中考冲刺数学模拟试卷 (2)

中考冲刺数学模拟试卷（二）一、选择题（每小题3分，共24分）1．下来各数中，比﹣1小的数是( )A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2．如图，AB∥ED，AG平分∠BAC，∠ECF=70°，则∠FAG的度数是( )A．155°B．145°C．110°D．35°3．2014年12月12日南水北调中线工程正式通水，每年可向北方输送95亿立方米的水量，95亿用科学记数法表示为( )A．9.5×107B．9.5×108C．9.5×109D．9.5×10104．解分式方程+=3时，去分母后变形为( )A．2+（x+2）=3（x﹣1）B．2﹣x+2=3（x﹣1） C．2﹣（x+2）=3（1﹣x） D．2﹣（x+2）=3（x﹣1）5．若某几何体的三视图如图，则这个几何体是( )A．B．C． D．6．下列数据是某班六位同学定点投篮（每人投10个）的情况，投进篮筐的个数为6，9，8，4，0，3，这组数据的平均数、中位数和极差分别是( )A．6，6，9 B．6，5，9 C．5，6，6 D．5，5，97．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为( )A．40°B．45°C．50°D．55°8．如图所示，在平面直角坐标系中，直线OM是正比例函数y=﹣x的图象，点A的坐标为（1，0），在直线OM上找点N，使△ONA是等腰三角形，符合条件的点N的个数是( )A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（每小题3分，共21分）9．﹣4的绝对值是__________．10．计算：（﹣a3）2•a4=__________．11．从1，2，3，4中任取两个不同的数，其乘积大于4的概率是__________．12．写出一个开口向下，对称轴是直线x=1的抛物线解析式__________．13．不等式组的最小整数解是__________．14．如图，正方形ABCD的边长为1，分别以A、D为圆心，1为半径画弧BD、AC，则图中阴影部分的面积__________．15．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是__________．三、解答题（本大题8个小题，共75分）16．先化简，再求值：（﹣）•（﹣），其中x=2+，y=2﹣．17．如图，△ABC中AB=AC，点D从点B出发沿射线BA移动，同时，点E从点C出发沿线段AC的延长线移动，已点知D、E移动的速度相同，DE与直线BC相交于点F．（1）如图1，当点D在线段AB上时，过点D作AC的平行线交BC于点G，连接CD、GE，判定四边形CDGE的形状，并证明你的结论；（2）过点D作直线BC的垂线垂足为M，当点D、E在移动的过程中，线段BM、MF、CF 有何数量关系？请直接写出你的结论．18．为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，我市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：组别成绩x分频数（人数）第1组25≤x＜30 4第2组30≤x＜35 8第3组35≤x＜40 16第4组40≤x＜45 a第5组45≤x＜50 10请结合图表完成下列各题：（1）求表中a的值；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？（4）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小宇与小强两名男同学能分在同一组的概率．19．周末，甲从家出发前往与家相距100千米的旅游景点旅游，以10千米/时的速度步行1小时后，改骑自行车以30千米/时的速度继续向目的地出发，乙在甲前面40千米处，在甲出发3小时后开车追赶甲，两人同时到达目的地．设甲、乙两人离甲家的距离y（千米）与甲出发的时间x（小时）之间的函数关系如图所示．（1）求乙的速度；（2）求甲出发多长时间后两人第一次相遇；（3）求甲出发几小时后两人相距12千米．20．某校数学课题学习小组在“测量教学楼高度”的活动中，设计了以下两种方案：课题测量教学楼高度方案一图示测得数据CD=6.9m，∠ACG=22°，∠BCG=13°，参考数据sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40sin13°≈0.22，cos13°≈0.97tan13°≈0.23请你选择其中的一种方法，求教学楼的高度（结果保留整数）21．如图，直线y=kx+b与坐标轴分别交于点E、F，与双曲线y=﹣（x＜0）交于点P（﹣1，4），且F是PE的中点．（1）求双曲线y=﹣和直线y=kx+b的解析式；（2）若平行于y轴的直线x=a与直线y=kx+b交于点A，与双曲线交于点B（A与B不重合），问a为何值时，PA=BA？22．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B坐在点B′处．自主探究：（1）当=1时，如图1，延长AB′，交CD于点M．①CF的长为__________；②判断AM与FM的数量关系，并证明你的结论．（2）当点B′恰好落在对角线AC上时，如图2，此时CF的长为__________，=__________．拓展运用：（3）当=2时，求sin∠DAB′的值．23．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B 在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．（1）求抛物线的解析式；=2S△BPD；（2）当m为何值时，S四边形OBDC（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2015年河南省中招权威预测数学模拟试卷（四）一、选择题（每小题3分，共24分）1．下来各数中，比﹣1小的数是( )A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣【考点】实数大小比较．【分析】先比较每个数和﹣1的大小，即可得出选项．【解答】解：∵0＞﹣1，1＞﹣1，﹣1=﹣1，﹣＜﹣1，∴比﹣1小的数是﹣，故选D．【点评】本题考查了实数的大小比较的应用，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．2．如图，AB∥ED，AG平分∠BAC，∠ECF=70°，则∠FAG的度数是( )A．155°B．145°C．110°D．35°【考点】平行线的性质．【专题】计算题．【分析】首先，由平行线的性质得到∠BAC=∠ECF=70°；然后利用邻补角的定义、角平分线的定义来求∠FAG的度数．【解答】解：如图，∵AB∥ED，∠ECF=70°，∴∠BAC=∠ECF=70°，∴∠FAB=180°﹣∠BAC=110°．又∵AG平分∠BAC，∴∠BAG=∠BAC=35°，∴∠FAG=∠FAB+∠BAG=145°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质．根据“两直线平行，内错角相等”求得∠BAC的度数是解题的难点．3．2014年12月12日南水北调中线工程正式通水，每年可向北方输送95亿立方米的水量，95亿用科学记数法表示为( )A．9.5×107B．9.5×108C．9.5×109D．9.5×1010【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将95亿用科学记数法表示为9.5×109．故选C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．解分式方程+=3时，去分母后变形为( )A．2+（x+2）=3（x﹣1）B．2﹣x+2=3（x﹣1） C．2﹣（x+2）=3（1﹣x） D．2﹣（x+2）=3（x﹣1）【考点】解分式方程．【分析】本题考查对一个分式确定最简公分母，去分母得能力．观察式子x﹣1和1﹣x互为相反数，可得1﹣x=﹣（x﹣1），所以可得最简公分母为x﹣1，因为去分母时式子不能漏乘，所以方程中式子每一项都要乘最简公分母．【解答】解：方程两边都乘以x﹣1，得：2﹣（x+2）=3（x﹣1）．故选D．【点评】考查了解分式方程，对一个分式方程而言，确定最简公分母后要注意不要漏乘，这正是本题考查点所在．切忌避免出现去分母后：2﹣（x+2）=3形式的出现．5．若某几何体的三视图如图，则这个几何体是( )A．B．C． D．【考点】由三视图判断几何体．【分析】如图：该几何体的正视图与俯视图均为矩形，侧视图为三角形和一个矩形，易得出该几何体的形状．【解答】解：该几何体的正视图为矩形，俯视图亦为矩形，侧视图是一个三角形和一个矩形，故选：C．【点评】本题是个简单题，主要考查的是三视图的相关知识．6．下列数据是某班六位同学定点投篮（每人投10个）的情况，投进篮筐的个数为6，9，8，4，0，3，这组数据的平均数、中位数和极差分别是( )A．6，6，9 B．6，5，9 C．5，6，6 D．5，5，9【考点】中位数；算术平均数；众数；方差．【专题】计算题．【分析】根据平均数、众数与方差的定义分别求出即可解答．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．极差就是这组数中最大值与最小值的差．【解答】解：平均数为（6+9+8+4+0+3）÷6=5，排列为9，8，6，4，3，0中位数为（6+4）÷2=5，极差为9﹣0=9．故选D．【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．7．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为( )A．40°B．45°C．50°D．55°【考点】圆周角定理；平行线的性质．【分析】连接OC，由AO∥DC，得出∠ODC=∠AOD=70°，再由OD=OC，得出∠ODC=∠OCD=70°，求得∠COD=40°，进一步得出∠AOC，进一步利用圆周角定理得出∠B 的度数即可．【解答】解：如图，连接OC，∵AO∥DC，∴∠ODC=∠AOD=70°，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD=70°，∴∠COD=40°，∴∠AOC=110°，∴∠B=∠AOC=55°．故选：D．【点评】此题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，圆周角定理，正确作出辅助线是解决问题的关键．8．如图所示，在平面直角坐标系中，直线OM是正比例函数y=﹣x的图象，点A的坐标为（1，0），在直线OM上找点N，使△ONA是等腰三角形，符合条件的点N的个数是( )A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】一次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】本题应该分情况讨论．以OA为腰或底分别讨论．当A是顶角顶点时，AN=OA=1，共有2个，AO=ON=1时，有一个点，若OA是底边时，N是OA的中垂线与x轴的交点，有1个，再利用直线OM是正比例函数y=﹣x的图象，得出∠AON2=60°，即可得出答案．【解答】解：∵直线OM是正比例函数y=﹣x的图象，∴图形经过（1，﹣），∴tan∠AON2=．∴∠AON2=60°，若AO作为腰时，有两种情况，当A是顶角顶点时，N是以A为圆心，以OA为半径的圆与OM的交点，共有1个，当O是顶角顶点时，N是以O为圆心，以OA为半径的圆与MO的交点，有2个；此时2个点重合，若OA是底边时，N是OA的中垂线与直线MO的交点有1个．以上4个交点有2个点重合．故符合条件的点有2个．故选：A．【点评】此题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．二、填空题（每小题3分，共21分）9．﹣4的绝对值是4．【考点】绝对值．【专题】计算题．【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．【解答】解：|﹣4|=4．故答案为：4．【点评】此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运算当中．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．10．计算：（﹣a3）2•a4=a10．【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．【分析】根据积的乘方、同底数幂的乘法，即可解答．【解答】解：（﹣a3）2•a4=a6•a4=a10，故答案为：a10．【点评】本题考查了积的乘方、同底数幂的乘法，解决本题的关键是熟记相关法则．11．从1，2，3，4中任取两个不同的数，其乘积大于4的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其乘积大于4的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，其乘积大于4的有6种情况，∴从1、2、3、4中任取两个不同的数，其乘积大于4的概率是：=．故答案为：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12．写出一个开口向下，对称轴是直线x=1的抛物线解析式y=﹣（x﹣1）2（答案不唯一）．【考点】二次函数的性质．【专题】开放型．【分析】开口向下，二次项系数为负，对称轴为直线x=1，可根据顶点式写出满足条件的函数解析式．【解答】解：依题意可知，抛物线解析式中二次项系数为负，已知对称轴为直线x=1， 根据顶点式，得抛物线解析式为y=﹣（x ﹣1）2．本题答案不唯一， 故答案为：y=﹣（x ﹣1）2（答案不唯一）．【点评】主要考查了抛物线的对称轴、开口方向与抛物线顶点式的关系：顶点式y=a （x ﹣h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ），对称轴是x=h ．a ＞0时，开口向上，a ＜0时，开口向下．13．不等式组的最小整数解是3．【考点】一元一次不等式组的整数解．【分析】首先分别解出两个不等式，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，再找出符合条件的整数解即可． 【解答】解：，由①得：x ≥1， 由②得：x ＞2，不等式组的解集为：x ＞2， 不等式组的最小整数解为3． 故答案为3．【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是熟练掌握确定不等式组解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．14．如图，正方形ABCD 的边长为1，分别以A 、D 为圆心，1为半径画弧BD 、AC ，则图中阴影部分的面积﹣．【考点】扇形面积的计算．【分析】过点F 作FE ⊥AD 于点E ，则AE=AD=AF ，故∠AFE=∠BAF=30°，再根据勾股定理求出EF 的长，由S 弓形AF =S 扇形ADF ﹣S △ADF 可得出其面积，再根据S 阴影=2（S 扇形BAF ﹣S 弓形AF ）即可得出结论．【解答】解：如图所示，过点F 作FE ⊥AD 于点E ， ∵正方形ABCD 的边长为1， ∴AE=AD=AF=1， ∴∠AFE=∠BAF=30°， ∴EF=．∴S 弓形AF =S 扇形ADF ﹣S △ADF =﹣×1×=﹣，∴S 阴影=2（S 扇形BAF ﹣S 弓形AF ）=2（﹣+）=2（﹣+）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了扇形的面积公式和长方形性质的应用，关键是根据用图形的对称性分析，主要考查学生的计算能力．15．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是﹣1．【考点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】根据题意，在N 的运动过程中A ′在以M 为圆心、AD 为直径的圆上的弧AD 上运动，当A ′C 取最小值时，由两点之间线段最短知此时M 、A ′、C 三点共线，得出A ′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A ′C 的长即可．【解答】解：如图所示：∵MA ′是定值，A ′C 长度取最小值时，即A ′在MC 上时， 过点M 作MF ⊥DC 于点F ，∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 为AD 中点， ∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°， ∴∠FMD=30°，∴FD=MD=， ∴FM=DM ×cos30°=， ∴MC==， ∴A ′C=MC ﹣MA ′=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A′点位置是解题关键．三、解答题（本大题8个小题，共75分）16．先化简，再求值：（﹣）•（﹣），其中x=2+，y=2﹣．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x、y的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=•=•=﹣．当x=2+，y=2﹣时，原式=﹣=﹣4．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．17．如图，△ABC中AB=AC，点D从点B出发沿射线BA移动，同时，点E从点C出发沿线段AC的延长线移动，已点知D、E移动的速度相同，DE与直线BC相交于点F．（1）如图1，当点D在线段AB上时，过点D作AC的平行线交BC于点G，连接CD、GE，判定四边形CDGE的形状，并证明你的结论；（2）过点D作直线BC的垂线垂足为M，当点D、E在移动的过程中，线段BM、MF、CF 有何数量关系？请直接写出你的结论．【考点】平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质．【分析】（1）由题意得出BD=CE，由平行线的性质得出∠DGB=∠ACB，由等腰三角形的性质得出∠B=∠ACB，得出∠B=∠DGB，证出BD=GD=CE，即可得出结论；（2）由（1）得：BD=GD=CE，由等腰三角形的三线合一性质得出BM=GM，由平行线得出GF=CF，即可得出结论．【解答】解：（1）四边形CDGE是平行四边．理由如下：如图1所示：∵D、E移动的速度相同，∴BD=CE，∵DG∥AE，∴∠DGB=∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠DGB，∴BD=GD=CE，又∵DG∥CE，∴四边形CDGE是平行四边形；（2）BM+CF=MF；理由如下：如图2所示：由（1）得：BD=GD=CE，∵DM⊥BC，∴BM=GM，∵DG∥AE，∴GF=CF，∴BM+CF=GM+GF=MF．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．18．为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，我市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：组别成绩x分频数（人数）第1组25≤x＜30 4第2组30≤x＜35 8第3组35≤x＜40 16第4组40≤x＜45 a第5组45≤x＜50 10请结合图表完成下列各题：（1）求表中a的值；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？（4）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小宇与小强两名男同学能分在同一组的概率．【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；列表法与树状图法．【专题】图表型．【分析】（1）用总人数减去第1、2、3、5组的人数，即可求出a的值；（2）根据（1）得出的a的值，补全统计图；（3）用成绩不低于40分的频数乘以总数，即可得出本次测试的优秀率；（4）用A表示小宇，B表示小强，C、D表示其他两名同学，画出树状图，再根据概率公式列式计算即可．【解答】解：（1）表中a的值是：a=50﹣4﹣8﹣16﹣10=12；（2）根据题意画图如下：（3）本次测试的优秀率是=0.44．答：本次测试的优秀率是0.44；（4）用A表示小宇，B表示小强，C、D表示其他两名同学，根据题意画树状图如下：共有12种情况，小宇与小强两名男同学分在同一组的情况有2种，则小宇与小强两名男同学分在同一组的概率是．【点评】本题考查了频数分布直方图和概率，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，概率=所求情况数与总情况数之比．19．周末，甲从家出发前往与家相距100千米的旅游景点旅游，以10千米/时的速度步行1小时后，改骑自行车以30千米/时的速度继续向目的地出发，乙在甲前面40千米处，在甲出发3小时后开车追赶甲，两人同时到达目的地．设甲、乙两人离甲家的距离y（千米）与甲出发的时间x（小时）之间的函数关系如图所示．（1）求乙的速度；（2）求甲出发多长时间后两人第一次相遇；（3）求甲出发几小时后两人相距12千米．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）先求出甲走完全程的时间就可以求出乙行驶的时间，由速度=路程÷时间就可以得出结论；（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，由待定系数法求出解析式，当y=40时，代入解析式求出其值即可；（3）分类讨论由（2）的解析式，当y﹣40=12或40﹣y=12建立方程求出其解即可【解答】解：（1）甲行驶完全程的时间为：1+（100﹣10）÷30=4小时．乙的速度为：60÷（4﹣3）=60千米/时．答：乙的速度为60千米/时；（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：，y=30x﹣20．当y=40时，40=30x﹣20，x=2．答：甲出发2小时后两人第一次相遇；（3）当乙不动时，当40﹣（30x﹣20）=12时，解得：x=1.6．当30x﹣20﹣40=12时解得：x=2.4．当甲乙均在运动时，设运动的时间为t，则10×1+30（t﹣1）﹣60（t﹣3）﹣40=12（60为乙的速度），解的t=3.6（3.6＜4）．答：甲出发1.6小时或2.4小时或3，6小时后两人相距12千米．【点评】本题考查了行程问题的数量关系路程÷速度=时间的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键．20．某校数学课题学习小组在“测量教学楼高度”的活动中，设计了以下两种方案：课题测量教学楼高度方案一图示测得数据CD=6.9m，∠ACG=22°，∠BCG=13°，参考数据sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40sin13°≈0.22，cos13°≈0.97 tan13°≈0.23请你选择其中的一种方法，求教学楼的高度（结果保留整数）【考点】解直角三角形的应用．【分析】若选择方法一，在Rt△BGC中，根据CG=即可得出CG的长，同理，在Rt△ACG中，根据tan∠ACG=可得出AG的长，根据AB=AG+BG即可得出结论．若选择方法二，在Rt△AFB中由tan∠AFB=可得出FB的长，同理，在Rt△ABE中，由tan∠AEB=可求出EB的长，由EF=EB﹣FB且EF=10，可知﹣=10，故可得出AB的长．【解答】解：若选择方法一，解法如下：在Rt△BGC中，∠BGC=90°，∠BCG=13°，BG=CD=6.9，∵CG=≈=30，在Rt△ACG中，∠AGC=90°，∠ACG=22°，∵tan∠ACG=，∴AG=30×tan22°≈30×0.40=12，∴AB=AG+BG=12+6.9≈19（米）．答：教学楼的高度约19米．若选择方法二，解法如下：在Rt△AFB中，∠ABF=90°，∠AFB=43°，∵tan∠AFB=，∴FB=≈，在Rt△ABE中，∠ABE=90°，∠AEB=32°，∵tan∠AEB=，∴EB=≈，∵EF=EB﹣FB且EF=10，∴﹣=10，解得AB=18.6≈19（米）．答：教学楼的高度约19米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．21．如图，直线y=kx+b与坐标轴分别交于点E、F，与双曲线y=﹣（x＜0）交于点P（﹣1，4），且F是PE的中点．（1）求双曲线y=﹣和直线y=kx+b的解析式；（2）若平行于y轴的直线x=a与直线y=kx+b交于点A，与双曲线交于点B（A与B不重合），问a为何值时，PA=BA？【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）把P代入y=﹣（x＜0），根据待定系数法即可求得双曲线的解析式，再根据F为PE中点，求出F的坐标，把P，F的坐标代入求出直线l的解析式；（2）过P作PD⊥AB，垂足为点D，由A点的纵坐标为﹣2a+2，B点的纵坐标为﹣，D 点的纵坐标为4，列出方程求解即可．【解答】解：（1）∵y=﹣（x＜0）经过点P（﹣1，4），∴4=﹣∴m=1×4=4，∴双曲线为y=﹣，∵F是PE的中点，∴OF=×4=2，∴F（0，2），∴，解得，∴直线l的解析式为y=﹣2x+2；（2）如图，过P作PD⊥AB，垂足为点D，∵PA=PB，∴点D为AB的中点，又∵由题意知A点的纵坐标为﹣2a+2，B点的纵坐标为﹣，D点的纵坐标为4，∴得方程﹣2a+2﹣（﹣）=2×4，解得a1=﹣2，a2=﹣1（舍去）．∴当a=﹣2时，PA=PB．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的重点是求出双曲线和直线l 的解析式．22．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B坐在点B′处．自主探究：（1）当=1时，如图1，延长AB′，交CD于点M．①CF的长为6；②判断AM与FM的数量关系，并证明你的结论．（2）当点B′恰好落在对角线AC上时，如图2，此时CF的长为6，=．拓展运用：（3）当=2时，求sin∠DAB′的值．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）①利用相似三角形的判定与性质得出FC=AB即可得出答案；②利用翻折变换的性质得出∠BAF=∠MAF，进而得出AM=FM；（2）根据翻折变换的性质得出∠BAE=∠MAF，进而得出AM=MF，利用△ABE∽FCE得出答案即可；（3）根据①如图1，当点E在线段BC上时，延长AB′交DC边于点M，②如图3，当点E在线段BC的延长线上时，延长AD交B′E于点N，分别利用勾股定理求出即可．【解答】解：（1）①当=1时，∵AB∥FC，∴△ABE∽FCE，∴==1，∴FC=AB=6，②AM=FM，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，∴∠BAF=∠AFC，∵△ABE沿直线AE翻折得到△AB′E，∴∠BAF=∠MAF，∴∠MAF=∠AFC，∴AM=FM；（2）如图2，∵当点B′恰好落在对角线AC上时，∴∠1=∠2，∵AB∥FC，∴∠1=∠F，∴∠2=∠F，∴AC=FC，∵AB=BC=6，∴AC=FC=6，∵AB∥FC，∴△ABE∽FCE，∴===，（3）①如图1，当点E在线段BC上时，延长AB′交DC边于点M，∵AB∥CF，∴△ABE∽△FCE，∴==2，∵AB=6，∴CF=3，∴DF=CD+CF=9，由（1）知：AM=FM，∴AM=FM=9﹣DM，在Rt△ADM中，由勾股定理得：DM′2=（9﹣DM）2﹣62，解得：DM=，则MA=，∴sin∠DAB′==，②如图3，当点E在线段BC的延长线上时，延长AD交B′E于点N，由（1）知：AN=EN，又BE=B′E=12，∴NA=NE=12﹣B′N，在Rt△AB′N中，由勾股定理得：B′N2=（12﹣B′N）2﹣62，解得：B′N=，AN=，∴sin∠DAB′==．故答案为：6；6，．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及相似三角形的判定与性质和勾股定理等知识，熟练利用相关性质和进行分类讨论得出是解题关键．23．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B 在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．（1）求抛物线的解析式；=2S△BPD；（2）当m为何值时，S四边形OBDC（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；压轴题．【分析】（1）将x=0代入y=x﹣1求出B的坐标，将x=﹣3代入y=x﹣1求出A的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式；和（2）连结OP，由P点的横坐标为m可以表示出P、D的坐标，由此表示出S四边形OBDC2S△BPD建立方程求出其解即可．（3）如图2，当∠APD=90°时，设出P点的坐标，就可以表示出D的坐标，由△APD∽△FCD 列出比例式求解即可；如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E，根据比例式表示出AD，再由△PAD∽△FEA列出比例式求解．【解答】解：（1）∵y=x﹣1，当x=0时，y=﹣1，∴B（0，﹣1）．当x=﹣3时，y=﹣4，∴A（﹣3，﹣4）．∵y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点，∴，∴，∴抛物线的解析式为：y=x2+4x﹣1；（2）∵P点横坐标是m（m＜0），∴P（m，m2+4m﹣1），D（m，m﹣1）如图1①，作BE⊥PC于E，∴BE=﹣m．CD=1﹣m，OB=1，OC=﹣m，CP=1﹣4m﹣m2，∴PD=1﹣4m﹣m2﹣1+m=﹣3m﹣m2，∴，解得：m1=0（舍去），m2=﹣2，m3=﹣；如图1②，作BE⊥PC于E，∴BE=﹣m．PD=m2+4m﹣1+1﹣m=3m+m2，∴=2×，解得：m=0（舍去）或m=（舍去）或m=，=2S△BPD；∴m=﹣，﹣2或时，S四边形OBDC（3）如图2，当∠APD=90°时，设P（m，m2+4m﹣1），则D（m，m﹣1），∴AP=m+3，CD=1﹣m，OC=﹣m，CP=1﹣4m﹣m2，∴DP=1﹣4m﹣m2﹣1+m=﹣3m﹣m2．在y=x﹣1中，当y=0时，x=1，∴F（1，0），∴OF=1，∴CF=1﹣m．AF=4．∵PC⊥x轴，∴∠PCF=90°，∴∠PCF=∠APD，∴CF∥AP，∴△APD∽△FCD，，∴，解得：m=﹣1或m=﹣3（舍去），∴P（﹣1，﹣4）如图3，当∠PAD=90°时，作AE⊥x轴于E，∴∠AEF=90°，CE=m+3，EF=4，AF=4，PD=m﹣1﹣（﹣1+4m+m2）=﹣3m﹣m2．∵PC⊥x轴，∴∠DCF=90°，∴∠DCF=∠AEF，∴AE∥CD．∴，∴AD=（3+m）．∵△PAD∽△FEA，∴，∴，∴m=﹣2或m=﹣3（舍去）∴P（﹣2，﹣5）．当∠APD=90°时∴点A与点P关于对称轴对称∵A（﹣3，﹣4）∴P（﹣1，﹣4）综上，存在点P（﹣2，﹣5）或P（﹣1，﹣4）使△PAD是直角三角形．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，四边形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时函数的解析式是关键，用相似三角形的性质求解是难点．。