动量矩定理

解：系统质心为C，则 OC = CA = R / 2 G G (e) = M ( e ) = 0 ⇒ L = const LC = M C ⇒ L Cz Cz Cz R
2
C
G v
A
O
LCz = J Czω + mv ⋅ AC + mω ⋅ AC
v ω=− 3R
2 2 2 ⎤ =⎡ mR + m ( R / 2) ω + mRv / 2 + m ( R / 2) ω=0 ⎣ ⎦
s w w s LO1 = J O ω + J a O1 ωa 1
s w + JO 记系统总转动惯量为 J O = J O ，有
1 1 1
s w w LO1 = J O1 ωa + JO ωr
w ω 其中 r 为动量轮相对卫星的角速度
安装在质心时
w w s LO1 = J O1 ωa + JO ωr 1
质系对固定点 A的动量矩的变化率等于 作用在质系上的外力系对A点的主矩。
(e) (e) (e) (e) MA = M Ax i + M Ay j + M Az k
LA = LAx i + LAy j + LAz k dLAy dLAx (e) ( e ) dLAz (e) = M Ax , = M Ay , = M Az Axyz y 为定系或平动系 dt dt dt
对固定 固定(平动)轴动量矩变化率等于外力对同轴合力矩。
刚体定轴转动运动微分方程
刚体对定轴z的动量矩：
LOz = ∑ mi riω ⋅ ri = ∑ (mi ri 2 )ω = J Oz ω
i =1 i =1 n n
z F1 F2
质系对定轴z的动量矩定理： 的动量矩定理
J Oz ε = M Oz
= M Oz J Ozϕ
O
vA
A B
vB
解
取滑轮与A和B两人为研究对象， 系统对O点动量矩守恒：
r ⋅ ( mv A − mvB ) = 0
O
v A = vB
vA
A B
vB
设绳子移动的速率为u
v A = u1 − u vB = u2 + u
u = (u1 − u2 ) / 2
解
动量矩守恒 动量矩 守恒
dLA (e) = MA dt (e) MA =0
ω
A
C
o
D
α
B
解
利用例1的结果
LO = 2ml 2ω sin α k
L dLO d = O + ω × LO = 2ml 2ω 2 sin α cos α i dt dt ω
YA
由质系的质心运动定理得 YA = YB , Z B = 2mg 外力对O点的主矩为 (e) MO = YAhi
y
z
LO
O1与O重合，公式完全一致。
实例分析
空翻＋转体 空翻＋转体＝“旋” 旋
空 空翻 跳水运动
体育健身器材中的动力学
问题：动量矩守恒吗？
例5 在光滑水平面上放置半径为 R 的圆环，在环 上有一个质量与环相同的小虫，以相对环的 等速率v爬行。设开始时环与虫都静止。求环 的角速度。
G v
R
o
JJJ G G G G LCz = J Czω + CA × m ( v + ve ) ⋅ k G G JJJ G G JJJ G G ve = vC + ω × CA = ω × CA
YB ZB
由质系的动量矩的定义可得 LO = rC × mvC + rD × mv D = 2ml 2ω sin α k
定轴转动圆盘对圆心的动量矩
vi = ω × ri
LO = ∑ ri × mi vi = ∑ ri × mi (ω × ri ) = ∑ mi ri 2 ω = J O ω
i i i
7.2 动量矩定理
质系的动量矩
质系中各质点对点O（矩心）的动量矩的矢量和 称为质系对点O的动量矩，也称 也称角动量 （Angular Momentum）
LO = ∑ ri × mi vi
i
动量矩是一个向量，它与矩心O的选择有关。
例1
质量均为m的两小球C和D用长为2l的无质量刚性杆连 接 并以其中点固定在铅垂轴AB上，杆与 接，并以其中点固定在铅垂轴 上 杆与AB轴之间的 夹角为α ，轴AB转动角速度为ω ，角加速度为ε ，A、 B轴承间的距离为h，求系统对O点的动量矩。 点的动量矩
起旋、加速、减速、停止的分析
对质心的动量矩定理
dLA (e) = MA − v A × mvC dt
v A = vC
dLC (e) = MC dt
质系对质心 C 的动量矩的变化率等于 作用在质系上的外力对同点的主矩 作用在质系上的外力对同点的主矩。
(e) (e) (e) (e) MC = M Cx i + M Cy j + M Cz k
LA = C
当外力系对某固定点的主矩等于零时，质系对于该 点的动量矩保持不变。
dLOz (e) = M Oz dt
(e) M Oz =0
LOz = const
当外力系对某固定轴的合力矩等于零时，质系对于 该轴的动量矩保持不变。
实例分析
通过改变转动惯量来控制角速度。
实例分析
芭蕾舞演员
花样滑冰运动员
O1 ri mi Fn y vi
给定MOz用此方程求解刚体转动规律。 给定刚体转动规律不能用此方程求 解约束反力 可用动静法解 可用 解约束反力。可用动静法解，可用 刚体动力学的方法解。
O x
ε ω
例3
质量均为m的A和B两人同时从静止开始爬绳。已知A 的体质比 B的体质好，因此 A相对于绳的速率 u1大于 B相对于绳的速率u2。试问谁先到达顶端并求绳子的 移动速率u。
i =1 i =1 n i =1 n
rC
y'
y
x ' vC
LC = ∑ ρi × mi vir
i =1
n
∑m ρ
i =1 i
i
= mρC = 0
x
O
质系对质心的动量矩等于质系相对质心平动系 质心平动系的 动量矩，质心速度没有贡献。
平面运动圆盘对质心的动量矩
vir = ω × ri
ω
y
LO = ∑ ri × mi vir = ∑ ri × mi (ω × ri ) = ∑ mi ri 2 ω = J O ω
i =1 i =1 i =1 n n n
A r i r A O ri
mivi
y
LO = LA + rA × mvC
x
例2
一半径为r的匀质圆盘在水平面上纯滚动，如图所示。 已知圆盘对质心的转动惯量为JO，角速度为 角速度为ω，试求 试求 圆盘对水平面上O1点的动量矩。
ω
解： LO = LO + rO O × mvO
A
C
质系对定点的动量矩定理： 2 2 2 ml ω sin α cos α Y =Y =
A B
D
α
B
o
mg
mg
h
YB ZB
讨论

设作用轴AB上的主动力矩为M，求轴转动角速度 ω和角加速度ε LO = 2ml 2ω sin α k M = M (cos α j + sin α k )
L dLO d = O + ω × LO = dt dt 2ml 2ε sin α k + 2ml 2ω 2 sin α cos α i
刚体平面运动微分方程
刚体相对质心的动量矩
LC = LCr = ∑ ri mi vir = ∑ mi ri 2ω = J Cω
i =1 i =1 n n
y
Fn
y' vir ri
C
应用质心运动定理和 对质心的动量矩定理
C = Rx mx C = Ry my = M Cz J Cϕ
O
F2
x'
i i i
O O r
vo
x
ri
可见：平面运动圆盘对质心的动量矩等于圆盘 以同样角速度绕质心作定轴转动的动量矩。 问题：如何求圆盘对水平面上一点的动量矩？
对两点动量矩之间的关系 对两点动量矩 之间的关系
z
ri = ρi + rA
LO = ∑ ( ρi + rA ) × mi vi = ∑ ρi × mi vi + rA × ∑ mi vi
ω
rO r i
问题:如何求平面运动圆盘对质心的动量矩？
质系对质心的动量矩
LC = ∑ ρi × mi vi
i =1
n
vi — 质点的绝对速度
vi = vC + vir
z
n n
ri
i
vi
ρi
z'
C
vir — 相对质心平动系速度 度
LC = ∑ ρi × mi ( vC + vir ) = ∑ ρi × mi vC + ∑ ρi × mi vir
1 1
LO = J O ω
vO = rω i
r
O vo
rO1O
y
x
rO1O × mvO = mr 2 ω LO1 = ( J O + mr 2 )ω
O1
对任意点的动量矩定理 对任意点 的动量矩定理
n n d ρ d L i A LA = ∑ ρi × mi vi =∑ × mi vi + ∑ ρi × mi ai dt i =1 i =1 dt i =1 dρi = vi − v A dt dLA (e) = M A − v A × mvC z dt