《四边形》讲义

八年级下册数学讲义

第19章 四边形 知识脉络：

两组对边平行

四边行

一 基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四

边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线.

二 公式：

1．S 菱形 =

2

1

ab=ch.（a 、b 为菱形的对角线 ,c 为菱形的边长 ，h 为c 边上的高） 2．S 平行四边形 =ah. a 为平行四边形的边，h 为a 上的高）

三 常识： ※1．若n 是多边形的边数，则对角线条数公式是：2

)3n (n -.

2．规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.

3．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.

n 边形的的性质： （1）n 边形的内角和等于

180)2(⋅-n ． （2）任意多边形的外角和等于

360 （3）n 边形共有

2

)

3(-n n 条对角线 （4）在平面内，内角都相等且边都相等的多边形叫做正多边形。 （5）正多边形的每个内角等于

n

n 180

).2(- 平行四边形矩

形菱形正方

形

图1

F

E

D C

B

A 图2

F

E D C

B

A

四边形：

四边形的内角和等于360°, 外角和等于360°

1、四边形内角中最多有三个钝角，四个直角，三个锐角；

2、四边形外角中最多有三个钝角、四个直角、三个锐角，

最少没有钝角，没有直角，没有锐角；

3、四边形内角与同一个顶点的一个外角互为邻补角． 平行四边形的性质:

(1)平行四边形的邻角互补，对角相等． (2)平行四边形的对边平行且相等． (3)夹在两条平行线间的平行线段相等． (4)平行四边形的对角线互相平分． 平行四边形的判定:

(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． (3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． (4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． (5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

两条平行线的距离

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离．平

行线间的距离处处相等 平行四边形的面积：

ABCD

S

=BC·AE=CD·BF

同底(等底)同高（等高）的平行四边形面积相等.

ABCD

S

=BCFE

S

矩形的性质：

(1)对边平行且相等。 (2)矩形的四个角都是直角． (3)矩形的对角线相等．

(4)矩形是轴对称、中心对称图形． (5) 矩形面积＝长×宽 矩形的判定：

(1)定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． (2)定理1：有三个角是直角的四边形是矩形． (3)定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．

菱形的性质

(1)具有平行四边形的一切性质． (2)菱形的四条边都相等．

(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． (4)菱形是轴对称、中心对称图形． (5) 菱形面积＝底×高＝对角线乘积的一半 菱形的判定

(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． (2)定理1：四边都相等的四边形是菱形． (3)定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 正方形的性质

(1)正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． (2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等．

(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． (4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴．

(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形．

(6)正方形一条对角线上一点和另一条对角线的两端距离相等．

(7)正方形的面积：若正方形的边长为a ，对角线长为b ，则2

2

2

b a S ==

正方形的判定:

(1)判定一个四边形为正方形主要根据定义，途径有两种： ①先证它是矩形，再证它有一组邻边相等． ②先证它是菱形，再证它有一个角为直角． (2)判定正方形的一般顺序： ①先证明它是平行四边形； ②再证明它是菱形(或矩形)；

③最后证明它是矩形(或菱形)． 4．中位线

三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（三角形有三条中位线）

三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

1

2

4．面积公式

平行四边形：底×高 菱形：（1）底×高（2）对角线乘积的一半 矩形：邻边相乘 正方形：（1）2

a S （2）对角线乘积的一半