北师大九年级上《第3课时矩形的性质与判定的综合应用》同步练习有答案

第3课时矩形的性质与判定的综合应用
1．下列关于矩形的说法，正确的是()
A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分D．矩形的对角线相等且互相平分
2．如图28，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB，若AD＝4，∠AOD＝60°，则AB的长为()
图28
A．43B．23
C．8D．83
3．已知矩形ABCD的一边长为5cm，对角线长为13cm，则它的面积为________cm2.
4．如图29，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E.已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是()
A．23B．33C．4D．43
图29
5.如图30，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB∥CD，AB，BC，CD的长分别为2，2，23＋2，则∠BAD的度数为()
图30
A．120°B．135°C．150°D．以上都不对
6．矩形ABCD的周长为16，P是矩形边上任一点，则点P到对角线AC，BD的距离之和的最大值是()
A．8B．4C．42D．22
7．如图31，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，求线段EF的长的最小值．
图31
8．如图32，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC ＋∠ADC＝180°.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)过点D作DF⊥AC，交BC于点F，若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，则∠BDF的度数是多少？
图32
9．如图33所示，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，AD，CD，BC的中点，若
AB＝2cm，AD＝4cm，则四边形EFGH的面积为()
图33
A．2cm2B．4cm2C．6cm2D．8cm2
10．将矩形纸片ABCD按如图34所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB＝3，则BC的长为________．
图34
11．如图35，菱形ABCD中，分别延长DC，BC至点E，F，使CE＝CD，CF＝CB，连接DB，BE，EF，FD.
(1)如图①，求证：四边形DBEF是矩形；
(2)如图②，当∠DFB＝30°时，连接AE交BF于点G，连接DG，若AB＝2，求DG的长．
图35
12．如图36，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD，BE，BC 于点P，O，Q，连接BP，EQ.
(1)求证：四边形BPEQ是菱形；
(2)若AB＝6，F为AB的中点，OF＋OB＝9，求PQ的长．
图36
13．已知：如图37，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，D是OA 的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为________．
图37
14．2017·威海如图38，四边形ABCD为一个矩形纸片，AB＝3，BC＝2，动点P自点D 出发沿DC方向运动至点C后停止，△ADP以直线AP为轴翻折，点D落在点D
的位置．设
1
P与原纸片重叠部分的面积为y.
DP＝x，△AD
1
过点C?
(1)当x为何值时，直线AD
1
(2)当x为何值时，直线AD
过BC的中点E?
1
(3)求出y与x之间的函数表达式．
图38
2．A
3．60
4．A.
5．C.
6．D
7．解：连接CP .∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，由勾股定理，得AB ＝5.∵PE ⊥AC ，PF ⊥BC ，
∴∠PEC ＝∠PFC ＝∠ACB ＝90°，
∴四边形EPFC 是矩形，∴EF ＝CP .
根据垂线段最短，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，
则CP 长的最小值为CD 的长．
根据三角形的面积公式得12AC ·BC ＝12
AB ·CD ，∴CD ＝125，∴EF 的长的最小值为125
.8．解：(1)证明：∵AO ＝CO ，BO ＝DO ，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠ABC ＝∠ADC .
∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°，
∴∠ABC ＝∠ADC ＝90°，
∴四边形ABCD 是矩形．
(2)∵∠ADC ＝90°，∠ADF ∶∠FDC ＝3∶2，
∴∠FDC ＝36°.
∵DF ⊥AC ，∴∠DCO ＝90°－36°＝54°.
∵四边形ABCD 是矩形，∴CO ＝OD ，
∴∠ODC ＝∠DCO ＝54°，
∴∠BDF ＝∠ODC －∠FDC ＝18°.
10.3
11．解：(1)证明：∵CE ＝CD ，CF ＝CB ，
∴四边形DBEF 是平行四边形．
∵四边形ABCD 是菱形，
∴CD ＝CB ，∴DE ＝BF ，
∴▱DBEF 是矩形．
(2)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CE ，
∴∠ABG ＝∠ECG ，∠GAB ＝∠GEC .
又∵CD ＝CB ＝CE ＝AB ＝2，
∴△ABG ≌△ECG ，
∴BG ＝CG ＝12
BC ＝1.∵四边形DBEF 是矩形，∴∠BDF ＝90°.
∵∠DFB ＝30°，∴∠DBF ＝60°.
∵CD ＝CB ，∴△BCD 是等边三角形，
∴DG ⊥BC ，
∴DG ＝DB 2－BG 2＝ 3.
12．解：(1)证明：∵PQ 垂直平分BE ，
∴QB ＝QE ，OB ＝OE .
∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，
∴∠PEO ＝∠QBO .
在△BOQ 与△EOP 中，
∠PEO ＝∠QBO ，OB ＝OE ，∠POE ＝∠QOB ，
∴△BOQ ≌△EOP (ASA)，∴PE ＝QB .
又∵AD ∥BC ，∴四边形BPEQ 是平行四边形．
∵QB ＝QE ，∴四边形BPEQ 是菱形．
(2)∵O ，F 分别为BE ，AB 的中点，
∴AE ＋BE ＝2OF ＋2OB ＝18.
设AE ＝x ，则BE ＝18－x .
在Rt△ABE 中，62＋x 2＝(18－x )2，
解得x ＝8，BE ＝18－x ＝10，∴OB ＝12
BE ＝5.设PE ＝y ，则AP ＝8－y ，BP ＝PE ＝y .
在Rt△ABP 中，62＋(8－y )2＝y 2，解得y ＝254
.在Rt△BOP 中，PO ＝
（254）2－52＝154
，∴PQ ＝2PO ＝152.13．(2，4)或(3，4)或(8，4)
14．解：(1)如图①，由题意得△ADP ≌△AD 1P ，∴AD ＝AD 1＝2，PD ＝PD 1＝x ，∠D ＝∠AD 1P ＝90°.
∵直线AD 1过点C ，∴PD 1⊥AC .
在Rt△ABC 中，AC ＝22＋32＝13，CD 1＝13－2.
在Rt△PCD 1中，PC 2＝PD 12＋CD 12，即(3－x )2＝x 2＋(13－2)2，
解得x ＝213－43
.∴当x ＝
213－43时，直线AD 1过点C .
(2)如图②，连接PE ，∵E 为BC 的中点，
∴BE ＝CE ＝1，在Rt△ABE 中，AE ＝AB 2＋BE 2
＝10.∵AD 1＝AD ＝2，PD ＝PD 1＝x ，
∴D 1E ＝10－2，PC ＝3－x .
在Rt△PD 1E 和Rt△PCE 中，
x 2＋(10－2)2＝(3－x )2＋12，
解得x ＝210－23
.∴当x ＝
210－23时，直线AD 1过BC 的中点E .(3)如图③，当0＜x ≤2时，y ＝x ；
如图④，当2＜x ≤3时，点D 1在矩形ABCD 的外部，PD 1交AB 于点F .∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2.
由折叠知∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AF ＝PF .
过点P 作PG ⊥AB 于点G .
设PF ＝AF ＝a ，由题意得AG ＝DP ＝x ，FG ＝x －a .
在Rt△PFG 中，由勾股定理得(x －a )2＋22＝a 2，
解得a ＝4＋x 22x
，∴y ＝12×2×4＋x 22x ＝x 2＋42x .综合上述，当0＜x ≤2时，y ＝x ；当2＜x ≤3时，y ＝x 2＋42x .。