2020届雅礼中学高三第3次月考试卷答案(文科数学)
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2020年湖南省雅礼中学高三第3次月考 文科数学(含答案)
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2020年湖南省雅礼中学高三1-6次月考 理科数学、文科数学(含答案)
预计去年消费金额在!$$!'$$(内的消费者今年都将会申请办理普通 会员$消费金额在 !!'$$$1#$$(内的消费 者都将会 申 请办 理银 卡会 员$消费金额在!1#$$$2"$$(内 的 消 费 者 都 将 会 申 请 办 理 金 卡 会 员! 消费者在申请办理会员时$需一次性缴清相应等级的消费金额! 该健身机构在今年 底 将 针 对 这 些 消 费 者 举 办 消 费 返 利 活 动$现 有 如 下两种预设方案# 方案!#按分层抽样 从 普 通 会 员$银 卡 会 员$金 卡 会 员 中 总 共 抽 取 #& 位-幸运之星.给予奖励#普通会员中的-幸运之星.每人奖励&$$元1 银卡会员中的-幸运之星.每人奖励'$$元1金卡会员 中的 -幸 运之 星.每人奖励"$$元! 方案##每位会员均可参加摸奖游戏$游戏规则如下#从一个装有1个 白球%#个红球!球只有颜色不同"的箱子中$有放回地摸三次球$每次 只能摸一个球!若摸到红球的总数为#$则可获得#$$元奖励金1若摸 到红球的总数为1$则可获得1$$元奖励金1其他情况不给予奖励!规 定每位普通会员均可参加!次摸奖游戏1每位银卡会员均可参加#次 摸奖游戏1每位金卡会员均可参加1次摸奖游戏!每次摸奖的结果相 互独立"! 以方案#的奖励金 的 数 学 期 望 为 依 据$请 你 预 测 哪 一 种 方 案 投 资 较 少0 并说明理由!
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2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考(三)数学试题(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考（三）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“存在x∈Z，x2+2x+m≤0”的否定是( )A. 存在x∈Z，x2+2x+m>0B. 不存在x∈Z，x2+2x+m>0C. 任意x∈Z，x2+2x+m≤0D. 任意x∈Z，x2+2x+m>02.已知集合A={ i , i2 , i3 ,i4 }(i是虚数单位)，B={ 1 , −1 }，则A∩B=( )A. { −1 }B. { 1 }C. { 1 , −1 }D. ⌀3.已知奇函数f(x)=(2x+m⋅2−x)cos x，则m=( )A. −1B. 0C. 1D. 124.已知m，l是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是( )A. m⊥l,m⊂β,l⊥αB. m⊥l,α∩β=l,m⊂αC. m//l,m⊥α,l⊥βD. l⊥α,m//l,m//β5.已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0)图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则f(−6φπ)=( )A. 0B. 2φC. 4D. φ26.已知M是圆C:x2+y2=1上一个动点，且直线l1:mx−ny−3m+n=0与直线l2:nx+my−3m−n=0(m,n∈R,m2+n2≠0)相交于点P，则|PM|的取值范围是( )A. [3−1,23+1]B. [2−1,32+1]C. [2−1,22+1]D. [2−1,33+1]7.P是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1、F2是C的两个焦点，PF1⋅PF2=0;点Q在∠F1PF2的平分线上，O为原点，OQ//PF1，且|OQ|=b.则C的离心率为( )A. 12B. 33C. 63D. 328.设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{−1,0,1},i=1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+ |x4|+|x5|≤3”的元素个数为( )A. 60B. 90C. 120D. 130二、多选题：本题共3小题，共18分。
2020届雅礼中学高三第3次月考试卷(文科数学)含答案
内接多边形的边数无限增加时$多边形面积可
无限逼近圆 的 面 积$由 此 创 立 了 割 圆 术$利 用
割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面
两位的近似值 17!,$这 就 是 著 名 的 徽 率!如 图 是利用刘徽的割圆术设计的程序框图$则输出
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!参 考 数 据#槡1*!!31#$9):!&8/$!#&""$ 9):3!&8/$!!1$&!" -%!#!!!!!!!!.%#, /%,"!!!!!!!!0%<'
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侧一山顶1 在西偏北1$8的方向上行驶'$$> 后到达% 处测得此山顶 在北偏西!&8的方向上仰角为3&8则 此 山 的 高 度 (1* ! ! ! !>!结 果用含根号的式子表示
!&!已知双曲线$)##+&#*!)$$的离心率是槡&则抛物线&*)$# 的准线方 程为!!!!!
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湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期月考(三)数学试题(含解析)
雅礼中学2025届高三月考试卷（三）数学命题人：审题人：得分：________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“存在，”的否定是A.存在，B.不存在，C.任意，D.任意，2.若集合（i 是虚数单位），，则等于A. B. C. D.3.已知奇函数，则A.-1B.0C.1D.4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列可以推出的是A.，， B.，，C.，， D.，，5.已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则A.0B. C.4D.x ∈Z 220x x m ++…x ∈Z 220x x m ++>x ∈Z 220x x m ++>x ∈Z 220x x m ++…x ∈Z 220x x m ++>{}2341,i ,i ,i A ={}1,1B =-A B ⋂{}1-{}1{}1,1-∅()()22cos x x f x m x -=+⋅m =12m l αβαβ⊥m l ⊥m β⊂l α⊥m l ⊥l αβ⋂=m α⊂m l m α⊥l β⊥l α⊥m l m β()()4cos (0)f x x ωϕω=+>6f ϕπ⎛⎫-=⎪⎝⎭2ϕ2ϕ6.已知是圆上一个动点，且直线与直线（，，）相交于点，则的取值范围为A. B.C. D.7.是椭圆上一点，，是的两个焦点，，点在的角平分线上，为原点，，且.则的离心率为A.8.设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是A.这10年粮食年产量的极差为16B.这10年粮食年产量的第70百分位数为35C.这10年粮食年产量的平均数为33.7D.前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差10.已知函数满足，，并且当时，，则下列关于函数说法正确的是M 22:1C x y +=1:30l mx ny m n --+=2:30l nx my m n +--=m n ∈R 220m n +≠P PM 1,1⎤-+⎦1⎤-⎦1,1⎤-+⎦1⎤+⎦P 2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F C 120PF PF ⋅= Q 12F PF ∠O 1OQPF OQ b =C 12(){}{}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iAx x x x x x i ∈-=A 1234513x x x x x ++++……()f x ()()22f x f x ππ+=-()()0fx f x ππ++-=()0,x π∈()cos f x x =()f xA. B.最小正周期C.的图象关于直线对称D.的图象关于对称11.若双曲线，，分别为左、右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，，则下列说法不正确的是A.双曲线的渐近线方程为B.点的运动轨迹为双曲线的一部分C.若，，则D.不存在点，使得取得最小值答题卡题号1234567891011得分答案第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为________.13.各角的对应边分别为，，，满足，则角的取值范围为________.14.对任意的，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，则的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设为正项等比数列的前项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，，求数列的前项和.302f π⎛⎫=⎪⎝⎭2T π=()f x x π=()f x (),0π-22:145x y C -=1F 2F P I12PF F △()0,4A C 045x y±=I 122PF PF =12PI xPF yPF =+ 29y x -=P 1PA PF +523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4x ABC △a b c 1b ca c a b+++…A *n ∈N 11e 1nan n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭…a n S {}n a n 21332S a a =+416a ={}n a {}n b 11b =1222log log n nn n b a b a ++={}n b n n T16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥，，，，点在上，且，.（1）若为线段的中点，求证：平面；（2）若平面，求平面与平面所成夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数有两个极值点为，，.（1）当时，求的值；（2）若（e 为自然对数的底数），求的最大值.18.（本小题满分17分）已知抛物线的焦点为，为上任意一点，且的最小值为1.（1）求抛物线的方程；（2）已知为平面上一动点，且过能向作两条切线，切点为，，记直线，，的斜率分别为，，，且满足.①求点的轨迹方程；②试探究：是否存在一个圆心为，半径为1的圆，使得过可以作圆的两条切线，，切线，分别交抛物线于不同的两点，和点，，且为定值？若存在，求圆的方程，不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）对于一组向量，，，…，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”.（1）设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数的取值范P ABCD -BCAD 1AB BC ==3AD =E AD PE AD ⊥2DE PE ==F PE BFPCD AB ⊥PAD PAB PCD ()21ln 2f x x x ax =+-1x ()212x x x <a ∈R 52a =()()21f x f x -21e x x …()()21f x f x -2:2(0)E x py p =>F H E HF E P P E M N PM PN PF 1k 2k 3k 123112k k k +=P ()0,(0)Q λλ>P Q 1l 2l 1l 2l E ()11,A s t ()22,B s t ()33,C s t ()44,D s t 1234s s s s Q 1a 2a 3a n a N n ∈3n …123n n S a a a a =++++{}()1,2,3,,p a p n ∈ p n p a S a - …p a(),2n a n x n =+n ∈N 0n >3a 1a 2a 3ax围；（2）若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，，满足为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值.sin,cos 22n n n a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭n ∈N 0n >1a 2a 3a 7a 1a 2a 3a 1a2a3a()1sin ,cos a x x =()22cos ,2sin a x x = 1P 2P 3P n P 1P 2P 3a 21k P +2k P 1P 22k P +21k P +k ∈N 0k >2P10151016P P参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案DCADCBCDACDADABD1.D2.C 【解析】集合，，.故选C.3.A【解析】是奇函数，，，，，.故选A.4.D 【解析】有可能出现，平行这种情况，故A 错误；会出现平面，相交但不垂直的情况，故B 错误；，，，故C 错误；，，又由，故D 正确.故选D.5.C 【解析】设的最小正周期为，函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则有，得，则有，解得，所以，所以.故选C.6.B 【解析】依题意，直线恒过定点，直线恒过定点，显然直线，因此，直线与交点的轨迹是以线段为直径的圆，其方程为：，圆心，半径，而圆的圆心，半径，如图：，两圆外离，由圆的几何性质得：，{}i,1,1,i A =--{}1,1B =-{}1,1A B ⋂=-()f x ()()22cos x x f x m x -=+⋅()()()2222x x x xf x f x m --⎡⎤∴+-=+++⎣⎦cos 0x =()()122cos 0x x m x -∴++=10m ∴+=1m =-αβαβm l m α⊥l βαβ⊥⇒ l α⊥m l m α⇒⊥ m βαβ⇒⊥ ()f x T 224254T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭12T =212πω=6πω=()4cos 6f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭664cos 4cos046f ϕϕπϕππ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1:310l m x n y ---=()3,1A ()()2:130l n x m y -+-=()1,3B 12l l ⊥1l 2l P AB 22(2)(2)2x y -+-=()2,2N 2r =C ()0,0C 11r =12NC r r =>+12min1PMNC r r =--=-，所以的取值范围为.故选B.7.C 【解析】如图，设，，延长交于点，由题意知，为的中点，故为中点，又，即，则，又由点在的角平分线上得，则是等腰直角三角形，故有化简得即代入得，即，又，所以，所以，.故选C.8.D 【解析】因为或，所以若，则在中至少有一个，且不多于3个.所以可根据中含0的个数进行分类讨论.①五个数中有2个0，则另外3个从1，-1中取，共有方法数为，②五个数中有3个0，则另外2个从1，-1中取，共有方法数为，③五个数中有4个0，则另外1个从1，-1中取，共有方法数为，所以共有种.故选D.9.ACD 【解析】将样本数据从小到大排列为26，28，30，32，32，35，35，38，39，42，这10年的粮食年产量极差为，故A 正确；，结合A 选项可知第70百分位数为第7个数和第812max1PMNC r r =++=+PM 1⎤-+⎦1PF m =2PF n =OQ 2PF A 1OQ PF O 12F F A 2PF 120PF PF ⋅= 12PF PF ⊥2QAP π∠=Q 12F PF ∠4QPA π∠=AQP △2222,4,11,22m n a m n c b n m ⎧⎪+=⎪+=⎨⎪⎪+=⎩2,2,m n b m n a -=⎧⎨+=⎩,,m a b n a b =+⎧⎨=-⎩2224m n c +=222()()4a b a b c ++-=2222a b c +=222b a c =-2223a c =223e =e =0i x =1i x =1234513x x x x x ++++……()1,2,3,4,5i x i =1i x =i x 2315C 2N =⋅3225C 2N =⋅435C 2N =⋅23324555C 2C 2C 2130N =⋅+⋅+⋅=422616-=1070%7⨯=个数的平均数，即，故B 不正确；这10年粮食年产量的平均数为，故C 正确；结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D 正确.故选ACD.10.AD 【解析】由于时，，并且满足，则函数的图象关于直线对称.由于，所以，故，故，故函数的最小正周期为，根据，知函数的图象关于对称.由于时，，，故A 正确，由于函数的最小正周期为，故B 错误；由函数的图象关于对称，易知的图象不关于直线对称，故C 错误；根据函数图象关于点对称，且函数图象关于直线对称，知函数图象关于点对称，又函数的最小正周期为，则函数图象一定关于点对称，故D 正确.故选AD.11.ABD 【解析】双曲线，可知其渐近线方程为，A 错误；设，，的内切圆与，，分别切于点，，，可得，，，由双曲线的定义可得：，即，又，解得，则点的横坐标为，由点与点的横坐标相同，即点的横坐标为，故在定直线上运动，B 错误；由，且，解得，，，，则，同理可得：，设直线，直线，联立方程得，设的内切圆的半径为，则，解得，即，353836.52+=()13232302835384239263533.710⨯+++++++++=()0,x π∈()cos f x x =()()22f x f x ππ+=-()f x 2x π=()()0fx f x ππ++-=()()fx f x ππ+=--()()()()()22f xf x f x f x ππππ--+=+=--=-()()()24f x f x f x ππ=-+=+4π()()0fx f x ππ++-=()f x (),0π()0,x π∈()cos f x x =3cos 022222f f ff πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4π()f x (),0π()f x x π=(),0π2x π=()3,0π4π(),0π-22:145x y C -=02x =1PF m =2PF n =12PF F △1PF 2PF 12F F S K T PS PK =11F S FT =22F T F K =2m n a -=12122F S F K FT F T a -=-=122FT F T c +=2F T c a =-T a I T I 2a =I 2x =122PF PF =1224PF PF a -==18PF =24PF =1226F F c ==126436167cos 2868PF F ∠+-∴==⨯⨯12sin PF F ∠==12tan PF F ∠∴=21tan PF F ∠=)1:3PF y x =+)2:3PF y x =-(P 12PF F △r ()12118684622PF F S r =⨯⨯=⨯++⋅△r =I ⎛ ⎝，，，由，可得解得，，故，C 正确；，，当且仅当，，三点共线取等号，易知，故存在使得取最小值，D 错误.故选ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.90 【解析】展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中的系数为.13. 【解析】从所给条件入手，进行不等式化简，观察到余弦定理公式特征，进而利用余弦定理表示，由可得，可得.14. 【解析】对任意的，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，只需恒成立，只需恒成立，只需恒成立，2,PI ⎛∴=- ⎝ (17,PF =- (21,PF =- 12PI xPF yPF =+ 27,,x y -=--⎧⎪⎨=⎪⎩29x =49y =29y x -=1224PF PF a -== 12244PA PF PA PF AF ∴+=+++…A P 2F ()1min549PA PF +=+=P 1PA PF +523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()521031553C C 3rr rrr r r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭1034r -=2r =4x 225C 310990⋅=⨯=0,3π⎛⎤⎥⎝⎦()()1b c b a b c a c a c a b+⇒+++++……()()222a c a b b c a bc ++⇒++…cos A 222b c a ac +-…2221cos 22b c a A bc +-=…0,3A π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦11ln2-*n ∈N 11e 1n an n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭…11e n an +⎛⎫+ ⎪⎝⎭…()1ln 11n a n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭…11ln 1a n n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭…构造，，，.下证，再构造函数，，，，设，，，令，，，，在时，，单调递减，，即，所以递减，，即，所以递减，并且，所以有，，所以，所以在上递减，所以的最小值为.，即的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）因为是正项等比数列，所以，公比，因为，所以，即，则，解得（舍去）或，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3分）又因为，所以，所以数列的通项公式为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）依题意得，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7分）当时，，所以，因为，所以，当时，符合上式，所以数列的通项公式为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10分）()()11ln 1m x x x =-+(]0,1x ∈()()()()()22221ln 11ln 1x x x m x x x x ++-=++'(]0,1x ∈()(]22ln 1,0,11x x x x+<∈+()()22ln 11x h x x x =+-+(]0,1x ∈()()()2221ln 12(1)x x x xh x x ++-'-=+(]0,1x ∈()()()221ln 12F x x x x x =++--()()2ln 12F x x x =+-'(]0,1x ∈()()2ln 12G x x x =+-(]0,1x ∈()21xG x x=-+'(]0,1x ∈(]0,1x ∈()0G x '<()G x ()()00G x G <=()0F x '<()F x ()()00F x F <=()0h x '<()h x ()00h =()22ln 11x x x+<+(]0,1x ∈()0m x '<()m x (]0,1x ∈()m x ()111ln2m =-11ln2a ∴-…a 11ln2-{}n a 10a >0q >21332S a a =+()121332a a a a +=+21112320a q a q a --=22320q q --=12q =-2q =3411816a a q a ===12a ={}n a 2n n a =1222222log log 2log log 22n n n n n n b a nb a n +++===+2n …()324123112311234511n n b b b b n b b b b n n n --⨯⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=++ ()121n b b n n =+11b =()21n b n n =+1n =1n b ={}n b ()21n b n n =+因为，所以.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）16.【解析】（1）设为的中点，连接，，因为是中点，所以，且，因为，，，，所以四边形为平行四边形，，且，所以，且，即四边形为平行四边形，所以，因为平面平面，所以平面.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）因为平面，所以平面，又，所以，，相互垂直，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7分）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）设平面的一个法向量为，则取，则，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）设平面的一个法向量为，()211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭1111112212221223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭M PD FM CM F PE FMED 12FM ED =AD BC 1AB BC ==3AD =2DE PE ==ABCE BC ED 12BC ED =FM BC FM BC =BCMF BFCM BF ⊄,PCD CM ⊂PCD BF PCD AB ⊥PAD CE ⊥PAD PE AD ⊥EP ED EC E ()0,0,2P ()0,1,0A -()1,1,0B -()1,0,0C ()0,2,0D ()1,0,0AB = ()0,1,2AP = ()1,0,2PC =- ()1,2,0CD =-PAB ()111,,m x y z =1110,20,m AB x m AP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 11z =-()0,2,1m =- PCD ()222,,n x y z =则取，则，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）设平面与平面所成夹角为，则∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（15分）17.【解析】（1）函数的定义域为，则，当时，可得，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（2分）当或时，；当时，；所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4分）所以和是函数的两个极值点，又，所以，；所以，即当时，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）易知，又，所以，是方程的两个实数根，则且，，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）设，由，可得，令，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）则，所以在区间上单调递减，222220,20,n PC x z n CD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 21z =()2,1,1n = PAB PCD θcos θ=()21ln 2f x x x ax =+-()0,+∞()211x ax f x x a x x -+=+-='52a =()()2152122x x x x f x x x'⎛⎫---+ ⎪⎝⎭==10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2,x ∈+∞()0f x '>1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()2,+∞1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =2x =()f x 12x x <112x =22x =()()()211115152ln225ln 2ln222848f x f x f f ⎛⎫⎛⎫-=-=+--+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭52a =()()21152ln28f x f x -=-()()()()22221212111ln2x f x f x x x a x x x -=+---()21x ax f x x-+='1x 2x 210x ax -+=2Δ40a =->120x x a +=>121x x =2a >()()()()()()()2222222121212112211111lnln 22x x f x f x x x a x x x x x x x x x x -=+---=+--+-()()222222221212111121121111lnln ln 222x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=--=-⋅-=-- ⎪⎝⎭21x t x =21e x x (21)e x t x =…()11ln 2g t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭e t …()222111(1)1022t g t t t t-⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭'()g t [)e,+∞得，故的最大值为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（15分）18.【解析】（1）设抛物线的准线为，过点作直线于点，由抛物线的定义得，所以当点与原点重合时，，所以，所以抛物线的方程为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4分）（2）①设，过点且斜率存在的直线，联立消去，整理得：，由题可知，即，所以，是该方程的两个不等实根，由韦达定理可得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）又因为，所以，，由，有，所以，因为，，，所以点的轨迹方程为.②由①知，设，，且，∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）联立消去，整理得，又，，，，由韦达定理可得，同理可得，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）又因为和以圆心为，半径为1的圆相切，，即.同理，所以，是方程的两个不等实根，()()11e 1e 1e 12e 22eg t g ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭…()()21f x f x -e 1122e -+E l 2py =-H 1HH ⊥l 1H 1HF HH =H O 1min 12pHH ==2p =E 24x y =(),P m n P ():l y k x m n =-+()24,,x y y k x m n ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩y 24440x kx km n -+-=()2Δ164440k km n =--=20k mk n -+=1k 2k 1212,,k k m k k n +=⎧⎨=⎩()0,1F 31n k m -=0m ≠123112k k k +=121232k k k k k +=21m m n n =-0m ≠12n n -=1n ∴=-P ()10y x =-≠(),1P m -()14:1l y k x m =--()25:1l y k x m =--1m ≠±0m ≠()244,1,x y y k x m ⎧=⎪⎨=--⎪⎩y 2444440x k x k m -++=()11,A s t ()22,B s t ()33,C s t ()44,D s t 12444s s k m =+34544s s k m =+()()()212344515454444161616s s s s k m k m k k m m k k =++=+++1l ()0,(0)Q λλ>1()()2224412120m k m k λλλ-++++=()()2225512120m k m k λλλ-++++=4k 5k ()()22212120m k m k λλλ-++++=所以由韦达定理可得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（14分）所以，若为定值，则，又因为，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（16分）所以圆的方程为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（17分）19.【解析】（1）由题意可得：，解得.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3分）（2）存在“长向量”，且“长向量”为，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（5分）理由如下：由题意可得，若存在“长向量”，只需使，又，故只需使，即，即，当或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（8分）（3）由题意，得，，即，即，同理，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10分）三式相加并化简，得，即，，所以，设，由得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（12分）设，则依题意得：∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）()452245221,12,1m k k m k k m λλλ⎧++=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩()()()22222123445452216161616162221621611m m s s s s k k m m k k m m λλλλ=+++=+--+=-+--1234s s s s 220λ-=0λ>λ=Q 22(1x y +=312a a a +…40x -……2a 6a1n a ==p a1n p S a - …()()712371010101,01010100,1S a a a a =++++=+-+++--+++-+=-71p S a -=== 022cos12p π+ (1)1cos 22p π--……2p =2a 6a123a a a + (2)2123a a a + …()22123a a a +...222123232a a a a a ++⋅ (2)22213132a a a a a ++⋅ …222312122a a a a a ++⋅…2221231213230222a a a a a a a a a +++⋅+⋅+⋅…()21230a a a ++…1230a a a ++ …1230a a a ++=()3,a u v = 1220a a a ++= sin 2cos ,cos 2sin ,u x x v x x =--⎧⎨=--⎩(),n n n P x y ()()()()()()212111222222222121,2,,,,2,,,k k k k k k k k x y x y x y x y x y x y ++++++⎧=-⎪⎨=-⎪⎩得，故，，所以，，当且仅当时等号成立，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（16分）故.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（17分）()()()()2222221122,2,,,k k k k x y x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦()()()()2222221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦()()()()2121221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=--+⎣⎦()()()212222212221221112,4,,4k k k k k k P P x x y y k x y x y k PP ++++++⎡⎤=--=-=⎣⎦22212(sin 2cos )(cos 2sin )58sin cos 54sin21PP x x x x x x x =--+--=+=+ …()4x t t ππ=-∈Z 10151016min1014420282P P =⨯=。
2020-2021学年湖南省长沙市雅礼中学高一下学期3月月考数学试题(解析版)
2020-2021学年湖南省长沙市雅礼中学高一下学期3月月考数学试题一、单选题1．设集合 {}03|P x x =<<，{}|12Q x x =-<<，则P Q ⋃=（ ） A ．{}|3x x < B ．{}|13x x -<< C ．{}|02x x << D ．{}|0x x >【答案】B【分析】直接对P 、Q 求并集即可.【详解】∵{}03|P x x =<<，{}|12Q x x =-<<， ∴P Q ⋃={}|13x x -<< 故选：B 2．已知复数212z i=+(i 是虚数单位)，则z =（ ） A ．1255i + B ．1255i - C ．2455i +D ．2455i - 【答案】C【分析】先化简复数z ，再求解其共轭复数即可. 【详解】()()()21222412121255i z i i i i -===-++-，∴2455z i =+， 故选:C.3．如图，已知等腰三角形O A B '''△，O A A B ''''=是一个平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（ ）A ．22B ．1C 2D ．2【答案】D【分析】利用斜二测画法，由直观图作出原图三角形，再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】因为O A B '''△是等腰直角三角形，2O B ''=，所以2O A A B ''''==，所以原平面图形为：且2OB O B ''==，OA OB ⊥，222OA O A ''==所以原平面图形的面积是1222222⨯⨯= 故选：D4．已知平行四边形ABCD ，O 是平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，OA a =，OB b =，OC c =，则向量OD 等于A ．a b c ++B ．a b c +-C ．a b c -+D ．a b c --【答案】C【分析】根据向量的加减的几何意义即可求出．【详解】∵O 是平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，OA a =，OB b =，OC c =， ∴OD OA AD OA BC OA OC OB a c b =+=+=+-=+-， 故选C ．【点睛】本题考查了向量的加减的几何意义，属于基础题．5．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.宋代称为撮尖，清代称攒尖.依其平面有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑.如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，且1cos 4α=，则侧棱与底面外接圆半径的比为（ ）A ．2B ．21515C ．1D ．14【答案】A【分析】根据正六棱锥的底面为正六边形计算可得结果.【详解】正六棱锥的底面为正六边形，设其外接圆半径为R ，则底面正边形的边长为R ， 因为正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，所以侧棱长为2cos 2cos RR αα=， 所以侧棱与底面外接圆半径的比为12cos 22cos RR αα==. 故选：A【点睛】关键点点睛：掌握正六棱锥的结构特征是解题关键.6．已知棱长均相等的四面体A BCD -6，则这个四面体的棱长为（ ） A 3B ．22C ．23D ．4【答案】D【分析】将棱长均相等的四面体A BCD -放正方体中，设正方体的棱长为a ，根据(22263a =，求出a ，求出正方体的面对角线即可求解.【详解】由题意可知A BCD -为正四面体， 将此正四面体放在正方体中，如图：设正方体的棱长为a ，()22263a =，解得22a =，所以四面体的棱长为22164a a +==. 故选：D7．定义在R 的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，且当()0,2x ∈时，()()21f x x =-，则函数()f x 在区间[]0,4上的零点个数为（ ）A ．3B ．5C ．2D ．4【答案】B【分析】根据奇偶性可知()00f =；由()()4f x f x +=可求得()20f =且()f x 周期为4，由此可得函数图象，结合图象可求得结果. 【详解】()f x 为R 上的奇函数，()00f ∴=，且()f x 图象关于原点对称，由()()4f x f x +=知：()f x 是周期为4的周期函数， 且()()()()22422f f f f =-+=-=-，()20f ∴=；()f x ∴部分图象如下图所示：由图象可知：()f x 在[]0,4共有5个零点，分别为0x =，1x =，2x =，3x =，4x =. 故选：B.【点睛】方法点睛：求解函数零点(方程根)的个数常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 8．将函数()4sin 22f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，n A ，若P 点坐标为(0,3)，则12...n PA PA PA +++=A ．0B ．2C ．6D ．10【答案】D【分析】画出函数图像，根据对称性得到1253...55(1,3)PA PA PA PA +++==-，进而得到结果.【详解】函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()1g x x =-的所有交点从左往右依次记为1A 、2A 、3A 、4A 和5A ，且1A 和5A ，2A 和4A ，都关于点3A 对称，如图所示：则1253...55(1,3)PA PA PA PA +++==-，所以12...10n PA PA PA +++=. 故选D.【点睛】这个题目考查了向量加法的平行四边形法则，涉及函数的图像的交点问题，属于综合题.向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.二、多选题9．下面四个条件中，能确定一个平面的是（ ） A ．一条直线 B ．一条直线和一个点 C ．两条相交的直线 D ．两条平行的直线【答案】CD【分析】逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】对于选项A ：一条直线不能确定一个平面，故选项A 不正确；对于选项B ：一条直线和直线外的一个点可以确定一个平面，一条直线和直线上的一个点不能确定一个平面，故选项B 不正确；对于选项C ：两条相交的直线可以确定一个平面，故选项C 正确； 对于选项D ：两条平行的直线可以确定一个平面，故选项D 正确； 故选：CD10．给出下列命题，其中为真命题的是（ ）A ．命题“1x ∃≤，2320x x -+≥”的否定是：“1x ∀>，2320x x -+<”B ．若,,a b c ∈R ，当0ac >时，x ∃∈R ，20ax bx c +-=C ．若实数x ，y 满足1133x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则33x y > D ．x y x y -=+成立的充要条件是0xy ≥ 【答案】BC【分析】选项A ，可根据存在量词命题的否定的定义判断其为假命题；选项B ，根据方程判别式的符号判断一元二次方程是否有解；选项C ，根据指数函数和幂函数的单调性判断大小；选项D ，通过等价转化，逐步找到正确的充要条件. 【详解】选项A ，根据存在量词命题的否定的定义， “1x ∃≤，2320x x -+≥”的否定应该是： “1x ∀≤，2320x x -+<”，故A 错误； 选项B ，20ax bx c +-=，2=4b ac ，因为0ac >，所以0∆>，则方程有解，故B 正确；选项C ，指数函数1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减， 则由1133x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得x y >， 又因为幂函数3()g x x =单调递增，所以33x y >，故C 正确；x y x y 22()x yxy 222222x xyy xxyy220xy xy xy ，故选项D 错误，也可举反例，如3,2x y ==-，3(2)532，则选项D 错误.故选：BC.【点睛】对于命题的真假判断，要结合各个知识点进行逐一判断，有时也可以通过举反例的方法判断命题为假.11．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，下列ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B > B ．若a b >，则cos2cos2A B <C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 【答案】ABD 【分析】由2A B π+>，结合正弦函数的单调性和诱导公式，可判定A 正确；根据正弦定理，求得22sin sin A B >，结合余弦的倍角公式，可判定B 正确；结合面积公式和正弦定理，可判定C 不正确；根据三角形内角和定理和正切的两角和公式，可判定D 正确.【详解】对于A 中，若ABC 为锐角三角形，可得2A B π+>且,(0,)2A B π∈ ， 可得2A B π>-，且(0,)22B ππ-∈，根据正弦函数的单调性，可得sin sin()2A B π>-，所以sin cos A B >，所以A 正确；对于B 中，在ABC 中，由a b >，根据正弦定理可得sin sin A B >， 则22sin sin A B >，可得1cos 21cos 222A B-->，解得cos2cos2A B <，所以B 正确；对于C 中，由三角形的面积公式，可得in 12s S ab C =， 由正弦定理知2sin ,2sin a R A b R B ==，可得22sin sin sin =S R A B C ，所以C 不正确；对于D 中，在ABC 中，可得A B C π++=，则A B C π+=-， 所以tan()tan()A B C π+=-，即tan tan tan 1tan tan A BC A B+=--，可得tan tan tan tan tan tan A B C A B C +=-+，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，所以D 正确. 故选：ABD【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用. 12．已知集合()(){},M x y y f x ==，若对于任意实数对()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”的是（ ） A ．()21,M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭B ．(){},sin 1M x y y x ==+ C ．(){},22xM x y y ==-D ．(){}2,log M x y y x ==【答案】ABC【分析】根据题意给出的定义，从代数、几何、反例等角度对每一个选项进行判断. 【详解】选项A ：任取()11,x y M ∈，则1211y x =，取211x x =-， 故212121112221121111111()?()?0x x y y x x x x x x x x +=-+=-+=， 所以存在这样的211x x =-使得12120x x y y +=成立，选项A 正确； 选项B ：任取点()11,A x y M ∈，取点()22,B x y M ∈，12120x x y y +=表示的几何意义是OA OB ⊥，即对曲线每一个点与原点构成的直线OA ，与之垂直的直线OB 与曲线都存在交点， 如图，当点A 运动时，直线OB 与曲线sin 1y x =+均有交点， 选项B 是正确的；选项C ：任取点()11,A x y M ∈，取点()22,B x y M ∈，12120x x y y +=表示的几何意义是OA OB ⊥，即对曲线每一个点与原点构成的直线OA ，与之垂直的直线OB 与曲线都存在交点， 如图，当点A 运动时，直线OB 与曲线22xy =-均有交点， 选项C 是正确的；选项D ：在函数2log y x =上取点(1,0)时，若存在22(,)x y 使得12120x x y y +=成立，则221?0?0x y +=，则一定有20x =，不满足函数的定义域， 故不能满足题意中的任意一点这一条件，选项D 不正确； 故选：ABC【点睛】本题考查了新定义的问题，新定义问题首先需要有很强的阅读理解能力，其次题目考查的本质问题还是函数的图象、性质等等，解决问题的关键是要有将新定义问题转化为常规问题的能力.三、填空题13．已知α是锐角，sin α＝23，则cos(3π－α)＝________.【分析】由正弦值根据角的范围求得余弦值，代入两角差余弦公式即可求得结果. 【详解】因为α是锐角，2sin 3α=，所以5cos α，所以12cos cos cos sin sin 33323236πππααα⎛⎫-=+=⨯+⨯=⎪⎝⎭14．复数11cos z i θ=+，2sin i z θ=-，则12z z -的最大值为_________．1【分析】利用复数的加减运算法则计算计算12z z -，然后计算12z z -并利用三角函数的性质分析其最值.【详解】因为11cos z i θ=+，2sin i z θ=-， 所以()()121sin cos 1z z i θθ-=-++， 故12z z -===，所以当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，12z z -有最大值，且最大值为12max 1z z -==.故答案为：21+.【点睛】本题考查复数的模长计算，解答本题的关键在于先要表示出12z z -的表达式，然后通过辅助角公式将12z z -化简，结合三角函数的性质求解最值.15．如图，正方形ABCD 的边长为1，P 、Q 分别为边BC 、CD 上的点，当CPQ 的周长是2，则PAQ ∠的大小为_________．【答案】4π 【分析】设出角,,PAB QAD αβ∠=∠=，然后借助于正方形的性质得到22tan tan (1tan )(1tan )αβαβ+=-+-tan 1ta an an t n t αβαβ+=-⋅ ，再利用两角和的正切公式可得4παβ+=，即求.【详解】设,PAB QAD αβ∠=∠=，则tan ,tan PB DQ αβ==， 则1tan ,1tan CP CQ αβ=-=-，22(1tan )(1tan )PQ αβ=-+-，2221tan 1tan (1tan )(1tan )αβαβ∴=-+--+- 22tan tan (1tan )(1tan )αβαβ+=-+-tan tan 1tan tan αβαβ∴+=-⋅即tan()1αβ+=，4παβ∴+=，4PAQ π∴∠=.故答案为：4π四、双空题16．在ABC 中，已知2,1,120,AB AC BAC D ==∠=是BC 上一点，且AD 平分BAC ∠，则BDCD=__________，线段AD 的长度为__________. 【答案】2 23【分析】利用正弦定理求解得出比值BD CD ，利用余弦定理及BDCD可得AD ． 【详解】在ABD △和ACD △中，sin 60sin BD AB ADB =︒∠，sin 60sin CD ACADC=︒∠，又180ADB ADC ∠+∠=︒，即sin sin ADB ADC ∠=∠， 所以2BD ABCD AC==，所以BD CD=2==，解得23AD =（0AD =舍去）． 故答案为：2；23．【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理的应用．本题考查第一个结论BD ABCD AC=，实质上就是三角形的内角平分定理，可以通过平面几何的知识进行证明．五、解答题17．已知关于x 的方程()2250x px p -+=∈R 在复数范围内的两根为1x 、2x ．（1）若p =8，求1x 、2x ； （2）若134i x =+，求p 的值．【答案】（1）143x i =+，243x i =-；（2）6p ．【分析】（1）利用求根公式即可求解. （2）将134i x =+代入方程即可求解.【详解】（1）由题意得，2100360p ∆=-=-<，∴86432i x i ±====±，∴143x i =+，243x i =-．（2）已知关于x 的方程()2250x px p R -+=∈的一根为134x i =+，所以()()()()23434251832440i p i p p i +-++=-+-=， 所以1832440p p -=-=，解得6p．18．在①222b a c =+，②cosB sin A a b =，③sin B +cos B 任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，___________，A =3π，b . （1）求角B ； （2）求△ABC 的面积.【答案】条件选择见解析；（1）4B π=；（2【分析】取①222b a c +=+，由余弦定理可得cos 2B =进而解得B ，C 的大小也可得出，再由正弦定理可得a ，最后利用三角形的面积公式计算即可得出； 取②cos sin a B b A =，由正弦定理可得：tan 1B =，(0,)B π∈，解得B ，可得sin sin()C A B =+，由正弦定理可得：a ，利用三角形面积计算公式即可得出；取③sin cos B B +=)4B π+B 的大小，C 的大小也可得出，再由正弦定理可得a ，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；【详解】解：（1）若选①，222b a c =+，则由余弦定理得222cos 222a cb B ac ac +-===， 因为(0,)B π∈，所以4B π=若选②，cos sin a B b A =，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===得 sin cos sin sin A B B A =，又(0,)A π∈，所以sin 0A >，所以cos sin B B = 又(0,)B π∈，tan 1B =，4B π=，若选③，由sin cos B B +=)4B π+=，所以sin()14B π+=，又(0,)B π∈，所以5(,)444B πππ+∈，42B ππ+=，所以4B π=，（2）由正弦定理得sin sin a bA B =，又3A π=，2b =，4Bπ=所以32sin 23sin 22b Aa B⨯===，512C A B ππ=--=， 所以562sin sinsin()sin cos cos sin 12464646C πππππππ+==+=+=所以1162sin 32224ABCSab C +==⨯⨯⨯=33+ 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.19．如图，圆锥PO 的底面直径和高均是a ，过PO 的中点O '作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，（1）求圆柱的表面积；（2）求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积． 【答案】（1）238a π；（2）3596a π． 【分析】（1）设圆锥底面半径为r ，圆柱底面半径为r '，求得r 和r '的值，以及圆柱和圆锥的母线长，结合侧面积和圆的面积公式，即可求解； （2）利用圆锥和圆柱的体积公式，即可求得剩下几何体的体积． 【详解】（1）设圆锥底面半径为r ，圆柱底面半径为r '，因为过PO 的中点O '作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，可得2a r =，4a r '=，且圆柱母线长2a l '=，圆锥母线长l ==，所以圆柱的表面积为：222322224428a a a S r r l a πππππ⎛⎫'''=+=⋅+⋅⋅= ⎪⎝⎭表（2）剩下几何体的体积222221153324296a a a V r OP r OO a a πππππ⎛⎫⎛⎫'=⋅-⋅=⋅⋅-⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．20．已知函数()2log 2a xf x mx-=+，（0a >且0a ≠）是奇函数．（1）求实数m 的值； （2）若217f ⎛⎫<⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1m =；（2）304a <<或1a >． 【分析】（1）利用()()f x f x -=-恒成立求出m =±，再验证定义域是否关于原点对称； （2）化为3log 14a<，再分类讨论a ，利用对数函数的单调性可解得结果. 【详解】（1）因为函数()2log 2axf x mx-=+（0a >且0a ≠）是奇函数，所以()()22log log 22aax mxf x f x mx x++-==-=-- ∴2222x mxmx x++=--，∴22244x m x -=-，∴21m =，∴1m =±，当1m =-时，()2log 02a xf x x-==-，此时2x ≠，定义域不关于原点对称，∴不成立，当1m =时，2()log 2a xf x x-=+的定义域为(2,2)-，符合题意， 故1m =．（2）由（1）知，2()log 2axf x x-=+， ∵217f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴2237log log 12427a a-=<+当1a >时：3log 04a<，恒成立； 当01a <<时：由3log 14a <，得304a <<，综上所述：304a <<或1a >．【点睛】关键点点睛：对a 分类讨论，利用对数函数的单调性解不等式是解题关键. 21．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.（1）经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足()sin()H t A t B ωϕ=++(其中0A >，0>ω，||2πϕ≤)求摩天轮转动一周的解析式()H t ；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？【答案】（1）()62cos8315H t t π=-+(030t ≤≤)；（2）5分钟【分析】（1）根据函数关系式()sin()H t A t B ωϕ=++，结合已知条件可知max ()145H t =，min ()21H t =，即21145A B A B -+=⎧⎨+=⎩，求得,A B ，利用()H t 的最小正周期30T =，求出ω，再根据题意知其过点(0,21)，求出ϕ，即可求出摩天轮转动一周的解析式；（2）令()52H t =，求出符合题意的t 即可. 【详解】（1）该摩天轮轮盘直径为124米，且摩天轮最高点距离地面145米，∴摩天轮最低点距离地面14512421-=米，即max()145H t =，min()21H t =21145A B A B -+=⎧∴⎨+=⎩，解得8362B A =⎧⎨=⎩又摩天轮匀速转动一周大约需要30分钟，()H t ∴的最小正周期为30T =223015T πππω∴===，()62sin 83.15H t t πϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭又(0)62sin 8321H ϕ=+=，sin 1ϕ∴=-||2πϕ≤，2πϕ∴=-()62sin 8362cos 83.15215H t t t πππ⎛⎫∴=-+=-+ ⎪⎝⎭所以摩天轮转动一周的解析式为：()62cos 8315H t t π=-+(030t ≤≤)（2）由（1）知，()62cos 8315H t t π=-+(030t ≤≤)，令62cos835215t π-+=，解得：1cos152t π=要求求摩天轮第一次距离地面的高度为52米，015t ∴≤≤，015t ππ∴≤≤，315t ππ∴=，5t ∴=所以游客甲坐上摩天轮后5分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米. 【点睛】方法点睛：求sin()y A x B ωϕ=++(其中0A >，0>ω)解析式的步骤 （1）求,A B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则2M mA，2M mB +=.（2）求ω，确定函数的周期T ，则2Tπω=. （3）求ϕ，代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入． 22．已知向量()3cos ,cos x a x ωω=-，()()sin ,cos 0b x x ωωω=>，若函数()12f x a b =⋅+的最小正周期为π． （1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程22cos 22cos 2501212a fx x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有实数解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）22⎡-⎢⎣⎦． 【分析】（1）由向量的数量积的运算公式，化简得到()sin 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合()f x 的最小正周期为π，求得1w =，即可求解；（2）由（1）得sin 212f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，把22cos 22cos 2501212a f x x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 化简得2220at t a ++=，转化为方程2221ta t -=+在[]1,1t ∈-时有解，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，向量()3cos ,cos x a x ωω=-，()()sin ,cos 0b x x ωωω=>，可得()2113sin cos 22f x a b x x x ωωω=⋅+=-+1cos 212sin 22226x x x ωπωω+⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭． 因为()f x 的最小正周期为π，所以22ππω=，可得1w =，所以()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）由（1）可知sin 212f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 因为()222sin 2cos 2sin 22sin 2cos 2cos 212sin 2cos 2x x x x x x x x +=++=+，()222sin 2cos2sin 22sin 2cos2cos 212sin 2cos2x x x x x x x x -=-+=-，所以()()22sin 2cos 212sin 2cos 211sin 2cos 2x x x x x x ⎡⎤+=+=+--⎣⎦，令sin 2cos2t x x =-，则()22sin 2cos 22x x t +=-，则方程22cos 22cos 2501212a fx x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 可化为()222250a t t a ---=，即2220att a ++=，因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]sin 2cos 221,14t x x x π⎛⎫=-=-∈- ⎪⎝⎭．所以由题意可知，方程2220at t a ++=在[]1,1t ∈-时有解， 方程2220at t a ++=可化为2221t a t -=+， 令2221ty t -=+，[]1,1t ∈-， ①当0t =时，0y =；②当0t ≠时，212y t t-=+， 当01t <≤时，12t t+≥2x =时取等号，所以2y ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭； 当10t -≤<时，12t t +≤-，当且仅当2x =-时取等号，所以0,2y ⎛∈ ⎝⎦；综上，y ⎡∈⎢⎣⎦，所以a ⎡∈⎢⎣⎦， 故实数a的取值范围是22⎡-⎢⎣⎦． 【点睛】解答中利用三角恒等变换的公式，把22cos 22cos 2501212a f x x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 化简得2220at t a ++=，转化为方程2221ta t -=+在[]1,1t ∈-时有解，结合基本不等式求解是解答的关键.。
2023届炎德英才大联考雅礼中学高三月考试卷(三)参考答案
炎德·英才大联考雅礼中学2023届高三月考试卷(三)数学参考答案一、单项选择题二、多项选择题三、填空题13.14 14.1.5 15.π16.2四、解答题17.【解析】(1)27sin 2cos 22cos 1249ππβββ⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)∵02παβπ<<<<， ∴3444πππβ<-<，322ππαβ<+<.∴sin 04πβ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，()cos 0αβ+<，∵1cos 43πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()4sin 5αβ+=，∴sin 43πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()3cos 5αβ+=-.∴()3143cos cos 44535315ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+--=-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.18.【解析】(1)以A 为原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建系，则()0,0,0A ，()B ，()C ，()0,2,0D ，()0,0,3P ，∴()0,0,3AP =，()23,6,0AC =，()BD =-，∴0BD AP ⋅=，0BD AC ⋅=，∴BD AP ⊥，BD AC ⊥，PAAC A =，∴BD ⊥平面PAC .(2)设平面ABD 的法向量为()0,0,1=m ，平面PBD 的法向量为(),,1x y =n ，由0BP ⋅=n ，0BD ⋅=n ，∴30,320,2x y y ⎧⎧=⎪⎪-+=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⎪⎪=⎪⎪⎩⎩∴3,12⎫=⎪⎪⎝⎭n ， ∴1cos ,2=m n ， ∴二面角P BD A --的大小为60︒19.【解析】(1)设前三个小组的频率分别为1p ，2p ，3p ， 由条件得()21311233,22,10.0050.02010,p p p p p p p ⎧=⎪⎪⎨=⎪++=-+⨯⎪⎩ 解得：116p =，214p =，313p =， 由2115604p n n ==⇒=. (2)由(1)知一个高中生身高超过160厘米的概率为()370.0050.0201012p p =++⨯=， 由于高中生人数很多，所以X 服从二项分布，7~3,12X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3375C 1212k k k P X k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3k =，773124EX =⨯=. (3)将表中的数据代入公式()()()()()22p ad bc a b c d a c b d χ-=++++， 得到()2250181589 5.059>5.024********χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，查表知()2 5.0240.025P χ≥=，即说明在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系.20.【解析】(1)1(0)2f =，1211224a -==+，()()()11020010n n f f f f +⎡⎤==⎣⎦+， ∴()()()()()()()()1112101101001120242020221012n n n n n n n n n n f f f f a a f f f f +++--+-====-⋅=-+++-++， ∴112n n a a +=-， ∴数列{}n a 是首项为14，公比为12-的等比数列，11142n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭. (2)21232232n n T a a a na +=+++，212321111123222222n n T a a a na ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 两式相减得：221211142311124212n n n T n -⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯- ⎪⎝⎭+， 22131192n n n T +⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 21.【解析】(1)设双曲线E 的方程为()222210,0x y a b a b -=>>， 则(),0B c -，(),0D a ，(),0C c .由3BD DC =，得()3c a c a +=-，即2c a =.∴22216,124,2.AB AC a AB AC a AB AC a ⎧-=⎪+=-⎨⎪-=⎩解得1a =，∴2c =，b .∴双曲线E 的方程为2213y x -=. (2)设在x 轴上存在定点(),0G t ，使()BC GM GN λ⊥-.设直线的方程为x m ky -=，()11,M x y ，()22,N x y .由MP PN λ=，得120y y λ+=， 即12y y λ=-.① ∵()4,0BC =，()1212,GM GN x t x t y y λλλλ-=--+-，∴()()12BC GM GN x t x t λλ⊥-⇔-=-.即()12ky m t ky m t λ+-=+-.②把①代入②，得 ()()121220ky y m t y y +-+=.③把x m ky -=代入2213y x -=，并整理得()()222316310k y kmy m -++-=. 其中2310k -≠且0∆>， 即213k ≠，且2231k m +>. 122631km y y k -+=-，()21223131m y y k -=-. 代入③，得()()22261603131k m km m t k k ---=--，化简得kmt k =，当1t m =时，上式恒成立. 因此，在x 轴上存在定点1,0G m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使()BC GM GN λ⊥-. 22.【解析】(1)()121f x x x a'=--+， ∵0x =时，()f x 取得极值，∴()00f '=，故120100a-⨯-=+， 解得1a =.经检验1a =符合题意.(2)由1a =知()()2ln 1f x x x x =+--， 由()52f x x b =-+， 得()23ln 102x x x b +-+-=， 令()()23ln 12x x x x b ϕ=+-+-， 则()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根等价于()0x ϕ=，在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根.或()()()()4511321221x x x x x x ϕ-+-'=-+=++， 当[]0,1x ∈时，()0x ϕ'>，于是()x ϕ在[]0,1上单调递增；当(]1,2x ∈时，()0x ϕ'<，于是()x ϕ在(]1,2上单调递减.依题意有()()()()()00,31ln 1110,22ln 12430,b b b ϕϕϕ⎧=-≤⎪⎪=+-+->⎨⎪=+-+-≤⎪⎩ 解得，1ln 31ln 22b -≤<+. (3)()()2ln 1f x x x x =+--的定义域为{}1x x >-， 由(1)知()()231x x f x x -+'=+.令()0f x '=得，0x =或32x =-(舍去)， ∴当10x -<<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当0x >时，()0f x '<，()f x 单调递减.∴()0f 为()f x 在()1,-+∞上的最大值.∴()()0f x f ≤，故()2ln 10x x x +--≤(当且仅当0x =时，等号成立)，对任意正整数n ，取10x n =>，得2111ln 1n n n ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭， ∴211ln n n n n ++⎛⎫<⎪⎝⎭. 故()23413412ln 2ln ln ln ln 14923n n n n n ++++++>++++=+.。
2020届雅礼中学高三第2次月考试卷-文科数学答案
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湖南省长沙市雅礼中学2020届高三上学期第一次月考数学(文)试题 Word版含解析
雅礼中学2020届高三月考试卷(一)数学(文科)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2}{0|A x x x =-<（），{|11}B x x =-<<，则A B =I （） A. {|12}x x -<< B. {|1x x <-或2x >} C. {|01}x x << D. {|0x x <或}【答案】C 【解析】 【分析】求出A 中不等式的解集，找出两集合的交集即可【详解】由题意可得{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，所以{|01}A B x x =<<I .故选C.【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.已知复数2a ii+-是纯虚数（i 是虚数单位），则,实数a 等于 A. -2 B. 2C.12D. -1【答案】C 【解析】2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以21210,0552a a a -+=≠∴=，选C.3.“26m <<”是“方程22126x y m m+=--为椭圆”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：若方程22126x ym m+=--表示椭圆，则20{6026m m m m->->-≠-，解得26m <<且4m ≠，所以26m <<是方程22126x y m m+=--表示椭圆的必要不充分条件，故选B ．考点：椭圆的标准方程；必要不充分条件的判定．4.如果()()221f x ax a x =--+在区间1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上为减函数，则a 的取值（ ）A. (]0,1B. [)0,1C. [] 0,1D. ()0,1【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用一元二次函数的性质，对a 进行讨论，即可推得答案。
湖南省长沙市雅礼中学2020届高三上学期月考试卷(一)文科数学试题
雅礼中学2020届高三月考试卷（一）数学（文科） 命题人： 审题人：得分:本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选才i 题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1.已知集合 A={x|x （x —2）<0}, B = {x|—1<x<1},则 AcB=（）A.1x | -1 ： x ： 2?B. {x | x -1 或x . 2}C. {x|0<x<1}D. {x|x<0或XA 1}2.已知复数亘3是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于（）2 -iA. -2B . 2C , -D . -12223 . "2 <m <6"是“方程」一+-y —为椭圆”的（）m -2 6 -mA.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 ，E-八■，-14 .如果f （x ）=ax -（2—a ）x +1在区间（-℃|,一上为减函数，则a 的取值（）A. (0,1] B .此1) C. [0,1 D . (0,1)JI< 一）图象相邻两条对称轴之间的距离为2n的图象向左平移 一个单位后，得到的图象关于3y 轴对称，那么函数y = f （x ）的图象（）JiC.关于直线X = 一对称A.关于点5.已知函数f (x ) = sin (8x +中X 。
＞0,中 IT—,将函数y = f (x )12 D.关于直线X=— -对称126.bcosC 1 cos2C在|_ABC中，右-------- = -----------ccosB 1 cos2B则［ABC的形状是（）A . 等腰三角形 B.直角三角形C. 等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形7 . 若抛物线 2y =2px（p>0 ）的焦点是椭圆2 22-+上=1的一个焦点，则p3p pA.C. 4 D8.如图所示, 在斜三棱柱ABC—AB1G 中，ZBAC =90°, BC1 .L AC , 则点C1在底面ABC上的射影H必在（）A.直线AB上直线AC上B D.直线BC上C. |_ABC内部9.函数y = Jn x-x-1 的图象大致是（）A .B. 0C. D.10.已知两点A(—1,0 ),2 2 2B(1,0 )以及圆C:(x—3) +(y —4)=r2(r >0 ),若圆C上存在点P ,满足,则r的取值范围是（A, 3,6〕 B .3,5】C. U,5] D . 14,6】11.已知x2 2+ y = 4 ,在这两个实数x,y之间插人三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为（）A. 1 加B .廓C. 3J10 D . 2M2 212.已知三棱锥A — BCD的所有顶点都在球O的球面上，AD _L平面ABC ,上BAC = 90，, AD = 2 ,若球。