式4.6.3简单无理函数的积分P1864.其它4.1 判断函数连续性及间断性P59例1,例2,例4,例5,例6,例84.2求方程的根4.2.1零点定理P67,例5,例64.2.2罗尔定理P114,例1,例24.4.3判断根的唯一性：罗尔定理P114 的例2,单调性P132例54.4.4导数的几何意义P80、可导性与连续性的关系P81例10,例11 4.4证明恒等式P116,例34.5证明不等式4.5.1用拉格郎日中值定理P117,例44.5.2利用函数单调性P132,例44.5判断单调性P131与凹凸性P133、求拐点P1344.6求函数的极值及最值4.6.1求函数的极值P136必要条件P137，第一充分条件P137，第二充分条件P1394.6.2求函数的最值P1404.7求曲线的渐近线P1444.8导数在经济学中的运用4.8.1边际函数及其经济意义P1474.8.2弹性函数及其经济意义P150。
微积分基本公式的符号
微积分基本公式的符号
微积分是数学中的一个重要分支，其中有许多基本公式和符号。
下面我将从不同的角度来回答你的问题。
1. 基本公式：
微积分中的基本公式包括导数和积分的基本定义。
导数的基本
公式包括：
函数f(x)的导数表示为f'(x)，也可以写作dy/dx或者y'。
积分的基本公式包括不定积分和定积分的定义，不定积分表示
为∫f(x)dx，定积分表示为∫[a, b]f(x)dx。
2. 符号：
微积分中常用的符号包括：
dx，表示自变量x的无穷小增量。
dy，表示因变量y的无穷小增量。
f'(x)，表示函数f(x)的导数。
∫，表示积分符号，用于表示定积分或不定积分。
d/dx，表示求导数的操作符号。
Σ，表示求和符号，在微积分中用于表示级数求和。
除了上述基本公式和符号外，微积分中还涉及到许多函数、极限、微分方程等内容，这些都是微积分的重要组成部分。
希望以上回答能够帮助你全面了解微积分基本公式和符号。
如果你还有其他问题，欢迎继续提问。
符号运算专业知识
%fourier反变换
if1 =
sin(x)
4.5.2 Laplace变换
F=laplace(f,t,s) %求以t为变量f旳Laplace变换F f＝ilaplace(F,s,t) %求以s为变量旳F旳Laplace反 变换f 例：
>> syms t w s >> f2=t; >> lf1=laplace(heaviside(t)) %对单位阶跃函数 求laplace变换 lf1 = 1/s
练习
4.4.2 符号体现式旳极限
极限：limt(f,x,a)
例4-22 使用limit函数计算符号体现式旳极限，e t sin(t)
和
1
>> syms t
t
>> f1=exp(-t)*sin(t);
>> ess=limit(f1,t,inf)
%计算趋向无穷大旳极限
ess =
0
>> limitf2_l=limit(f2,'t','0','left')
例：
>> syms x y t v n
>> f=x+y;
>> g=t*v; >> y1=compose(f,g)
%以x为符号变量求复合函数
y1 =
t*v+y >> y4=compose(f,g,y,t,'n')%以n替代t求复合函数f(g(n))
y4 =
x+n*v
4.3.5 多项式符号体现式
1. 多项式符号体现式旳通分
>> syms x t
微积分到知识点总结
微积分到知识点总结微积分的知识点非常多，本文将介绍微积分的一些基本概念和重要知识点，并对其进行总结和归纳。
一、函数与极限函数是微积分中的基本概念，它描述了一个变量如何依赖于另一个变量。
函数的导数描述了函数在某一点的变化率，而函数的积分则描述了函数所围成的曲线与坐标轴之间的面积。
函数与极限是微积分的重要基础，它们为微积分的后续理论和方法打下了基础。
1. 函数的概念函数是一个特殊的映射关系，它描述了自变量和因变量之间的对应关系。
函数可以用数学公式表示，例如y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量，f是函数关系。
2. 极限的概念极限描述了函数在某一点附近的性质，是微积分中一个非常重要的概念。
极限可以使我们研究函数在某一点的趋势和性质，从而为导数和积分的研究打下基础。
3. 极限的性质极限具有一些基本的性质，例如极限的唯一性、极限的保号性和极限的四则运算法则等。
这些性质是极限运算的基础，对于求解极限问题非常重要。
4. 极限的计算极限的计算是微积分教学的一大重点，它包括一些常见的极限计算方法，例如无穷大极限、洛必达法则、泰勒展开式等。
熟练掌握这些方法，对于解决极限计算问题大有帮助。
二、导数与微分导数是函数在某一点的变化率，它是微积分中的一个重要概念。
导数可以帮助我们研究函数的单调性、凹凸性以及最值等问题，是微积分中的一个基础工具。
1. 导数的定义导数描述了函数在某一点的瞬时变化率，它可以用函数的极限概念进行定义。
导数的定义包括了函数在某一点的切线斜率以及函数的增量和自变量的增量之比。
2. 导数的性质导数具有一些基本的性质，包括导数的唯一性、导数的和差积商法则、导数的连续性等。
这些性质是导数运算的基础，可以帮助我们进行导数的运算和求解导数的问题。
3. 高阶导数高阶导数是导数的推广概念，它描述了函数的高阶变化率。
高阶导数包括了二阶导数、三阶导数、四阶导数等，它们可以帮助我们研究函数的曲率和波动性。
4. 微分的概念微分是导数的对应概念，它描述了函数在某一点的变化量。
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12
例6：求积分
1 dx 1 x2
syms x
int(1/(1+x^2))
ans =
atan(x)
例7：计算二重不定积分 xexydxdy
syms x y
F = int(int('x*exp(-x*y)','x'),'y')
[
0, 0 ]
[ -t*sin(x), 1/x ]
d a t3 dx t cos x ln x
syms a t x;
d2 a
t3 d2 a
t3
dt2 t cos x dlnfdxt2 =dxdt t cos x ln x
[ 0, 6*t ]
[ 0, 0 ]
f=[a,t^3;t*cos(x), log(x)];
3
13.1 符号极限
极限是微积分的基础，微分和积分都是“无穷 逼近”时的结果。
函数limit用于求极限，其格式为：
limit(f,x,a) —— 计算当变量x趋近于常数a时，f(x) 函数的极限值。
limit(f,a) —— 计算findsym(f)确定的自变量，即x 趋近于a时f(x)的极限值。
limit(f,x,a,'right') —— 变量x从右边趋近于a。 limit(f,x,a,'left') —— 变量x从左边趋近于a。
4
例1：求极限
x(esin x 1) 2(etgx 1)
lim
x0
sin 3 x
syms x;
%定义符号变量
%确定符号表达式
f=(x*(exp(sin(x))+1)-2*(exp(tan(x))-1))/sin(x)^3；
v = [(1 + a/x)^x, exp(-x)]; limit(v,x,inf,'left') % x趋于无穷时的左极限
ans = 1
ans = inf ans = cos(x) ans = [ exp(a), 0]
6
13.2 符号函数微分与求导
1、单变量函数
函数的一般引用格式为： diff(S) —— 由findsym函数确定默认变量 diff(S, 'v') diff(S, n) diff(S, 'v', n)
[ cos(l)*sin(f), -r*sin(l)*sin(f), r*cos(l)*cos(f) ]
[
sxin(lr),cos cosr*cos(l),
0]
y
r
cos
sin
z r sin
% 分别用 l 和 f 来表示两个角度
syms r l f
% 定义符号变量
x = r*cos(l)*cos(f);
%求函数的极限
w=limit(f)
w = -1/2
5
例2：计算函数的各种极限。
syms x a t h; limit(sin(x)/x) limit(1/x,x,0,‘right’)
% sin(x)/x 趋于0 (默认) % 1/x趋于0的右极限
limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0)
F=
1/y*exp(-x*y)
13
例8：求积分 2 x2 x2y (x2 y 2 z 2 )dzdydx 1 x xy syms x y z
f2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y, sqrt(x),x^2),x,1,2)
vf2=vpa(f2)
% 结果用32位数字表示
f2 =
1610027357/6563700-6072064/348075*2^(1/2) +14912/4641*2^(1/4)+64/225*2^(3/4)
vf2 =
224.92153573331143159790710032805
14
13.4 级数
13.4.1 级数符号求和
求无穷级数的和需要符号求和函数symsum，其调 用格式为： symsum(s,v,n,m)
其中：s 表示级数的通项，是一个符号表达式； v 是求和变量，省略时使用默认变量； n 和 m 是求和的开始项和末项。
15
例9：求级数 1/12+1/22+1/32+1/42+ ……
f
w(x, v(x,
yy))
则jacobian命令计算矩阵 J (w, v) (x, y)
Jacobian命令的一般形式为： J = jacobian([w;v],[x,y])
10
J=
例5：直[角co坐s(标l)*系co转s(f化), -为r*s球in形(l)*坐co标s(f，), -即r*c，os(l)*sin(f) ]
其中： S：符号函数表达式，可能有多个符号参数 v：以符号 v 进行微分或求导运算 n：对S进行n次求导，默认为1
7
例3：求导数
d sin x2 dx
x = sym('x');
% 定义符号变量
diff(sin(x^2))
% 求导运算
ans =
2*cos(x^2)*x
8
例4：求导数
df =
第13讲 符号微积分 与符号方程求解
➢ 数值微积分中可以进行极限、导数、微分、积 分、级数展开等解析运算，也可以进行多元函 数的微积分运算，同样符号运算也可以进行上 述各种操作。
➢ 在运算的同时，结合图形的显示可以更好地帮 助我们理解微积分的概念和计算。
2
本讲教学目标
掌握符号极限运算 掌握符号微积分运算 了解符号级数和符号积分变换 掌握符号函数图形的绘制 掌握符号方程和方程组的求解
df=diff(f)
dfdxdt =
%求矩[ 阵f对0x,的导0数]
dfdt2=diff(f,t,2)
%求矩[ 阵-sifn对(xt)的, 二阶0 ]导数
dfdxdt=diff(diff(f,x),t) %求二阶混合导数
9
2、求偏导数的jacobian命令
设列向量每一个分量 w,v 为
自变量 x,y 的函数，即
y = r*cos(l)*sin(f);
z = r*sin(l);
J = jacobian([x; y; z], [r l f])
11
13.3 符号函数积分
其语法格式分别为： R = int(S) R = int(S,v) R = int(S,a,b) R = int(S,v