167;1概述和一般杆件的内力分析
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杆件的内力分析与内力图
F M
y
0 0
C
F l a FS FA l F l a M FA x x l
由其右边分离体的平衡条件同样可得 a FA m F 0
F
y
FB B
FS F FB 0 F l a FS F FB l
A y FA
x
m
m M 切向应力的合力， C A 称为剪力 x m FS x FS m MC 0 M C m M F a x FB l x 0
1 1 FN1
60kN
2
A
30kN
B
x
FN2
2
C
60kN
解：1、计算杆件各段的轴力。 AB 段
X 0
BC 段
FN1 30 0
FN1=30kN
1 30kN
2
X 0
FN2 60 0
FN2= 60kN
+
FN图
2、绘制轴力图。
60kN
| FN |max=60 kN
第三节 扭转和扭矩图
x
Fab l
由剪力、弯矩图知： 在集中力作用点，弯 矩图发生转折，剪力 图发生突变，其突变 值等于集中力的大小， 从左向右作图，突变 方向沿集中力作用的 方向。
Fa l
x
M
三. 弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系及其应用
y O m m x q(x) n n dx F Me x M ( x) m FS(x) m n M(x)+dM(x) C n FS(x)+dFS(x)
1分钟me作功
W ' M e M e (2n 1) 2nMe
第三章_杆件的内力内力图
杆件的轴力图。
A
1 B 1 F2
2 C 2 F3
25 kN
3D
解：取基线平行于杆的中心线
F1
10 kN
3 F4 （1）从杆的左端开始作图 + （2）从杆的右端开始作图 （3）若要求1-1、2-2、3-3截面上
+ _
10 kN 2 FN1=10kN，FN2=-10kN，FN3=25kN
F N 2 F1 F 2 10 kN
F1
F3
+ _
10
FN3 CD段 F x 0 F N 3 F 1 F 2 F 3 0
25
F N 3 F1 F 2 F 3 2 5 k N
+
x
2、绘制轴力图。
目录
五、简易作图法
由上例可知，任一截面上的轴力，等于截面一侧所有外力的代数和。
M F
y
A
0 FBy 3a Fa 2F a 0
FAy
0 FAy FBy 2F 0 F 5F FBy FBy FAy 3 3 2. 用截面法研究内力
ME
Fy 0
2F FQE
A
E
FAy
FQE
FQ E F A y
5F 0 3 F 2F 3
取: 取m-m截面以左段或以右段
代: 将去掉部分对留下部分的作用用 内力代替 平: 对留下部分写平衡方程求出扭矩值
M 0
M
x
-M e 0
M
x
M
e
扭矩正负规定 右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之负(-).
目录
3、扭矩图：表示扭矩沿轴线的变化规律的图形。 用矢量表示力偶,外力偶和轴向外力对应,扭矩和轴力对应,可用
A
1 B 1 F2
2 C 2 F3
25 kN
3D
解：取基线平行于杆的中心线
F1
10 kN
3 F4 （1）从杆的左端开始作图 + （2）从杆的右端开始作图 （3）若要求1-1、2-2、3-3截面上
+ _
10 kN 2 FN1=10kN，FN2=-10kN，FN3=25kN
F N 2 F1 F 2 10 kN
F1
F3
+ _
10
FN3 CD段 F x 0 F N 3 F 1 F 2 F 3 0
25
F N 3 F1 F 2 F 3 2 5 k N
+
x
2、绘制轴力图。
目录
五、简易作图法
由上例可知，任一截面上的轴力，等于截面一侧所有外力的代数和。
M F
y
A
0 FBy 3a Fa 2F a 0
FAy
0 FAy FBy 2F 0 F 5F FBy FBy FAy 3 3 2. 用截面法研究内力
ME
Fy 0
2F FQE
A
E
FAy
FQE
FQ E F A y
5F 0 3 F 2F 3
取: 取m-m截面以左段或以右段
代: 将去掉部分对留下部分的作用用 内力代替 平: 对留下部分写平衡方程求出扭矩值
M 0
M
x
-M e 0
M
x
M
e
扭矩正负规定 右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之负(-).
目录
3、扭矩图：表示扭矩沿轴线的变化规律的图形。 用矢量表示力偶,外力偶和轴向外力对应,扭矩和轴力对应,可用
杆件的内力分析
故：
W W'
(c)
将(a)、(b)两式代入上式，于是求得：
Me
9549
P n
（N·m）
如果功率P以马力为单位，代入〈c〉式则可得：
Me
7024
N n
（N·m）
例1、 传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮 B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速 n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。
x
T3
3
D
Mx 0 MD T3 0 T3 MD＝ 637N m
横截面3-3处的扭矩T3也可以利用3—3截面左边的受力平 衡来解决。
1
MB
MC
2 MA
3
1
B
2
C
3
A
M x 0 M B M C M A T3 0
T3
M
B
MC
M
＝
A
637
N
m
4、扭矩图：用来表示受扭杆件横截面上扭矩随轴线位置变化
A B
已知：电动机通过皮带轮输给AB轴的功率为P千瓦。AB轴 的转速n转/分。
则： 电动机每秒钟所作的功为：
W P1000N m
（a）
设电动机通过皮带轮作用于AB轴上的外力偶矩为Me
则：Me在每秒内完成的功为：
W
2
n 60
M
e
（N
m）
(b)
由于Me所作的功也就是电动机通过皮带轮给AB轴输入的功
N
单位：KN
F
N
正
20kN
10kN
30kN
10kN
30kN
20kN
杆件受力分析杆件的内力计算和受力平衡
杆件受力分析杆件的内力计算和受力平衡杆件受力分析是工程力学中一个重要的内容，能够帮助我们了解和计算杆件内力以及保证杆件的受力平衡。
本文将介绍杆件受力分析的基本概念和计算方法，并根据实际例子进行说明和分析。
一、杆件受力分析概述杆件，指的是工程结构中的长条形构件，常用于支撑和传递力量。
在实际应用中，杆件往往会受到多方向的力的作用，因此需要进行受力分析，计算出杆件内部的力，以保证其受力平衡。
在进行杆件受力分析时，我们需要明确以下几个概念：1. 受力点：指的是外力作用到杆件上的点，也是进行受力分析的起点。
2. 内力：指的是杆件内部存在的力，可以是拉力或压力。
3. 受力平衡：指的是杆件上所有受力的合力和合力矩为零的状态，保证了杆件受力的平衡。
二、杆件内力计算方法1. 自由体图法：自由体图法是杆件受力分析的基本方法，通过将杆件与外界切割开来，分析切割面上的受力情况，进而计算出杆件内力。
过程：选择合适的切割面，画出自由体图，分析受力平衡条件，解方程计算内力。
2. 杆件法：杆件法是将整个杆件视为一个整体，通过利用杆件的几何关系和受力条件进行计算。
过程：根据杆件的几何形状和受力情况，建立方程组求解。
三、杆件受力分析实例为了更好地理解和应用杆件受力分析的方法，下面以一个实际例子进行说明：假设有一根长度为L的杆件，一端固定在墙上，另一端悬挂一个质量为m的物体。
我们需要计算杆件的内力以及保证受力平衡。
首先，我们选择杆件的中点作为切割面，并画出自由体图。
根据受力平衡条件，我们可以得出以下方程：∑Fx = 0: T - F = 0 （水平方向受力平衡）∑Fy = 0: N - mg = 0 （竖直方向受力平衡）其中，T代表杆件的张力，F代表杆件所受悬挂物体的重力，N代表杆件与墙壁接触点的支撑力，g代表重力加速度。
通过解以上方程组，我们可以计算出T和N的数值，进而得到杆件内部的力。
根据实际情况，可以通过杆件截面积和材料的力学性质，计算出杆件的应力和变形情况。
杆件的内力
P
二、载荷的分类
1. 集中载荷
q(x)
2. 分布载荷
3. 集中力偶
三、支座的分类
根据支座对梁在载荷平面内的约束情况， 一般可以简化为三种基本形式：
1. 固定铰支座
2. 可动铰支座
3. 固定端支座
四、静定梁的基本形式
1.简支梁
2.外伸梁
3.悬臂梁
根据梁的支承情况，在工程实际中常将梁分为三种类型
简支梁
P
P
外伸梁
悬臂梁
2 梁的计算简图
吊车大梁简化
均匀分布载荷 简称均布载荷
2 梁的计算简图
火车轮轴简化
2 梁的计算简图
3 剪力和弯矩
a
b
P
１
A
B
１
x
l
a
1
A
1
x
b
P
1)求支反力
RA l P b
Pb
B
RA l
Pa
RB l
RA M
l
M
P RB
2）1-1面上的内力
Pb Q RA l
Q
x
Q
RA
外力偶矩 扭矩和扭矩图
5.4 弯曲内力
• 1 概述 • 2 梁的计算简图 • 3 剪力和弯矩 • 4 剪力方程和弯矩方程
剪力图和弯矩图 • 5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
0
1 概述
起重机大梁
1
镗刀杆
火车轮轴
弯曲变形
受力特征： 外力的作用线垂直于杆轴线(称为横向力) （有时还包括力偶）。
分别为A、C、B,求杆的轴力。
P1=2kN A
P1=2kN A
P2=3kN C
P3=1kN B
二、载荷的分类
1. 集中载荷
q(x)
2. 分布载荷
3. 集中力偶
三、支座的分类
根据支座对梁在载荷平面内的约束情况， 一般可以简化为三种基本形式：
1. 固定铰支座
2. 可动铰支座
3. 固定端支座
四、静定梁的基本形式
1.简支梁
2.外伸梁
3.悬臂梁
根据梁的支承情况，在工程实际中常将梁分为三种类型
简支梁
P
P
外伸梁
悬臂梁
2 梁的计算简图
吊车大梁简化
均匀分布载荷 简称均布载荷
2 梁的计算简图
火车轮轴简化
2 梁的计算简图
3 剪力和弯矩
a
b
P
１
A
B
１
x
l
a
1
A
1
x
b
P
1)求支反力
RA l P b
Pb
B
RA l
Pa
RB l
RA M
l
M
P RB
2）1-1面上的内力
Pb Q RA l
Q
x
Q
RA
外力偶矩 扭矩和扭矩图
5.4 弯曲内力
• 1 概述 • 2 梁的计算简图 • 3 剪力和弯矩 • 4 剪力方程和弯矩方程
剪力图和弯矩图 • 5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
0
1 概述
起重机大梁
1
镗刀杆
火车轮轴
弯曲变形
受力特征： 外力的作用线垂直于杆轴线(称为横向力) （有时还包括力偶）。
分别为A、C、B,求杆的轴力。
P1=2kN A
P1=2kN A
P2=3kN C
P3=1kN B
第3章 杆件的内力分析
50
基本概念：
外力、内力、内力分量、轴力、剪力、 弯矩、扭矩、内力函数、内力图、 轴力、 扭转、平面弯曲。
内力图的作法及特点：
(1)直杆受轴向拉伸或压缩时的内力图--轴力图
剪力 Fy 0 RA Q 0
Fb Q RA l
弯矩
对截面m-m上的形心O取矩，得：
Mo 0
M RA x 0
Fb M RA x x l
40
按照同样方法，在2-2处将梁截开为左右两部分， 仍取左段为分离体，就可求出2-2截面上的内力及 内力矩。
41
③ 剪力和弯矩的符号 截面上的剪力对梁上任意 一点的矩为顺时针转向时， 剪力为正；反之为负。
点击图标播放
24
(3)力偶矩的计算及横截面上的内力
1)外力偶矩
直接计算:
25
按输入功率和转速计算
P Fv
v R P F R T
2n 2n Tn P T T ＝T ＝ 60 60 9.55
2n n 60 30
30 P P T 9.55 n n
PC 15 TC 9.55 9.55 0.478 n 300
kN· m
PD 25 m TD 9.55 9.55 0.796 kN· n 300
(3)求出各段的扭矩 BC段：Tn1-TB=0， Tn1=TB=0.318 kN· m； CA段：Tn2-TB-TC=0，Tn2=TB+TC=0.796 kN· m； AD段：Tn3+TD=0， Tn3=-TD=-0.796 kN· m。
第3章 杆件的内力分析
外力与内力的平衡 内力分量 内力分析与内力图
杆件的内力分析--材料力学
取3-3截面右侧分析 列方程
M
x
0
M x 3 TD 0
M x 3 TD 2859 N m
由上述计算得到扭矩 值
M x1 4300 N m M x 2 6690 N m M x 3 2859 N m
画扭矩图
课堂练习（时间 3分钟） 试画出下面轴的扭矩图
力矩矢方向
力矩旋转方向
根据平衡，截面上有内力矩Mx—扭矩 由此确定扭矩及外力矩的力矩矢方向
扭矩的正负号规定 按照右手螺旋法则， 扭矩矢量的指向与截 面外法线方向一致为 正，反之为负。
力矩矢方向
扭矩矢量 Mx n
力矩旋转方向
截面
截面外法线
1、计算各外力矩的大小（已知功率和转速）； 2、将各外力矩采用右手螺旋定则绘出外力矩矢； 3、取各控制截面，预设扭矩矢（内力矩矢）为正 方向，列平衡方程，计算扭矩矢的大小； 4、以轴线方向为横坐标，扭矩大小为纵坐标绘出 扭矩图。
将外力矩转换为力矩 矢量
取1-1截面左侧分析 将截面上的扭矩设为 正 列方程
M
x
0
TB M x1 0
M x1 TB 4300 N m
取2-2截面左侧分析 列方程
M
x
0
TB TC M x 2 0
M x 2 TB TC 6690 N m
• 2-2直杆轴向拉伸（压缩）时的内力及内力 图
工程中经常遇到承受轴向拉伸或压缩的直杆，例如：
一些机器和结构中所 用的各种紧固螺栓，在紧 固时，要对螺栓施加预紧 力，螺栓承受轴向拉力， 将发生伸长变形。
这些杆件所受的外力特征可以描述为： 作用在杆上的外力的合力作用线与杆的轴线重合
工程力学杆件的内力分析和内力图
工程力学
第五章 杆件的内力分析与内力图
2. 截面法旳基本环节：
例3： 截面法求内力
F
截开：
替代： 平衡：
F F
FS
F 0
上刀刃 n
n 下刀刃
F Fs 0 Fs F
工程力学
第五章 杆件的内力分析与内力图
2. 截面法旳基本环节总结：
① 截开：在所求内力旳截面处，假想地用截面将杆件一分为二。
②替代：任取一部分为研究对象，将弃去部分对留下部分旳作用， 作用在截开面上相应旳内力（力或力偶）替代。
写剪力方程和弯矩方程旳措施和前面简介旳求内力分量旳措施 和过程相同，所不同旳，目前旳指定横截面是坐标为x旳任意 横截面。x是变量，FS（x）、M(x)是函数。
2. 剪力图和弯矩图：
剪力图
Fs Fs(x) 旳图线表达 例题5-4
弯矩图
M M (x) 旳图线表达 例题5-5
工程力学
第五章 杆件的内力分析与内力图
工程力学 5.2.2 扭矩和扭矩图
第五章 杆件的内力分析与内力图
工程力学
第五章 杆件的内力分析与内力图
5.2.2 扭矩和扭矩图
扭转变形是指杆件受到大小相等，方向相反且作用平面垂直于
杆件轴线旳力偶作用，使杆件旳横截面绕轴线产生转动。
A
B O
一、传动轴旳外力偶矩
A
BO
m
m
1.由定义直接计算
外力偶矩： Me＝Fd
L CB段
Fs( x)
RA
P
a L
P(a
x
L)
x M (x) Pa b Px(a x L) L
③根据方程画内力图
工程力学
第五章 杆件的内力分析与内力图
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3
第一章 杆件在一般外力作用 下的内力分析
概述
1.构件分类：依据变形体几何特点
杆
板
壳
块
4
2. 简图
（1）杆的几何特性： 轴线，横截面，形 心，轴线过横截面 的形心，横截面与 轴线垂直，杆可用 其轴线表示。
形心
（2）载荷（外力） 包括：主动力，约束力
轴线 横截面
5
（3）载荷分类 静载——外力从零缓慢增加至终值后保持不变
C
E
G
25
例2. 一密度ρ的梯形吊杆长为l，上、下面积分别为 2A和A，试求自重作用下杆的轴力方程及轴力图。
x
轴力图(FN) 解: 受力分析:
3ρgAl/2 面积的变化:
FN(x)
+
dx
A(x) A A x l
载荷集度为
o 轴力方程:
p(x) gA(x) gA(1 x)
l
FN
(x)
x 0
m0
AB
C
ab
注意：对于工程中 的各种传 m0b
动轴,作用于轴上的外力偶常
常由轴的转速和传递的功率
(T ) A
B
C
决定的。
28
例如，传动轴，主动轮1，从动轮2，3
1
Mt1 已知：轴的转速—— n
2
3
Mt2
Mt3
(转/分，r/min)
该轮传递的功率（输入或输出）—— P (KW) 则该轮处的外力偶矩为：
17
扭转演示
18
矩形扭转
19
4、弯曲 （常称为梁）： q F M
20
杆件的变形由上述几种基本变形组合而成时， 称为组合变形。
变形体静力学主要研究杆件的拉（压）、扭、弯和 组合变形
21
§1.3 杆件的内力方程和内力图
以x坐标表示不同位置的横截面，则该 横截面上的内力分量可表示为： 内力方程 FN=FN(x) ， FS=FS(x)
对一般杆件——非二力杆
9
横截面?
A
C
对截面C用截面法
B
A
FR
M FR
C
CM
B
10
A
y
FS FN
FTR
FR
x
M
C
z MC M
B
建立杆件横截面形心直角坐标系，向坐标轴投影
横截面分
布内力系 的主矢FR
x方向分量 ——轴力 FN
y方向分量 z方向分量
合力为剪力 FS
截 面 的 内
力
横截面分 布内力系 的主矩
Mt (N
m)
9549
P(KW ) n(r / min)
(N m)
主动轮或输入功率处Mt与n 同向；
从动轮或输出功率处Mt与n 反向。
29
若已知： n=300 r/min
30KW 40KW
70KW
1 Mt1
2
3
Mt2
Mt3
M t1
9549
P n
9549 70 300
2228.1N
m
30
Mt2
9549 300
954.9N
m
40 Mt3 9549 300 1273.2N m
30
2228.1N•m
954.9N•m
1273.2N•m
x1
x2
2228.1N•m
T(x1)
T (x1) 2228 .1N m
2228.1N•m
(T)
1273.2N•m T(x2)
T (x2 ) 1273 .2N m
1273.2N•m
2.均匀性 固体内各点处的力学性能相同
3.各向同性 固体内任意一点沿各个方向的力学性能相同 注意区别均匀性和各向同性
2
4.小变形 一般要求：最大变形小于最小尺寸 ——变形后的平衡可按变形前的位置计算 ——计算变形量时可略去高阶小量
材料力学分析方法:实验的基础上作合理假设， 再运用力学原理和数学工具，得出工程实用 的理论计算公式。——实践性很强的工程技 术基础课。
)
引起内力
产生变形
载荷——包括主动力和约束力
内力——在外力的作用下构件一部分对另一部分的 作用力。
2. 变形体的分析思路：
找出外力
求出内力
求出变形
截面法 （对静定杆件）
7
3.一般杆件的内力分量及分类 对特殊的杆件——桁架中的二力杆： ——用截面法： 横截面上只有轴向拉力或压力 纵向面?
FN FN
8
动载——外力随 t 变化或构件运动 （4）载荷作用方式 分布载荷—— 线分布集度 q(x) , [力]/[长度]
面分布集度q(x,y) ，[力]/[长度]2
集中载荷——集中力，集中力偶
（5）约束条件——各种支座、铰链
6
§1.1 外力与杆件横截面上的内力
1.变形体产生变形的原因：
外力(
载荷、温度湿度 变化、尺寸误差
半为分离体，用内力FN2替代
对右半段列平衡方程：
P1
FN 2 (x2 ) P3
m
x2 FN 2 m
P3
P2 m
F m
N2
23
轴力方程为：
FN1(x1) P1 0 x1 a
P1
A
P2
aB
P3
C
FN 2 (x2 ) P3 a x2 l
l
画出轴力图如图。
注意 内力图的规定：
P1
(FN)
（2）标出特征点内力的绝对值 （1）内力图与原杆件上下对齐，可不画坐标轴
绪论
材料力学:固体力学的分支,研究杆件在外力作用下
产生的内力、变形以及破坏的规律
对象 ——工程中的各种构件、结构 ——变形体
目的 ——构件与结构能正常安全地工作 强度：构件受外力不破坏
内容 刚度：构件具有抵抗变形的能力 稳定性：构件保持原有平衡状态的能力 安全 一对矛盾 经济
1
变形固体基本假设
1.连续性 各物理量均为空间坐标的连续函数 变形前，变形后，不开裂，不相入
x方向分量 ——扭矩T
y方向分量 z方向分量
合力矩为弯矩M
分 量
11
M
§1.2 杆件变形的基本形式
1、轴向拉伸或压缩(常称为杆）:
F1
F2
F3
12
拉伸（压缩）演示
13
拉伸（压缩）演示
14
2、剪切:
F
F
F
F
3、扭转（常称为轴） :M1M2 Nhomakorabea15
剪 切 演 示（单剪切）
16
剪 切 演 示 （双剪切）
a
2a
a 2a
m
n
q
解:外力分析 轴力方程
p F2 F3 F o 2a a B
p FN(x1) FFN(Nx(F3x)22) m Cn Eq
G
F3
x
BC段：FN CE段：FN
( x1 ) (x2 )
px1
F a
x1
2 pa 2F
0 x1 2a
2a x2 3a
2F +
FN F
EG段：FN (x3 ) F3 F3a x3 5a B
T=T(x) ， M=M(x) 若无特别说明，x轴原点在最左端截面，向右为正
将内力方程用函数图形表示出来——内力图
注意 （1）内力方程常分段用不同的函数表示
（2）分段点也称为控制面，通常，以集中 外力作用点或分布外力集度突变处为分段点
（3）根据分段点，分别对每一段杆件运用 截面法列出该段的内力方程
22
31
32
P3
（3）图的内部打上竖直线，内力的符号用 填入
截面法的步骤：
（1）切开 （2）代替 （3）平衡
未知的内力分量一律假设为该内力的正方向
24
例1 连杆由套管AC和
螺杆BG组成，螺杆
由螺纹段BD和阶梯 F1 段DEG组成，受力如
图所示，已知
AB
F2/2
F3
F2/2
C DE
G
F2=F3=F。试写出螺
杆BDEG的轴力方程 并绘出轴力图。
BC段用m-m截面切开，去
掉左半段，用T (x2)代替
平衡方程： T(x2)=m0(a+b-x2)
n m0m
A n B mC
ab
n
T ( x1 )
n
m0
x1
T ( x2 )
x2
27
扭矩方程为：
T(x1)=MA=m0b (0<x1 a) T(x2)=m0(a+b-x2) (a x1 a+b)
扭矩图如图
1.轴力方程 轴力图 轴力的符号规定：拉为正
P1
n P2
A x1 B
m
P3 x
C
压为负
（1）分段：分为AB，BC两段 P1
nn
n FN1
m
（2）对各段用截面法:
n P2
AB段在n-n处切开，取左半或右
半为分离体，用内力FN1替代
FN1 n
P3
对左半段列平衡方程：FN1(x1) P1
BC段在m-m处切开，取左半或右
pdx
gAx(1
x) 2l
26
2.扭矩方程 扭矩图
扭矩的符号规定：扭矩矢量
方向与截面外法线方向一致
为正，反之为负 （1）求出固定端A的约束力偶： M A
M A m0b 方向如图
（2）分段：分为AB，BC两段
AB段用n-n截面切开，去 掉右半段，用T (x1)代替
MA
平衡方程： T(x1)=MA=m0b
第一章 杆件在一般外力作用 下的内力分析
概述
1.构件分类：依据变形体几何特点
杆
板
壳
块
4
2. 简图
（1）杆的几何特性： 轴线，横截面，形 心，轴线过横截面 的形心，横截面与 轴线垂直，杆可用 其轴线表示。
形心
（2）载荷（外力） 包括：主动力，约束力
轴线 横截面
5
（3）载荷分类 静载——外力从零缓慢增加至终值后保持不变
C
E
G
25
例2. 一密度ρ的梯形吊杆长为l，上、下面积分别为 2A和A，试求自重作用下杆的轴力方程及轴力图。
x
轴力图(FN) 解: 受力分析:
3ρgAl/2 面积的变化:
FN(x)
+
dx
A(x) A A x l
载荷集度为
o 轴力方程:
p(x) gA(x) gA(1 x)
l
FN
(x)
x 0
m0
AB
C
ab
注意：对于工程中 的各种传 m0b
动轴,作用于轴上的外力偶常
常由轴的转速和传递的功率
(T ) A
B
C
决定的。
28
例如，传动轴，主动轮1，从动轮2，3
1
Mt1 已知：轴的转速—— n
2
3
Mt2
Mt3
(转/分，r/min)
该轮传递的功率（输入或输出）—— P (KW) 则该轮处的外力偶矩为：
17
扭转演示
18
矩形扭转
19
4、弯曲 （常称为梁）： q F M
20
杆件的变形由上述几种基本变形组合而成时， 称为组合变形。
变形体静力学主要研究杆件的拉（压）、扭、弯和 组合变形
21
§1.3 杆件的内力方程和内力图
以x坐标表示不同位置的横截面，则该 横截面上的内力分量可表示为： 内力方程 FN=FN(x) ， FS=FS(x)
对一般杆件——非二力杆
9
横截面?
A
C
对截面C用截面法
B
A
FR
M FR
C
CM
B
10
A
y
FS FN
FTR
FR
x
M
C
z MC M
B
建立杆件横截面形心直角坐标系，向坐标轴投影
横截面分
布内力系 的主矢FR
x方向分量 ——轴力 FN
y方向分量 z方向分量
合力为剪力 FS
截 面 的 内
力
横截面分 布内力系 的主矩
Mt (N
m)
9549
P(KW ) n(r / min)
(N m)
主动轮或输入功率处Mt与n 同向；
从动轮或输出功率处Mt与n 反向。
29
若已知： n=300 r/min
30KW 40KW
70KW
1 Mt1
2
3
Mt2
Mt3
M t1
9549
P n
9549 70 300
2228.1N
m
30
Mt2
9549 300
954.9N
m
40 Mt3 9549 300 1273.2N m
30
2228.1N•m
954.9N•m
1273.2N•m
x1
x2
2228.1N•m
T(x1)
T (x1) 2228 .1N m
2228.1N•m
(T)
1273.2N•m T(x2)
T (x2 ) 1273 .2N m
1273.2N•m
2.均匀性 固体内各点处的力学性能相同
3.各向同性 固体内任意一点沿各个方向的力学性能相同 注意区别均匀性和各向同性
2
4.小变形 一般要求：最大变形小于最小尺寸 ——变形后的平衡可按变形前的位置计算 ——计算变形量时可略去高阶小量
材料力学分析方法:实验的基础上作合理假设， 再运用力学原理和数学工具，得出工程实用 的理论计算公式。——实践性很强的工程技 术基础课。
)
引起内力
产生变形
载荷——包括主动力和约束力
内力——在外力的作用下构件一部分对另一部分的 作用力。
2. 变形体的分析思路：
找出外力
求出内力
求出变形
截面法 （对静定杆件）
7
3.一般杆件的内力分量及分类 对特殊的杆件——桁架中的二力杆： ——用截面法： 横截面上只有轴向拉力或压力 纵向面?
FN FN
8
动载——外力随 t 变化或构件运动 （4）载荷作用方式 分布载荷—— 线分布集度 q(x) , [力]/[长度]
面分布集度q(x,y) ，[力]/[长度]2
集中载荷——集中力，集中力偶
（5）约束条件——各种支座、铰链
6
§1.1 外力与杆件横截面上的内力
1.变形体产生变形的原因：
外力(
载荷、温度湿度 变化、尺寸误差
半为分离体，用内力FN2替代
对右半段列平衡方程：
P1
FN 2 (x2 ) P3
m
x2 FN 2 m
P3
P2 m
F m
N2
23
轴力方程为：
FN1(x1) P1 0 x1 a
P1
A
P2
aB
P3
C
FN 2 (x2 ) P3 a x2 l
l
画出轴力图如图。
注意 内力图的规定：
P1
(FN)
（2）标出特征点内力的绝对值 （1）内力图与原杆件上下对齐，可不画坐标轴
绪论
材料力学:固体力学的分支,研究杆件在外力作用下
产生的内力、变形以及破坏的规律
对象 ——工程中的各种构件、结构 ——变形体
目的 ——构件与结构能正常安全地工作 强度：构件受外力不破坏
内容 刚度：构件具有抵抗变形的能力 稳定性：构件保持原有平衡状态的能力 安全 一对矛盾 经济
1
变形固体基本假设
1.连续性 各物理量均为空间坐标的连续函数 变形前，变形后，不开裂，不相入
x方向分量 ——扭矩T
y方向分量 z方向分量
合力矩为弯矩M
分 量
11
M
§1.2 杆件变形的基本形式
1、轴向拉伸或压缩(常称为杆）:
F1
F2
F3
12
拉伸（压缩）演示
13
拉伸（压缩）演示
14
2、剪切:
F
F
F
F
3、扭转（常称为轴） :M1M2 Nhomakorabea15
剪 切 演 示（单剪切）
16
剪 切 演 示 （双剪切）
a
2a
a 2a
m
n
q
解:外力分析 轴力方程
p F2 F3 F o 2a a B
p FN(x1) FFN(Nx(F3x)22) m Cn Eq
G
F3
x
BC段：FN CE段：FN
( x1 ) (x2 )
px1
F a
x1
2 pa 2F
0 x1 2a
2a x2 3a
2F +
FN F
EG段：FN (x3 ) F3 F3a x3 5a B
T=T(x) ， M=M(x) 若无特别说明，x轴原点在最左端截面，向右为正
将内力方程用函数图形表示出来——内力图
注意 （1）内力方程常分段用不同的函数表示
（2）分段点也称为控制面，通常，以集中 外力作用点或分布外力集度突变处为分段点
（3）根据分段点，分别对每一段杆件运用 截面法列出该段的内力方程
22
31
32
P3
（3）图的内部打上竖直线，内力的符号用 填入
截面法的步骤：
（1）切开 （2）代替 （3）平衡
未知的内力分量一律假设为该内力的正方向
24
例1 连杆由套管AC和
螺杆BG组成，螺杆
由螺纹段BD和阶梯 F1 段DEG组成，受力如
图所示，已知
AB
F2/2
F3
F2/2
C DE
G
F2=F3=F。试写出螺
杆BDEG的轴力方程 并绘出轴力图。
BC段用m-m截面切开，去
掉左半段，用T (x2)代替
平衡方程： T(x2)=m0(a+b-x2)
n m0m
A n B mC
ab
n
T ( x1 )
n
m0
x1
T ( x2 )
x2
27
扭矩方程为：
T(x1)=MA=m0b (0<x1 a) T(x2)=m0(a+b-x2) (a x1 a+b)
扭矩图如图
1.轴力方程 轴力图 轴力的符号规定：拉为正
P1
n P2
A x1 B
m
P3 x
C
压为负
（1）分段：分为AB，BC两段 P1
nn
n FN1
m
（2）对各段用截面法:
n P2
AB段在n-n处切开，取左半或右
半为分离体，用内力FN1替代
FN1 n
P3
对左半段列平衡方程：FN1(x1) P1
BC段在m-m处切开，取左半或右
pdx
gAx(1
x) 2l
26
2.扭矩方程 扭矩图
扭矩的符号规定：扭矩矢量
方向与截面外法线方向一致
为正，反之为负 （1）求出固定端A的约束力偶： M A
M A m0b 方向如图
（2）分段：分为AB，BC两段
AB段用n-n截面切开，去 掉右半段，用T (x1)代替
MA
平衡方程： T(x1)=MA=m0b