数学分类与抽象数学
数学问题的概念
数学问题的概念数学问题是指需要通过数学方法和思维来解决的疑难或难题。
它们可以出现在各个领域，从基础的数学运算到复杂的数学模型和推理过程。
一、数学问题的分类1. 实际问题：实际问题是指与现实生活相关的数学问题。
例如计算面积、体积、速度等。
解决实际问题需要将问题抽象为数学模型，并运用数学知识进行计算和推导。
2. 纯粹问题：纯粹问题是研究数学本身的问题，与实际应用无关。
例如数论中的费马大定理、还原问题等。
这些问题通常需要运用高级的数学理论和推理方法来解决。
3. 推理问题：推理问题是指通过推理和逻辑思维解决的问题。
例如逻辑谜题和数学证明。
这类问题强调思维的逻辑性和推理能力，需要灵活运用数学规则和思维策略。
二、解决数学问题的方法1. 理解问题：首先，我们需要深入理解问题的背景和条件。
明确问题中涉及的概念和关系，找出问题的关键点和目标。
2. 抽象问题：将问题抽象为数学模型，建立数学符号和方程。
通过数学建模，将实际问题转化为数学问题，使问题更具可计算性。
3. 运用数学知识：根据问题的特点和数学模型，选择合适的数学知识和方法进行计算和推导。
例如，利用代数、几何、概率等分支的知识来分析和解决问题。
4. 分析解决方案：通过分析和比较不同解决方案的优缺点，选择最合适的方法来解决问题。
在解决复杂问题时，还可以采用分步解决、逐步逼近等策略。
5. 检验解答：完成计算后，需要对解答进行检验，确保解答符合问题要求，并能解释实际意义。
有效的检验可以增加解答的可信度。
三、数学问题的重要性1. 开发思维能力：解决数学问题需要运用逻辑推理和创造性思维。
通过解决问题，可以培养和发展学生的思维能力，提高问题解决的能力。
2. 培养数学兴趣：数学问题通常具有一定的趣味性和挑战性，可以激发学生对数学的兴趣，提高学习积极性。
解决问题的过程也是一种积极的学习体验。
3. 推动学科发展：数学问题的解决推动了数学学科的不断发展。
许多经典的数学问题成为了数学理论和方法的重要基石，促进了整个学科的进步。
数学中的抽象思维与思维方法
数学中的抽象思维与思维方法数学是一门理性思维与逻辑思维相结合的学科，它需要我们具备良好的抽象思维和运用有效的思维方法。
抽象思维是指将具体问题中的共性和本质进行提取和概括，思维方法则是指在解决问题时采取的套路和思考方式。
本文将从数学中的抽象思维和思维方法两个方面来探讨。
一.数学中的抽象思维数学的发展离不开抽象思维的运用。
抽象思维是指通过提取事物的共性与本质，将具体问题进行理性概括和抽象化的思维过程。
在数学中，抽象思维能够帮助我们理清问题的逻辑结构，找出问题的本质和规律。
1. 概念的抽象在数学中，概念是一切推理和论证的基础。
概念的形成需要我们对具体对象进行分类和归纳，将其相同的特征抽象出来，形成更高级别的概念。
例如，将不同的几何图形进行分类，我们可以抽象出“三角形”、“四边形”等几何概念，从而研究它们的共同性质。
2. 符号的运用符号在数学中起到了语言的作用，它可以帮助我们简洁、准确地表达数学概念和关系。
数学符号的引入，将复杂的问题转化为简单的符号运算，使得问题的表达更加精确和清晰。
比如，在代数中，我们用字母表示未知数，可以用简洁的代数表达式来表示复杂的数学关系。
3. 全盘抽象数学思维要求我们从一个更高的层次来看待和分析问题。
全盘抽象是指将具体问题中的各个要素进行整体思考和概括，从而发现问题之间的共性和联系。
例如，当我们研究某个数列时，要从整体上考虑数列的递推关系、极限性质等，而不仅仅局限于数列的具体项。
二. 数学中的思维方法除了抽象思维，数学中还有一些常用的思维方法，这些方法能够帮助我们更好地解决数学问题。
1. 归纳法归纳法是数学研究中常用的一种思维方法。
通过观察某一问题的若干个具体实例，总结其中的规律和特点，进而推广到一般情况。
归纳法在数学证明中起到了重要的作用，可以将具体问题抽象成一般性结论。
2. 演绎法演绎法是从已知条件出发，利用逻辑推理而得出结论的思维方法。
它是数学证明过程中的重要手段，通过运用数学公理、定理和推理规则，逐步推导出所要证明的结论。
初中数学思想方法之分类讨论
初中数学思想方法之分类讨论数学是一门既抽象又具体的学科，它需要学生具备一定的思维方法和思想能力。
在初中数学中，分类讨论是一种常用的思想方法，它可以帮助学生分析问题、归纳规律并解决问题。
本文将详细介绍初中数学中分类讨论的基本思想和具体步骤，并通过例题来说明如何运用这种方法。
一、分类讨论的基本思想分类讨论是指将问题进行细化，将其分解成几个易于分析和解决的小问题，并分别进行讨论和解决。
通过这种方法可以更好地理解问题的本质，找到解题的关键点，并最终得到问题的解决办法。
分类讨论的基本思想包括以下几点：1.具体问题具体分析。
将问题进行细化后，每个小问题都有其独特的特点和解决思路，需要根据具体情况展开分析。
2.归纳总结。
在分析过程中，要总结出各个小问题之间的共同点和规律，以便更好地理解问题，并找到解决办法。
3.统一思考。
将各个小问题的解决办法进行归纳和整合，形成对大问题的解决思路。
二、分类讨论的具体步骤分类讨论的具体步骤可以简单概括为以下几点：1.理解问题。
仔细阅读题目，了解问题的背景和要求，确定需要解决的具体问题。
2.分析问题。
将大问题分解成几个小问题，每个小问题都有明确的目标和限制条件。
在分析过程中，可以通过画图、列举数据等方式进行辅助分析。
3.解决小问题。
按照特定的思路和方法，分别解决各个小问题。
在解决过程中，可以运用已经学过的数学知识、规律和公式。
4.总结归纳。
在解决小问题的过程中，要总结各个小问题之间的共同点和规律，归纳出解决大问题的关键思路和方法。
5.整合答案。
将各个小问题的解答整合成对大问题的解答。
在整合过程中，要仔细检查各个小问题的解答是否符合大问题的要求，并进行必要的修正和调整。
三、分类讨论的具体例题下面以一些常见的初中数学题目为例，说明如何运用分类讨论的方法解决问题。
例题1：现有一些白球和红球，共18个。
白球的个数不超过红球的个数。
问，最少有多少个红球？解题思路：根据题目要求和条件，可以将问题进行分类讨论。
数学学科素养的六个方面具体内容
数学学科素养的六个方面具体内容一数学抽象数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。
主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。
数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中。
数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。
在数学抽象核心素养的形成过程中，积累从具体到抽象的活动经验。
学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系，能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，能逐渐养成一般性思考问题的习惯，能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题。
二逻辑推理逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。
主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。
逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质。
在逻辑推理核心素养的形成过程中，学生能够发现问题和提出命题；能掌握推理的基本形式，表述论证的过程；能理解数学知识之间的联系，建构知识框架；形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，增强数学交流能力。
三数学建模数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。
主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。
数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。
数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。
在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验。
学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识。
《高一数学抽象函数》课件
余弦函数
余弦函数的图像与正弦函数类似，也是一个周期性的波形 曲线。
指数函数
指数函数的图像是一条经过原点的直线，当指数为正时， 随着x的增大，y的值也无限增大；当指数为负时，随着x 的增大，y的值无限趋近于0。
幂函数
幂函数的图像根据幂次的不同而变化，如y=x^2的图像 是一个开口向上的抛物线。
通过图像研究抽象函数的性质
《高一数学抽象函数》ppt课 件
CONTENTS
• 抽象函数简介 • 抽象函数的分类 • 抽象函数的性质 • 抽象函数的图像 • 抽象函数的应用 • 抽象函数的学习方法与技巧
01
抽象函数简介
抽象函数的定义
抽象函数定义
抽象函数是指没有给出具体解析式，只通过性质或图像进行描述 的函数。
抽象函数与具体函数的区别
偶函数的性质
偶函数图像关于y轴对称，即对于任意$x$，若$f(-x)=f(x)$，则 点$(-x, f(x))$在函数图像上。
偶函数的例子
$f(x)=x^2$。
周期函数
01 02
周期函数
如果存在一个非零常数$T$，使得对于函数$f(x)$定义域内的每一个$x$ ，都有$f(x+T)=f(x)$，则称$f(x)$为周期函数，其中$T$称为该函数的 周期。
描述非线性关系
抽象函数可以用来描述物理中的非线性关 系，如摩擦力、电阻等。
描述场
抽象函数可以用来描述物理中的场，如电 场、磁场等。
在经济中的应用
描述供需关系
抽象函数可以用来描述经济中的供需 关系，反映价格与需求量或供应量之 间的关系。
描述成本与产量关系
描述货币供需关系
抽象函数可以用来描述经济中的货币 供需关系，反映利率与货币供应量之 间的关系。
数学中的抽象、概括与归纳问题
数学方法的概括与统一
01
方法的抽象
数学方法是从具体问题中抽象出来的解决策略。通过对不同问题的解决
方法进行总结和提炼，可以形成具有普遍指导意义的数学方法。
02
方法的统一
在数学中，许多不同的方法往往可以归结为同一种更一般的方法。这种
统一的过程体现了数学方法的概括性。
03
方法的应用与推广
概括后的数学方法可以应用于更广泛的问题领域，甚至在其他学科中也
课程内容
课程将涵盖数学抽象性的概念与特性、抽象思维方法在数学中的应 用、概括与归纳的原理和方法等内容。
教学方式
通过讲解、案例分析、实践练习等方式，帮助学生理解和掌握数学 中的抽象、概括与归纳方法。
02
抽象思维在数学中的应用
数字的抽象
自然数的抽象
自然数是数学中最基础的抽象概念之 一，通过对物体的数量进行抽象，形 成了自然数的概念，使得数学可以进 行数量的计算和推理。
抽象的作用
数学的抽象性使得数学能够深入 研究各种现象的本质，发现一般 性的规律和原理，进而应用于广
泛的实际问题中。
抽象的例子
例如，数学中的群论抽象地研究 对象的对称性和变换性质，不依 赖于具体对象的物理属性和空间
形态。
抽象、概括与归纳在数学中的作用
抽象的作用
抽象能够帮助我们抓住事物的本 质特征，舍弃次要因素，从而更
归纳法在证明中的应用
Байду номын сангаас证明恒等式
01
通过归纳法，可以方便地证明一些与自然数n有关的恒等式，如
算术几何不等式、二项式定理等。
证明整除性质
02
归纳法常用于证明与自然数有关的整除性质，如费马小定理、
欧拉定理等。
数学的本质是抽象
声明：此文档为本人作业，仅供参考，请勿抄袭数学的本质是抽象什么是数学？照字面上的意思理解，就是关于数的学问。
而事实上，数学还包含了逻辑、结构、变化、空间等很多研究内容。
数学就是将这些内容“数”化，算法化进行研究的科学。
什么是抽象？抽象是与具像相对的名词，具象是以对自然界中本有的事物的模仿为基础的，而抽象，与之相对，则是在自然界中不存在其形象的，纯粹由思维假想出的。
抽象的本质是思维的活动，而人的思维则是来源于具象的物质的。
抽象是对具象的提炼、概括、总结、深化，是人类思维处理过的结晶。
现在让我们来关注“抽象”这一现象广泛的存在：语言是一种抽象（这里主要是指基于字母文字的语言而不是象形文字），语言作用的机理是将每个对象用不同符号（字母）的排列组合进行编码并运用，而符号与其代表的事物间并没有必然联系；音乐是一种抽象，音乐用各种符号（音符）的编码来表现纯粹的感觉，而这些感觉本身不带有任何事物的意义；技术是一种抽象，技术所研究的对象并不是事物本身而是事物的作用机理，并试图将作用机理提炼并进行人为组织以创造新事物，而新事物与旧事物间则没有具象联系；现代艺术是一种抽象，它表现的不再是美的事物而是美的规律，通过对美的事物的提炼概括找到本质规律并用没有任何具象意义的手法表现。
由此，我们可以看出抽象几乎渗透于人类文明的每一个方面，并且由此可以提炼出关于抽象的几个规律：1、抽象是基于具象的，换言之抽象都是在人类生活中遇到的具体问题中提炼出来的，用以解决具体问题、概括具体事物的一般规律。
2、抽象的表现方法都是没有具体意义的，并且是具有普适性的，是可以进行抽象运算和程式化处理的。
那么，我们不难看出数学与抽象的关系：数学符合抽象的原则，并且数学这一学科的起源就在于抽象。
数学起源于数，而数本身就是一种抽象的符号，数可以代表世界上的一切事物而其本身没有实际意义。
数学最本质的方法是将事物“数”化、算法化，是将一切事物和规律统领于一个可以进行程式化运算的体系之中。
高中数学教学中数学抽象的科学理解与操作办法
数学教学通讯投稿邮箱:************.com ＞教研在线高中数学教学中数学抽象的科学理解与操作办法付平山东省济宁市育才中学272000［摘要］在高中数学教学中，数学抽象一直受到高度重视,甚至在数学学科核心素养的六大要素当中，抽象被列为第一要素.数学抽象的理解与操作有两关键:一是要科学理解什么是数学抽象;二是要能够建立起正确的数学抽象的操作办法.对数学抽象的理解，必须秉承辩证看待的思路，同时必须避免一些认识上的误区.数学抽象的操作办法是:创设情境，激发学生数学抽象的动机;借助数学思维，选择数学工具,对数学研究对象进行数学抽象;运用数学知识对数学抽象的结果进行表征.无论是从教师的角度还是从学生的角度，都应该对数学抽象进行深入的理解,这样更加符合高中学生的认知特点与核心素养发展的需要.［关键词］高中数学;数学抽象;理解;实践当把数学研究的对象概括为空间形式和数量关系时,就意味着数学抽象在数学教学及其研究中有着不可轻视的基础性地位;也因此在高中数学教学中,数学抽象一直受到高度重视，甚至在数学学科核心素养的六大要素当中，抽象被列为第一要素.站在学生的角度看数学抽象，可以发现通过高中数学课程的学习,学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验;养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁;运用数学抽象的思维方式思考并解决问题.由此可以看出,数学抽象对于学生的学习而言功能巨大.既然数学抽象是如此的重要，那么在核心素养的背景之下，高中数学的数学抽象教学应当如何进行呢？回答这个问题，笔者以为有两关键:一是要科学理解什么是数学抽象;二是要能够建立起正确的数学抽象的操作办法.本文就这两个重要的话题,谈谈笔者一些浅显的思考.卩数学抽象的科学理解对数学抽象的理解,首先是建立在数学抽象的概念基础之上的.认识“数学抽象”首先要认识“抽象”,两者之间是概念的隶属关系.所谓抽象,通常是指人在认识不同事物的过程中,基于一定的标准去舍弃事物的个别、非本质的属性，并在此基础上抽取出事物的本质属性的过程和方法;相应的，数学抽象则是指人在研究事物的过程中,通过观察与比较、分析与综合，去除事物表象的、外部的、偶然的非数学的因素，并提出事物数学本质的、内在的、必然的数学关系.在此过程中要从空间形式和数量关系两个角度去揭示、描述研究对象的数学本质和数学规律的研究方法.无独有偶的是，史宁中教授定义为“数学是研究空间形式和数量关系的一门科学”，认为不管是现实世界中,还是思维想象中的“数量关系和空间形式”都属于数学研究的范畴，这表明数学抽象的基本特征是数量化和形式化.对数学抽象的理解，笔者以为必须秉承辩证看待的思路，同时必须避免一些认识上的误区.强调辩证看待，意思是指数学学习内容一方面是抽象的,尤其是高中数学的知识体系，基本上都是数学抽象的结果,其直接表征方式都是抽象的数与形；另一方面,抽象的知识往往来自于形象的事物或者学生已经熟悉了的知识基作者简介:付平(1979-),教育学硕士，中学一级教师,从事高中数学教学.52>2020年40冃(下旬)删勰5础（其从形式的角度来看是抽象的，从学生认知熟悉程度的角度来看是形象的），在建立数学概念、规则或者规律的时候，往往都会经由数学抽象的过程.因此对于高中学生而言，数学知识的学习过程，实际上是一个从形象走向抽象的过程,亦即数学抽象过程.强调要避免一些认识上的误区，主要是为了避免“数学无用论”“数学抽象虚无论”.在历史上曾经出现过“数学是数学家发明的一种脱离现实世界的思维游戏”这样的认识,本质上这种认识就是对数学抽象的错误理解，上面其实已经强调过：数学的形式是抽象的，但是数学知识的形成过程却是以形象事物与形象思维为基础的,抽象的数学知识最终也是运用于形象的生活事物的，因此数学抽象并不虚无.卩数学抽象的操作办法有了上述理解，到了具体的高中数学教学中,数学抽象的教学以及作为核心素养要素的落地,就必须寻找正确的操作方法.对于数学抽象的情境需要与操作思路之间,有研究认为，数学教学重要的任务之一就是让学生体验数学抽象的过程,而这就需要教师建立对数学抽象的准确理解，并设计教学让学生进入到数学抽象的情境之中.在此基础上,笔者进一步总结出的数学抽象的操作方法是:创设情境,激发学生数学抽象的动机;借助数学思维，选择数学工具，对数学研究对象进行数学抽象，这是一个纯化与创造、想象与推理的过程;运用数学知识对数学抽象的结果进行表征，表征不只是简单的用数学语言描述自己的抽象结果，更多的是在数学抽象结果与数学语言之间寻找联系，这就需要以准确理解数学语言为基础，实际上就是需要以学生正确理解已有的数学概念或规律为基础.来看一个例子：在“向量”这一知识的教学中，常规的教学是给学生举出“既有大小又有方向的量”的例子，然后告诉学生“既有大小又有方向的量叫作向量”.这样的教学在逻辑上看不出多大的问题,因为这些例子本质上是根据向量的定义反推岀来的;而从学生建构数学概念的角度来看,这样的设计又过于线性,不能完全满足学生的认知需要.基于数学抽象素养落地的教学,笔者以为向量概念的建构可以这样设计：首先,创设情境，让学生进行比较，并形成数学抽象的动机.既然向量描述的是既有大小又有方向的量,那么生活中就应该存在只有大小没有方向的量.因此在创设情境的时候，可以将这两种类型的量一同提供给学生，比如物理中的力、位移、速度、功、功率、时间、某一事物的数量等，然后让学生去比较且进行分析，学生自然就可以从中提取出既有大小又有方向的量随后问题也就来了:为什么这些量既有大小又有方向？很显然，在描述这些量的特征的时候，方向这个要素就不可以回避，这个时候看力、速度等,就发现在生活中存在着一些事物需要同时从大小以及方向两个角度进行描述.于是，数学抽象的大门也就打开了.其次,运用数学的学科思维完成数学抽象对于向量而言，从大小与方向的生活认知到数学概念的建立，显然需要经历数学抽象的过程.从数学思想方法的角度来看,向量其实是一个典型的数形结合的产物，当然这里的数与形已经是抽象后的产物.需要指出的是，学生此时用的数学抽象实际上是强抽象，因为上述物理量或其他量学生虽然比较熟悉,但本身是比较抽象的，因此需要用强抽象来完成.而且这里的抽象对象应当是包括向量和非向量的，学生通过抽象之后发现，有的量抽象的结果是只有“大小”,而有的则同时有“大小”和“方向”，这样也就完成了数学抽象再次,用数学语言表述数学抽象的结果并形成数学概念.学生完成了数学抽象，也就意味着学生的数学思维已经迈过了一个重要的观察，即学生的思维当中已经有了抽象的结果.有了这个结果之后，就必须进行输出，输出的过程就是用数学语言描述抽象结果的过程.对于数学抽象而言,这个过程也非常重要，因为其涉及学生对数学概念的精确理解.而且特别需要强调的是，这里所说的数学语言的运用不只是语言文字,根据笔者的经验,此时将语言文字与表象结合起来效果更佳，也就是说让学生在口中描述“既有大小又有方向的量”时，大脑里面还必须能够浮现出相应的数学图景——一根有向线段，线段的长短表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向.这种图文并茂的方式才是准确的数学语言运用.0数学抽象的教学思考作为数学学科核心素养中最重要的要素之一，对数学抽象的教学奠定了数学教学的基础,数学抽象的过程与结果质量，决定了学生学习过程的质量.作为高中数学教师,对数学抽象的重视以及深入研究是非常必要的，这其中需要思考的问题有很多，比如当教师认识到数学中必然存在数学抽象时,有没有思考过数学抽象的合理性呢？实际上早就有研究者指出,数学抽象的合理性是有所表现的:仅抽取事物对象量的关系和空间形式以及抽象的确定性,在数学教学中应注重贯彻这一特点的教学策略.在上面的教学案例中，数学抽象的确定性体现在数学抽象结果的客观性上，生活中存在向量是客观的，用有向线段表示向量也是客观的.认识到数学抽象结果的客观性，对于数学抽象核心素养的落地非常有益，因为它可以让学生认识到数学抽象的结果是真实可信的.这种认识不是建立在“因为学习，所以可信”上，而是建立在自己的数学思维运用以及数学抽象素养落地的过程中的.因此无论是从教师的角度还是从学生的角度，都应该对数学抽象进行深入的理解,并在教学实践中求证自己的猜想,从而得以让数学抽象的教学更加具有科学性，更加符合高中学生的认知特点与核心素养发展的需要.2020年40冃（下旬）＜53。
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纯粹数学研究从客观世界中抽象出来的数学规律的内在联系，也可以说是研究数学本身的规律。
它大体上分为三大类，即研究空间形式的几何类，研究离散系统的代数类，研究连续现象的分析类研究空间形式的几何类属于第一类的如微分几何、拓扑学。
微分几何是研究光滑曲线、曲面等，它以数学分析、微分几何为研究工具。
在力学和一些工程问题（如弹性壳结构、齿轮等方面）中有广泛的应用。
拓扑学是研究几何图形在一对一的双方连续变换下不变的性质，这种性质称为“拓扑性质”。
如画在橡皮膜上的图形当橡皮膜受到变形但不破裂或折叠时，曲线的闭合性、两曲线的相交性等都是保持不变的。
研究离散系统的代数类属于第二类的如数论、近世代数。
数论是研究整数性质的一门学科。
按研究方法的不同，大致可分为初等数论、代数数论、几何数论、解析数论等。
近世代数是把代数学的对象由数扩大为向量、矩阵等，它研究更为一般的代数运算的规律和性质，它讨论群、环、向量空间等的性质和结构。
近世代数有群论、环论、伽罗华理论等分支。
它在分析数学、几何、物理学等学科中有广泛的应用。
研究连续现象的分析类属于第三类的如微分方程、函数论、泛函分析。
微分方程是含有未知函数的导数或偏导数的方程。
如未知函数是一元函数，则称为常微分方程，如未知函数是多元函数，则称为偏微分方程。
函数论是实函数论（研究实数范围上的实值函数）和复变函数（研究在复数平面上的函数性质）的总称。
泛函分析是综合运用函数论、几何学、代数学的观点来研究无限维向量空间（如函数空间）上的函数、算子和极限理论，它研究的不是单个函数，而是具有某种共同性质的函数集合。
它在数学和物理中有广泛的应用。
抽象代数就是近世代数，法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题。
他是第一个提出「群」的思想的数学家，一般称他为近世代数创始人。
他使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期。
抽象代数，包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。
抽象代数也是现代计算机理论基础之一。
简介抽象代数作为数学的一门学科，主要研究对象是代数结构，比如群、环、域、模、矢量空间和代数。
这些代数结构中，有的在19世纪就已经被给出了正式的定义。
事实上，对抽象代数的研究是应数学更严格化的要求而发展起来的。
对抽象代数的研究还使人们形成了对全部数学和自然科学的基础性逻辑假设（的复杂性）的整体认识，现今，几乎没有那一个数学分支用不到代数学的结论。
此外，随着抽象代数的发展，代数学家们发现：明显不同的逻辑结构通过类比可以得到一个很简练的由公理构成的核心。
这对深入研究代数的数学家是有益的，并赋予他们更大的本领。
“抽象代数”这词，是为了与“初等代数”区别开，后者教授公式和代数表达式的运算方法，其中有实数、复数和未知项。
20世纪初，抽象代数有时也称为现代代数，近世代数。
在泛代数中有时用抽象代数这一称呼，但作者大多简单的称作“代数”。
定义抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。
由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量(vector)、矩阵（matrix)、变换（transformation）等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。
抽象代数，包含有群（group)、环(ring)、Galois 理论、格论等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。
抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。
创始人及理论被誉为天才数学家的Galois(1811-1832）是近世代数的创始人之一。
他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“Galois域”、“Galois群”和“Galois 理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。
Galois群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。
他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。
Galois群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。
最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。
同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。
1843年，Hamilton发明了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。
第二年，Grassmann推演出更有一般性的几类代数。
1857年，Cayley设计出另一种不可交换的代数——矩阵代数。
他们的研究打开了抽象代数(也叫近世代数)的大门。
实际上，减弱或删去普通代数的某些假定，或将某些假定代之以别的假定(与其余假定是兼容的)，就能研究出许多种代数体系。
1870年，Kronecker给出了有限Abel群的抽象定义；Dedekind开始使用“体”的说法，并研究了代数体；1893年，韦伯定义了抽象的体；1910年，施坦尼茨展开了体的一般抽象理论；Dedekind和Kronecker创立了环论；1910年，施坦尼茨总结了包括群、代数、域等在内的代数体系的研究，开创了抽象代数学。
抽象代数奠基人及理论有一位杰出女数学家被公认为抽象代数奠基人之一，被誉为"代数女皇"，她就是Emmy Noether, 1882年3月23日生于德国埃尔朗根，1900年入埃朗根大学，1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。
Noether的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展中有重要影响。
1907-1919年，她主要研究代数不变式及微分不变式。
她在博士论文中给出三元四次型的不变式的完全组。
还解决了有理函数域的有限有理基的存在问题。
对有限群的不变式具有有限基给出一个构造性证明。
她不用消去法而用直接微分法生成微分不变式，在格丁根大学的就职论文中，讨论连续群(Lie群)下不变式问题，给出Noether定理，把对称性、不变性和物理的守恒律联系在一起。
1920~1927年间她主要研究交换代数与交换算术。
1916年后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。
1920年，她已引入“左模”、“右模”的概念。
1921年写出的<<整环的理想理论>>是交换代数发展的里程碑。
建立了交换Noether环理论，证明了准素分解定理。
1926年发表<<代数数域及代数函数域的理想理论的抽象构造>>，给Dedekind环一个公理刻画，指出素理想因子唯一分解定理的充分必要条件。
Noether的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，一般认为抽象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。
Noether当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。
1927－1935年，Noether研究非交换代数与非交换算术。
她把表示理论、理想理论及模理论统一在所谓“超复系”即代数的基础上。
后又引进交叉积的概念并用决定有限维Galois扩张的布饶尔群。
最后导致代数的主定理的证明，代数数域上的中心可除代数是循环代数。
1930年，毕尔霍夫建立格论，它源于1847年的bool代数；第二次世界大战后，出现了各种代数系统的理论和Bourbaki学派；1955年，Cartan等建立了同调代数理论。
发展历史抽象代数又称近世代数，它产生于十九世纪。
抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。
由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵超数、变换等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。
抽象代数，包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。
抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。
被誉为天才数学家的伽罗瓦（1811-1832）是近世代数的创始人之一。
他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都是近世代数所研究的最重要的课题。
伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。
他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。
伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。
最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。
同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。
1843年，哈密顿发明了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。
第二年，Grassmann推演出更有一般性的几类代数。
1857年，凯莱设计出另一种不可交换的代数——矩阵代数。
他们的研究打开了抽象代数(也叫近世代数)的大门。
实际上，减弱或删去普通代数的某些假定，或将某些假定代之以别的假定(与其余假定是兼容的)，就能研究出许多种代数体系。
1870年，克隆尼克给出了有限阿贝尔群的抽象定义；狄德金开始使用“体”的说法，并研究了代数体；1893年，韦伯定义了抽象的体；1910年，施坦尼茨展开了体的一般抽象理论；狄德金和克隆尼克创立了环论；1910年，施坦尼茨总结了包括群、代数、域等在内的代数体系的研究，开创了抽象代数学。
有一位杰出女数学家被公认为抽象代数奠基人之一，被誉为代数女皇，她就是诺特, 1882年3月23日生于德国埃尔朗根，1900年入埃朗根大学，1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。
诺特的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何的发展中有重要影响。
1907-1919年，她主要研究代数不变式及微分不变式。
她在博士论文中给出三元四次型的不变式的完全组。
还解决了有理函数域的有限有理基的存在问题。
对有限群的不变式具有有限基给出一个构造性证明。
她不用消去法而用直接微分法生成微分不变式，在格丁根大学的就职论文中，讨论连续群(李群)下不变式问题，给出诺特定理，把对称性、不变性和物理的守恒律联系在一起。