2019届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题学案理北师大版

高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题【考点自测】1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B 解析 由y ＝52x ，可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.2．(2017·全国Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63 B.33 C.23 D.13答案 A解析 由题意知，以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a .又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝2aba 2＋b 2＝a ，解得a ＝3b ，∴b a＝13，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－⎝⎛⎭⎪⎫132＝63. 故选A.3．(2017·全国Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( ) A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 答案 A解析 因为F 为y 2＝4x 的焦点，所以F (1,0)．由题意知直线l 1，l 2的斜率均存在，且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k，故直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k (x －1)，y ＝－1k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.显然，该方程必有两个不等实根．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1，所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 22－4＝4(1＋k 2)k 2.同理可得|DE |＝4(1＋k 2)．所以|AB |＋|DE |＝4(1＋k 2)k2＋4(1＋k 2) ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1＋1＋k 2＝8＋4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k2≥8＋4×2＝16，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，取得等号．故选A.4．(2017·北京)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________.答案 2解析 由双曲线的标准方程知a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ， 故双曲线的离心率e ＝c a＝1＋m ＝3， ∴1＋m ＝3，解得m ＝2.5．(2017·山东)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________． 答案 y ＝±22x 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，显然，方程必有两个不等实根．∴y 1＋y 2＝2pb2a2.又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ，∴2pb2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，∴b a ＝22， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .题型一 求圆锥曲线的标准方程例1 (2018·佛山模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B .若|BF 2|＝|F 1F 2|＝2，则该椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1 答案 A解析 ∵|BF 2|＝|F 1F 2|＝2，∴a ＝2c ＝2， ∴a ＝2，c ＝1，∴b ＝3， ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.思维升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、简单性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程．跟踪训练1 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( ) A.x 29－y 213＝1 B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1 答案 D解析 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点为F (2,0)，则a 2＋b 2＝4，①双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ， 由题意得2ba 2＋b 2＝3，②联立①②解得b ＝3，a ＝1，所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1，故选D.题型二 圆锥曲线的简单性质例2 (1)(2018届辽宁凌源二中联考)已知圆E ：(x －3)2＋(y ＋m －4)2＝1(m ∈R )，当m 变化时，圆E 上的点与原点O 的最短距离是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率，则双曲线C 的渐近线为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±12xC ．y ＝±3xD ．y ＝±33x 答案 C解析 圆E 的圆心到原点的距离d ＝32＋(4－m )2，由此可得，当m ＝4时，圆E 上的点与原点O 的最短距离是d min ＝3－1＝2，即双曲线的离心率为e ＝c a＝2，由此可得b a ＝c 2－a 2a＝3，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为y ＝±bax ＝±3x .故选C.(2)(2016·天津)设抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p >0)的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E .若|CF |＝2|AF |，且△ACE的面积为32，则p 的值为________． 答案6解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (p >0)消去t 可得抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0， 又|CF |＝2|AF |且|CF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪72p －p 2＝3p ， ∴|AB |＝|AF |＝32p ，可得A (p ，2p )． 易知△AEB ∽△FEC ， ∴|AE ||FE |＝|AB ||FC |＝12， 故S △ACE ＝13S △ACF ＝13×3p ×2p ×12＝22p 2＝32， ∴p 2＝6，∵p >0，∴p ＝ 6.思维升华 圆锥曲线的简单性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系．掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力．跟踪训练2 (2017·全国Ⅱ)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2 D.233答案 A解析 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ， 圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.根据点到直线的距离公式，得|2b |a 2＋b 2＝3，解得b 2＝3a 2.所以C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2. 故选A.题型三 最值、范围问题例3 (2017·浙江)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜x ＜32，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值． 解 (1)由P (x ，y )，即P (x ，x 2)． 设直线AP 的斜率为k ，则k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因为－12＜x ＜32.所以直线AP 斜率的取值范围为(－1,1)． (2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1). 因为|PA |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1，所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3， 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减．因此当k ＝12时，|PA |·|PQ |取得最大值2716.思维升华 圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的简单性质的角度考虑，根据圆锥曲线的几何意义求最值与范围．跟踪训练3 (2016·山东)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . ①求证：点M 在定直线上；②直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标．(1)解 由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2，因为抛物线E 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以b ＝12，a ＝1，所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1.(2)①证明 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22(m >0)，由x 2＝2y ，可得y ′＝x ，所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m )．即y ＝mx －m 22.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0.由Δ>0，得0<m <2＋5(或0<m 2<2＋5)．(*)且x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1，因此x 0＝2m 34m 2＋1，将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m 22(4m 2＋1)，因为y 0x 0＝－14m ， 所以直线OD 方程为y ＝－14m x ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标y M ＝－14，所以点M 在定直线y ＝－14上．②解 由①知直线l 的方程为y ＝mx －m 22，令x ＝0，得y ＝－m 22，所以G ⎝⎛⎭⎪⎫0，－m 22， 又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m34m 2＋1，－m 22(4m 2＋1)，所以S 1＝12·|GF |·m ＝(m 2＋1)m4，S 2＝12·|PM |·|m －x 0|＝12×2m 2＋14×2m 3＋m4m 2＋1＝m (2m 2＋1)28(4m 2＋1)， 所以S 1S 2＝2(4m 2＋1)(m 2＋1)(2m 2＋1)2. 设t ＝2m 2＋1，则S 1S 2＝(2t －1)(t ＋1)t 2＝2t 2＋t －1t 2＝－1t 2＋1t＋2，当1t ＝12，即t ＝2时，S 1S 2取到最大值94， 此时m ＝22，满足(*)式，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，14. 因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，14.题型四 定点、定值问题例4 (2017·益阳、湘潭调研)已知动圆P 经过点N (1,0)，并且与圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝16相切．(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设G (m,0)为轨迹C 内的一个动点，过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，当k 为何值时，ω＝|GA |2＋|GB |2是与m 无关的定值，并求出该定值．解 (1)由题设得|PM |＋|PN |＝4>|MN |＝2， ∴点P 的轨迹C 是以M ，N 为焦点的椭圆， ∵2a ＝4,2c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝3， ∴点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，G (m,0)(－2<m <2)， 直线l ：y ＝k (x －m )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－12＝0， x 1＋x 2＝8mk 24k 2＋3，x 1·x 2＝4k 2m 2－124k 2＋3， ∴y 1＋y 2＝k (x 1－m )＋k (x 2－m ) ＝k (x 1＋x 2)－2km ＝－6mk4k 2＋3.y 1·y 2＝k 2(x 1－m )(x 2－m )＝k 2x 1x 2－k 2m (x 1＋x 2)＋k 2m 2＝3k 2(m 2－4)4k 2＋3. ∴|GA |2＋|GB |2＝(x 1－m )2＋y 21＋(x 2－m )2＋y 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2－2m (x 1＋x 2)＋2m 2＋(y 1＋y 2)2－2y 1y 2 ＝(k 2＋1)－6m 2(4k 2－3)＋24(3＋4k 2)(4k 2＋3)2. ∵ω＝|GA |2＋|GB |2的值与m 无关，∴4k 2－3＝0， 解得k ＝±32.此时ω＝|GA |2＋|GB |2＝7. 思维升华 求定点及定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．跟踪训练4 已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，请说明理由． (1)证明 设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2， 得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，① 故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－9k，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)解 四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，由①中判别式Δ＝4k 2b 2－4(k 2＋9)·(b 2－m 2)>0，得k 2m 2>9b 2－9m 2，又b ＝m －k3m ，所以k 2m 2>9⎝ ⎛⎭⎪⎫m －k 3m 2－9m 2，得k 2>k 2－6k ，所以k >0.所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k ＞0，k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y ＝－9kx .设点P 的横坐标为x P ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km3k 2＋9. 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 的坐标代入l 的方程得b ＝m (3－k )3，因此x M ＝km (k －3)3(k 2＋9). 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M . 于是±km 3k 2＋9＝2×km (k －3)3(k 2＋9)， 解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.因为k i ＞0，k i ≠3，i ＝1,2，所以当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．题型五 探索性问题例5 (2018·泉州模拟)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是22，过点P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2.(1)求椭圆E 的方程；(2)在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得|QA ||QB |＝|PA ||PB |恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (1)由已知，点(2，1)在椭圆E 上，因此⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋1b 2＝1，a2－b 2＝c 2，c a ＝22，解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C ，D 两点，如果存在定点Q 满足条件，则有|QC ||QD |＝|PC ||PD |＝1，即|QC |＝|QD |，所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为(0，y 0)．当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，则M ，N 的坐标分别为(0，2)，(0，－2)， 由|QM ||QN |＝|PM ||PN |，有|y 0－2||y 0＋2|＝2－12＋1， 解得y 0＝1或y 0＝2，所以若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只可能为(0,2)． 证明如下：对任意直线l ，均有|QA ||QB |＝|PA ||PB |，其中Q 点坐标为(0,2)．当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0，所以x 1＋x 2＝－4k2k 2＋1， x 1x 2＝－22k 2＋1， 因此1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2k ，易知点B 关于y 轴对称的点B ′的坐标为(－x 2，y 2)， 又k QA ＝y 1－2x 1＝kx 1－1x 1＝k －1x 1， k QB ′＝y 2－2－x 2＝kx 2－1－x 2＝－k ＋1x 2＝k －1x 1，所以k QA ＝k QB ′，即Q ，A ，B ′三点共线， 所以|QA ||QB |＝|QA ||QB ′|＝|x 1||x 2|＝|PA ||PB |，故存在与点P 不同的定点Q (0,2)，使得|QA ||QB |＝|PA ||PB |恒成立．思维升华 (1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法．跟踪训练5 (2018届珠海摸底)已知椭圆C 1，抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是(3，－23)，(－2，0)，(4，－4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22. (1)求C 1，C 2的标准方程；(2)是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M ，N 且满足OM →⊥ON →？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)设抛物线C 2：y 2＝2px (p ≠0)，则有y 2x＝2p (x ≠0)，据此验证四个点知(3，－23)，(4，－4)在抛物线上，易得，抛物线C 2的标准方程为C 2：y 2＝4x ；设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，把点(－2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22代入可得a 2＝4，b 2＝1. 所以椭圆C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由椭圆的对称性可设C 2的焦点为F (1,0)， 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1. 直线l 交椭圆C 1于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32， OM →·ON →≠0，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 并设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 2＋4y 2＝4，消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0， 于是x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4(k 2－1)1＋4k2，y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2x 1x 2－k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝－3k21＋4k2，①由OM →⊥ON →，得OM →·ON →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.② 将①代入②式，得4(k 2－1)1＋4k 2－3k 21＋4k 2＝k 2－41＋4k 2＝0，解得k ＝±2.经检验，k ＝±2都符合题意．所以存在直线l 满足条件，且l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.1．(2018·惠州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，过点M (1，0)的直线l交椭圆C 于A ，B 两点，|MA |＝λ|MB |，且当直线l 垂直于x 轴时，|AB |＝ 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)当λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，求弦长|AB |的取值范围． 解 (1)由已知e ＝22，得c a ＝22，① ∵当直线垂直于x 轴时，|AB |＝2， ∴椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22， 代入椭圆方程得1a 2＋12b 2＝1，②又a 2＝b 2＋c 2，③联立①②③可得a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)当过点M 的直线的斜率为0时，点A ，B 分别为椭圆长轴的端点，λ＝|MA ||MB |＝2＋12－1＝3＋22>2或λ＝|MA ||MB |＝2－12＋1＝3－22<12，不符合题意．∴直线l 的斜率不能为0.设直线l 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线的方程代入椭圆方程得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0， 显然方程有两个不同实数解． 由根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2mm 2＋2， ④y 1y 2＝－1m 2＋2， ⑤将④式平方除以⑤式可得y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－4m2m 2＋2，由已知|MA |＝λ|MB |可知，y 1y 2＝－λ， ∴－λ－1λ＋2＝－4m2m 2＋2，又知λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴－λ－1λ＋2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0，∴－12≤－4m 2m 2＋2≤0，解得m 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，27.|AB |2＝(1＋m 2)|y 1－y 2|2＝(1＋m 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2] ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2＋22＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋22，∵m 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，27，∴1m 2＋2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，12，∴|AB |∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，928. 2．(2018·新余联考)如图所示，已知点E (m,0)为抛物线y 2＝4x 内的一个定点，过E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线，分别交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)若m ＝1，k 1k 2＝－1，求△EMN 面积的最小值； (2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点． (1)解 当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点， ∵k 1k 2＝－1，∴AB ⊥CD ，直线AB 的方程为y ＝k 1(x －1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －1)，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＝0，显然方程有两不等实根，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4，∵AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，x 1＋x 2＝y 1k 1＋1＋y 2k 1＋1＝4k 21＋2.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋1，2k 1，同理，点N (2k 21＋1，－2k 1)． ∴S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 12·(2k 21)2＋(－2k 1)2＝2k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4， 当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时，△EMN 的面积取最小值4.(2)证明 直线AB 的方程为y ＝k 1(x －m )，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －m )，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1m ＝0，显然方程有两不等实根．y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4m ，∵AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，x 1＋x 2＝y 1k 1＋m ＋y 2k 1＋m＝4k 1k 1＋2m ＝4k 21＋2m ， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，2k 1，同理，点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22＋m ，2k 2，∴k MN ＝k 1k 2k 1＋k 2＝k 1k 2， ∴直线MN ：y －2k 1＝k 1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋m ，即y ＝k 1k 2(x －m )＋2， ∴直线MN 恒过定点(m,2)．3．(2017·衡水联考)在平面直角坐标系xOy 中，过点C (2,0)的直线与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)求证：y 1y 2为定值；(2)是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长；如果不存在，请说明理由． (1)证明 方法一 当直线AB 垂直于x 轴时，y 1＝22，y 2＝－22，因此y 1y 2＝－8(定值)． 当直线AB 不垂直于x 轴时， 设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝4x ，得ky 2－4y －8k ＝0.∴y 1y 2＝－8.因此有y 1y 2＝－8，为定值． 方法二 显然直线AB 的斜率不为0. 设直线AB 的方程为my ＝x －2， 由⎩⎪⎨⎪⎧my ＝x －2，y 2＝4x ，得y 2－4my －8＝0.∴y 1y 2＝－8，为定值．(2)解 设存在直线l ：x ＝a 满足条件， 则AC 的中点为E ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋22，y 12，|AC |＝(x 1－2)2＋y 21. 因此以AC 为直径的圆的半径r ＝12|AC |＝12(x 1－2)2＋y 21＝12x 21＋4， 又点E 到直线x ＝a 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1＋22－a故所截弦长为 2r 2－d 2＝214(x 21＋4)－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋22－a 2＝x 21＋4－(x 1＋2－2a )2＝－4(1－a )x 1＋8a －4a 2.当1－a ＝0，即a ＝1时，弦长为定值2，这时直线方程为x ＝1. 4．已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．解 (1)由题意知，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2. 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22. (2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下：设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t,2)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.当x 0＝t 时，y 0＝－t 22，代入椭圆C 的方程，得t ＝±2，故直线AB 的方程为x ＝±2， 圆心O 到直线AB 的距离d ＝ 2. 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切． 当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y －2＝y 0－2x 0－t(x －t )． 即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离d ＝|2x 0－ty 0|(y 0－2)2＋[－(x 0－t )]2.又x 20＋2y 20＝4，t ＝－2y 0x 0，故d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋2y 20x 0x 20＋y 20＋4y 2x 20＋4＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋x 20x 0x 40＋8x20＋162x 20＝ 2.此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切． 综上，直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．5．(2018·商丘质检)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝ 32，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图所示，A，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m .证明：2m －k 为定值．(1)解 因为e ＝32＝ca，所以a ＝23c ，b ＝13c .代入a ＋b ＝3得，c ＝3，a ＝2，b ＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 因为B (2,0)，点P 不为椭圆顶点，则可设直线BP 的方程为y ＝k (x －2)⎝⎛⎭⎪⎫k ≠0，k ≠±12，① ①代入x 24＋y 2＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1.直线AD 的方程为y ＝12x ＋1.②①与②联立解得M ⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1.由D (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N (x,0)三点共线知－4k4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0.所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k (2k ＋1)2(2k ＋1)2－2(2k －1)2＝2k ＋14. 则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)．6．(2018届广东六校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，22，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形． (1)求椭圆C 的方程；(2)动直线l ：mx ＋ny ＋13n ＝0(m ，n ∈R )交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过点T .若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，所以a ＝2b ，所以x 22b 2＋y 2b 2＝1， 又因为椭圆经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22，代入可得b ＝1. 所以a ＝2，故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)首先求出动直线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13. 当l 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程为 x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432， 当l 与y 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432，x 2＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1，即两圆相切于点(0,1)，因此所求的点T 如果存在，只能是(0,1)，事实上，点T (0,1)就是所求的点．证明如下：当直线l 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点T (0,1)，当直线l 不垂直于x 轴时，可设直线l ：y ＝kx －13， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx －13，x 22＋y 2＝1，消去y ，得(18k 2＋9)x 2－12kx －16＝0，记点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝12k 18k 2＋9，x 1x 2＝－1618k 2＋9.又因为TA →＝(x 1，y 1－1)，TB →＝(x 2，y 2－1)，所以TA →·TB →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫kx 1－43⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2－43 ＝(1＋k 2)x 1x 2－43k (x 1＋x 2)＋169＝(1＋k 2)·－1618k 2＋9－43k ·12k 18k 2＋9＋169＝0， 所以TA →⊥TB →，即以AB 为直径的圆恒过点T (0,1)， 所以在坐标平面上存在一个定点T (0,1)满足题意．。