等比数列应用举例单复利
等比数列知识点总结
等比数列知识点总结在数学的世界里，等比数列是一个重要且有趣的概念。
它在许多领域都有着广泛的应用，从金融到物理学，从计算机科学到日常生活中的各种现象。
下面咱们就来好好梳理一下等比数列的相关知识点。
一、等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。
例如，数列 2，4，8，16，……就是一个公比为 2 的等比数列。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式为：an ＝ a1×q^（n 1) ，其中 a1 为首项，n 为项数。
这个公式可以帮助我们快速求出等比数列中任意一项的值。
比如说，对于等比数列 3，6，12，24，……，首项 a1 ＝ 3 ，公比 q ＝ 2 ，那么第 5 项 a5 ＝ 3×2^（5 1) ＝ 48 。
三、等比中项如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。
等比中项的公式为 G ＝±√（ab) 。
例如，2 和 8 的等比中项就是±√（2×8) ＝ ±4 。
四、等比数列的性质1、若 m、n、p、q∈N+，且 m ＋ n ＝ p ＋ q ，则 am×an ＝ ap×aq 。
比如在等比数列 1，2，4，8，……中，a2×a5 ＝ 2×16 ＝ 32 ，a3×a4 ＝ 4×8 ＝ 32 ，两者相等。
2、等比数列的前 n 项和公式当 q ＝ 1 时，Sn ＝ na1 ；当q ≠ 1 时，Sn ＝ a1×（1 q^n) ／（1 q) 。
这个公式在求解等比数列的和时非常有用。
3、若数列{an}是等比数列，公比为 q ，则数列{λan}（λ 为常数）也是等比数列，公比为 q 。
4、若数列{an}是等比数列，公比为 q ，则数列{an^m}（m 为常数）也是等比数列，公比为 q^m 。
高中数学等比数列的应用与解题技巧
高中数学等比数列的应用与解题技巧数列是数学中非常重要的概念，而等比数列是数列中的一种特殊形式。
在高中数学中，等比数列的应用非常广泛，涉及到各个领域的问题。
本文将重点介绍等比数列的应用以及解题技巧，并通过具体的例题进行说明。
一、等比数列的应用1. 财务问题：等比数列常常用于描述财务中的增长或衰减情况。
例如，某公司的年度利润以等比数列的方式增长，已知第一年的利润为100万元，公比为1.2，求第五年的利润。
解题时，可以利用等比数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示第一项，q表示公比。
代入已知条件，即可求得第五年的利润为100 * 1.2^(5-1) = 207.36万元。
2. 科学实验：在科学实验中，等比数列常用于描述物理量的变化规律。
例如，某实验中温度以等比数列的方式下降，已知初始温度为100℃，公比为0.8，求第五次测量时的温度。
同样地，利用等比数列的通项公式，可以求得第五次测量时的温度为100 * 0.8^(5-1) = 40℃。
3. 生活实际问题：等比数列还可以应用于解决一些生活实际问题。
例如，某人每天存钱的金额以等比数列的方式增加，已知第一天存1元，公比为2，求第十天的存款金额。
同样地，利用等比数列的通项公式，可以求得第十天的存款金额为1 * 2^(10-1) = 512元。
二、等比数列的解题技巧1. 求公比：在解题过程中，首先要确定等比数列的公比。
有时可以通过观察数列的前几项来确定公比，有时需要利用已知条件进行计算。
例如，已知等比数列的前两项是2和6，求公比。
解题时，可以利用等比数列的性质an / a(n-1) = q，即第n项与第n-1项的比值等于公比。
代入已知条件，得到6 / 2 = q，解得q = 3。
2. 求特定项：在解题过程中，有时需要求等比数列中的特定项。
可以利用等比数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)来计算。
其中an表示第n项，a1表示第一项，q表示公比。
浅析数列应用题中的递推关系
一、稀释溶液 化工厂的某容器的容积为装满了浓度为100%的纯酒精，现欲使其稀 释，从中倒 出后用清水兑满，再从中倒出，又用清水兑满，为此反复进行了次，所 得的溶液浓度为多少？欲使浓度不超过50%，至少要进行多少次操作？ 解：设操作次后的浓度为则操作次后的浓度为 即 故数列是首项为90%，公比为的等比数列，那么操作次后的浓度为 要使
t=s·10-1000n=40000(2-)-1000n 欲使Tn最大，则：，得，故n=5,此时s=7875。 即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，
能使获利最大。 三、an= C·an-1+B，其中B、C为非零常数且
C≠1 例3、某企业投资1千万元于一个高科技项目，每
年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要 从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与 广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多 少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番（4 倍）的目标？（lg2=0.3）。
染者人数an=50n—30；从n+1日到30日，每天新感 染者人数构成等差数列bn,b1=50n-60,d2=—30， bn=(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11月30日新感染 者人数为b30-n=20(30-n)-30=-20n+570.
故共感染者人数为：=8670，化简得：n261n+588=0,解得n=12或n=49(舍)，即11月12日这一 天感染者人数最多，为570人。
分析：设经过n年后，该项目的资金为an万元， 则容易得到前后两年an和an-1之间的递推关系：an =an-1（1+25%）-200（n≥2），对于这类问题的具
数列应用题
由②得，a1+a2+…+an=24n,
a1 = 5a n 解之得， 解之得，a1=40，an=8. 联立① 联立①、③得 a1 + a n = 48.
收割完这片土地上的全部小麦需用40小时 小时. 答：收割完这片土地上的全部小麦需用 小时
90、100、110 90、100、
4、双变型 、
例4、某沙边城 、某沙边城2004年底全县的绿地面积占全县面积 年底全县的绿地面积占全县面积 年起， 的30%，从2005年起，该县每年将有 ， 年起 该县每年将有16%的原沙漠地 的原沙漠地 带变成绿地，但同时又有4%的原有绿地面积被侵蚀 带变成绿地，但同时又有 的原有绿地面积被侵蚀 变成沙漠.设全县面积为 设全县面积为1， 年底的绿地面积为a 变成沙漠 设全县面积为 ，记04年底的绿地面积为 1, 年底的绿地面积为 经过n年后的绿地面积为 年后的绿地面积为a 已知lg2取 经过 年后的绿地面积为 n+1.(已知 取0.301) 已知 (1)试用 n表示an+1 试用a 表示 试用 4 4 an +1 = an + (2)求证：数列 n-0.8}为等比数列 求证： 求证 数列{a 为等比数列 5 25 (3)哪一年底，该县的绿地面积超过全县面积的 哪一年底， 哪一年底 该县的绿地面积超过全县面积的60%？ ？
解：设从每一台工作起,这n台收割机工作的时间依 设从每一台工作起 这 台收割机工作的时间依 次为a 小时,依题意 是一个等差数列. 次为 1,a2, … ,an小时 依题意 {an}是一个等差数列 是一个等差数列 1 且 每台收 割机的工作 效 率为 ， 则有 24n a1 = 5 a n ①
探索等比数列等比数列的规律与求和公式
探索等比数列等比数列的规律与求和公式等比数列是数学中重要的概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将探索等比数列的规律与求和公式，帮助读者更好地理解和应用等比数列。
一、等比数列的定义和特点等比数列是指一个数列中，从第二个数开始，每个数都等于前一个数乘以同一个固定的常数。
可以用以下形式表示：a, ar, ar², ar³, ...其中a为首项，r为公比。
在等比数列中，每一项与它的前一项的比值都相等，即任意一项除以其前一项的商都相等。
这个比值叫做公比，通常用字母r表示。
等比数列的特点包括：1. 每一项与它的前一项的比值都相等；2. 公比r不为0；3. 首项a可以是任意实数。
二、等比数列的规律等比数列的规律主要包括：1. 第n项的求法：第n项可以通过以下公式来求得：an = a * r^(n-1)其中an表示第n项，a表示首项，r表示公比，n表示项数。
2. 通项公式：通项公式用于求解等比数列中任意一项的值。
通项公式可以表示为：an = a * r^(n-1)3. 前n项和的求法：等比数列的前n项和可以通过以下公式来求得：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中Sn表示前n项的和，a表示首项，r表示公比。
三、等比数列求和公式的推导过程为了更好地理解等比数列求和公式的推导过程，这里我们给出一个简单的证明。
假设等比数列的首项为a，公比为r，共有n项。
那么我们可以得到以下等式：Sn = a + ar + ar² + ... + ar^(n-1) (1)两边同时乘以公比r，我们得到：rSn = ar + ar² + ar³ + ... + ar^n (2)将公式(2)从公式(1)中减去，我们得到：Sn - rSn = a - ar^n化简上式，得到：Sn(1 - r) = a(1 - r^n)将式子两边同时除以(1-r)，我们可以得到等比数列的求和公式：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)四、等比数列的应用举例等比数列在实际应用中有非常广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景：1. 财务管理：等比数列可以用于计算投资收益、复利计算等财务问题；2. 生物学：等比数列可以用于描述细胞分裂过程中细胞数量的变化；3. 物理学：等比数列可以用于描述辐射衰减、电阻串联等物理过程；4. 工程学：等比数列可以用于规划工程的进度安排、资源分配等。
等比数列知识点归纳总结讲解
等比数列知识点归纳总结讲解等比数列是数学中重要的一种数列，具有很广泛的应用。
本文将对等比数列的定义与性质、求和公式、通项公式等进行归纳总结与讲解。
一、定义与性质等比数列是一种特殊的数列，它的每一项与前一项的比相等。
设等比数列的首项为 a，公比为 r，则第 n 项的公式为 an = a * r^(n-1)。
其中，n 为项数，a_1 为首项。
1. 公比 r 的取值：- 当 r > 1 时，等比数列是递增的；- 当 0 < r < 1 时，等比数列是递减的；- 当 r = 1 时，等比数列的所有项都相等，即为常数数列。
2. 等比数列的性质：- 等比数列中任意两项的比值相等，即 a(n+1) / an = r；- 等比数列中的任意项与它之后的项的比值相同；- 等比数列的任意项可以表示为它前一项乘以公比的 n 次方。
二、求和公式求等比数列的前 n 项和是解决等比数列问题中常用的方法之一。
根据数列的性质和推导，可以得到等比数列的求和公式如下：等比数列的前 n 项和 Sn = a(1-r^n) / (1-r)，其中 a 为首项，r 为公比。
三、通项公式通项公式是指通过等比数列给出的某一项与它的位置之间的关系，可以求解该等比数列的各项的值。
根据等比数列的定义，可以得到等比数列的通项公式如下：等比数列的第 n 项 an = a * r^(n-1)，其中 a 为首项，r 为公比。
四、应用举例等比数列在实际问题中具有广泛的应用。
以下举两个例子加以说明：例1：一个微生物培养基中的细胞数量，每天增加一倍。
已知初始时刻有 1000 个细胞，求第 6 天的细胞数量。
解：根据已知条件，我们可以得知初始时刻（第 1 天）的细胞数量a = 1000，公比 r = 2。
根据通项公式 an = a * r^(n-1)，我们可以求得第6 天的细胞数量为 a6 = 1000 * 2^(6-1) = 32000。
例2：某公司每年的销售额都是前一年的 80%，已知第一年销售额为 500 万元，求五年后的销售额。
等比数列及其性质
等比数列及其性质等比数列是数学中经常出现的一种数列，它具有一些独特的性质和规律。
在本文中，我将介绍等比数列的概念、常见性质以及它在数学问题中的应用。
一、等比数列的定义及表示方法等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比值都相等。
这个比值称为等比数列的公比，常用字母q表示。
用数学符号表示，一个等比数列可以写成：a，aq，aq^2，aq^3，...，其中a是首项，q是公比。
二、等比数列的性质1. 通项公式等比数列的通项公式表示了数列中任意一项与首项之间的关系，在求解等比数列问题时非常有用。
设等比数列的首项为a，公比为q，第n项为an，那么等比数列的通项公式为：an = a * q^(n-1)。
2. 前n项和等比数列的前n项和是指数列中前n项的和。
求解等比数列的前n 项和可以通过以下公式得到：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)，其中Sn表示前n项和。
3. 公比的范围公比q的范围决定了等比数列的性质。
当-1 < q < 1时，等比数列的绝对值趋于0，这样的数列被称为收敛的。
当q大于1或小于-1时，等比数列的绝对值呈指数增长或指数衰减，这样的数列被称为发散的。
4. 等比数列的倍数关系在等比数列中，任意一项与其前一项的比值都等于公比q。
这意味着，一个等比数列中的任意一项都是它前一项乘以公比得到的。
这种倍数关系在数学问题中经常被应用到。
三、等比数列的应用等比数列的概念和性质在数学问题中有广泛的应用，下面以几个例子来说明：1. 货币利率问题假设我们有一笔存款，年利率为r，每年我们都将本金和利息再次存入银行，形成一个复利等比数列。
我们可以利用等比数列的公式和性质来计算多年后的本利和。
2. 音乐音调问题音乐中的音调通常是以等比数列的形式排列的，每个音调的频率与前一个音调的频率之比就是公比。
通过分析等比数列的性质，我们可以得出音调之间的倍数关系，帮助我们理解音乐的构成和演奏。
等比数列应用举例(单复利)
计息公式：利息=本金×存期×日利率
整存整取定期储蓄
这是指一次存入本金,完成约定存期后一次取出本金 及其利息的一种储蓄。农业银行在近期内规定的这种储 蓄的年利率如下.
存 期 1年 2.25 2年 2.75 3年 3.25 5年 3.35
年利率(%)
计息公式：利息=本金×存期×年利率
其中，A为贷款本金，n为还款期数，i为期利率．
解 货款第一年后的本利和为
20 20 5.76% 20(1 0.0576) 1.0576 20,
第二年后的本利和为
1.0576 20 1.0576 20 5.76% 1.05762 20,
依次下去，从第一年后起，每年后的本利和组成的数列为等比数列
1.0576 20,1.05762 20,1.05763 20,
利息一般分为单利和复利两种 复利：（等比数列）
指存满一个规定的利息期限后，按照预先指定的利率 计息，在下一个计息期限中，将所得的利息计入到本 金中，作为新的本金。
(我国现行的定期储蓄中的自动转存业务类似复利计息的储蓄)
例如：某种储蓄规定按月以复利计息，月利率是1%， 若某人存入1000元作为本金， 一个月后 本息和 两个月后 1000 (1+1%) 本息和
第2月存款利息：100×11×0.1425%，
„ 第11月存款利息：100×2×0.1425%，
第12月存款利息：100×1×0.1425%. 于是，应得到的全部利息就是上面各期利息之和： S12＝100×12×0.1425%＋100×11×0.1425%＋…＋ 100×2×0.1425%＋100×1×0.1425% ＝100×0.1425%×(1＋2＋3＋…＋12) ＝100×0.1425%×78＝11.115. 实际取出：100×12＋11.115＝1 211.115(元)．
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复利计息 a（1+ 0.2%)16 =1.03248a ＞ 1.03216a
故存入按复利计息的银行更合算。
等额本金还款法是一种计算非常简便，实用性很强的一种 还款方式。基本算法原理是在还款期内按期等额归还贷款 本金，并同时还清当期未归还的本金所产生的利息。
本息和
两个月后
1000 (1+1%) 本息和 三个月后
1000 (1+1%)2
本息和
… n个月后
本息和
1000 (1+1%)3 1000 (1+1%)n
（整存整取）
五一节期间，高二同学杨磊从他回国探亲的舅舅处得到一 笔钱a元，这笔钱是给他明年读大学时用的，距今还有16 个月.于是他决定立刻把这笔钱存入银行，直到明年9月初 全部取出。现在有两家银行供他选择，一家银行是按月息 0.201 %单利计息，另一家银行是按月息0.2 %复利计息， 请大家帮助杨磊同学计算一下，存入哪家银行更合算？
三个月后 本息和
…
1000+10 1000+102 1000+10 3
=1010 = 1020
= 1030
n个月后 本息和
1000+10n
活期储蓄
这是指存期不定,可以随时存取的一种储蓄。计息时, 按日利率算存期为天数（一年按360天，一个月按30天
计算）。 若活期年利率：0.36 % 则日利率：0.36% 0.001%
知
20 205.76% 20(1 0.0576) 1.0576 20,
识
第二年后的本利和为
1.0576 20 1.0576 20 5.76% 1.05762 20,
典
依次下去，从第一年后起，每年后的本利和组成的数列为等比数列
型 例 题
1.0576 20, 1.05762 20, 1.05763 20, 通项公式为 an 1.0576 20 1.0576n1 1.0576n 20
360
计息公式：利息=本金×存期×日利率
整存整取定期储蓄
这是指一次存入本金,完成约定存期后一次取出本金
及其利息的一种储蓄。农业银行在近期内规定的这种储 蓄的年利率如下.
存期
1年
2年
3年
5年
年利率(%)
2.25
2.75
3.25
3.35
计息公式：利息=本金×存期×年利率
整存整取
年利率
பைடு நூலகம்
零存整取定期储蓄
解析： 实际取出的钱等于本金＋利息，这里关键是求利 息．由于每期存入的钱到最后取钱时的存期是不一样的，因此 每期存入的钱到最后取钱时，利息是不一样的．
第1月存款利息：100×12×0.1425%，
第2月存款利息：100×11×0.1425%，
…
第11月存款利息：100×2×0.1425%，
第12月存款利息：100×1×0.1425%.
a5 1.05765 20 26.462886
答 小王应偿还银行26.462886万元．
例 银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息．小王从银行货款20万元，
巩 贷款期限为5年,年利率为5.76%． （2）如果每年一期，分5期等额还款（每期以相等的额度平均偿还本息），那
固 么小王每年偿还银行多少钱．
于是，应得到的全部利息就是上面各期利息之和：
S12＝100×12×0.1425%＋100×11×0.1425%＋…＋ 100×2×0.1425%＋100×1×0.1425%
＝100×0.1425%×(1＋2＋3＋…＋12)
＝100×0.1425%×78＝11.115.
实际取出：100×12＋11.115＝1 211.115(元)．
6.3.4 等比数列应 用举例
在日常生活中那些事情与等比数列有关？
利息一般分为单利和复利两种
单利： （等差数列）
指存满一个规定的利息期限后，按照预先指定的利率 计息，在下一个计息期限中，利息不计入到本金中。
例如：某种储蓄规定按月以单利计息，月利率是1%，若 某人存入1000元作为本金，
一个月后 两个月后 本息和 本息和
每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到
约定日期，取出全部本利和，这是整取，规定每次存入 的钱不计复利
存期 年利率(%)
1年 1.85
3年 2.05
5年 2.15
零存整取 年利率
某人从1月起，每月1日存入银行100元，到12月31日取出全部本 金及其利息，已知月利率为0.1425%，若不计复利，那么他实际 取出多少钱？(不计利息税)
利息一般分为单利和复利两种 复利：（等比数列）
指存满一个规定的利息期限后，按照预先指定的利率 计息，在下一个计息期限中，将所得的利息计入到本 金中，作为新的本金。
(我国现行的定期储蓄中的自动转存业务类似复利计息的储蓄)
例如：某种储蓄规定按月以复利计息，月利率是1%，
若某人存入1000元作为本金，
一个月后
等额本息是指一种购房贷款的还款方式，是在还款期内，
每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息)。
例 银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息．小王从银行货款20万元，贷 款期限为5年,年利率为5.76%． （1）如果5年后一次性还款，小王应偿还银行多少钱?（精确到0.000001万元）；
巩
固
解 货款第一年后的本利和为
知
由于第5次将款还清，所以
识
a((1 5.76%)5 1) 26.482886
5.76%
典 型
因此
a
26.482886 5.76% (1 5.76%)5 1
4.716971（万元）．
例
题
这类问题为等额分期付款模型．计算每期偿还本息的公式为
a A i (1 i)n (1 i)n 1
其中，A为贷款本金，n为还款期数，i为期利率．