数学周报杯全国初中数学竞赛试题及答案
全国初中数学竞赛试题及解答
ABCD全国初中数学竞赛试卷及解析一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个是正确的。
请将正确答案的代号填在题后的括号里）1、设a ，b ，c 的平均数为M ，a ，b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若c b a ，则M 与P 的大小关系是（ ）A 、P MB 、P MC 、P MD 、不确定 答案：B 解析：∵3c b a M ，2b a N ，222c b a c N P ，122cb a P M ∵c b a ∴0122122c c c c b a P M ，即0 P M ，即P M 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（a b ），再前进c 千米，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（ ）答案：C解析：因为图（A ）中没有反映休息所消耗的时间；图（B ）虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图（D ）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C ）正确地表述了题意。
3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ） A 、甲比乙大5岁 B 、甲比乙大10岁 C 、乙比甲大10岁 D 、乙比甲大5岁 答案：A解析：由题意知3×（甲－乙）151025 ∴甲－乙＝5。
4、一个一次函数图象与直线49545x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（－1，－25），则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有（ ）A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个 答案：B解析：在直线AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是N x 41 ，N y 525 ，（N 是整数）．在线段AB 上这样的点应满足041 N ，且0525 N ，∴541N ，即1 N ，2，3，4，55、设a ，b ，c 分别是ABC 的三边的长，且cb a ba b a，则它的内角A 、B 的关系是（ ）A 、AB 2 B 、A B 2C 、A B 2D 、不确定 答案：B解析：由c b a b a b a得c a bb a ，延长CB 至D ，使AB BD ，于是c a CD 在ABC 与DAC 中，C C ，且DC ACAC BC∴ABC ∽DAC ，D BAC ∵D BAD∴BAC D BAD D ABC 226、已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，111C B A 的三边长分别为1a ，1b ，1c ，面积为1S ，且1a a ，1b b ，1c c ，则S 与1S 的大小关系一定是（ ）A 、1S SB 、1S SC 、1S SD 、不确定 答案：D解析：分别构造ABC 与111C B A 如下：①作ABC ∽111C B A ，显然1211a a S S ，即1S S ；②设101b a ，20c ，则1 c h ，10 S ，10111 c b a ，则10100431S ，即1S S ；③设101 b a ，20 c ，则1 c h ，10 S ，2911 b a ，101 c ，则2 c h ，101 S ，即1S S ；因此，S 与1S 的大小关系不确定。
“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题(Word版,含答案)
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a ，b 满足24242a b a -+++=，则a b +等于（ ）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）22．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ ）．（A（B（C ）1 （D ）23．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，只有正数解的概率为（ ）． （A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）3613 4．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒. 动点P 从点B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y . 把y 看作x 的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC 的面积为（ ）． （A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）325．关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x ，y ）的组数为（ ）．（A ）2组 （B ）3组 （C ）4组 （D ）无穷多组DCOB二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ． 7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AHAB的值为 ．8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为 ．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于 ．10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，且3222221-+=+t t x x . （1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值.ED CB12．已知正整数a 满足3192191a +，且2009a <，求满足条件的所有可能的正整数a 的和．13．如图，给定锐角三角形ABC ，BC CA <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．。
初中数学竞赛试题内容及答案
初中数学竞赛试题内容及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B2. 如果一个数的平方等于16，那么这个数是多少？A. 4B. -4C. ±4D. ±2答案：C3. 一个圆的半径是5厘米，那么它的直径是多少厘米？A. 10B. 15C. 20D. 25答案：A4. 一个数的绝对值是5，这个数可以是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 0答案：C5. 一个长方体的长、宽、高分别是2厘米、3厘米和4厘米，它的体积是多少立方厘米？A. 24B. 12C. 6D. 8答案：B6. 如果一个角是直角的一半，那么这个角的度数是多少？A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°答案：C7. 一个数的平方根是4，这个数是多少？A. 16B. 8C. 4D. 2答案：A8. 一个等腰三角形的底边长是10厘米，两腰相等，如果底角是45°，那么腰长是多少？A. 5B. 7.07C. 10D. 14.14答案：D9. 一个数的立方是-27，这个数是多少？A. -3B. 3C. -27D. 27答案：A10. 一个数的倒数是1/4，这个数是多少？A. 4B. 1/4C. 1D. 1/2答案：A二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的平方加上8倍这个数再加上16等于0，这个数是______。
答案：-412. 如果一个三角形的三边长分别为3、4、5，那么这是一个______三角形。
答案：直角13. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。
答案：814. 一个数的相反数是-5，这个数是______。
答案：515. 如果一个分数的分子是7，分母是14，化简后是______。
答案：1/216. 一个数的平方是25，那么这个数是______。
答案：±517. 一个数的绝对值是它本身，这个数是______。
数学周报杯全国初中数学竞赛试题及答案(2008-2013年)
（C）10条（D）12条
4．已知 是半径为1的圆 的一条弦，且 ．以 为一边在圆 内作正△ ，点 为圆 上不同于点A的一点，且 ， 的延长线交圆 于点 ，则 的长为（）．
（A） （B）1（C） （D）a
5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）．
11（A）．在直角坐标系xOy中，一次函数 的图象与 轴、 轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于 ．
（1）用b表示k；
（2）求△ABC面积的最小值．
11（B）．已知一次函数 ，二次函数 ．是否存在二次函数 ，其图象经过点（－5，2），且对于任意实数x的同一个值，这三个函数所对应的函数值 ， ， ，都有 ≤ ≤ 成立？若存在，求出函数 的解析式；若不存在，请说明理由．
1．已知实数 满足 ，则 Байду номын сангаас值为（）．
（A）7（B） （C） （D）5
2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先
后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数 的图象与x轴有两个不同交点的概率是（）．
（A） （B）
（C） （D）
3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．
8．如图，在△ 中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长为．
9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为．
10．关于x，y的方程 的所有正整数解为．
“数学周报杯”全国初中数学竞赛初赛试题
数学周报杯”全国初中数学竞赛初赛试题一、填空题（每小题3分，满分30分） 1、函数22-+=x x y 中，自变量x 的取值范围是 。
2、2006年底我国外汇储备余额达到10 663亿美元，用科学记数法表示10 663亿美元约为 美元（保留3个有效数字）。
3、等腰三角形两个内角的度数之比为1︰2，这个等腰三角形底角的度数为 。
4、若关于x 的方程312=--x bx 的解是非负数，则b 的取值范围是 。
5、正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点A 顺时针旋转60°得正方形AB ′C ′D ′，点C 所经过的路径长为 。
6、甲、乙、丙、丁、戊五名同学手拉手围成一个五边形，每个人心中想一个数，相邻的两个人反所想两数的平均数告诉与他们不相邻的那个人，结果如图所示，则乙心中所想的数是 。
7、一宽为1cm 的刻度尺在半径为5cm 的圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切，另一边与圆有两个交点时，其中一个交点对应的读数恰好为“8”（单位：cm ），则另一个交点对应的读数为 。
8、智慧学校附近的甲、乙两家商店销售同样的钢笔和练习本，且每支钢笔标价10元，每本练习本标价2元。
为促进销售，甲商店买一支钢笔赠送一本练习本；乙商店按标价九折持款。
小文购买4支钢笔和24本练习本，至少要花费 元。
9、如图，梯形纸片ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC 。
将其沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 上，记为点A ′。
若AD =7，AB =13，则A ′C 的长为 。
10、观察这样一列数组：（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20），……，按照如此规律，则2008在第 组。
二、单项选择题（每小题3分，满分30分） 11、下列运算正确的是（ ）A 、1243x x x =⋅B 、6332x x x =+ C 、338)2(x x =-D 、x x x 3)2()6(23=-÷-12、将五张分别画有等边三角形、直角三角形、平行四边形、等腰梯形、正六边形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张卡片，图形一定是中心对称图形的概率是（ ）A 、51B 、52 C 、53 D 、54 13、现一平面内有A 、B 、C 三点，A 、B 两点相距5cm ，点C 到直线AB 的距离为2cm ，且△ABC 为直角三角形，则满足上述条件的点C 有（ ）A 、2个B 、4个C 、6个D 、8个14、抛物线x mx y +=2和x nx y +=2与x 轴正半轴分别交于点A 和点B 。
数学周报杯全国初中数学竞赛试题及答桉
数学周报杯全国初中数学竞赛试题及答桉数学周报杯全国初中数学竞赛试题及答案第一题：（本题20分）请在横线上填入一个整数，使等式成立。
8 ÷ 4 + 2 × 3 - 6 = ______解答：为了计算这个等式，我们必须按照特定的顺序进行运算。
根据数学中的运算法则，乘法和除法具有高于加法和减法的优先级。
所以我们首先计算乘法和除法，然后再进行加法和减法。
按照这个顺序，我们可以解答这道题目。
首先，计算8 ÷ 4得到2。
然后，计算2 × 3得到6。
最后，计算6 -6得到0。
因此，空格应填入整数0。
第二题：（本题25分）如果a = 3, b = 4, c = 5，请判断下列等式的真假。
(a + b) × c = a × c + b × c解答：根据等式，我们可以将等式两边展开计算。
左边的等式为 (3 + 4) × 5 = 7 × 5 = 35。
右边的等式为 3 × 5 + 4 × 5 = 15 + 20 = 35。
由此可见，左边的等式等于右边的等式，所以等式成立，答案为真。
第三题：（本题30分）某班有26个学生，其中男生和女生的比例为5:7。
求这个班级中男生的人数。
解答：题目给出男生和女生的比例为5:7，我们知道比例是可以化简的，所以我们可以将5和7都除以它们的最大公约数（即5）得到1和7/5。
这表示男生和女生的实际人数的比例为1:7/5。
根据题目，这个班级总共有26个学生，所以我们可以设男生的人数为x。
然后根据比例，女生的人数为7/5x。
根据题目条件，男生人数x和女生人数7/5x的和等于总人数26。
所以我们可以列出方程：x + 7/5x = 26我们先将7/5这个分数转化为小数，得到7/5 = 1.4。
现在我们将方程改写为：x + 1.4x = 26合并同类项，得到：2.4x = 26再将26除以2.4，得到：x ≈ 10.83由于人数必须是整数，所以男生的人数应该是最接近10.83的整数，即11人。
初中数学“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛考试题
xx 学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:设，则代数式的值为( ).（A）-6 （B）24 （C）（D）试题2:在同一直角坐标系中，函数（）与（）的图象大致是（A）（B）（C）（D）试题3:在等边三角形ABC所在的平面内存在点P，使⊿PAB、⊿PBC、⊿PAC都是等腰三角形.请指出具有这种性质的点P的个数（）（A）1 （B）7 （C）10 （D）15评卷人得分若，，且满足，则的值为( ).（A）1 （B）2 （C）（D）试题5:设，则的整数部分等于( ).（A）4 （B）5 （C）6 （D）7试题6:若a是一个完全平方数，则比a大的最小完全平方数是 . 。
试题7:若关于的方程有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则的取值范围是 .试题8:一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是 .试题9:如图，点为直线上的两点，过两点分别作y轴的平行线交双曲线（）于两点. 若，则的值为 .如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且其边长为12，则△ABC的周长为 .试题11:已知：不论k取什么实数，关于x的方程（a、b是常数）的根总是x＝1，试求a、b的值。
试题12:已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值. 试题13:如图，点为轴正半轴上一点，两点关于轴对称，过点任作直线交抛物线于，两点.（1）求证：∠=∠；（2）若点的坐标为（0，1），且∠=60º，试求所有满足条件的直线的函数解析式.试题14:如图，△ABC中，，．点P在△ABC内，且，求△ABC的面积．试题15: A.试题1答案: -6试题2答案: C.试题3答案: C.试题4答案: C试题5答案: A试题6答案:试题7答案: 3＜m≤4.试题8答案: 1/9试题9答案: 6试题10答案:84试题11答案:解：设方程的两个根为，其中为整数，且≤，则方程的两根为，由题意得，两式相加得，即，所以或解得或又因为所以；或者，故，或29.试题12答案:解：（1）如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为.设点的坐标为（0，），则点的坐标为（0，-）.设直线的函数解析式为,并设的坐标分别为,.由得，于是，即.于是又因为，所以.因为∠∠，所以△∽△，故∠=∠.（2）设，，不妨设≥>0，由（1）可知∠=∠，=，=，所以=，=.因为∥，所以△∽△.于是，即，所以．由（1）中，即，所以于是可求得将代入，得到点的坐标（，）.再将点的坐标代入，求得所以直线的函数解析式为.根据对称性知，所求直线的函数解析式为，或. 试题13答案:解：如图，作△ABQ，使得则△ABQ∽△ACP .由于，所以相似比为2.于是．.由知，，于是．所以，从而．于是.故．试题14答案:11试题15答案:1。
“数学周报杯”2020-2021学年全国初中数学竞赛试题及参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2020年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）1．方程组12,6x y x y的解的个数为（ ）．（A ）1 （B ） 2（C ） 3 （D ）4答：（A ）．解：若x ≥0，则12,6,x y x y于是6y y ，显然不可能．若0x ，则 12,6,x y x y于是18y y ，解得9y ，进而求得3x ．所以，原方程组的解为,9,3y x 只有1个解．故选（A ）．2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）．（A ） 14 （B ） 16 （C ）18 （D ）20答：（B ）．解：用枚举法：红球个数 白球个数 黑球个数 种 数5 2，3，4，5 3，2，1，0 44 3，4，5，6 3，2，1，0 43 4，5，6，7 3，2，1，0 42 5，6，7，8 3，2，1，0 4所以，共16种．故选（B ）．3．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ． 若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（ ）．（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心答：（B ）．解： 如图，连接BE ，因为△ABC 为锐角三角形，所以BAC ，ABE 均为锐角．又因为⊙O 的半径与△ADE的外接圆的半径相等，且DE 为两圆的公共弦，所以BAC ABE ．于是，2BEC BAC ABE BAC．若△ABC 的外心为1O ，则12BO C BAC ，所以，⊙O 一定过△ABC 的外心．故选（B ）．4．已知三个关于x 的一元二次方程02 c bx ax ，02 a cx bx ，02 b ax cx 恰有一个公共实数根，则222a b c bc ca ab 的值为（ ）．（A ） 0 （B ）1 （C ）2 （D ）3答：（D ）．解：设0x 是它们的一个公共实数根，则0020 c bx ax ，0020 a cx bx ，0020 b ax cx ．把上面三个式子相加，并整理得200()(1)0a b c x x ．因为22000131()024x x x ，所以0a b c ．于是222333333()a b c a b c a b a b bc ca ab abc abc3()3ab a b abc．故选（D ）．5．方程323652x x x y y 的整数解（x ，y ）的个数是（ ）． （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多答：（A ）．解：原方程可化为2(1)(2)3(1)(1)2x x x x x y y y （），因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解．故选(A).二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．如图，在直角三角形ABC 中，90ACB ，CA ＝4．点P 是半圆弧AC 的中点，连接BP ，线段BP 把图形APCB 分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 ．答：4．解：如图，设AC 与BP 相交于点D ，点D 关于圆心O 的对称点记为点E ，线段BP 把图形APCB 分成两部分，这两部分面积之差的绝对值是△BEP 的面积，即△BOP 面积的两倍．而1122222BPO S PO CO ．因此，这两部分面积之差的绝对值是4．7．如图, 点A ，C都在函数0)y x 的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为．答：（，0）．解：如图，分别过点A ，C 作x 轴的垂线，垂足分别为E ，F ．设OE ＝a ，BF ＝b ， 则AE，CF，所以，点A ，C 的坐标为（a），（2a ＋bb ），所以2(2)a a b解得a b 因此，点D的坐标为（0）．8．已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）． 若二次函数233y x a x 的图象与线段AB 恰有一个交点，则a 的取值范围是 ．答：1 ≤12a ，或者3a 解：分两种情况：（Ⅰ）因为二次函数 233y x a x 的图象与线段AB 只有一个交点，且点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0），所以032)3(231)3(122 a a ，得112a ．由031)3(12 a ，得1a ，此时11 x ，32 x ，符合题意；由032)3(22 a ，得12a ，此时21 x ，232 x ，不符合题意．（Ⅱ）令 2330x a x ，由判别式0，得3a ．当3a时，12x x，不合题意；当3a12x x ，符合题意．综上所述，a 的取值范围是1 ≤12a，或者3a9．如图，90A B C D E F G n ，则n ＝ ． 答：6．解：如图，设AF 与BG 相交于点Q ，则AQG A D G ，于是A B C D E F GB C E F AQGB C E F BQF540690 ．所以，n ＝6．10．已知对于任意正整数n ，都有312n a a a n L ，则 23100111111a a aL ．答：33100．解：当n ≥2时，有3121n a a a a n n ，3121(1)n a a a n L ，两式相减，得 2331n a n n ，所以 ),111(31)1(3111n n n n a n,4,3,2 n 因此 23100111111a a a L 11111111(1)(()32323399100 L 1133(1)3100100 ．三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11（A ）．已知点M ，N 的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P 是抛物线214y x 上的一个动点．（1）判断以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y 的位置关系；（2）设直线PM 与抛物线214y x 的另一个交点为点Q ，连接NP ，NQ ，求证：PNM QNM ．解：（1）设点P 的坐标为2001(,)4x x ，则PM20114x ;又因为点P 到直线1y 的距离为220011(1)144x x ，所以，以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1y 相切．…………5分（2）如图，分别过点P ，Q 作直线1y 的垂线，垂足分别为H ，R ．由（1）知，PH ＝PM ，同理可得，QM＝QR ．因为PH ，MN ，QR 都垂直于直线1y ，所以，PH ∥MNQM MP RN NH ，所以QR PH RN HN ，因此，Rt △PHN ∽Rt △QRN ．于是HNP RNQ ，从而PNM QNM ．…………15分12（A ）．已知a ，b 都是正整数，试问关于x 的方程21()02x abx a b 是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明.解：不妨设a ≤b ，且方程的两个整数根为12,x x (1x ≤2x )，则有1212,1(),2x x ab x x a b 所以 12121122x x x x a b ab ，124(1)(1)(21)(21)5x x a b .…………5分因为a ,b 都是正整数，所以x 1，x 2均是正整数，于是，11x ≥0,21x ≥0，21a ≥1,21b ≥1，所以12(1)(1)0,(21)(21)5,x x a b 或.1)12)(12(,1)1)(121b a x x （ （1）当12(1)(1)0,(21)(21)5x x a b 时，由于a ,b 都是正整数，且a ≤b ，可得a ＝1，b ＝3，此时，一元二次方程为2320x x ，它的两个根为11x ，22x ．（2）当12(1)(1)1,(21)(21)1x x a b 时，可得a ＝1，b ＝1，此时，一元二次方程为210x x ，它无整数解.综上所述，当且仅当a ＝1，b ＝3时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为11x ，22x ． ……………15分13（A ）．已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB 上的任意一点．以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A 与半圆O 相交于点C ；以点B 为圆心，BP 为半径作⊙B ，⊙B 与半圆O 相交于点D ，且线段CD 的中点为M ．求证：MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．证明：如图，连接AC ，AD ，BC ，BD ，并且分别过点C ，D 作AB 的垂线，垂足分别为,E F ，则CE ∥DF ．因为AB 是⊙O 的直径，所以90ACB ADB ．在Rt △ABC 和Rt △ABD 中，由射影定理得22PA AC AE AB ，22PB BD BF AB ．……………5分两式相减可得22PA PB AB AE BF ，又22()()PA PB PA PB PA PB AB PA PB ，于是有 AE BF PA PB ，即 PA AE PB BF ，所以PE PF ，也就是说，点P 是线段EF 的中点．因此，MP 是直角梯形CDFE 的中位线，于是有MP AB ，从而可得MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．……………15分14（A ）．（1）是否存在正整数m ，n ，使得(2)(1)m m n n ？（2）设k (k ≥3)是给定的正整数，是否存在正整数m ，n ，使得()(1)m m k n n ？解：（1）答案是否定的．若存在正整数m ，n ，使得(2)(1)m m n n ，则22(1)1m n n ，显然1n ，于是2221(1)n n n n ，所以，21n n 不是平方数，矛盾． ……………5分（2）当3k 时，若存在正整数m ，n ，满足(3)(1)m m n n ，则2241244m m n n ，22(23)(21)8m n ，(2321)(2321)8m n m n ，(1)(2)2m n m n ，而22m n ，故上式不可能成立．………………10分当k ≥4时，若2k t （t 是不小于2的整数）为偶数，取22,1m t t n t ，则 2242()()()m m k t t t t t t ，2242(1)(1)n n t t t t ，因此这样的（m ，n ）满足条件．若2k t ＋1（t 是不小于2的整数）为奇数，取222,22t t t t m n ，则 224321()(21)(22)224t t t t m m k t t t t t ， 2243221(1)(22)224t t t t n n t t t t ，因此这样的（m ，n ）满足条件．综上所述，当3k 时，答案是否定的；当k ≥4时，答案是肯定的．……………15分注：当k ≥4时，构造的例子不是唯一的．11（B ）．已知抛物线1C ：234y x x 和抛物线2C ：234y x x 相交于A ，B 两点. 点P 在抛物线1C 上，且位于点A 和点B 之间；点Q 在抛物线2C 上，也位于点A 和点B 之间.（1）求线段AB 的长；（2）当PQ ∥y 轴时，求PQ 长度的最大值．解：（1）解方程组2234,34,y x x y x x 得 112,6,x y 222,6,x y 所以，点A ，B 的坐标分别是（-2，6），（2，-6）．于是AB ．…………5分（2）如图，当PQ ∥y 轴时，设点P ，Q 的坐标分别为)43,(2 t t t ， )43,(2 t t t ， 22t ，因此 PQ22(4)t ≤8，当0t 时等号成立，所以，PQ 的长的最大值8．……………15分12（B ）．实数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，且0ab bc ca ，abc ＝1．求最大的实数k ，使得不等式a b≥k c恒成立．解：当a b，c 时，实数a ，b ，c 满足题设条件，此时k ≤4． ……………5分下面证明：不等式a b ≥4c 对满足题设条件的实数a ，b ，c 恒成立．由已知条件知，a ，b ，c 都不等于0，且0c ．因为2110,0ab a b c c ，所以a ≤b 0 ．由一元二次方程根与系数的关系知，a ，b 是一元二次方程22110x x c c的两个实数根，于是414c c ≥0，所以 3c ≤14．……………10分因此21()a b a b c ≥44c c ． ……………15分13（B ）．如图，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边AD ，BC 的延长线上，且满足DE AD CF BC ．若CD ，FE 的延长线相交于点G ，△DEG 的外接圆与△CFG 的外接圆的另一个交点为点P ，连接PA ，PB ，PC ，PD ．求证：（1）AD PD BC PC ；（2）△PAB ∽△PDC ．证明：（1）连接PE ，PF ，PG ，因为PDG PEG，所以PDC PEF ．又因为PCG PFG ，所以△PDC ∽△PEF ，于是有 ,PD PE CPD FPE PC PF ，从而 △PDE ∽△PCF ，所以PD DE PC CF ．又已知DE AD CF BC ，所以，AD PD BC PC ． ………………10分（2）由于PDA PGE PCB ，结合（1）知，△PDA ∽△PCB ，从而有,PA PD PB PC DPA CPB ，所以APB DPC ，因此△PAB ∽△PDC ． ………………15分14（Bu ，v 满足1≤u v．证明：设任意△ABC 的三边长为a ，b ，c ，不妨设a b c．若结论不成立，则必有a b，b c ．………………5分记,b c s a b t c s t ，显然,0s t ，代入得cs t c s，11s t c c s c，令,s t x y c c ，则11x y x．由a b c ，得c s t c s c ，即t c ，于是1t y c ．由得1b c s x c c，由，得y≥1(1)x1 ，此式与1 y 矛盾．从而命题得证．………………15分。
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有实数根 ， ，则 ．所以
= ＝ ．②
………………5分
把②式代入方程①得
．③
………………10分
t的取值应满足
≥0，④
且使方程③有实数根，即
＝ ≥0，⑤
解不等式④得 ≤-3或 ≥1，解不等式⑤得 ≤ ≤ .
所以，t的取值范围为
≤ ≤ .⑥
………………15分
(2)由②式知 .
由于 在 ≤ ≤ 时是递增的，所以，当
又因为 ，所以有 ，于是可得
． ………………20分
解法2：结论是 ．下面给出证明．
………………5分
连接DE，因为 ，所以A，B，D，E四点共圆，故
． ………………10分
又l是⊙O的过点C的切线，所以 ． ………………15分
（A）－1（B）0（C）1（D）2
【答】C．
解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为 ，于是 ，从而 ＝1．
2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（）．
（A） （B） （C）1（D）2
【答】A．
解：因为△BOC∽△ABC，所以 ，即
，
所以， ．
．
由 ，可得 ．
9．如图，在△ABC中，CD是高，CE为 的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于．
【答】 ．
解：如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25．
故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，且 ．
作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由 ，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF∥AC，所以
（A）10（B）16（C）18（D）32
【答】B．
解：根据图像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故
S△ABC＝ ×8×4＝16.
5．关于x，y的方程 的整数解（x，y）的组数为（）．
（A）2组（B）3组（C）4组（D）无穷多组
【答】C．
解：可将原方程视为关于 的二次方程，将其变形为
【答】3750．
解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1km
磨损量为 ,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为 .又设一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有
两式相加，得 ，
则 ．
7．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则 的值为．
，
即 ，
解得 ．所以 ．
10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是．
【答】 ．
解：设报3的人心里想的数是 ，则报5的人心里想的数应是 ．
共有5×2＝10种情况；或 共3种情况．
又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为 ．
4．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC， .动点P从点
B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y.把y看作x的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC的面积为（）．
中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．已知非零实数a，b满足 ，则 等于（）．
由 ，解得 ．
3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先
后投掷两次，记第一次掷出的点数为 ，第二次掷出的点数为 ，则使关于x，y的方程组 只有正数解的概率为（）．
（A） （B） （C） （D）
【答】D．
解：当 时，方程组无解．
当 时，方程组的解为
由已知，得 即 或
由 ， 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得
解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF．
由题设知 ， ，在△FHA和△EFA中，
，
所以Rt△FHA∽Rt△EFA，
.
而 ，所以 .
8．已知 是满足条件 的五个不同的整数，若 是关于x的方程 的整数根，则 的值为．
【答】10．
解：因为 ，且 是五个不同的整数，所有 也是五个不同的整数．
又因为 ，所以
时, . ………………20分
12．已知正整数 满足 ，且 ，求满足条件的所有可能的正整数 的和．
解：由 可得 ． ，且
．
………………5分
因为 是奇数，所以 等价于 ，又因为 ，所以 等价于 ．因此有 ，于是可得 ．
………………15分
又 ，所以 ．因此，满足条件的所有可能的正整数 的和为
11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571．………………20分
．
由于该方程有整数根，则判别式 ≥ ，且是完全平方数．
由 ≥ ，
解得 ≤ ．于是
0
1
4
9
16
116
109
88
53
4
显然，只有 时， 是完全平方数，符合要求．
当 时，原方程为 ，此时 ；
当y＝－4时，原方程为 ，此时 ．
所以，原方程的整数解为
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶km．
于是报7的人心里想的数是 ，报9的人心里想的数是 ，报1的人心里想的数是 ，报3的人心里想的数是 ．所以
，
解得 ．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．已知抛物线 与动直线 有公共点 ， ，
且 .
（1）求实数t的取值范围；
（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值.
解：（1）联立 与 ，消去y得二次方程
13．如图，给定锐角三角形ABC， ，AD，BE是它的两条高，过点 作△ABC的外接圆的切线 ，过点D，E分别作 的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．
解法1：结论是 ．下面给出证明． ………………5分
因为 ，所以Rt△FCD∽RFra bibliotek△EAB．于是可得
．
同理可得 ．
………………10分