极坐标与参数方程 题型总结归纳 附答案
高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)
高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)本文介绍了高考极坐标与参数方程大题题型，并给出了三个例子进行解答。
例1：在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为(x-1)^2+y^2=1，求圆C的极坐标方程。
解析：将x和y用极坐标表示，得到ρ=2cosθ。
例2：已知直线l的参数方程为x=-4t+a，y=3t-1，在直角坐标系xoy中，以O点为极轴建立极坐标系，设圆M的方程为ρ^2-6ρsinθ=-8.求圆M的直角坐标方程和实数a的值。
解析：将ρ和θ用x和y表示，得到x+(y-3)=1，然后将直线l的参数方程化为普通方程，得到3x+4y-3a+4=0.根据圆心到直线的距离和直线截圆所得弦长的关系，解得a=12或a=22/3.例3：已知曲线C的参数方程为x=2+5cosα，y=1+5sinα，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。
求曲线C的极坐标方程和直线l被曲线C截得的弦长。
解析：将x和y用极坐标表示，得到ρ=5.将直线l的极坐标方程化为普通方程，得到ρ(sinθ+cosθ)=1.由于曲线C是一个圆，因此直线l与曲线C的交点分别为A(7π/4.3+2√2)和B(3π/4.3-2√2)，弦AB的长度为4√2.1) 曲线C的参数方程为：x=9\cos^3\theta,\ y=3\sin^3\theta$，直线$l$的直角坐标方程为$x+y-1=0$。
2) 设$P(9\cos^3\alpha,3\sin^3\alpha)$，则$P$到直线$l$的距离为$d=\frac{|9\cos^3\alpha+3\sin^3\alpha-1|}{\sqrt{2}}$。
为求$d$的最大值，我们可以将$d$表示为$10\cos(\alpha+\theta)+\frac{1}{\sqrt{2}}$的形式，其中$\theta$为一个与$\alpha$无关的常数，且$\tan\theta=\frac{1}{3}$。
极坐标与参数方程知识点总结大全及经典试题
极坐标与参数方程1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换⎩⎨⎧=='y y xx μλϕ：的作用下,点P(x,y)对应到点()y x p '',,称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.例如：122=+y x 在变换⎩⎨⎧='='yy xx 23:ϕ（即横坐标伸长为原来3倍，纵坐标伸长为原来的2）得到14922=+y x 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,定点O 叫做 ,自极点O 引一条射线Ox ,叫做 ;再选定一个长度单位,一个角度单位及其正方向,这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的 ,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角MOx ∠叫做点M 的 ,记为θ.有序数对 叫做点M 的极坐标,记作()θρ,M .一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.3.极坐标和直角坐标的互化互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是()y x ,,极坐标是()θρ, (0≥ρ),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数①⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点()y x M ,都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数y x ,的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. 3．常见曲线的参数方程①经过点()000,y x M ，倾斜角为α的直线l 的普通方程为 ，参数方程为 。
高考极坐标与参数方程大题题型汇总（附详细答案）
高考极坐标与参数方程大题题型汇总1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sinx y 为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是(sin 3cos )33，射线:3OM 与圆C 的交点为O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y，又cos ,sinx y ;所以圆C 的极坐标方程是2cos. ---5分(2)设11(,)为点P 的极坐标，则有1112cos 3解得1113.设22(,)为点Q 的极坐标，则有2222(sin 3cos )333解得2233由于12，所以122PQ，所以线段PQ 的长为 2.2．已知直线l 的参数方程为431x t ayt （t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为26sin8．（1）求圆M 的直角坐标方程；（2）若直线l 截圆M 所得弦长为3，求实数a 的值．解：（1）∵2222268(36si )n81xyy xy ，∴圆M 的直角坐标方程为22(3)1xy ；(5分）（2）把直线l 的参数方程431x t ayt （t 为参数）化为普通方程得：34340x y a ，∵直线l 截圆M 所得弦长为3，且圆M 的圆心(0,3)M 到直线l 的距离22|163|3191()5222a da或376a，∴376a或92a．(10分）3．已知曲线C 的参数方程为sin51cos 52yx(为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox 轴正半轴为极轴建立极坐标系。
（1）求曲线c 的极坐标方程（2）若直线l 的极坐标方程为(sin θ+cos θ)=1，求直线l 被曲线c 截得的弦长。
解：(1)∵曲线c 的参数方程为sin51cos 52yx(α为参数)∴曲线c 的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5将sincos yx代入并化简得：=4cos θ+2sin θ即曲线c 的极坐标方程为=4cos θ+2sin θ(2)∵l 的直角坐标方程为x+y-1=0∴圆心c 到直线l 的距离为d=22=2∴弦长为225=234．已知曲线C ：2219xy，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()24.（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上任一点，求P 到直线l 的距离的最大值.解：（1）曲线C 的参数方程为3cos sinxy（为参数），直线l 的直角坐标方程为2x y（2）设(3cos,sin)P ，P 到直线l 的距离10cos()23cossin 222d（其中为锐角，且1tan3）当cos()1时，P 到直线l 的距离的最大值max52d 5．设经过点(1,0)P 的直线l 交曲线C ：2cos 3sinxy(为参数)于A 、B 两点．（1）写出曲线C 的普通方程；（2）当直线l 的倾斜角60时，求||||PA PB 与||||PA PB 的值．解：（1）C ：22143xy．（2）设l ：11232x tyt（t 为参数）联立得：254120tt 212121216||||||45PA PB t t t t t t ，1212||||||5PA PB t t 6．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，点M 的极坐标为(3,)2，若直线l 过点P ，且倾斜角为6，圆C 以M 为圆心，3为半径．（1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；（2）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB．解：（1）直线l 的参数方程为31,212,2x t yt 为参数）t (，（答案不唯一，可酌情给分）圆的极坐标方程为sin6.（2）把31,212,2x t yt 代入22(3)9xy ，得2(31)70tt ，127t t ，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12,PAt PBt ,7.PAPB7．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是22222x tyt （t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为42cos()4.（1）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(2,0)，试求11PA PB的值.解：（1）由42cos()4，展开化为2242(cos sin )4(cos sin )2，将代入,得22440xyx y ，所以，圆C 的直角坐标方程是22440xyxy.cos sinxy（2）把直线l 的参数方程22222x tyt（t 为参数）代入圆的方程并整理，可得：22240tt.设A ，B 两点对应的参数分别为12,t t ，则121222,40t t t t ，所以2121212()426t t t t t t .∴121212111126642t t PAPBt t t t .8．已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos10，曲线13cos :2sin x C y（为参数）．（1）求曲线1C 的标准方程；（2）若点M 在曲线1C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．解：（1）曲线1C 的标准方程是：22194xy（2）曲线C 的标准方程是：210xy 设点(3cos ,2sin)M ，由点到直线的距离公式得：3cos 4sin 1015cos()1055d其中34cos,sin550时，min5d ，此时98(,)55M 9．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为122322x t yt（t 为参数），直线l 与曲线C ：22(2)1yx交于A ，B 两点.（1）求AB 的长；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P 的极坐标为322,4，求点P 到线段AB 中点M 的距离.解：（1）直线l 的参数方程为122322x t yt ，，（t 为参数），代入曲线C 的方程得24100tt ．设点A ，B 对应的参数分别为12t t ，，则124t t ，1210t t ，所以12||||214AB t t ．（2）由极坐标与直角坐标互化公式得点P 的直角坐标为(22)，，所以点P 在直线l 上，中点M 对应参数为1222t t ，由参数t 的几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离||2PM ．10．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6，（1）写出直线l 的参数方程。
极坐标参数方程题型归纳7种
极坐标参数方程题型归纳7种标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-极坐标与参数方程(高考真题)题型归纳一、极坐标方程与直角坐标方程的互化1.(2015·广东理，14)已知直线l的极坐标方程为2ρsin⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A的极坐标为A⎝⎛⎭⎫22，7π4，则点A到直线l的距离为________．[立意与点拨]本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点到直线的距离，属于容易题．解答本题先进行极直互化，再求距离．二、参数方程与直角坐标方程的互化【解析】椭圆方程为：14622=+yx，因为1cossin22=+xx，令⎩⎨⎧==ααcos2sin6yx，则有X+2y=αsin6+αcos4=()ϕα++sin166,最大值22，最小值22-三、根据条件求直线和圆的极坐标方程四、求曲线的交点及交点距离4．(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C的参数方程为⎩⎨⎧x＝t－1t，y＝t＋1t(t为参数)，l与C相交于A，B 两点，则|AB|＝________．【解析】直线l的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x－y＝0，曲线C的参数方程⎩⎨⎧x＝t－1t，y＝t＋1t两式经过平方相减，化为普通方程为y2－x2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x－y＝0，y2－x2＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝－22，y＝－322或⎩⎪⎨⎪⎧x＝22，y＝322.所以点A⎝⎛⎭⎪⎫－22，－322，B⎝⎛⎭⎪⎫22，322.所以|AB|＝⎝⎛⎭⎪⎫－22－222＋⎝⎛⎭⎪⎫－322－3222＝2 5.5.在平面直角坐标xOy 中，已知直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t ，(t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．[解析] 解法1：将l 的方程化为普通方程得l ：x ＋y ＝3，∴y ＝－x ＋3，代入抛物线方程y 2＝4x 并整理得x 2－10x ＋9＝0，∴x 1＝1，x 2＝9. ∴交点A (1,2)，B (9，－6)，故|AB |＝82＋82＝8 2.解法2：将l 的参数方程代入y 2＝4x 中得，(2＋22t )2＝4(1－22t )， 解之得t 1＝0，t 2＝－82，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝8 2.6.(2015·陕西理，23)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．[立意与点拨] 考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题(1)需熟记极直互化公式；(2)用参数坐标将距离表达为t 的函数，转化为函数最值求解．[解析](1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P (3＋12t ，32t )，又C (0，3)，则|PC |＝3＋12t 2＋32t －32＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)．五、利用参数方程求最值( 转化与化归思想和函数思想 )[立意与点拨](用三角函数作为参数，转化成求三角函数最值问题,着重理解转化思维，用参数法实现转化的技巧)8．(2015·新课标Ⅱ高考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．【解】(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π.(此题C 1代表的是一条过原点的直线) 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3.当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.9．(2015·商丘市二模)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝12，曲线C 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α.(1)写出直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．[解析] (1)∵ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝12，∴ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ＝12，∴32y －12x ＝12，即l ：x －3y ＋1＝0.(2)解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为(2＋2cos α，2sin α)， 所以，曲线C 上的点到直线l 的距离d ＝|2＋2cos α－23sin α＋1|2＝⎪⎪⎪⎪4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋32≤72. 所以最大距离为72.解法二：曲线C 为以(2,0)为圆心，2为半径的圆．圆心到直线的距离为32，所以，最大距离为32＋2＝72.10．(文)(2014·新课标Ⅰ理，23)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．[解析](1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)直线l 的普通方程为：2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|PA |＝d sin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.(将d=|AB|sin30利用三角关系进行转化，转化化归思想，高考考点考察学生思维能力)当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.六、直线参数方程中的参数的几何意义方法一：方法二：根据直线参数方程中t 的几何意义，可知，弦长=|t 1-t 2|.得：053154153154122=⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t t t ，方程化简，然后用韦达定理求 弦长=|t 1-t 2|=()212214t t t t -+=.....13.(理)在直角坐标系xOy 中，过点P (32，32)作倾斜角为α的直线l 与曲线C ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点M 、N .(1)写出直线l 的参数方程；(2)求1|PM |＋1|PN |的取值范围．(根据直线参数方程中t 的几何意义,用参数t 表示所求量1|PM |＋1|PN |，然后用t 的二次方程的韦达定理，转化成三角函数进而求范围，此题较难)[解析] (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32＋t cos α，y ＝32＋t sin α，(t 为参数)．(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32＋t cos α，y ＝32＋t sin α.(t 为参数)代入x 2＋y 2＝1中，消去x ，y 得，t 2＋(3cos α＋3sin α)t ＋2＝0，由Δ＝(3cos α＋3sin α)2－8＝12sin 2(α＋π6)－8>0⇒sin(α＋π6)>63， 1|PM |＋1|PN |＝1－t 1＋1－t 2＝－t 1＋t 2t 1t 2＝3cos α＋3sin α2＝3sin(α＋π6)∈(2，3]．七、求动点坐标、求变量的值14.(2015·陕西理，23)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．[立意与点拨] 考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题(1)需熟记极直互化公式；(2)用参数坐标将距离表达为t 的函数，转化为函数最值求解．[解析] (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P (3＋12t ，32t )，又C (0，3)，则|PC |＝3＋12t 2＋32t －32＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)．(此处用参数t 来表示所求距离，然后当作变量为t 的二次函数，求最值)15.(2016全国卷I)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin 1,cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ． （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程； （Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【解析】：⑴ cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 均为参数）,∴()2221x y a +-= ①∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，,∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程⑵ 24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=， 224x y x ∴+=,即()2224x y -+= ②,3C ：化为普通方程为2y x =由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ,①—②得：24210x y a -+-=，即为3C∴210a -=,∴1a =（圆与圆交点所在直线的求法，联立圆方程，两方程相减,可得变量的方程）16．(文)(2015·唐山市二模)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2a cos θ(a >0)，l ：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝32，C 与l 有且仅有一个公共点．(1)求a ； (2)O 为极点，A ，B 为C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求|OA |＋|OB |的最大值．[解析] (1)曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆； l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0.由直线l 与圆C 相切可得|a －3|2＝a ，解得a ＝1. (求符合条件的变量值，建立等量关系，解方程)(2)不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3，则|OA |＋|OB |＝2cos θ＋2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝3cos θ－3sin θ＝23cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6， 当θ＝－π6时，|OA |＋|OB |取得最大值2 3.(用三角函数作为参数，转化成求三角函数最值问题,着重理解转化思维，用参数法实现转化的技巧)。
极坐标与参数方程 题型总结归纳 附答案
《极坐标与参数方程》高考高频题型除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及（一）有关圆的题型题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较相离，无交点；:r d > 个交点；相切，1:r d = 个交点；相交，2:r d <用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=，算出d ，在与半径比较。
题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法）思路：第一步：利用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=第二步：判断直线与圆的位置关系第三步：相离：代入公式：r d d +=max ，r d d -=min 相切、相交：r d d +=max min 0d =题型三：直线与圆的弦长问题弦长公式222d r l -=，d 是圆心到直线的距离延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题 （弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长） 弦长公式21t t l -=,解法参考“直线参数方程的几何意义”（二）距离的最值： ---用“参数法”1.曲线上的点到直线距离的最值问题2.点与点的最值问题“参数法”：设点---套公式--三角辅助角①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ①套公式：利用点到线的距离公式①辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一例如：【2016高考新课标3理数】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（I ）写出的普通方程和的直角坐标方程；（II ）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标的直角坐标方程为.这里没有加减移项省去，直接化同，那系数除到左边（①）由题意，可设点的直角坐标为 因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，xOy 1C ()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数x 2C sin()4ρθπ+=1C 2C P 1C Q 2C PQ P 2C 40x y +-=P ,sin )αα2C ||PQ P 2C ()d α.（欧萌说：利用点到直接的距离列式子，然后就是三角函数的辅助公式进行化一）当时）（13sin =+πα即当时，，此时的直角坐标为.（三）直线参数方程的几何意义1.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数）t t y y t x x (sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0=t 1＋t 22； (2)|PM |=|t 0|=t 1＋t 22； (3)|AB |=|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |=|t 1·t 2|（5）⎪⎩⎪⎨⎧>+<-+=-=+=+0,0,4)(212121212212121t t t t t t t t t t t t t t PB PA 当当（注：记住常见的形式，P 是定点，A 、B 是直线与曲线的交点，P 、A 、B 三点在直线上） 【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |=|t |.直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-； 2.解题思路第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程()sin()2|3d παα==+-2()6k k Z παπ=+∈()d αP 31(,)22第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t 的一元二次方程：02=++c bt at第三步：韦达定理：a ct t a b t t =-=+2121,第四步：选择公式代入计算。
极坐标与参数方程高考经典题型归纳总结
1.弦长问题模型11.在平面直角坐标系中，圆C 的方程为()25622=++y x（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （2）直线l 的参数方程为t t y t x (sin cos ⎩⎨⎧==αα为参数），l 与C 交于点B A ,， ①若43πα=，求AB ， ①若10=AB ，求l 的斜率。
2.已知直线t ty tx (32⎩⎨⎧=+=为参数）与曲线θθρcos 8sin 2=交于B A ,，求AB2.弦长问题模型2（只对直线过原点才可以）注意：若直线倾斜角为α且过原点，则该直线的直角坐标方程为αtan x y=，其参数方程为⎧==ααsin cos t y t x ，其极坐标方程为)(R ∈=ραθ3.在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3l R πθρ=∈交于,A B 两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程.（2）求弦长AB .3.参数方程最值问题模型4.已知曲线θθθ(sin 2cos 1:1⎩⎨⎧+=+=y x C 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线:2C4πθ=()R ∈ρ（1）写出1C 的极坐标方程，2C 的一个参数方程；（2）设1C 与2C 交于N M ,两点，P 为1C 上一动点，求PMN ∆面积的最大值。
4.利用直线参数方程中t 的几何意义问题模型5.在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．6.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>,已知过点()2,4P --的直线l 的参数方程为:2,4x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩直线l 与曲线C 分别交于,M N(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程; (2)若||,||,||PM MN PN 成等比数列,求a 的值.5.综合问题例题1在平面直角坐标系xoy 中，曲线13:221=+y x C ，以坐标原点为极轴，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线a C 222)4sin(:2+=+πθρ（1）写出1C 的参数方程，2C 的普通方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C ，求PQ 的最小值以及此时P 点坐标。
极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解
极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎨⎧==)()(t f y t f x并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论． ○1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB＝AB t t -＝BA AB t t t t ⋅--4)(2．○2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +．2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数） 3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 0⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或θθec a y b x s tg ==）5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）．（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
极坐标与参数方程题型和方法归纳
极坐标与参数方程题型和方法归纳极坐标与参数方程题型和方法归纳题型一：极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，参数方程与普通方程相互转化，极坐标方程与参数方程相互转化。
具体方法如下：1)极坐标方程转直角坐标方程：begin{cases}\rho=x\cos\theta+y\sin\theta\\\tan\theta=\dfrac{y }{x}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\rho\cos\theta\\y=\rho \sin\theta\end{cases}$$其中，$\rho$表示点到原点的距离，$\theta$表示点与$x$轴正半轴的夹角。
2)参数方程转直角坐标方程：begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}\RightarrowF(x,y)=0$$其中，$F(x,y)$为$x,y$的函数，$t$为参数。
3)极坐标方程转参数方程：begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{cases}\Rightarr ow\begin{cases}r=f(\theta)\\ \theta=g(r)\end{cases}$$题型二：三个常用的参数方程及其应用1)圆的参数方程：begin{cases}x=a+r\cos\theta\\y=b+r\sin\theta\end{cases}$$其中，$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径。
2)椭圆的参数方程：begin{cases}x=a\cos\theta\\y=b\sin\theta\end{cases}$$其中，$a,b$为椭圆的长短半轴。
3)过定点倾斜角为$\alpha$的直线$l$的标准参数方程为：dfrac{x-x_0}{\cos\alpha}=\dfrac{y-y_0}{\sin\alpha}=p$$其中，$(x_0,y_0)$为直线$l$上的一点，$p$为直线$l$到原点的距离。
极坐标系与参数方程知识点和解题类型最全总结(附详细答案)
第19讲 极坐标系与参数方程（后附详解答案）一、平面直角坐标系中的伸缩变换1.在同一平面直角坐标系中，直线2x －y ＝4变成x ′－y ′＝2的伸缩变换是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝2y B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝yC ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x ，y ′＝12y D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝4y2．求椭圆x 24＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y后的曲线方程 ．二、极坐标与直角坐标的互化1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )A ．(1，π2)B ．(1，－π2) C ．(1,0) D ．(1，π)2．已知点P 的极坐标为(1，π)，那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为( )A ．ρ＝1B ．ρ＝cos θC ．ρ＝－1cos θD ．ρ＝1cos θ3．在极坐标系中，直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标为( )A ．(2，π6)B ．(2，π3)C ．(4，π6)D ．(4，π3)4．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为5．在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a (a >0)与圆ρ＝2cos θ相切，则a ＝____.6．已知直线l 的极坐标方程为2ρsin(θ－π4)＝2，点A 的极坐标为A (22，7π4)，则点A 到直线l 的距离为_____.1θθ=-||AB |21ρρ=7．圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心的极坐标为________．8．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π3(θ∈R )的距离是________．9．在极坐标系中A ⎝⎛⎭⎫2，－π3，B ⎝⎛⎭⎫4，2π3两点间的距离为________．10．曲线C 1：θ＝π6与曲线C 2：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝32的交点坐标为________．三、极坐标方程的综合应用1．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．2．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，直线l 的直角坐标方程为y ＝33x . (1)求曲线C 1和直线l 的极坐标方程；(2)已知直线l 分别与曲线C 1，曲线C 2相交于异于极点的A ，B 两点，若A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2，求|ρ2－ρ1|的值．3．以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线C 于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程．4．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋5cos α，y ＝1＋5sin α(α为参数)，以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设l 1：θ＝π6，l 2：θ＝π3，若l 1，l 2与曲线C 相交于异于原点的两点A ，B ，求△AOB 的面积．5．在直角坐标系xOy 中，已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，点P 在直线l ：x ＋y －4＝0上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求圆C 和直线l 的极坐标方程；(2)射线OP 交圆C 于点R ，点Q 在射线OP 上，且满足|OP |2＝|OR |·|OQ |，求点Q 的轨迹的极坐标方程．6．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .7．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2：x 2＋y 2－2y ＝0.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (均异于原点O )．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)当0＜α＜π2时，求|OA |2＋|OB |2的取值范围．8．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．四、直角坐标方程与参数方程的互化1．在平面直角坐标系中，若曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，则其普通方程为________．2．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的离心率为________．3．曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为________．4．求直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数．条件探究 把举例说明1中“曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)”改为“⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin2θ，y ＝sin θ＋cos θ.”其他条件不变，求两条曲线交点的坐标．5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋35t ，y ＝45t(t 为参数)，与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k 2，y ＝4k(k 为参数)交于A ，B 两点，求线段AB 的长．6．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝－3＋3t ，y ＝23＋t(t 为参数)．写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程和直线的标准参数方程.五、直线参数方程的应用1．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且l 过点A ，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)．(1)求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值；(2)过点B (－1,1)且与直线l 平行的直线l 1与曲线C 1交于M ，N 两点，求|BM |·|BN |的值．2．在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cosα，y ＝t sinα(t 为参数)，直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点的直角坐标；(2)若直线l 的斜率为2，且过已知点P (3,0)，求|P A |·|PB |的值．3．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C 的方程为ρ＝25s inθ.(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 坐标为(3，5)，圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求|P A|＋|P B|的值．4．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，a ∈[0，π))．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝4sin θ.(1)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围； (2)若直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，求|AB |的最小值．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知过点P (0，－1)的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝－1＋32t (t 为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为2a sin θ－ρcos 2θ＝0(a ＞0)．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 分别交于点M ，N ，且|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值．六、极坐标与参数方程的综合应用1．坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)，l 1，l 2为过点O 的两条直线，l 1交M 于A ，B 两点，l 2交M 于C ，D 两点，且l 1的倾斜角为α，∠AOC ＝π6.(1)求l 1和M 的极坐标方程；(2)当α∈(0，π6]时，求点O 到A ，B ，C ，D 四点的距离之和的最大值．2．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－t ，y ＝3t(t 为参数)，A 为当t ＝1时曲线C 1上的点；B 为当t ＝－1时曲线C 1上的点．以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝64＋5sin 2θ.(1)求A ，B 的极坐标；(2)设M 是曲线C 2上的动点，求|MA |2＋|MB |2的最大值．3．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4.以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ＝α，0<α<π.(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)设A ，B 分别为射线l 与曲线C 1，C 2除原点之外的交点，求|AB |的最大值．4．在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)过原点且倾斜角为α⎝⎛⎭⎫π6<α≤π4的射线l 与曲线C 1，C 2分别相交于A ，B 两点(A ，B 异于原点)，求|OA |·|OB |的取值范围．5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求|MN |的值．6．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(1,0)，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ＝8cos θ1－cos 2θ.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若α＝π4，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．7．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t(t 为参数)，在以原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－ 2. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任意一点，求A ，B 两点的极坐标和△P AB 面积的最小值．8．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos β，y ＝2sin β(β为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2和C 3的极坐标方程分别为θ＝α(ρ∈R )和θ＝π2＋α(ρ∈R )，其中0≤α＜π2.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的参数方程；(2)设曲线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，曲线C 3与曲线C 1交于C ，D 两点，求四边形ACBD 的面积的最大值和最小值．9．已知直线L 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋ty ＝2－2t (t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝21＋3cos 2θ.(1)直接写出直线L 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与直线L 夹角为π3的直线l ，设直线l 与直线L 的交点为A ，求|P A |的最大值．10．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t si nα，(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|＝10，求l 的斜率．详解答案极坐标系与参数方程一、平面直角坐标系中的伸缩变换1.[解析] (1)设其伸缩变换为φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，则λx －μy ＝2,2λx －2μy ＝4，于是⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝2，－2μ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，μ＝12.所以φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y .故选C ． 2.解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′.①将①代入x 24＋y 2＝1，得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1.二、极坐标与直角坐标的互化1.[解析] 由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化为普通方程x 2＋(y ＋1)2＝1，其圆心坐标为(0，－1)，所以其极坐标为(1，－π2)，故应选B ．2.[解析] 如图，设直线l 上任意一点为C (ρ，θ)，由图可知OP OC ＝cos(π－θ)＝1ρ，ρ＝－1cos θ，故选C ．3.[解析] ρ(3cos θ－sin θ)＝2可化为直角坐标方程3x －y ＝2，即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ，把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0，所以x ＝3，y ＝1，所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为(2，π6)．故选A ．4.[解析] 因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，所以代入直角坐标方程并整理，得ρ2－2ρcos θ＝0，所以ρ－2cos θ＝0，即极坐标方程为ρ＝2cos θ.5.[解析] 本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化． 由⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y2可将直线ρcos θ＋ρsin θ＝a 化为x ＋y －a ＝0，将ρ＝2cos θ，即ρ2＝2ρcos θ化为x 2＋y 2＝2x ，整理成标准方程为(x －1)2＋y 2＝1.又∵直线与圆相切，∴圆心(1,0)到直线x ＋y －a ＝0的距离d ＝|1－a |2＝1，解得a ＝1±2，∵a >0，∴a ＝1＋ 2.6.[解析] 由2ρsin(θ－π4)＝2⇒y －x ＝1⇒x －y ＋1＝0，而点A 对应的直角坐标为A (2，－2)，故点A (2，－2)到直线x －y ＋1＝0距离为|2＋2＋1|2＝522.7.解析：将方程ρ＝5cos θ－53sin θ两边都乘以ρ， 得ρ2＝5ρcos θ－53ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2－5x ＋53y ＝0. 圆心坐标为⎝⎛⎭⎫52，－532，化成极坐标为⎝⎛⎭⎫5，5π3. 答案：⎝⎛⎭⎫5，5π3(答案不唯一) 8.解析：设圆心到直线θ＝π3(θ∈R )的距离为d ，因为圆的半径为2，d ＝2·sin π6＝1.答案：19.答案 6解析 解法一：(数形结合)在极坐标系中，A ，B 两点如图所示， |AB |＝|OA |＋|OB |＝6.解法二：∵A ⎝⎛⎭⎫2，－π3，B ⎝⎛⎭⎫4，2π3的直角坐标为A (1，－3)， B (－2,23)，∴|AB |＝(－2－1)2＋(23＋3)2＝6.10.答案 ⎝⎛⎭⎫1，π6 解析 将θ＝π6代入ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝32，得ρsin π3＝32，所以ρ＝1，所以曲线C 1与曲线C 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，π6.三、极坐标方程的综合应用1.解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0， 直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22， 即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2. 2.解 (1)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)，其普通方程为x 2＋(y －1)2＝1，极坐标方程为ρ＝2sin θ.因为直线l 的直角坐标方程为y ＝33x ， 故直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2sin θ， 直线l 的极坐标方程为θ＝π6，将θ＝π6代入C 1的极坐标方程得ρ1＝1，将θ＝π6代入C 2的极坐标方程得ρ2＝4，∴|ρ2－ρ1|＝3. 3.解 (1)∵ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，∴ρ＝21－sin θ化为ρ－ρsin θ＝2，∴曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4. (2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )， 根据题意21－sin θ0＝3·21－sin (θ0＋π)，解得θ0＝π6或θ0＝5π6，∴直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π6(ρ∈R )．4.[解析] (1)∵曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos α，y ＝1＋5sin α(α为参数)，∴曲线C 的普通方程为(x －2)2＋(y－1)2＝5.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入并化简得ρ＝4cos θ＋2sin θ， ∴曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ. (2)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝4cos θ＋2sin θ， ∴由⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π6，ρ＝4cos θ＋2sin θ，得|OA |＝23＋1. 同理可得|OB |＝2＋ 3. 又∠AOB ＝π6，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝8＋534.∴△AOB 的面积为8＋534.5.[解析] (1)圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4，∴圆C 的极坐标方程为ρ＝2.直线l 的极坐标方程ρ＝4sin θ＋cos θ.(2)设点P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)， ∵ρ1＝4sin θ＋cos θ，ρ2＝2，又|OP |2＝|OR |·|OQ |，即ρ21＝ρ·ρ2， ∴ρ＝ρ21ρ2＝16(sin θ＋cos θ)2×12，∴ρ＝81＋sin2θ.∴点Q 的轨迹的极坐标方程为ρ＝81＋sin2θ.6.解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程：x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆． 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0， 解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1. 7.解：(1)C 1的普通方程为x 22＋y 2＝1，C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋2ρ2sin 2θ－2＝0， C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C 1的极坐标方程得|OA |2＝21＋sin 2α，联立θ＝α(ρ≥0)与C 2的极坐标方程得|OB |2＝4sin 2α， 则|OA |2＋|OB |2＝21＋sin 2α＋4sin 2α ＝21＋sin 2α＋4(1＋sin 2α)－4. 令t ＝1＋sin 2α，则|OA |2＋|OB |2＝2t ＋4t －4，当0＜α＜π2时，t ∈(1,2)．设f (t )＝2t ＋4t －4，易得f (t )在(1,2)上单调递增，∴2＜|OA |2＋|OB |2＜5，故|OA |2＋|OB |2的取值范围是(2,5)．8.解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.四、直角坐标方程与参数方程的互化1.解析：依题意，消去参数可得x －2＝y －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝02.答案 45解析 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ消去参数θ，得椭圆x 225＋y 29＝1.3.答案 y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos2θ＋1(θ为参数)消去参数θ，得y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)．4.解 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α消去参数α，得圆x 2＋y 2＝9. 又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．条件探究 解 由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin2θ＝2－(1－sin2θ)，得 y 2＝2－x .又因为x ＝1－sin2θ∈[0,2]，所以所求普通方程为y 2＝2－x ，x ∈[0,2]．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，y 2＝2－x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋52，y ＝1－52或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－52，y ＝1＋52，又因为x ∈[0,2]，所以交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，1－52.5.解 将直线l 的参数方程化为普通方程，得4x －3y ＝4，将曲线C 的参数方程化为普通方程，得y 2＝4x ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －3y ＝4，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－1.所以A (4,4)，B ⎝⎛⎭⎫14，－1或A ⎝⎛⎭⎫14，－1，B (4,4)． 所以AB ＝⎝⎛⎭⎫4－142＋(4＋1)2＝254. 6.解：(1)椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为x －3y ＋9＝0.直线l 的标准参数方程为)(2132233为参数t ty t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-= 五、直线参数方程的应用1.解：(1)由直线l 过点A 可得2cos ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝a ，故a ＝ 2. 则易得直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，根据点到直线的距离公式可得曲线C 1上的点到直线l 的距离 d ＝|2cos α＋3sin α－2|2＝|7sin (α＋φ)－2|2，其中sin φ＝277，cos φ＝217，∴d max ＝7＋22＝14＋222.即曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值为14＋222. (2)由(1)知直线l 的倾斜角为3π4， 则直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos 3π4，y ＝1＋t sin 3π4(t 为参数)，又易知曲线C 1的普通方程为x 24＋y 23＝1，把直线l 1的参数方程代入曲线C 1的普通方程可得72t 2＋72t －5＝0，∴t 1t 2＝－107，根据参数t 的几何意义可知|BM |·|BN |＝|t 1t 2|＝107. 2.[解] (1)由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)，可得曲线C 的普通方程是x 2－y 2＝1.当α＝π3时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，代入曲线C 的普通方程，得t 2－6t －16＝0，得t 1＋t 2＝6，所以线段AB 的中点对应的t ＝t 1＋t 22＝3，故线段AB 的中点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫92，332.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得(cos 2α－sin 2α)t 2＋6cosαt ＋8＝0， 则|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪8cos 2α－sin 2α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8(1＋tan 2α)1－tan 2α，由已知得tanα＝2，故|P A |·|PB |＝403. 3.[解](1)由⎩⎨⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t ，两式相加得直线l 的普通方程为x ＋y －3－5＝0.又由ρ＝25s inθ，得ρ2＝25ρs inθ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5.(2)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得⎝⎛⎭⎫3－22t 2＋⎝⎛⎭⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实数根，所以t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，所以|P A|＋|P B|＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.4.[解析] (1)将曲线C 的极坐标方程ρcos 2θ＝4sin θ，化为直角坐标方程，得x 2＝4y . ∵M (x ，y )为曲线C 上任意一点，∴x ＋y ＝x ＋14x 2＝14(x ＋2)2－1，∴x ＋y 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α代入x 2＝4y ，得t 2cos 2α－4t sin α－4＝0.∴Δ＝16sin 2α＋16cos 2α＝16>0，设方程t 2cos 2α－4t sin α－4＝0的两个根为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝4sin αcos 2α，t 1t 2＝－4cos 2α，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4cos 2α≥4，当且仅当α＝0时，取等号．故当α＝0时，|AB |取得最小值4.5.解：(1)∵曲线C 的方程为2a sin θ－ρcos 2θ＝0(a >0)， ∴2aρsin θ－ρ2cos 2θ＝0，即x 2＝2ay (a >0)．(2)将⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝－1＋32t 代入x 2＝2ay ，得t 2－43at ＋8a ＝0，得⎩⎨⎧Δ＝(－43a )2－4×8a >0，①t 1＋t 2＝43a ，t 1t 2＝8a .∵a >0，∴解①得a >23.∵|PM |，|MN |，|PN |成等比数列， ∴|MN |2＝|PM |·|PN |，即|t 1－t 2|2＝t 1t 2， ∴(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝t 1t 2，即(43a )2－40a ＝0， 解得a ＝0或a ＝56.∵a >23，∴a ＝56.六、极坐标与参数方程的综合应用1.[解析] (1)依题意，直线l 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝1＋sin φ消去φ，得(x －1)2＋(y －1)2＝1. 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，得ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0. 故M 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0.(2)依题意可设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，C (ρ3，α＋π6)，D (ρ4，α＋π6)，且ρ1，ρ2，ρ3，ρ4均为正数．将θ＝α代入ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0，得ρ2－2(cos α＋sin α)ρ＋1＝0， 所以ρ1＋ρ2＝2(cos α＋sin α)，同理可得，ρ3＋ρ4＝2[cos(α＋π6)＋sin(α＋π6)]，所以点O 到A ，B ，C ，D 四点的距离之和为ρ1＋ρ2＋ρ3＋ρ4＝2(cos α＋sin α)＋2[cos(α＋π6)＋sin(α＋π6)]＝(1＋3)sin α＋(3＋3)cos α＝2(1＋3)sin(α＋π3)．因为α∈(0，π6]， 所以当sin(α＋π3)＝1，即α＝π6时，ρ1＋ρ2＋ρ3＋ρ4取得最大值2＋2 3. 所以点O 到A ，B ，C ，D 四点距离之和的最大值为2＋2 3.2.[解] (1)当t ＝1时，⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝3， 即点A 的直角坐标为(－1，3)； 当t ＝－1时，⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－3，即点B 的直角坐标为(1，－3)． ∴点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，2π3，点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，5π3. (2)由ρ＝64＋5sin 2θ，得ρ2(4＋5sin 2θ)＝36， ∴曲线C 2的直角坐标方程为x 29＋y 24＝1. 设曲线C 2上的动点M 的坐标为(3cosα，2sinα)，则|MA |2＋|MB |2＝10cos 2α＋16≤26，当且仅当cosα＝±1时等号成立，∴|MA |2＋|MB |2的最大值为26.3.解：(1)由曲线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，消去参数t 得，x 2＋(y －1)2＝1，即 x 2＋y 2－2y ＝0，∴曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2sin θ.由曲线C 2的直角坐标方程x 2＋(y －2)2＝4，得x 2＋y 2－4y ＝0，∴曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ θ＝α，ρ＝2sin θ，得A (2sin α，α)，∴|OA |＝2sin α， 联立⎩⎪⎨⎪⎧θ＝α，ρ＝4sin θ，得B (4sin α，α)，∴|OB |＝4sin α， ∴|AB |＝|OB |－|OA |＝2sin α， ∵0<α<π，∴当α＝π2时，|AB |有最大值，最大值为2. 4.解：(1)由曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ，故曲线C 2的直角坐标方程为x 2＝y .(2)射线l 的极坐标方程为θ＝α，π6<α≤π4， 把射线l 的极坐标方程代入曲线C 1的极坐标方程得|OA |＝ρ＝4cos α，把射线l 的极坐标方程代入曲线C 2的极坐标方程得|OB |＝ρ＝sin αcos 2α， ∴|OA |·|OB |＝4cos α·sin αcos 2α＝4tan α. ∵π6<α≤π4，∴|OA |·|OB |的取值范围是⎝⎛⎦⎤433，4. 5.解：(1)易得直线l 的普通方程为3x －y －3＝0.∵ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝2(cos θ－sin θ)，∴ρ2＝2(ρcos θ－ρsin θ)， ∴x 2＋y 2＝2(x －y )，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，∴曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得t 2＋3t －1＝0，此方程的两根分别为直线l 与曲线C 的交点M ，N 对应的参数t M ，t N .∵t M ＋t N ＝－3，t M t N ＝－1，∴|MN |＝|t M －t N |＝(t M ＋t N )2－4t M t N ＝7.6.解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)． ∵ρ＝8cos θ1－cos 2θ，∴ρsin 2θ＝8cos θ，∴ρ2sin 2θ＝8ρcos θ， 即曲线C 的直角坐标方程为y 2＝8x .(2)解法一：当α＝π4时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，代入y 2＝8x ， 可得t 2－82t －16＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝82，t 1t 2＝－16，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝8 3.又点O 到直线AB 的距离d ＝1×sin π4＝22， ∴S △AOB ＝12|AB |×d ＝12×83×22＝2 6. 解法二：当α＝π4时，直线l ：y ＝x －1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝x －1得，y 2－8y －8＝0. 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8， 所以S △AOB ＝12|OM ||y 1－y 2|＝12×1×(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝12×82－4×(－8) ＝2 6.7.解：(1)由⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t ，消去参数t ， 得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2，所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2.由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－2，得ρcos θ－ρsin θ＝－2， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A (－2,0)，B (0,2)，化为极坐标为A (2，π)，B ⎝⎛⎭⎫2，π2， 设点P 的坐标为(－5＋2cos t,3＋2sin t )，则点P 到直线l 的距离为d ＝|－5＋2cos t －3－2sin t ＋2|2＝ ⎪⎪⎪⎪－6＋2cos ⎝⎛⎭⎫t ＋π42. 所以d min ＝42＝22，又|AB |＝2 2. 所以△P AB 面积的最小值是S ＝12×22×22＝4. 8.解：(1)曲线C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝4，由曲线C 2的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )可知，曲线C 2是经过原点且倾斜角为α的直线，所以曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)． (2)解法一 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α代入(x －1)2＋y 2＝4， 得t 2－2t cos α－3＝0，设方程t 2－2t cos α－3＝0的两根分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－3，|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2cos 2α＋3，同理，由曲线C 3的极坐标方程为θ＝π2＋α(ρ∈R )， 可得|CD |＝2 cos 2⎝⎛⎭⎫π2＋α＋3＝2 sin 2α＋3，又易知AB ⊥CD ，所以四边形ACBD 的面积S ＝12|AB ||CD |＝2cos 2α＋3sin 2α＋3＝212＋14sin 22α，∵0≤α＜π2， ∴当2α＝π2，即α＝π4时，四边形ACBD 的面积取得最大值，最大值为7； 当2α＝0，即α＝0时，四边形ACBD 的面积取得最小值，最小值为4 3.解法二 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －1)2＋y 2＝4，整理得曲线C 1的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－3＝0，把θ＝α代入，得ρ2－2ρcos α－3＝0，ρ1＋ρ2＝2cos α，ρ1ρ2＝－3，|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝2cos 2α＋3，同理，把θ＝π2＋α代入， 得|CD |＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π2＋α＋3＝2sin 2α＋3， 由曲线C 2和C 3的极坐标方程可知AB ⊥CD ， 所以四边形ACBD 的面积S ＝12|AB ||CD |＝2cos 2α＋3·sin 2α＋3＝2 12＋14sin 22α， ∵0≤α＜π2，∴当2α＝π2， 即α＝π4时，四边形ACBD 的面积取得最大值，最大值为7； 当2α＝0，即α＝0时，四边形ACBD 的面积取得最小值，最小值为4 3.9.[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t y ＝2－2t(t 为参数)，得l 1的普通方程为2x ＋y －6＝0，令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得直线l 1的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ－6＝0，由曲线C 的极坐标方程，知ρ2＋3ρ2cos 2θ＝4，所以曲线C的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1. (2)由(1)知直线l 1的普通方程为2x ＋y －6＝0，设曲线C 上任意一点P (cos α，2sin α)，点P 到直线l 1的距离d ＝|2cos α＋2sin α－6|5. 由题意得|P A |＝d sin60°＝415⎪⎪⎪⎪2sin (α＋π4)－315， ∴当sin(α＋π4)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为415(3＋2)15. 10.[解] (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρs inθ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)解法一：由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t si nα(t 为参数) 可知直线l 的普通方程为y ＝kx ，其中k 为直线l 的斜率，则点C(－6,0)与直线l 的距离d ＝|－6k |k 2＋1. 因为|AB|＝10，所以⎝⎛⎭⎫1022＋36k 2k 2＋1＝25，故直线l 的斜率为153或－153. 解法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )． 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0. 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB|＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB|＝10得cos 2α＝38，t anα＝±153. 所以l 的斜率为153或－153.。
高考数学极坐标与参数方程题型归纳
(3)P为曲线C2上任意一点,求点P到直线l的距离的最值及此时P的直角坐标.
7.在坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (α为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin =2 .
极坐标系与参数方程
题型一与圆有关的问题
1.已知曲线C1的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 .（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。
2.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈ .(1)求C的参数方程.(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y= x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
题型二 根据椭圆参数方程求最值
6.曲线C1的参数方程为 (θ为参数),将曲线C1上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标伸长为原来的 倍,得到曲线C2.以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l:ρ(cosθ-2sinθ)=6.
(1)求曲线C2和直线l的普通方程.
9．以平面直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 的直角坐标为 ，若直线l的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程是 ，（ 为参数).
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线 的普通方程；
（2）设直线l与曲线 交于 两点，求 .
10.在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 .
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《极坐标与参数方程》高考高频题型除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及（一）有关圆的题型题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较相离，无交点；:r d > 个交点；相切，1:r d = 个交点；相交，2:r d <用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=，算出d ，在与半径比较。
题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法）思路：第一步：利用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=第二步：判断直线与圆的位置关系第三步：相离：代入公式：r d d +=max ，r d d -=min 相切、相交：r d d +=max min 0d =题型三：直线与圆的弦长问题弦长公式222d r l -=，d 是圆心到直线的距离延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题 （弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长） 弦长公式21t t l -=,解法参考“直线参数方程的几何意义”（二）距离的最值： ---用“参数法”1.曲线上的点到直线距离的最值问题2.点与点的最值问题“参数法”：设点---套公式--三角辅助角①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ①套公式：利用点到线的距离公式①辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一例如：【2016高考新课标3理数】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（I ）写出的普通方程和的直角坐标方程；（II ）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标的直角坐标方程为.这里没有加减移项省去，直接化同，那系数除到左边（①）由题意，可设点的直角坐标为 因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，xOy 1C ()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数x 2C sin()4ρθπ+=1C 2C P 1C Q 2C PQ P 2C 40x y +-=P ,sin )αα2C ||PQ P 2C ()d α.（欧萌说：利用点到直接的距离列式子，然后就是三角函数的辅助公式进行化一）当时）（13sin =+πα即当时，，此时的直角坐标为.（三）直线参数方程的几何意义1.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数）t t y y t x x (sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0=t 1＋t 22； (2)|PM |=|t 0|=t 1＋t 22； (3)|AB |=|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |=|t 1·t 2|（5）⎪⎩⎪⎨⎧>+<-+=-=+=+0,0,4)(212121212212121t t t t t t t t t t t t t t PB PA 当当（注：记住常见的形式，P 是定点，A 、B 是直线与曲线的交点，P 、A 、B 三点在直线上） 【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |=|t |.直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-； 2.解题思路第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程()sin()2|3d παα==+-2()6k k Z παπ=+∈()d αP 31(,)22第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t 的一元二次方程：02=++c bt at第三步：韦达定理：a ct t a b t t =-=+2121,第四步：选择公式代入计算。
例如：已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值． 解 (1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.① (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t代入①式，得t 2＋53t ＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.（四）一直线与两曲线分别相交，求交点间的距离思路：一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点的极坐标，利用极径相减即可。
例如：（2016•福建模拟）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（其中α为参数），曲线C 2：（x ﹣1）2+y 2=1，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （①）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程； （①）若射线θ=（ρ＞0）与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，求|AB|．解：（①）①曲线C1的参数方程为（其中α为参数），①曲线C1的普通方程为x2+（y﹣2）2=7．①曲线C2：（x﹣1）2+y2=1，①把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入（x﹣1）2+y2=1，得到曲线C2的极坐标方程（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ）2=1，化简，得ρ=2cosθ．（①）依题意设A（），B（），①曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣3=0，将（ρ＞0）代入曲线C1的极坐标方程，得ρ2﹣2ρ﹣3=0，解得ρ1=3，同理，将（ρ＞0）代入曲线C2的极坐标方程，得，∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=3﹣．（五）面积的最值问题面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题例题2016•包头校级二模）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，A，B两点的极坐标分别为．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）点P是圆C上任一点，求①PAB面积的最小值．解：（1）由，化简得：，消去参数t，得（x+5）2+（y﹣3）2=2，①圆C的普通方程为（x+5）2+（y﹣3）2=2．由ρcos（θ+）=﹣，化简得ρcosθ﹣ρsinθ=﹣，即ρcosθ﹣ρsinθ=﹣2，即x﹣y+2=0，则直线l的直角坐标方程为x﹣y+2=0；（①）将A（2，），B（2，π）化为直角坐标为A（0，2），B（﹣2，0），①|AB|==2，设P点的坐标为（﹣5+cost，3+sint），①P点到直线l的距离为d==，①d min==2，则①PAB面积的最小值是S=×2×2=4．极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化一、直角坐标的伸缩设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧>='>='）（）（0,0,μμλλy y x x 的作用下，点P(x ，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λ·x ，λ>0y′＝μ·y ，μ>0下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆（重点考察）． 【强化理解】1．曲线C 经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：x 2+y 2=1，则曲线C 的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．4x 2+9y 2=1【解答】解：曲线C 经过伸缩变换①后，对应曲线的方程为：x′2+y′2=1①，把①代入①得到：故选：A2、在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1．【解答】解：设变换为φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），可将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1．将4x 2＋9y 2＝36变形为x 29＋y 24＝1，比较系数得λ＝13，μ＝12．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y ．将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12，可得到圆x ′2＋y ′2＝1．亦可利用配凑法将4x 2＋9y 2＝36化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，与x ′2＋y ′2＝1对应项比较即可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x3，y ′＝y2．3、（2015春•浮山县校级期中）曲线x 2+y 2=1经过伸缩变换后，变成的曲线方程是（ ）A ．25x 2+9y 2=1B ．9x 2+25y 2=1C ．25x+9y=1D ．+=1【解答】解：由伸缩变换，化为，代入曲线x 2+y 2=1可得25（x′）2+9（y′）2=1，故选：A ．二、极坐标 1.公式：（1）极坐标与直角坐标的互化公式如下表：2.极坐标与直角坐标的转化（1）点：有关点的极坐标与直角转化的思路 A ：直角坐标化为极坐标的步骤①运用 ①在内由求时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限． B::极坐标化为直角坐标的步骤，运用（2）直线：直线的极坐标与直角坐标转化的思路 A ：直角坐标转化成极坐标思路：直接利用公式，将式子里面的x 和y 用θρθρsin cos 和转化，最后整理化简即可。
例如：x+3y -2=0：用公式将x 和y 转化，即02-sin 3cos =+θρθρ B ：极坐标转化成直角坐标类型①：直接转化---直接利用公式转化类型①：利用三角函数的两角和差公式，即()()2sin 2cos k kρθαρθα±=±=或思路：第一步：利用两角和差公式把sin(θ±α)或cosθ±α)化开，特殊角的正余弦值化成数字，整理化简(),x y (),ρθ()222tan 0x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩[)0,2π()tan 0yx xθ=≠θ(),ρθ(),x y cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩第二步：利用公式转化解：第一步：利用两角和差公式把sin(θ±α)或cosθ±α)化开特殊角的正余弦值化成数字，整理化简，即第二步：第二步：利用公式转化类型①：角可以不是特殊角）为倾斜角，可以是特殊（ααθ=，该直线经过原点（极点），对应的直角坐标方程为kx x即y tanαy =⋅=(注：直线的直角坐标方程一般要求写成一般式：Ax+By+C=0) 三、曲线极坐标与直角坐标互换 （一）圆的直角与极坐标互换 1.圆的极坐标转化成直角坐标 类型一：θθρsin cos +=cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩详解：一般θθsin ,cos 要转化成x 、y 都需要跟ρ搭配，一对一搭配。