2018学年高中数学选修1-2课件：第1章 统计案例1.2 精品

1.2 独立性检验的基本思想 及其初步应用
自主学习•新知突破
1．了解分类变量、列联表的含义．会作2×2列联表． 2．了解随机变量K2的含义以及观测值k的计算公式． 3．了解独立性检验的基本思路及其初步应用．
饮用水的质量是人类普遍关心的 问题． 据统 计 ， 饮 用优质水的 518人 中，身体状况优秀的有466人，饮用一 般水 的 312人 中， 身 体状况优秀的有 218人．
(2)2×2列联表 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为 {x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称2×2列联表)为：
x1
x2 总计
y1 a c a＋c
y2 b d b＋d
总计
a＋b c＋d a＋b＋c＋d
1．分类变量及其关系的分析的理解 (1)这里的“变量”和“值”都应作为广义的变量和值来理 解，只要不属于同种类别都是变量和值，并不一定是取具体的 数值，如：男、女；上、下；左、右等． (2)频数分析是指用不同类别的事件发生的频率的大小比较 来分析分类变量是否有关联关系． (3)等高条形图更加形象直观地反映两个分类变量之间的差 异，进而推断它们之间是否具有关联关系．
3．下列关于随机变量 K2 的说法正确的是________．(填序 号)
①K2 在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无 关；
②K2 的值越大，两个事件的相关性就越大； ③K2 是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只 对于两个分类变量适合； ④K2 的观测值 k 的计算公式为 k＝a＋bcn＋add－ab＋ccb＋d.
有酒精 无酒精 总计
有责任 650 700 1 350
无责任 150 500 650
总计 800 1 200 2 000
(1)试作出相应的等高条形图； (2)结合等高条形图分析血液中含有酒精与对事故负有责任 是否有关系．
[思路点拨]
(1)相应的等高条形图如图：
(2)图中两个深色条的高分别表示司机血液中有酒精和无 酒精样本中对事故负有责任的频率，从图中可以看出，司机血 液中有酒精样本中对事故负有责任的频率明显高于司机血液中 无酒精样本中对事故负有责任的频率．由此可以认为司机血液 中含有酒精与对事故负有责任有关系．
利用随机变量K2判断分类变量间的关系
在调查的480名男士中有38名患有色盲，520名女士 中有6名患有色盲，利用独立性检验的方法来判断色盲与性别 是否有关？你所得的结论在什么范围内有效？
[ 思 路 点 拨 ] 作出2×2列联表 → 计算随机变量K2的值 → 对照临界值作出结论
根据题目所给的数据作出如下的列联表：
1．在一次恶劣气候的飞行航程中，调查男女乘客在机上 晕机的情况如下表所示，据此资料你是否认为在恶劣气候飞行 中男性比女性更容易晕机？
男性 女性 合计
晕机 23 9 32
不晕机 32 25 57
合计 55 34 89
解析： 由数据的列联表可以得到等高条形图为：
从图中可以发现男性中晕机的频率与女性中晕机的频率相 差较大，故我们认为性别和是否晕机有关系，且在恶劣气候飞 行中男性比女性更容易晕机．
(1)请根据所给数据，列出2×2列联表； (2)喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系的把握大约是多 少？
解析： (1)根据题意，列出2×2列联表如下：
认为作业多 认为作业不多 总计
喜欢玩电脑游戏
18
不喜欢玩电脑游戏
8
总计
26
9
27
15
23
24
50
(2)k＝52071×8×231×5－268××2942≈5.059，P(K2≥5.024)＝0.025，
得 k＝1 00408×0×385×205×144－4×44925×6 62≈27.139，
8分
由于 27.139>10.828，所以在犯错误的概率不超过 0.001 的
前提下，认为性别与患色盲有关系．但这个结论只对所调查的
这 480 名男士和 520 名女士有效.
12 分
的方法
利用随机变量K2判断两分类变量是否有关系 收集样本数据
[思路点拨]
解析： (1)2×2列联表如下：
甲在生产现场 甲不在生产现场
总计
合格品数 982 493 1 475
次品数 8 17 25
总计 990 510 1 500
由列联表可得|ac－bd|＝|982×17－493×8|＝12 750，相差 较大，可在某种程度上认为“质量监督员甲是否在生产现场与 产品质量有关”．
解析： K2是用来判断两个分类变量是否有关的随机变 量，所以①错；K2的值越大，只能说明我们有更大的把握认为 二者有关系，却不能判断相关性的大小，②错；④中(ad－bc) 应为(ad－bc)2.
答案： ③
4．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查， 喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有18人，认为作业不多的 有9人，不喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有8人，认为作 业不多的有15人．
所以在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为喜欢玩电 脑游戏与认为作业多有关系.
合作探究•课堂互动
利用等高条形图判断分类变量间的关系
2012年5月1日起我国对醉驾列入法律，交通事故明 显降低，现从发生交通事故的司机中抽取2 000名司机的随机样 本，根据他们血液中是否含有酒精以及他们是否对事故负有责 任将数据整理如下：
计算K2的观测值k 结合实际问题确定临界值k0
结合k与k0的值作出判断
2．某电视台联合相关报社对“男女同龄退休”这一公众 关注的问题进行了民意调查，数据如下表所示：
赞同 反对 总计
男
198
217
415
女
476
109
585
总计
674
326
1 000
根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下
1.判断分类变量及其关系的方法： (1)利用数形结合思想，借助等高条形图来判断两个分类变 量是否相关是判断变量相关的常见方法． (2)一般地，在等高条形图中，a＋a b与c＋c d相差越大，两个 分类变量有关系的可能性就越大．
2．分析分类变量关系的步骤： (1)作大量的调查、研究，统计出结果． (2)列出列联表利用频率粗略估计． (3)作出等高条形图，从直观上进一步判断分类变量之间的 关联关系． 特别提醒：通过等高条形图可以粗略地判断两个分类变量 是否有关系，但无法精确地给出所得结论的可靠程度．
监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系．
判断两个分类变量之间有无关系，可以用 2×2列联表、等高条形图、独立性检验等方法作出判断，其中 从列联表和等高条形图中只能粗略地进行估计，要进行精确的 判断，必须利用独立性检验进行计算并与临界值对比．
3．调查339名50岁以上人的吸烟习惯与患慢性气管炎的情 况，获数据如下：
认为这一问题的看法与性别有关系？(P(K2≥关”．由列联
表中的数据，可以得到：
k＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d
＝1
000×198×109－217×4762 415×585×674×326
≈125.161＞10.828
又 P(K2≥10.828)≈0.001，
所以有 99%的把握认为“吸烟与患慢性气管炎有关”．
(2)证明：假设“吸烟与患慢性气管炎之间没有关系”，由于事 件 A＝{k≥6.635}≈0.01，即 A 为小概率事件，而小概率事件发 生了，进而得假设错误，这种推断出错的可能性约为 1%，即 我们有 99%的把握认为吸烟与患慢性气管炎有关．
◎ 为 了 研 究 男 子 的 年 龄 与 吸 烟 的 关 系 ， 抽 查 了 100 个 男 子，按年龄超过和不超过40岁，吸烟量每天多于和不多于20支 进行分组，数据如表，试问吸烟量与年龄是否有关？
故在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为对“男女同
龄退休”这一问题的看法与性别有关．
独立性检验的综合应用
为了调查某生产线上质量监督员甲对产品质量的好 坏有无影响，现统计数据如下：甲在生产现场时，990件产品 中有合格品982件，次品8件；甲不在生产现场时，510件产品 中 有 合 格 品 493 件 ， 次 品 17 件 ． 试 分 别 用 列 联 表 、 等 高 条 形 图、独立性检验的方法分析监督员甲对产品质量的好坏有无影 响．能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为质量监督 员甲在不在生产现场与产品质量的好坏有关系？
独立性检验
定义 利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关 系”的方法称为独立性检验
nad－bc2 公式 K2＝____a_＋__b__c_＋__d__a_＋__c___b_＋__d_ __.其中n＝
____a_＋__b_＋__c＋__d_______
3．独立性检验思想的理解及常用的几个数值 (1)独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法，要确认 两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度，首先假设该结 论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立，在该 假设下我们构造的随机变量K2应该很小，如果由观测数据计算 得到的K2的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理，根 据随机变量K2的含义，可以通过P(K2≥6.635)≈0.01来评价假设 不合理的程度，由实际计算得K2的观测值k≥6.635，说明假设 不合理的程度约为99%，即两个分类变量有关系这一结论成立 的可信程度为99%.
人的身体健康状况与饮用水的质 量之间有关系吗？
[提示] 人的身体健康状况与饮用水的质量之间有关系．
分类变量和列联表
1．分类变量 变量的不同“值”表示个体所属的__不__同__类__别___，像这样 的变量称为分类变量．
2．列联表 (1)定义：列出的两个分类变量的___频__数__表____，称为列联 表．
1．下面是一个2×2列联表：