幂的运算与整式的乘除
整式的乘除及幂运算
业精于勤而荒于嬉， 行成于思而毁于随。
1 （新课）第五讲：整式的乘除（一）---幂的乘法运算一、知识点讲解1．幂的有关概念将下列乘法算式改写成乘方的形式：（—3）×（—3）×（—3）=_______，它的底数是____,指数是___，读作______________；52×52×52×52=_______； 522222⨯⨯⨯⨯=___________ 2．同底数幂的乘法法则:m n m n a a a +⋅=（m 、n 都是正整数）．这就是说，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．3．幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘． 4．幂的乘方法则()nm mn a a =（m 、n 都是正整数），这就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘． 5．积的乘方的意义积的乘方是指底数是乘积形式的乘方． 6．积的乘方的法则()nn n ab a b =（n 为正整数），这就是说积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．二、典型例题讲解例1 计算（1）32)2(- (2)()my x 33(3)()()()268432y x yx ⋅-+ （4）932])([a a a ⋅-（5）)()()(2为正整数n a ab b a nn n ⋅+ （6）2222)2()2(n mn mn ⋅--变式练习：业精于勤而荒于嬉， 行成于思而毁于随。
2 (x 3)2 ·x 5＝ (-x 3)2＋(-x 2)3＝ 221()3ab c -=________ 23()n a a ⋅=_________.()23x = 221()3ab c -=________ 322⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x =n y 24⎪⎭⎫ ⎝⎛= -(2x 2y 4)3＝________ []=-322)(ax 4231⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛ = 1001001()(3)3⨯-=_________.例2、①已知32=x，求32+x 的值； ②已知105,106a b==，求2310a b+的值。
整式的乘除因式分解定义公式总结
《整式的乘除与因式分解》四大知识点归纳 第一类、幂的运算法则:同底数幂的乘法 a m a n =a m+n幂的乘方 （a m )n =a m n积的乘方 (a b)n = a n b n同底数幂的除法 a m ÷ a n =a m+n (a ≠0,m 、n 为正整数，m ﹥n ） 零指数幂 a 0 = 1（a ≠0）负指数幂 a – p = p a1 (a ≠0 ,p 为正整数) 第二类、整式的乘、除法整式的乘法1.单项式乘以单项式法则 单项式和单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母， 则连同它的指数一起作为积的一个因式。
2。
单项式乘以多项式法则 单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即m(a+b+c)=ma+mb+mc3.多项式乘以多项式法则 多项式与多项式相乘, 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加即（a+b) （m+n) = am + an + bm +bn 整式的除法1。
单项式除以单项式法则 单项式相除，把系数和同底数幂分别相除作为商的因式 ，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
2．多项式除以单项式法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 （am+bm ）÷m = a + b第三类、乘法公式平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差。
即（a+b ）（a – b ） = a 2 – b 2完全平方公式 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。
即（a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a —b)2=a 2—2ab+b 2第四类、因式分解：1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．2.方法①提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把这个公因式提到括号外面，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．②运用公式法：把乘法公式逆运用，可以把某些类型的多项式因式分解,这种方法叫公式法。
期末复习---幂的运算性质和整式的乘除
期末复习---幂的运算性质和整式的乘除一 知识要点：一）幂的运算性质1、同底数幂相乘，底数不变，指数相加．n m a a ＝a m ＋n （m 、n 为正整数） 2、幂的乘方，底数不变，指数相乘mn n m a a =)( （m 、n 为正整数）．3、积的乘方等于各因式分别乘方的积．再把所得的幂相乘。
（n 为正整数） 4、同底数幂的除法同底数幂相除法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减公式：a m ÷a n =a n m -（a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）5、（1）任何不等于零的数的零次幂都等于1。
公式：a 0=1（2）任何不等于零的数的-p （p 是正整数）次幂，等于这个数的p 次幂的倒数。
公式：a p -=pa 1 二）整式的乘法1.单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.【注：运算顺序先乘方，后乘除，最后加减】2.单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 例如：a (m+n+p)=a m+a n+a p .【注：不重不漏，按照顺序，注意常数项、负号.本质是乘法分配律。
】3.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.【说明】多项式相乘的问题是通过把它转化为单项式与多项式相乘的问题来解决的，渗透了转化的数学思想.(a +b)(m+n)=(a +b)m+(a +b)n=a m+bm+a n+bn .计算时是首先把(a +b)看作一个整体，作为单项式，利用单项式与多项式相乘的乘法法则计算.【温馨提示】 1.在单项式(多项式)乘以单项式中，系数都包括前面的符号，多项式各项之间的“加、减”符号也可以看成系数的符号来参与运算．()n n n b a ab =2．单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行，否则容易造成漏项或增项的错误．3．单项式与多项式相乘中，结果的项数与多项式的项数相同，不要漏项．多项式与多项式相乘中，展开式的项数与两个多项式的项数的积相同，不要漏项．三）、整式的除法1.单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
幂的运算法则及整式的乘除
幕的运算法则及整式的乘除、知识提要幕的运算法则：a m a n = a m+n (a m ) n = a mn (ab) n = a nb n a m F n = a m-n二、专项训练【板块一】幕的运算法则的应用1. 下面计算中，正确的是() A. (-2mn)3=-8m 3n 3B. (m+n)3(m+ n)2=m 5+n 5C.-(-a 6 7b 2)3=-a 9b 6D. ( - a 4b)2 - a 6b 2 3 62. -(-2ab 3)2= __________10n 10000 10n-2= _________ (n 为大于 2 的整数)若 3x 9x 27x =96,贝U x= _______3. 若 n 为整数，x 2n =2，则(3x 3n ) 2-4(x 2) 2n 的值是(C . 48D . 56 4. 数3555, 4444, 5333的大小关系是()A. 3555<4444<5333B. 4444<3555<5333 5 若 m=-2，贝U -m 2 (-m)4 (-m)3 的值是 _____ .6 若x , y 互为相反数且都不等于0, n 为正整数，贝U 下列各组中互为相反数的是()A.x n 和 y nB.x 2n 和 y 2nC.x 2n x 和 y 2" y7 2(4a 5) 2 (a 2) 2-(a 2)4 (a 3) 2 (2) 1234 1 \12312)A . 282C. 5333<4444<3555D. 5333<3555<4444D.x2n-1和- y2n-18. ________________________________________________ 已知 2012m =a , 2012n =b,则 20123m+2n = _________________________________________________已知 2m+5n=3,则 4m 32n = _____________________已知 a m+n =10, a n =2,则 a m = ; 【板块二】整式的乘除9. 若(a m+1b n+2)(評1 b)=a 5b 3，求 m+n 的值.10. [x(x 3y 2)2-2(x 2y)3+3] (-xy 2)3=討 4y2) (2xy2)2=(_c 3)2n ^c n-1= ____________ ；(2x n y 2n )3讯-xy)2n = ____________ (n 为正整数)；(54x 2y-108xy 2-36xy)十 18xy)= __________ .11. 已知有理数 a,b,c 满足 |a-b-3|+(b+1)2+|c-1|=0,则(3ab) (a 2c 6b 2c)的值 为 _________ .12. 已知计算(2-nx+3x 2+mx 3) (-4x 2)的结果中不含x 5项，那么m 应等 于13. 已知x 2+mx+8与x 2-3x+n 的积中不含x 3项与x 项,贝U m= ________ , n= ________ .【板块三】拓展拔高已知 x m =5, x n =9,则 x m+n = m-n X = ___________若 x m =4, x n =3,则 x 3n = ________ m+2n,x = ___________14.当a=-1 时，[（-丄）2a5]3a7等于（）2A.-B.丄C. 1D. 14 64 3 6415. (-x2y m) 2(kx n+1y) =-2x6y3,则(k m) n等于（)A. -2B.2C. 4 D -416.若(2x-1)6=a o+a i x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6则a o+a i+a2+a3 +a4+a5+a6= , a o+a2+a4+a6= ________ .。
代数复习：幂的运算、整式乘法与因式分解
二.代数式的运算（一）整式的运算：●整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.整式的乘除●幂的运算1.概念：负数的奇数次幂是负数；负数的偶数次幂是正数2.运算：注意：1）底数a不能为0，若a为0，则除数为0，除法就没有意义了.2）只要底数不为0，则任何数的零次方都等于1●整式乘法：②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达：●因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解．因式分解的两种基本方法：①提公因式法：②运用公式法：平方差公式：完全平方公式：十字相乘法： 探索：阅读理解。
（1）计算后填空：①（x+1）（x+2）=②（x+3）（x-1）=（2）归纳、猜想后填空：（x+a ）（x+b ）= +（＿＿＿＿＿）x+＿＿＿＿＿（3）运用（2）的猜想结论，直接写出计算结果：（x+2）（x+m ）=＿＿＿＿＿＿＿＿＿（4）根据你的理解，把下列多项式因式分解：①x 2-5x+6=＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②x 2-3x-10=＿＿＿＿＿＿＿＿＿第一部分：幂的运算例题：考点1．幂的运算法则例1． 计算（1）26()a a -⋅； （2） 32()()a b b a -⋅-； （3）12()n a +；（4）2232⎪⎭⎫ ⎝⎛-xy （5）53()a a -÷； （6）32(1)(1)a a +÷+ 变式 计算（1）35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+ （2）3223()()x x -⋅-； （3）41n n a a ++÷；考点2．幂的法则的逆运算例2．（1）已知23m =，24n =，求2m n +的值； （2）比较55544433334,5，的大小（3）计算：2013201253()(2)135⨯ （4）已知323=+n m ，求n m 48⋅的值变式1．若n 为正整数，且72=n x ，求n n x x 2223)(4)3(-的值；2．已知4432=--c b a ，求4)161(84-⨯÷c b n 的值。
整式的乘除--幂的运算经典例题练习
整式的乘除--幂的运算经典例题练习整式的乘除——幂的运算经典练题一、同底数幂的乘法1.若 $a^3=a$，则 $m=2$。
2.若 $a^m=2$，$a^n=3$，则 $a^{m+n}=6$。
3.$-t\times(-t)\times(-t)=-(t^3)$。
4.已知 $x^{m-n}\times x^{2n+1}=x^{11}$，$y^{m-1}\times y^4=y^7$，则 $m=8$，$n=3$。
5.已知 $n$ 是大于 $1$ 的自然数，则 $(-c)^{n+1}\times (-c)=(-c)^{2n+1}$。
二、幂的乘方1.$a^4b^2=2^2\times (-3)^2$，则 $a=2$，$b=-3$。
2.$(-x^k)^{-1}=(-x)^k$。
3.$-(xy^2z^3)^2=-x^2y^4z^6$。
4.若 $a^x=2$，则 $a^{3x}=8$。
三、积的乘方1.$2(-8ab^3)=-16ab^3$。
2.$-(4x^2y)^2=-16x^4y^2$。
3.$-(abc^2)^3=-a^3b^3c^6$。
4.$11(-0.25)\times 4^1=11$。
5.$-\times (-0.125)^{2019}=.25$。
四、同底数幂的除法1.$(-a)^4\div (-a)=a^3$。
2.$\dfrac{x^{n+2}}{x^2}=x^{n}$。
3.若 $5^k=3$，则 $k=2$。
4.计算错误的是 $(\dfrac{-c^4}{-c^2})=c^2$。
五、幂的混合运算1.$(\dfrac{-3a^3-3a^2}{a^2})-(\dfrac{a^2+2a}{a^2})= -4a-3$。
2.$-2(x^3)^4+x^4(x^4)^2+x^5\times x^7+x^6(x^3)^2=-2x^{12}+x^{12}+x^{12}+x^{12}=2x^{12}$。
3.$32m\times 9m\times 27=8748m^3$。
六年级幂运算及整式乘除知识点总结
幂运算及整式乘除知识点总结一、幂运算1、同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
公式：n m n m a a +=•a (m 、n 都是正整数）2、同底数幂的乘方，底数不变，指数相乘。
公式：mn n a a =)(m (m 、n 都是正整数）3、积的乘方：积的每个因式都乘方，再把所得的幂相乘。
公式：nn n b a =)ab (（n 为正整数）4、同底数幂相除，底数不变，指数相减。
公式：n m n m a a -=÷a (a ≠0,m 、n 都是正整数,并且m >n ） 正确处理运算中的“符号”，避免以下错误，如：等。
经典例题全解：（同底数幂的乘法）题型一：底数是和、差或其他形式的幂相乘比如例1：53232)()()()x (y x y x y x y +=+=+•++本题应用了整体的数学思想，把（x+y ）看作一个整体，从而利用法则进行计算。
题型二：同底数幂乘法法则的逆运用比如例2：已知m a =2，n a =3，求：n m +a当要求值的幂的指数是“和”的形式时，考虑逆运用法则--相当于拆分成同底数幂乘法。
632a a a n m =⨯=⋅=+n m题型三：同底数幂乘法法则的应用比如例3：（1）已知m 3=5，求23+m 的值；（2）若=++-=•-12,2422m m x x x m m 求？等式两边都可以转化为幂的形式时，如果两边的底数相同，那么它的底数也相同！题型四：几种幂的综合运算比如例4：计算：（1）x x x x x x •--+••2433243)2()(；（2）7233323)5()3()(2a a a a a •-+•；（3）a b a b a b a x x x x )()()(3232-•+-•--+ 注意区分同底数幂的乘法和幂的乘方两种不同运算，注意负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，同时注意运算顺序。
题型五：幂的运算性质的逆运用比如例5：若n n m 3m 2n m 33,33,93++==，求的值。
整式的乘除知识点整理
一、知识点归纳： （一）幂的四种运算：1、同底数幂的乘法：⑴语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； ⑵字母表示：a m ·a n = a m+n ；(m ，n 都是整数) ；⑶逆运用：a m+n = a m ·a n2、幂的乘方：⑴语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘； ⑵字母表示：(a m ) n = a mn ；(m ，n 都是整数)； ⑶逆运用：a mn =(a m )n =(a n )m ；3、积的乘方：⑴语言叙述：积的乘方，等于每个因式乘方的积； ⑵字母表示：(ab)n = a n b n ；(n 是整数)； ⑶逆运用：a n b n = (a b)n ；4、同底数幂的除法：⑴语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减；⑵字母表示：a m ÷a n = a m-n ；(a≠0，m 、n 都是整数)； ⑶逆运用：a m-n = a m ÷a n .（二）整式的乘法：1、单项式乘以单项式：⑴语言叙述：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
⑵实质：分三类乘：⑴系数乘系数；⑵同底数幂相乘；⑶单独一类字母，则连同它的指数照抄； 2、单项式乘以多项式：⑴语言叙述：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。
⑵字母表示：c)＝ma ＋mb ＋mc ；（注意各项之间的符号！） 3、多项式乘以多项式：(1)语言叙述：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；(2)字母表示：＝mn ＋mb ＋an ＋ab ；（注意各项之间的符号！） 注意点：⑴在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。
⑵多项式的每一项都包含它前面的符号，确定乘积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。
⑶运算结果中如果有同类项，则要 合并同类项（三）乘法公式： 1、平方差公式：(1)语言叙述：两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差。
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试比较 与 的大小．
27 已知 ，
，则 与 满足的关系为
⑴通过计算，比较下列各组中两个数的大小(在空格中填写“ ”、“ ”、“ ”号)
① ；② ；③ ；④ ；⑤ …
⑵从第⑴题的结果经过归纳，可以猜想出 和 的大小关系是．
⑶根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小 ．
25符号 表示正整数从 到 的连乘积，读作 的阶乘．例如 .试比较 与 的大小（ 是正整数）
1 已知： ， ，ຫໍສະໝຸດ ．2已知 ，求 的值3 已知 ，求 ．
4已知有理数 ， ， 满足 ，求 的
值．
5 为自然数，那么 ； ； ；
当 为数时， ；当 为数时，
6 化简
7 计算： _____________．
8计算：
9 三个互不相等的有理数，既可表示为 ， ， 的形式，又可表示为 ， ， 的形
式，则 ．
10现有代数式 ， ， 和 ，当 和 取哪些值时，能使其中的三个代数式的值
相等?
11已知 、 、 是三个任意有理数，那么 、 、 、 、 、 、 、 、 、
这 个数中，正数的个数可能是______．
A． 、 、 、 、 、 B． 、 、 、
C． 、 、 、 、 、 D． 、 、 、
12已知正整数 ， ， (其中 )满足 ，则 的最小值是，最大值是．
20已知 ， ，比较 、 的大小关系．
21已知 ， ，试比较 与 的大小．
22对于 ， ( ， 是正整数)，比较 ， ， 的大小关系．
23 比较下列式子的大小： 与 （ 为正数， 为正整数）
24你能比较两个数 和 的大小吗？
为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较 与 的大小( 是自然数)，然后，我们分析 ， ， ，…中发现规律，经归纳，猜想得出结论．
13 已知： 、 、 是有理数，满足 ，求
14已知 ，则 的大小关系为
15已知 ， ， ， ， ，则 、 、 、 、 的大小关系是.
16 若 为不等式 的解，求 的最小正整数值.
17 比较大小： ， ， ， ．
18 与 的大小关系是 (填“ ”、“ ”或“ ”)．
19已知 ， ，比较 、 的大小关系．