初中数学中考 实数的运算及大小比较
实数大小比较的常用方法
用作差法比较实数的大小的依据是：对任意实数a、b有：
例6比较 与 的大小。
析解：设 ，
则
所以
七、作商法
用作商法比较实数的大小的依据是：对任意正数a、b有：
例7比较 与 的大小。
析解：设 ，
，则
即
八、放缩法
用放缩法比较实数的大小的基本思想方法是：把要比较的两个数进行适当的放大或缩小，使复杂的问题得以简化，来达到比较两个实数的大小的目的。
A.c＜a＜d＜b B.b＜d＜a＜c C.a＜c＜d＜b D.b＜c＜a＜d
分析 可以分别求出a、b、c、d的具体值，从而可以比较大小.
解 因为a＝20＝1，b＝(－3)2＝9，c＝ ＝－ ，d＝ ＝2，而－ ＜1＜2＜9，所以c＜a＜d＜b.故应选A.
除以上七种方法外，还有利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比较实数大小的方法。对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。能快速地取得令人满意的结果。
解 ∵1-（-2）
=1-+2
=3-﹥0。（3=，﹥）
∴1﹥-2，
∴﹥。
说明：若a、b为实数， a-b﹥0则a﹥b；a-b=0则a=b； a-b﹤0则a﹤b。以后做题时遇到同分母或同分子的问题时可用上面的方法。
二、求商法
例2 ：有两个数A=、 B=比较A、B的大小。
分析：本题在不用计算器的前提下对于初中生来说并不容易。通过观察可以发现分子、分母都可以分解因数。分子含有公因数：111，分母含有公因数：1111。因此可采用两数相除的方法，问题就迎刃而解了。
十一、法则比较法
正数大于0，0大于负数，正数大于负数。两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数反而较小。
八年级数学上册 3.3 实数 第2课时 实数的运算和大小比较课件 (新版)湘教版.pptx
(b+c)a = ba + ca （乘法对于加法的分配律） ；
（9）实数的减法运算规定为 a -b = a + (-b)
；
（10）实数的除法运算（除数b≠ a ÷ b = a·
0)1，规定为 b
；
（11）实数有一条重要性质：如果a≠0，b≠0，那么
ab
≠
0.
4
小提示
实数也可以比较大小：对于实数a，b，如果a-b>0， 则a大于b（或者b小于a），记作a>b（或b<a）；
3.
9
2 5(精确到小数点6, 精确到小数点后面第二位得：3.16.
10
用正方形比较
不用计算器，估计 5 与2哪个大.
解： 5 ，2 分别是5，4的正方形的边长. 容易说明，面积大的正方形，它的边长也大. 因此， 5 > 2 .
5
2
11
小提示
在实数运算中，如果遇到无理数，并且要 求出结果的近似值时，可按要求的精确度用相 应的近似有限小数代替无理数，再进行计算.
12
练习
计算（精确到小数点后面第二位）.
（1） 2 + 3； （2） 5 -1 ； （3） 5 .
≈1.414+1.732≈3.15.
≈2.236-1≈1.24. ≈2.236×3.14≈7.02.
同样地，如果a-b<0，则a<b.还可以得出：正实数大 于一切负实数；两个负实数，绝对值大的数反而小.
从而数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的 实数大.
负实数
原点
正实数
0
<
5
结论
每个正实数有且只有两个平方根，它们互 为相反数;
七年级数学下册《实数的运算及大小比较》优秀教学案例
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解实数的运算及大小比较，我将采用情景创设的教学策略。通过设计贴近学生生活的具体情境，让学生在情境中感受数学知识的应用，从而提高他们的学习兴趣和积极性。
1.创设购物情境：如在超市购物时，如何比较不同商品的价格，如何计算购买多件商品的总价等，让学生在实际操作中掌握实数的运算及大小比较。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.通过回顾上一节课学习的有理数的运算及大小比较，为学生引入实数的概念作铺垫。
2.提问：“我们已经学习了有理数的运算及大小比较，那么有理数可以涵盖所有的数吗？还有没有其他的数？”引导学生思考实数的概念。
3.利用数轴上的点表示有理数，进而引出无理数的存在，从而导入实数的定义。
2.创设长度比较情境：如比较两条绳子、两本书的长度，让学生在实际测量中学会实数的大小比较。
3.创设故事情境：通过讲述数学家发现无理数的故事，引导学生了解实数的起源，激发他们对数学知识的探索欲望。
（二）问题导向
问题导向教学策略是引导学生主动探究、发现问题、解决问题的有效方法。我将设计一系列具有启发性的问题，引导学生深入探讨实数的运算及大小比较。
4.布置一篇学习心得，让学生反思本节课的学习过程，总结自己的收获和不足。
五、案例亮点
1.情境教学法的巧妙运用
本教学案例充分运用情境教学法，将抽象的实数概念与生活实例相结合，让学生在实际情境中感受数学知识的应用。这种教学方法不仅激发了学生的学习兴趣，还提高了他们的实践操作能力。
2.问题驱动的探究式学习
（四）反思与评价
反思与评价是教学过程中的重要环节，有助于学生巩固知识、提高能力。在本章节的教学中，我将注重以下几个方面：
初中数学实数中考考点分析
初中数学实数中考考点分析一、实数的定义与性质：1.实数的定义：实数包括有理数和无理数，其中有理数包括整数、分数和整数部分为零的小数，无理数包括无限不循环小数和无意义的开方数。
2.实数集的性质：实数集是一个无限的集合，实数集按大小可以分为正数、负数和零三部分，并满足有序性、稠密性和连续性等性质。
二、实数的四则运算：1.实数的加法和减法：实数加法满足交换律和结合律，并可以通过加法逆元进行减法运算。
2.实数的乘法和除法：实数乘法满足交换律和结合律，并可以通过乘法逆元进行除法运算。
3.实数的混合运算：实数的四则运算可以通过运算法则进行混合运算。
三、绝对值与数轴问题：1.绝对值的定义：绝对值是一个非负实数，表示实数与零之间的距离。
2.绝对值的性质：绝对值的值域为非负实数，绝对值为0的实数只有零本身。
3.数轴与实数的表示：实数可以通过数轴上的点来表示，数轴可以用于表示实数的大小关系和计算实数的距离等问题。
四、实数的比大小：1.实数的比较：实数大小比较可以通过比较实数的绝对值来进行。
2.实数的大小关系：实数的大小关系可以通过实数在数轴上的位置来判断。
五、实数的分数表示：1.实数的分数表示：实数可以通过有理数的分数表示，可以将无限循环小数表示为有限小数或分数。
2.实数的分数运算：实数的分数可以通过分数的四则运算进行运算。
六、根式与开方：1.根式的概念：根式是指形如√a的式子，其中a为非负实数。
2.平方根与立方根：平方根是指形如√a的根式，立方根是指形如∛a的根式。
3.根式的四则运算：根式的四则运算可以通过运算法则进行化简。
七、应用题：实数的应用题是指将实数的概念和运算与实际问题相结合的题目，如利用实数表示长度、面积和体积等物理量的问题，以及应用实数进行问题求解等。
这些内容是初中数学实数的一些重点内容，也是中考数学中的重要考点。
在备考中，学生需要熟练掌握实数的定义和性质，加强实数的四则运算能力，掌握绝对值和数轴的使用方法，能够比较和判断实数的大小关系，熟练运用分数和根式进行计算和化简，并能够将实数运用于实际问题的解答中。
实数初中数学知识点总结
实数初中数学知识点总结一、实数的定义与分类实数是数学中最基本的数系之一，包括有理数和无理数两大类。
有理数可以表示为两个整数的比值，形式为a/b，其中a和b为整数，b不为零。
无理数则不能表示为有理数的形式，例如圆周率π和黄金比例φ。
1.1 有理数有理数包括整数和分数。
整数包括正整数、负整数和零，分数则是整数的比值形式。
有理数可以表示为有限小数或无限循环小数。
1.2 无理数无理数是无限不循环小数，常见的无理数有圆周率π、自然对数的底数e等。
无理数不能表示为分数形式。
二、实数的性质实数具有以下性质：- 封闭性：实数的加法、减法、乘法和除法（除数不为零）都是封闭的。
- 有序性：实数集是一个有序集，任何两个实数都可以比较大小。
- 完备性：实数集中的任何有界数列都有一个极限，这个极限也是实数集中的数。
三、实数的运算3.1 加法实数的加法满足交换律和结合律。
两个实数相加，和的符号由绝对值大的数决定，同号相加取原来的符号，异号相加取绝对值大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
3.2 减法实数的减法可以转化为加法，即a - b = a + (-b)。
减法的顺序改变会改变结果的符号。
3.3 乘法实数的乘法满足交换律、结合律和分配律。
两个正实数相乘得正，两个负实数相乘得正，正实数与负实数相乘得负。
3.4 除法实数的除法可以转化为乘法，即a ÷ b = a × (1/b)。
除以一个非零实数，相当于乘以它的倒数。
四、实数的比较实数的大小比较遵循以下规则：- 正实数都大于零。
- 零大于所有的负实数。
- 负实数都小于零。
- 两个负实数比较大小，其绝对值大的反而小。
五、实数的平方根与立方根5.1 平方根实数a的平方根是一个数b，使得b² = a。
正实数有两个平方根，一个正数和一个负数；零的平方根是零；负数没有实数平方根。
5.2 立方根实数a的立方根是一个数b，使得b³ = a。
七年级上册数学实数知识点
七年级上册数学实数知识点本文对于七年级上册数学实数知识点进行了详细的阐述。
针对初中数学课程中的实数知识点，为了让同学们更好地掌握并应用，本文进行了整理和总结，详细讲解了实数的概念、性质、大小比较、集合的概念与运算等内容。
一、实数的概念实数指的是包括有理数和无理数在内的所有实数的集合，用符号R表示。
其中，有理数包括整数、分数和小数。
无理数指的是不能表示为有理数的数，例如π、√2等。
二、实数的性质1. 一切整数都是实数。
2. 一切分数都是实数。
3. 实数具有传递性，即如果a<b，b<c，则a<c。
4. 实数具有比较性，即任意两个实数都可以进行大小比较。
5. 实数具有相反数性质，即对于任意的实数a，在实数集合中存在唯一的一个实数-b，使得a+b=0。
称-b为a的相反数。
6. 实数具有相加性质，即对于任意的实数a、b，在实数集合中存在一个唯一的实数c，使得a+b=c。
7. 实数具有相乘性质，即对于任意的实数a、b，在实数集合中存在一个唯一的实数c，使得a×b=c。
三、实数的大小比较1. 整数大小比较：对于任意两个整数a、b，如果a<b，则称a 小于b。
反之，如果a>b，则称a大于b。
2. 有理数大小比较：对于任意两个有理数a、b，如果a-b>0，则称a大于b。
如果a-b=0，则称a等于b；如果a-b<0，则称a小于b。
3. 无理数大小比较：无理数大小比较可以采用数轴上的方法。
对于两个无理数a、b，如果它们对应数轴上的点在同一侧，则可以以这两个无理数对应线段的长度来判断大小。
即长度较大的线段所对应的无理数大于长度较小的线段所对应的无理数。
四、实数集合的概念与运算1. 实数集合的概念：实数集合就是由实数构成的集合，它可以用花括号{}括起来表示。
2. 实数集合的分类：（1）有理数集合：由有理数构成的集合，用符号Q表示。
（2）无理数集合：由无理数构成的集合，用符号I表示。
初一实数知识点
初一实数知识点实数是数学中重要的一种数集，其包括有理数和无理数两个部分。
在初中数学中，学生将接触到很多实数知识点。
本文将从实数的性质、大小关系、运算及应用等角度，详细介绍初一实数知识点。
一、实数的性质1. 有序性：对于任意两个实数a和b，存在以下三种关系中的一种：a<b，a=b或者a>b，且这种关系具有传递性，即如果a<b，b<c，则有a<c。
2. 密闭性：如果对于实数集合中的任意两个实数a和b，其和a+b和积ab也必然属于该集合，则称该实数集合是密闭的。
3. 稠密性：对于任意两个实数a和b(a<b)，存在一个实数c，使得a<c<b。
4. 无处不在：实数集合无限延展，其中的数无限多。
无论多小的实数，都存在。
二、实数的大小关系1. 基本不等式：对任意两个实数a和b，有不等式$$2ab≤a^2+b^2$$2. 绝对值：绝对值表示实数与0之间的距离，通常用竖线“| |”表示。
对于任意实数a，则其绝对值定义如下：当a≥0时，$|a|=a$；当a<0时，$|a|=-a$。
3. 实数的比较：对于任意两个实数a和b，若a-b>0，则有a>b；若a-b=0，则有a=b；若a-b<0，则有a<b。
4. 实数的符号：实数a>0时，a为正数；a<0时，a为负数；a=0时，a为零。
三、实数的运算1. 四则运算：实数的四则运算与我们平时的计算方法一致。
其中，加法运算即为两个实数的和；减法运算即为两个实数的差；乘法运算即为两个实数的积；除法运算即为两个实数的商。
2. 平方运算：对于任意实数a，其平方表示为a^2。
3. 立方运算：对于任意实数a，其立方表示为a^3。
4. 乘方运算：对于任意实数a和正整数n，其乘方表示为a^n。
5. 乘方根运算：对于任意正整数n和正实数a，其乘方根表示为$a^{1/n}$，记为$\sqrt[n]{a}$。
初中实数重点难点内容
初中实数重点难点内容初中实数是数学学科中的重要内容，也是初中数学学习的基础。
实数是指包括有理数和无理数的数的集合，其中有理数是可以用分数表示的数，而无理数则不能用分数表示。
初中实数的重点难点内容包括实数的性质、实数的运算、实数的大小比较以及实数的应用等方面。
实数的性质是初中实数的重点内容之一。
实数具有可加性、可乘性和可比性等基本性质。
其中可加性指实数之间可以进行加法运算，两个实数的和仍为实数；可乘性指实数之间可以进行乘法运算，两个实数的积仍为实数；可比性指任意两个实数之间必然存在大小关系，可以进行大小比较。
这些性质是实数运算的基础，也是解决实际问题的关键。
实数的运算是初中实数的难点内容之一。
实数的运算包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。
在进行加法和减法运算时，需要注意实数的符号和数值的运算规律；在进行乘法和除法运算时，需要注意实数的符号以及有理数的分数形式和无理数的近似表示形式。
此外，还需要掌握实数的混合运算，即同时进行多种运算的能力。
实数的大小比较是初中实数的重点内容之一。
实数的大小比较可以通过数轴上的位置关系来进行判断。
对于有理数，可以直接比较大小，而对于无理数，则需要进行近似比较。
在进行大小比较时，还需要注意实数的符号以及绝对值的概念，以确保比较的准确性。
实数的应用是初中实数的重点内容之一。
实数的应用主要体现在实际问题的解决中。
例如，通过实数的运算和大小比较，可以解决各种涉及实际情境的问题，如时间、距离、温度等。
此外，实数的应用还包括在代数方程中的使用，通过求解实数解来解决代数方程的问题。
初中实数的重点难点内容主要包括实数的性质、实数的运算、实数的大小比较以及实数的应用等方面。
掌握这些内容对于初中数学学习的深入理解和解决实际问题具有重要意义。
通过系统学习和实践运用，可以提高对实数的理解和运用能力，为进一步学习数学打下坚实的基础。