等比数列应用举例PPT
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等比数列课件
• 1、1.01，1.012, 1.013, ‥‥‥ 1.01365 • 2、0.99, 0.992, 0.993, ‥‥‥0.99365
将这张A4纸折叠，每折叠一次观察所得到的纸张层数：
• 1, 2, 22，23，24， ‥ ‥ ‥2n
探究一：
1、1.01，1.012, 1.013, ‥‥‥ 1.01365 2、0.99, 0.992, 0.993, ‥‥‥0.99365 3、1, 2，22，23，‥‥‥2n
an+1-an=d
等差或等比中项
2D=a+b
G2பைடு நூலகம்ab
通项公式
an=a1+(n-1)d
an=a1·qn-1
实战考察
某单位到我校招聘员工，对象是高三毕业生， 待遇：实习期1年，在这1年中，第1个月工资2元， 以后每月工资比前一个月翻一番，实习期满，每月 工资按实习期的第12个月的工资发放。作为即将毕 业的高三毕业生，这样的工作你愿意应聘吗？
回想：我们是如何求出等差数列的通项公式的？
结合等比数列的定义，以小组为单位，探讨等 比数列的通项公式：
设等比数列{an}的公比为q
则 a1= a1 a2=a1·q1 a3=a2·q=(a1·q) ·q=a1·q2 a4=a3·q=(a1·q2) ·q=a1·q3 a5=a4·q=(a1·q3) ·q=a1·q4 ………
观察上面三个数列,总结出其共同特点
共同特点：从第2项开始，每一项与前一项的 比都等于同一个常数．
6.3 等比数列
孟州市职业教育中心 谷冬梅
温故---知新，忆等差数列
等比数列:如果一个数列从第2项开始，每一项 与它前一项的比都等于同一个常数， 这个数列就叫做等比数列。这个常数 叫等比数列的公比，用字母q表示， 那么
等比数列课件PPT
股票和债券定价
在股票和债券定价模型中， 等比数列用于预测未来的 股价或债券收益率。
等比数列在物理领域的应用
放射性衰变
光学干涉
放射性衰变过程中，原子核的数目按 照一定的比率减少，形成等比数列。
在光学干涉实验中，干涉条纹的形成 与等比数列有关。
声音传播
在声音传播过程中，声波的振动次数 按照一定的比率增加或减少，形成等 比数列。
证明等比数列求和公式
通过数学归纳法，我们可以证明等比数列求和公 式的正确性。
等比数列求和公式的应用
01
02
03
解决实际问题
等比数列求和公式可以应 用于解决一些实际问题， 如存款、贷款、投资等问 题。
简化计算
等比数列求和公式可以用 于简化一些复杂的数学计 算，如组合数、阶乘数的 计算等。
证明数学定理
等比数列的性质
总结词
等比数列具有一些特殊的性质，这些性质有助于理解和应用 等比数列。
详细描述
等比数列的性质包括对称性、递增性、递减性、周期性和收 敛性等。这些性质反映了等比数列的内在规律，有助于我们 更好地理解和应用等比数列。
等比数列的表示方法
总结词
等比数列可以用多种方式表示，包括 通项公式、求和公式和几何画板等。
等差数列的每一项与前一项的差是常数，而等比数列的每一项与前一项的比值是常 数。
等差数列和等比数列在求和、求积等方面都有各自的方法和公式，可以相互转化。
等比数列与指数函数的联系
等比数列的通项公式可以转化 为指数函数的形式，即$a_n = a_1 times q^{(n-1)}$。
指数函数具有一些特殊的性质， 如指数函数的单调性、周期性 等，这些性质在等比数列中也 有体现。
等比数列课件共33页PPT
而aa21＝p－p1p＝p－1. 故满足此条件的实数 p 是不存在的，故本题应选 D.
第一章 1.1 第1课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[点评] (1)此题易得出错误的判断，排除错误的办法是熟 悉数列{an}成等比数列的条件：an≠0(n∈N*)，还要注意对任 意 n∈N*，n≥2，aan－n1都为同一常数．
等比数列课件
1、 舟 遥 遥 以 轻飏， 风飘飘 而吹衣 。 2、 秋 菊 有 佳 色，裛 露掇其 英。 3、 日 月 掷 人 去，有 志不获 骋。 4、 未 言 心 相 醉，不 再接杯 酒。 5、 黄 发 垂 髫 ，并怡 然自乐 。
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5 第一章 1.1 第1课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
由②得 a1＝2q，代入①得 2q2－5q＋2＝0， ∴q＝2，或 q＝21. 当 q＝2 时，a1＝1，an＝2n－1； 当 q＝12是，a1＝4，an＝23－n.
第一章 1.1 第1课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
解法 2：∵a1a3＝a22， ∴a1a2a3＝a32＝8，
已知数列{an}满足：lg an＝3n＋5，试用定义证明{an}是等 比数列．
[证明] 由 lg an＝3n＋5，得 an＝103n＋5， an＋1 103n＋1＋5
则 an ＝ 103n＋5 ＝1 000， ∴数列{an}是公比为 1 000 的等比数列．
第一章 1.1 第1课时
课堂巩固训练
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
一、选择题
1．若{an}为等比数列，且 2a4＝a6－a5，则公比是( )
A．0
B．1 或－2
C．－1 或 2 D．－1 或－2
第一章 1.1 第1课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
[点评] (1)此题易得出错误的判断，排除错误的办法是熟 悉数列{an}成等比数列的条件：an≠0(n∈N*)，还要注意对任 意 n∈N*，n≥2，aan－n1都为同一常数．
等比数列课件
1、 舟 遥 遥 以 轻飏， 风飘飘 而吹衣 。 2、 秋 菊 有 佳 色，裛 露掇其 英。 3、 日 月 掷 人 去，有 志不获 骋。 4、 未 言 心 相 醉，不 再接杯 酒。 5、 黄 发 垂 髫 ，并怡 然自乐 。
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5 第一章 1.1 第1课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
由②得 a1＝2q，代入①得 2q2－5q＋2＝0， ∴q＝2，或 q＝21. 当 q＝2 时，a1＝1，an＝2n－1； 当 q＝12是，a1＝4，an＝23－n.
第一章 1.1 第1课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
解法 2：∵a1a3＝a22， ∴a1a2a3＝a32＝8，
已知数列{an}满足：lg an＝3n＋5，试用定义证明{an}是等 比数列．
[证明] 由 lg an＝3n＋5，得 an＝103n＋5， an＋1 103n＋1＋5
则 an ＝ 103n＋5 ＝1 000， ∴数列{an}是公比为 1 000 的等比数列．
第一章 1.1 第1课时
课堂巩固训练
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
一、选择题
1．若{an}为等比数列，且 2a4＝a6－a5，则公比是( )
A．0
B．1 或－2
C．－1 或 2 D．－1 或－2
等比数列应用举例--说课课件
分期付款方案：
要求租房时缴纳 首付款10万元， 然后从第二年起 连续十年，在每 年的租房日向对 方付款2.25万元
情景三 扩 建 厂 房
一一次次性性付付款款方方案案：：
解：租十厂年房后十本年的息优之惠和价是为：28.5 万元2，8.在5×此（期1间+银3%行存）款10的年 利率≈为383%.3。万十元年后本息之和是
通过丰富的教
提炼出数学知识，
学活动，提高学
培养学生的抽象思 维和逻辑推理能力，
难点生竞 的争
参 意
与 识
意 ，
识 以
和 及
提高学生分析问题
乐观向上的生活
和解决问题的能力。 态度。
教法学法
激励 教学
小组 合作
启发 引导
情境教学模式
教法 学法
小组 竞赛
学以致用
小组讨 论法
参与竞 争法
自主探 究法
教法学法
解独：立设思每考年还款为X元，则：学生展示
师生总结
一年后欠款： 100000（1+ 8% ）-X= 100000×1.08-X 两年后欠款自：主(X解10题0000×1.08-X)（1+同8学%评）价-
= 100000×1.082-（1+1.08）X
三年后欠=款1：0口0[10头0000表0×0达10.0×能813力.-0（821-+（11.0+81+.018.0）8X2）]（X1+8%） - X 激… … … … 励教十年后欠款：自1我00表00现0×的1勇.08气10-（1+1.08+ … +1.089）X 学根即据 ：题10意00可0知0×101年.0后81欠0-款（数1+为10.08+巩…固+知1识.089）X=知0 识目标
等比数列PPT课件优质
1
1
248
2
2
等比数列，所以S10=
1 [1 (1 22
1 1
)10 ]
1 1
023 . 024
2
2.等比数列 3，3，3，…从第3项到第7项的和为
.
248
【解析】方法一：此等比数列的第3项到第7项仍然构成等比数
列，新等比数列的首项为 ，公比为 ，从第3项到第7项的和
3
1
8
为S=
3 8
[1 (1 2
2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和
1.理解并掌握等比数列前n项和公式及推导方法. 2.掌握等比数列前n项和性质，并能应用性质解决有关问题.
等比数列前n项和公式
已知量 首项、公比与项数 首项、末项、项数与公比
选用
__n_a_1 _ q 1
__n_a_1 _ q 1
公式
Sn
探究3：在推导Sn= a1(1－qn ) (q≠1)的过程中，限制了q≠1， 1－q
当q=1时，Sn等于多少呢？
提示：当q=1时，数列中的每一项都相等，所以其前n项和
Sn=na1.
【探究总结】等比数列前n项和公式的关注点 (1)q≠1时前n项和公式的推导采用的是错位相减法. (2)在等比数列的通项公式与前n项和公式中共含有5个量，若 知道其中3个可求另2个. (3)求等比数列{an}的前n项和时，要注意公比是否为1，要分 情况选取合适的公式求解.
探究2：若数列{an}为等比数列，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k(其中Sk， S2k-Sk，S3k-S2k均不为零)成等比数列吗？若成等比数列，公比 为多少？
提示：Sk=a1+a2+…+ak， S2k-Sk=ak+1+ak+2+…+a2k=qk(a1+a2+…+ak)， S3k-S2k=a2k+1+a2k+2+…+a3k=q2k(a1+a2+…+ak)， 显然Sk，S2k-Sk，S3k-S2k也成等比数列，且新等比数列首项为 Sk，公比为qk.
等比数列-课件ppt
(4an1 4an ) 2an1 2an1 4an 2
an1 2an
an1 2an
∴数列{bn}是公比为2的等比数列,首项为a2-2a1. ∵S2=a1+a2=4a1+2, ∴a2=5.∴b1=a2-2a1=3.
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(2)由(1)知bn=3·2n-1=an+1-2an,
∴
an1 2n1
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1.等比数列的定义
一般地，如果一个数列从 第2项 起，每一项与它
的前一项 的比等于 同一 常数，那么这个数列叫做等
比数列，这个常数叫做等比数列的 公比 ，公比通常
用字母 q(q≠0) 表示.
其数学表达式为：
an+1 an
= q（q为常数）或
an = q a n-1
（q为常数）（n≥2）,常用定义判断或证明一个数列是等
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设等比数列{an}的公比q＜1,前n项和为Sn.已知 a3=2,S4=5S2,求{an}的通项公式.
【解析】由题设知a1≠0,Sn=
,
则
a1q2=2,
①
a1(1- q4 ) 5 a1(1- q 2 )
②
1-q
1-q
由②得1-q4=5(1-q2),(q2-4)(q2-1)=0,
a1(1- qn ) 1- q
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1 1 1
1
n2
2
2
1 1 n1 1 2
1 1 2
1
2
1
1
n1
3 2
5
2
1
n1
3 3 2
当n=1时，
5 3
2 3
1 2
n1
=1=a1,
等比数列完整ppt
变：等差数列首项为-5，前11项的 平均值为5，若从中抽取一项，余 下10项的平均值为4.6,则抽取的是 第几项。
谢谢观看
3、{an}成A.P, {bn}成 G.P,a1=b1,a2n+1=b2n+1
比较an+1与bn+1的大小。
综合
1、{an}的前n项的和为bn,数列{bn} 的前n项和为cn,且bn+cn=n，nN* (1)证明：数列{1-bn}为等比数列 (2)求{cn}的前n项的和 (3)比较1/an-1与(bn+cn+1)2的大小
2、已知数列{an}中，Sn是它的前n 项和， Sn+1=4an+2,a1=1,设 bn=an+1-2an,
求证：{bn}是等比数列，并求它的 通项公式。
3、正项等比数列｛an｝的首项a1 ＝2-5，其前11项的几何平均数为 25，若前11项中抽取一项后的几 何平均数仍是25，则抽去一项的项 数————
(2)a =18,a =8,求a ,q 求和公式：Sn=kqn-k (q≠1)
2 3、m+n=s+t → am.
通项公式：an=kqn-1
4
1
(2)求{cn}的前n项的和
2: a1<0,q>1
10{kan} 20{an2} 30{an.
(3)a5=4,a7=6,求a9 (2){an}是等比数列，{bn}是等比数列
4、若方程x2-5x+m=0与x210x+n=0的四个根，适当排列后， 恰好组成一个首项为1的等比数列， 则m:n=?
性质 ：
看清下标用性质
1、b是a, c的等比中项
a b b2 ac bc
2、m+n=2s →am.an=as2 3、m+n=s+t → am.an=as.at
谢谢观看
3、{an}成A.P, {bn}成 G.P,a1=b1,a2n+1=b2n+1
比较an+1与bn+1的大小。
综合
1、{an}的前n项的和为bn,数列{bn} 的前n项和为cn,且bn+cn=n，nN* (1)证明：数列{1-bn}为等比数列 (2)求{cn}的前n项的和 (3)比较1/an-1与(bn+cn+1)2的大小
2、已知数列{an}中，Sn是它的前n 项和， Sn+1=4an+2,a1=1,设 bn=an+1-2an,
求证：{bn}是等比数列，并求它的 通项公式。
3、正项等比数列｛an｝的首项a1 ＝2-5，其前11项的几何平均数为 25，若前11项中抽取一项后的几 何平均数仍是25，则抽去一项的项 数————
(2)a =18,a =8,求a ,q 求和公式：Sn=kqn-k (q≠1)
2 3、m+n=s+t → am.
通项公式：an=kqn-1
4
1
(2)求{cn}的前n项的和
2: a1<0,q>1
10{kan} 20{an2} 30{an.
(3)a5=4,a7=6,求a9 (2){an}是等比数列，{bn}是等比数列
4、若方程x2-5x+m=0与x210x+n=0的四个根，适当排列后， 恰好组成一个首项为1的等比数列， 则m:n=?
性质 ：
看清下标用性质
1、b是a, c的等比中项
a b b2 ac bc
2、m+n=2s →am.an=as2 3、m+n=s+t → am.an=as.at
等比数列性质ppt课件
7
规律技巧 本例主要考查等比数列的性质及解方程组 的能力，当然若将条件化为a1，q的形式，亦可求解，只不 过麻烦一些罢了，因此，在解题时，要灵活运用性质解题.
8
变式训练 1 (1)在等比数列{an}中，已知 a7a12＝5，求 a8a9a10a11. (2){an}为等比数列，且 a1a9＝64，a3＋a7＝20，求 a11.
18
解 设所求之数为a－d，a，a＋d，则由题设，得 a－d＋a＋a＋d＝15， a＋32＝a－d＋1a＋d＋9， 解此方程组得ad＝＝52，， 或ad＝＝5－，10. (舍去) ∴所求三数为3,5,7.
19
规律技巧 此类问题一般设成等差数列的数为未知数， 然后利用等比数列知识建立等式求解.另外，对本题若设所 求三数为a，b，c，则列出三个方程求解，运算过程将很复 杂.因此，在计算过程中，设的未知数个数应尽可能少.
若{bn}是公比为q′的等比数列，则数列{anbn}是公比为 qq′的等比数列；
数列{a1n}是公比为1q的等比数列； 数列{|an|}是公比为|q|的等比数列．
3
(3)在数列{an}中每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来顺序 组成新数列，则新数列仍为等比数列且公比为qk＋1.
(4)数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan} 是公差为lgq的等差数列．
1
等比数列还有如下性质 等比数列{an}的首项为a1，公比为q. (1)当q>1，a1>0，或0<q<1，a1<0时，数列为递增数列； 当q>1，a1<0，或0<q<1，a1>0时，数列为递减数列； 当q＝1时，数列为常数列； 当q<0时，数列为摆动数列．
2
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运用知识 强化练习
张明计划贷款购买一部家用汽车，贷款15万元，贷款期 为5年，年利率为5.76%，5年后应偿还银行多少钱?
小结
用数列知识解决实际问题时，关 键是审清题意，将实际转化成数 列模型，把实际问题数学化，并 解答这一数学模型，得出符合实 际意义的解答。
本节结束
第二年后的本利和为
1.0576 20 1.0576 20 5.76% 1.05762 20,
依次下去，从第一年后起，每年后的本利和组成的数列为等比数列
1.0576 20, 1.05762 20, 1.05763 20,L 通项公式为 an 1.0576 20 1.0576n1 1.0576n 20
L/O/G/O
等比数列应用举例
创设情境 兴趣导入
设报纸的厚度为0.07毫米，你将一张报纸对折5次后 的厚度是多少？能否对折50次，为什么？
探究新知
例 银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息．小王从银行贷款20万元，贷 款期限为5年，年利率为5.76%。 （1）如果5年后一次性还款，那么小王应偿还银行多少钱?（精确到0.000001万 元） （2）如果每年一期，分5期等额本息还款（每期以相等的额度平均偿还本息）。 那么小王每年偿还银行多少钱？
a[1-(15.76%)5] =
1 (1 5.76%)
= a[(15.76%)5 1] (万元） 5.76%
由于第5次将款还清，所以 a[(15.76%)5 1] 26.462886 5.7% （1+5.76%）5-1
4.71697（ 1 万元）
复利计息法：将前一期的本金与利息的 和（简称本利和）作为后一期的本金来 计算利息的方法．俗称“利滚利”．
合作探究
（1）如果5年后一次性还款，那么小王应偿还银行多少钱? （精确到0.000001万元）
解 货款第一年后的本利和为
20 20 5.76% 20(1 0.0576) 1.0576 20,
a5 1.05765 20 26.462886
合作探究
（2）如果每年一期，分5期等额本息还款（每期以相等的额度 平均偿还本息）。那么小王每年偿还银行多少钱？
设小王每次应偿还银行a万元，则
第1次还款a万元，已还款数为 a 万元；
第2次还款a万元，已还款数为a+a(1+5.76%) 万元；
第3次还款a万元，已还款数为a+a(1+5.76%)+a(1+5.76%)2 万元；
第4次还款a万元，已还款数为a+a(1+5.76%)+a(1+5.76%)2+a(1+5.76%)3 万元；
第5次还款a万元，已还款数为 a+a(1+5.76%)+a(1+5.76%)2+a(1+5.76%)3 +a(1+5.76%)4万元；
合作探究
这类问题为等额本息分期付款模型。计算每期偿还本息的公式为
a= Agi g(1i )n （1+i）n -1
其中，A为贷款本金，n为还款期数，i为期利率。
可以看到，本例中一次性付款数为26.462886万元， 而采用分5期付款的方式总共付款数为4.716971×5=23.584855（万元）， 分期付款比到期一次性付款节省了约2.878031万元。