概率论及数理统计期末模拟试题一

《概率论与数理统计》模拟试卷一
一、
（1）设随机变量X 的概率密度为：⎩⎨
⎧<<=其它
, 010 , 2)(x x x f ，现对X 进行16次独立重复观测，以Y 表示观测值不大于2
1
的次数，则)(Y D =_________。

(2) 已知4321,,,X X X X 是相互独立的随机变量, 且都服从标准正态分布,则2
42
22
321X X X X ++服从 分布
（3）设随机变量),(~2
σμN X ，其中0,0μσ≠>，且1
(
)2
X P σ
αμ
-<=
，则α为（ ） A ．0； B ．μ； C ．1σμ-
； D ．1σμ
+。

（4）设二维随机变量(,)X Y 的联合分布为 2
3
0.310.2α
β
记
Z = 求：（1）随机变量Z 的概率分布；
（2）二维随机变量(,)X Z 的联合分布；
（3）,αβ取何值时，能使X 与Z 相互独立。

二、（1）设事件A 与B 相互独立，事件B 与C 互不相容，事件A 与C 互不相容，且()0.4P A =，
()0.5P B =，()0.2P C =，则事件A 、B 、C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为_________。

（2）设12,,
,n X X X 和12,,
,m Y Y Y 是两组简单随机样本，分别取自总体2~(,1)X N μ和
2
~(,2)Y N μ，μ的无偏估计有形式1
1
n
m
i j i j T a X b Y ===+∑∑；则,a b 应满足的关系是
____________；又当a =____________，b =____________时，T 最有效。

（3）设,X Y 是两个随机变量，且45
(1,1),(1)(1)99
P X Y P X P Y ≤≤=≤=≤=，则
{m i n (,)1}P X Y ≤=（ ）
A ．49；
B ．2081；
C ．23
； D ．1
3。

（4）
设某农贸市场某商品每日价格变化是均值为0，方差为22σ=的随机变量，有关系式：1n n n ηηξ-=+，其中n η表示第n 天商品价格，n ξ表示第n 天该商品价格的增加数，如果今天该商品的价格为100，求18天后该商品价格在96与104之间的概率。

附：1()0.69152Φ=，2
()0.74863Φ=，(1)0.8413Φ=。

三、 （1）设总体X 服从参数为λ的泊松分布，12,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样
本，则()k
P X n == _________。

（2）设12,,
,n X X X 是来自正态总体2
(,)N μσ的样本，2
2
1
1()1n i
i S X X n ==--∑，则2ES = ____________，2DS =____________。

（3）设随机变量X 和Y 的联合概率分布为 (,)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)
1133
X Y P a b
，若事件
{0}Y =与{1}X Y +=相互独立，则下面正确的是（ ）
A ．X 与Y 相互独立；
B ．X 与Y 不相关但不独立；
C ．11
,412
a b ==；
D ．X 与Y 相关。

四、
（1）设二维随机变量(,)~(0,0;1,1;0)X Y N ，
则(
0)X
P Y
>=____________。

（2）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，则丢失的也是一等品的概率为（ ）
A ．1
2
；
B ．38；
C ．313；
D ．5
8。

（3）设12,,
n X X X 是来自总体2~(,)X N μσ的一个样本，样本均值和方差分别为X , 2S ，1n X +是对X 的又一独立观测值，则服从(1,1)F n -分布的统计量是（ ）
A
．
； B ．2
1(
)n X S
μ+-； C
；
D ．2
12
()1n X X n n σ+-+。

五、 1) 设离散型随机变量X 的分布律为),2,1(}{ ===k k X P k αβ, 且0>α, 则 ( )
(A) 11
-=
αβ ; (B) β是大于0的实数 ; (C) 11
+=αβ ; (D) 1+=αβ
(2) 设总体),(~2σμN X ,其中2σ已知, 则总体均值μ的置信区间长度l 与置信度α-1的关系是 ( )
(A) 当α-1缩小时, l 缩短 ; (B) 当α-1缩小时, l 增大;
(C) 当α-1缩小时, l 不变 ; (D) 以上说法都不对.
(3) 设(,)X Y 的联合概率密度是3,01,0(,)0,x x y x
f x y ⎧≤<≤<⎪=⎨⎪⎩其它
，求)(x f X 及1()2P x >。

六、（1）一批产品有M 件, 其中有m 件废品, 从中任取2件, 发现一件废品,则另一件是正品的概率为
（2）设随机变量X 与Y 独立同分布, 其分布律为
则下列式子正确的是( )
(A) Y X =; (B) 1}{==Y X P ; (C) 9
5
}{=
=Y X P ; (D) 0}{==Y X P . （3） 设1621,,,X X X 是来自总体),2(~2
σN X 的一个样本, ∑==161161i i X X , 则σ
8
4-X 服
从分布 （ ）
(A) )15(t ; (B) )16(t ; (C) )15(2κ; (D) )1,0(N
（4）
设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从2(,)N μσ，求min(,)E X Y 。

七、（1）设随机变量X 的概率密度为：,()(0)0,x a x b
f x a b <<⎧=<<⎨
⎩其它
，且22EX =，则
3
(||)2
P X <=____________。

（2）设随机变量X 的分布函数()F x 连续，且严格单调增加，则()Y F x =的概率密度为____________。

（3）设事件,,A B C 同时发生必导致D 发生，则 A ．()()()()2P D P A P B P C ≤++-；
B ．()()P D P A B
C =++； C ．()()()()2P
D P A P B P C ≥++-； D ．()()P D P ABC =。

（4） 在计算机网络中，某网站每天被访问的次数X 服从参数为λ的泊松分布，每个访问者从网站下载资料的概率为(01)p p <<。

（假设每个访问者每天只访问一次），且每个访问者是否下载资料彼此无关。

（1）求一天中恰有r 个人从该网站下载资料的概率；
（2）若某天中恰有r 个人从该网站下载资料，求这一天该网站有()n n r ≥个访问者的概率。

八、（1）掷17颗骰子, 出现点数和X 的数学期望为
（2）已知),(~2
σμN X , 则)0)((>a e
E aX
=
（3）设随机变量
4321,,,X X X X 独立同分布, 且都服从正态分布)1,1(N , 又知
2
4
14⎪⎭
⎫
⎝⎛-∑=i i X k 服从2κ分布, 则常数k 和2κ分布的自由度n 分别为 ( ) (A) 1,41==
n k ; (B) 1,21
==n k ; (C) 4,41==n k ; (D) 4,2
1
==n k
（4）设n X X X ,,,21 是来自正态总体X 的一个样本,已知X 的数学期望为μ, 为估计其均方
差σ, 取统计量∑=-=n
i i X n c 1
μη. 为使估计是无偏的, 试求c , 并求出此估计的方差.。