菲涅耳公式与薄膜光学
1光学薄膜特性计算
各向同性、均匀介质物质方程： D =ε E B =μ H j = σE
D JD t
不导电的均匀介质：
0
可得电磁波在介质中的波动方程
2 2 E 1 E 2 E 2 2 t v 2t 2 2 H 1 H 2 H 2 2 2 t v t
n ( E2 E1 ) 0 n ( H 2 H1 ) n ( D2 D1 ) n ( B2 B1 ) 0
D E B H j E
麦克斯韦方程组
E——电场强度
D——电位移矢量 H——磁场强度 B——磁感应强度 μ——磁导率
j——电流密度矢量
薄膜与基板组合的等效光学导纳Y与介质薄膜及基底结构参 数之间的定量关系分析 等效界面两侧：
H2 Y (k E2 )
H2 H0 ,
E2 E0
（电磁场的边界条件）
H0 Y (k E0 )
E0 E0 E0 E11 E11
H0 H0 H0 1E11 1E11
有 故得
Ei Er Et
Y0 Ei Y0 Er Y1Et
Er Y0 Y1 N 0 N1 r Ei Y0 Y1 N 0 N1
Et 2Y0 2 N0 t Ei Y0 Y1 N0 N1
振幅反射系数
Er Y0 Y1 N 0 N1 r Ei Y0 Y1 N 0 N1
菲涅尔公式
斜入射
引进有效导纳 ，用0和 1代替 N 0和
N1
H t
S0 Et
S0 Et
Fresnel(菲涅尔)公式
d=z=
2π
λ0
n12 sin2 i1 − n22 ；(3)波矢常数： k2 sin i2 > k2 。
应用：近场光学
15
1.3 反射率和透射率
W1
=
I1σ
cos i1
=
n1 2
ε0 μ0
A1 2 cos i1
W1′ =
I1′σ
cos i1
=
n1 2
ε0 μ0
A1′ 2 cos i1
W2
=
I2σ
cos i2
2.4
2.2
n =1.33 1
n =1
2.0
2
r
r
s
p
1.8
t
t
s
p
1.6
1.4
1.2
i
c
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
i
B
0.0
-0.2 0
10
20
30
40
50
60
i
1
12
全内反射的应用： 1、导波光学 Waveguide / Optical fiber
n 1
n <n , n <n 12 32
n 2
1
Stocks 公式：
A
Ar
Att'
Ar
Arr
Art
At
Atr'
At
Arr + Att′ = A 可知： Art + Atr′ = 0
r2 + tt′ = 1 r + r′ = 0
2
1.2 振幅反射(透射)比 相位跃变(相移) 1、透射比与相位跃变
Fresnel(菲涅尔)公式
=
n22 cos i1 − in1 n22 cos i1 + in1
n12 sin2 i1 − n22 n12 sin2 i1 − n22
= exp
−iδ p
结论： rs = rp = 1 表示反射比为 1，光能量完全反射回介质 1，因此称作全内反射。
11
Phase Shift r,r ,t,t
s psp
i <i
1B
i
n
1
1
n 2
n 3
n <n <n 123
i >i
1B
i
n
1
1
n 2
n 3
n >n >n 123
i >i
1B
10
3、全反射现象
在 内 反 射 情 况 下 ( 即 n1 > n2 ) ， 根 据 折 射 定 律 n1 sin i1 = n2 sin i2 ，存在
ic
=
arcsin
n2 n1
-0.6
-0.8
-1.0 0
30
60
90
i
1
光密→光疏
2.8
2.6
2.4
2.2
n =1.33 1
n =1
2.0
2
r
r
s
p
1.8
t
t
s
p
1.6
1.4
1.2
i
c
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
i
B
0.0
-0.2 0
10
20
30
40
50
60
i
一、 菲涅耳公式(Fresnel formula)
1
4
紫光的散射强度大约是红光的10倍。
4． 偏振性
O z
y p B’
y D A’ B
AP z
x
D’ 实验 自然光入射到散射物质中，观察到：
正侧方（z）线偏振 斜方向（C）部分偏振 对着x方向（x）自然光
解释 用电偶极子次级辐射可解释 实验现象
分解成 +
被微粒散射时，各方向上的振幅可看成以上 两个分振动的合成。 退偏振 线偏振光照射某些气体或液体，从侧向 观察时，散射光变成部分偏振的，称为退偏 振。其机理是介质分子本身是各向异性的。
2．正交棱镜法
研究色散，目的是寻找 n f ( )的函数形式。 正交棱镜装置
三棱镜P1→AH（光谱） P1 P2→A’H’（光谱） n f ( ) ——弯曲光谱的形状。
3．正常色散与反常色散（Normal dispersion and abnormal dispersion）
正常色散曲线的信息
dut余虹一菲涅耳公式fresnelformula第三章光通过各向同性介质及其界面所发生的现象1光在各向同性介质界面上的反射和折射布儒斯特角线偏振光四用反射和折射法获得偏振光布儒斯特定律玻璃片堆要提高反射线偏振光的强度可利用玻璃片堆的多次反射
第三章光通过各向同性介质及其界面所发生的现象 §1 光在各向同性介质界面上的反射和折射 一、 菲涅耳公式（Fresnel formula）
dI Idx dI a Idx I dI d I I 0 a dx a 为吸收系数 I I 0 e a d ，
0
d
a AC ，式中A是一个与浓度无关 稀溶液：
的常量，C为溶液的浓度。
§ 3 光的色散（Dispersion of Light） 1．色散的特点
Fresnel(菲涅尔)公式
i1
−1
−
ωt
⎞⎤ ⎟⎟⎠⎥⎦⎥
=
exp
⎛ ⎜⎜⎝
∓k2
z
n12 n22
sin2
i1
⎞ − 1 ⎟⎟⎠
⋅ exp
⎡⎣i
( k2 x
sin
i2
−
ωt
)⎤⎦
因此，透射场具有如下形式：
⎛
( ) E 2
S P
(r, t )
=
( ) A 2
S P
exp
⎡⎣i
(k2
⋅r
−ωt )⎤⎦
=
( ) A 2
S P
exp ⎜⎜⎝
在全反射情况下的相移为：
δs = 2 arctan
n12 sin2 i1 − n22 n1 cos i1
δ p = 2 arctan n1
n12 sin2 i1 − n22 n22 cos i1
180
150
n =1.33 1
120
n =1 2
δ
s
δ
90
p
60
30
0
i
B
i
c
0
30
60
90
i
1
2.8
2.6
2、介于垂直入射和掠入射之间时，入射光线与反射光线之间有一定的夹角，很难判定反射光线 p 分
量的振动方向是否与入射光线 p 分量振动方向一致或者相反。
8
(3) 平行平面薄膜(适合于小角度入射情况)： 折射率中间大、二侧小
折射率中间小、二侧大
i
n
1
1
n 2
n 3
n <n 12
n <n 32
菲涅耳公式——精选推荐
§1-6 菲涅耳公式一．菲涅耳公式电磁波通过不同介质的分界面时会发生反射和折射，在电动力学中将讲到入射、反射和折射三束波在分界面上振幅的大小和方向之间的关系，这一关系可由菲涅耳公式表达出来，上节提到的在反射过程中发生的半波损失问题，就可以用这个公式来解释，这一公式对以后讲到的许多光学现象，都能圆满地加以说明。
菲涅耳公式的内容说明如下：在任何时刻，我们都可以把入射波、反射波和折射波的电矢量分成两个分量，一个平行于入射面，另一个垂直于入射面。
有关各量的平等分量与垂直分量依次用指标P 和S 来表示。
以1i 、'1i 和2i 分别表示入射角、反射角和折射角，它们确定了各波的传播方向（在大多数情况下，只要注意各波的磁场矢量即可，因为知道了各个波的传播方向，各波的磁场矢量就可按右螺旋关系确定）。
以1A 、'1A 和2A 来依次表示入射波、反射波和折射波的电矢量的振幅，它们的分量相应就是1P A 、1'P A 、2P A 和1s A 、1's A 、2s A 。
由于三个波的传播方向各不相同，必须分别规定各分量的某一个方向作为正方向，这种规定当然是任意的。
但是只要在一个问题材的全部讨论过程中始终采取同一种正方向的选择，由此得到的各个关系式就具有普遍的意义，(a)(b)(图1-16)图1-16中xy 平面为两介质的分界面，z 轴为法线方向，xz 平面为入射面，规定电矢量的s 分量以沿着y +方向的为正，这对于入射、反射和折射三个波都相同，图中III II I 、、三个面依次表示入射、反射和折射三个波的波面。
电矢量的P 分量沿着这三个波面与入射面的交线，它们的正方向分别规定为如图1-16)()(b a 、所示，且S 分量、P 分量和传播方向三者构成右螺旋关系。
在传播过程中，电矢量的方向是在不断变化的，我们所注意的仅是在反射、折射过程这一瞬时的变化，所以菲涅耳公式所表示的有关各量的方向都是指紧靠两介质分界面O 点处而言的（在图中为清楚起见，将通过O 点的三个波面画III II I 、、画在离开O 点较远之处）。
菲涅尔方程式
菲涅尔方程式
菲涅耳方程式（Fresnel Equations）是用来描述光在两种介质界面上反射和透射的现象和规律的方程式。
它由奥古斯汀·菲涅耳（Augustin-Jean Fresnel）在19世纪提出，并成为光学领域中的重要理论工具。
菲涅耳方程式分为反射方程和透射方程，分别描述了光在界面上的反射和折射（透射）行为。
这些方程式基于电磁波的传播和边界条件，可以通过麦克斯韦方程和边界条件进行推导。
反射方程描述了入射光波在介质界面上的反射行为。
对于垂直入射的光，反射系数（反射光强与入射光强之比）可以通过下述菲涅耳反射方程计算：
r = (n1 - n2) / (n1 + n2)
其中，n1和n2分别是两种介质的折射率，r是反射系数。
透射方程描述了入射光波通过介质界面的折射行为。
同样对于垂直入射的光，透射系数（透射光强与入射光强之比）可以通过下述菲涅耳透射方程计算：
t = 2n1 / (n1 + n2)
其中，n1和n2分别是两种介质的折射率，t是透射系数。
需要注意的是，菲涅耳方程式仅适用于垂直入射的光，并且忽略了光在界面上的散射和吸收行为。
在实际应用中，还需要考虑光的入射角度、极化状态和表面特性等因素，并结合其他衍射、干涉等现象来对界面上的光行为进行更全面的描述。
菲涅耳方程式在材料科学、光学器件设计和表面反射控制等领域中具有广泛的应用，并能解释和预测光在界面上的反射和透射现象。
菲尼尔公式
菲涅尔公式是描述光在两种介质交界面上反射和折射现象的一组公式，由法国物理学家菲涅尔在19世纪提出。
该公式包含了入射光线的角度、两种介质的折射率以及反射和折射光线的角度等因素。
菲涅尔公式可以用来计算反射和透射光线的强度和相对方向，是光学研究中非常重要的工具。
它的表达式形式较为复杂，包括两个方程式：一个是描述垂直入射光线的情况，另一个是描述斜入射光线的情况。
具体表达式如下：
垂直入射光线：
反射系数R = ((n1-n2)/(n1+n2))²
透射系数T = 1-R
斜入射光线：
反射系数R = ((n1cosθ1 - n2cosθ2)/(n1cosθ1 + n2cosθ2))²
透射系数T = 1-R
其中，n1和n2表示两种介质的折射率，θ1和θ2表示入射光线和反射/折射光线的夹角（取决于光线从哪种介质入射），cos表示夹角的余弦值。
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1 上无反射，试问 n3 为多少时，在界面 2
上也无反射？
解：界面 1 无反射 tg io = n2 /n1
io + = 90o
界面 2 也无反射
界面 1 界面 2
io
n1
n2
n3
n3 /n2 = tg = tg (90o － io)= ctg io= n1/n2
故：n3 = n1
例题：如图所示，一块折射率n =1.50
X
H2
s 光反射与折射时的电磁矢量
S光的等效折射率 s n cosi
S光的振幅透射系数（transmission cofficient）
ts
E2 E1
2n1 cos i1 n1 cos i1 n2 cos i2
菲涅耳公式
rp
tg(i2 tg(i2
i1) i1)
tp
sin(
E1 cosi1 E1 cosi1 E2 cosi2 H1 H1 H2 n1E1 n1E1 n2E2
E1(n2 cosi1 n1 cosi2) E1(n2 cosi1 n1 cosi2) 0
P光的振幅反射系数（reflectionion cofficient）
2sin i2 cos i1 i1 i2 ) cos(i1
i2 )
rs
sin( i2 sin( i2
i1) i1)
ts
2 sin sin(
i2 cos i1 i1 i2 )
二、对菲涅耳公式进行讨论
（1）布儒斯特定律
当 i2 i1 / 2 时， tg(i2 i1)
Z
tp
E2 E1
2n1 cos i1 n1 cos i2 n2 cos i1
S光的振幅反射系数为
rs
E1 E1
n1 n1
cos i1 cos i1
n2 n2
cos i2 cos i2
1s 2s 1s 2s
.E1
E1.´
n1 H1 i1 i1
H1 ´
n2
O
Y
. i2 E2
菲涅耳公式 与薄膜光学
一、菲涅耳公式（Fresnel formula）
电磁场边界条件：
（1）电场强度E 在界面上的平行分量连续。
（2）若界面上没有表面电流，即电流密度
j0 =0 ，磁场强度H 在界面上的平行
分量连续。
（3）磁感应强度B 在界面上的垂直分量连续。
（4）若界面上没有表面电荷，即电荷密度
ρ0 =0 ，电位移矢量D 在界面上的垂
直分量连续。
当一束自然光照射到两种介质的界 面上时，可分解为光矢量在入射面内的偏 振光（P光）和光矢量与入射面垂直的偏 振光（S光）。
Et1 Et2 , Ht1 Ht2
Dn1 Dn2 , Bn1 Bn2
在入射介质中
Et1 E1 cos i1 E1 cos i1 Ht1 H1 H1
的平面玻璃浸在水中，已知一束光入射到水 面上时反射光是完全偏振光，若要使玻璃表 面的反射光也是完全偏振光，则玻璃表面与
水平面的夹角q 应是多大?
q
（2）斯托克斯定律
1 rp2 t ptp
1 rs2 tsts
（3）反射光的相位关系
tp
2sin i2 cos i1 sin( i1 i2 ) cos(i1 i2 )
rp 0
当 n1 n2 , i1 i2 时
rp 0
rs 0 rs 0
接近正入射(i1 < iB )
S .P
n1 > n2
S. P
rs 0 rp 0
无相位突变
S .P P S rs 0
n1 < n2
rp 0
有相位突变
接近掠入射(i1 > iB )
rs 0
.P
P
rp 0
.
S
S
无相位突变
rs 0
.P
S rp 0
S
P
有相位突变
半波损失产生的条件 当光从光疏介质向光密介质入射时，反
射光相位发生变化。但只有入射角接近0°或 90°，即垂直入射或掠射时，反射光相位发 生π的突变。
薄膜干涉中额外程差产生的条件 当光在薄膜两界面上反射时，由于两界
P光的反射系数
rp
tg(i2 tg(i2
i1) i1)
0
[例]
玻璃对空气的折射率为：n
tg i 0= 1.50 ... i 0= 560
21
=1.50
利用玻璃堆获得偏振光 自然光
入射 . . .. . .. . . .. . . .. . . . . . .
. .
线偏振光
外腔式激光器之布儒斯特窗
ts
2sin i2 cos i1 sin( i1 i2 )
0i /2
tp 0 ts 0
rp
tg(i2 tg(i2
i1) i1)
rs
sin( i2 sin( i2
i1) i1)
rs rp可正可负。振幅的正负号改变， 即相位改变π。（半波损失）
讨论：
A i1 iB
临界角（critical angle） ic arcsin n2 / n1
布氏角（Brewster angle） iB arctgn2 / n1 iB iC 当入射角从零逐渐增大时，P光
的反射率先在布氏角处降低到零，再到临 界角处上升到100%
例：若入射光是振动面平行入射面的
线偏振光，则以布儒斯特角入射时，在界面
i1 i2 / 2
当 n1 n2 , i1 i2时
rp 0 rs 0
当 n1 n2 , i1 i2 时
rp 0 rs 0
当光从光疏介质向光密介质入射时， 反射光发生相位突变。
B i1 iB
i1 i2 / 2
当 n1 n2 , i1 i2时
在折射介质中
Et2 E2 cos i2
P 光反射与折射时的电磁矢量
Z
E1
. n1 H1
i1 i1
H1 ´ E1 ´
n2
O
Y
X
. i2
E2
H2
H 0r E 0r
Ht2 H2
在非铁磁质中， r 1, n rr r
H nE
n1E1 n1E1 n2E2
根据电磁场边界条件，得
rp
E1 E1
n1 n1
cos i2 cos i2
n2 n2
cos i / cos i2 1p 2 p n1 / cos i1 n2 / cos i2 1p 2 p
P光的有效折射率 p n / cos i
P光的振幅透射系数为