2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性 含解析

课时规范练 A 组 基础对点练1．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝|sin x | C ．y ＝cos xD ．y ＝e x －e －x解析：因为函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数y ＝x 为非奇非偶函数，排除A ；因为y ＝|sin x |为偶函数，所以排除B ；因为y ＝cos x 为偶函数，所以排除C ；因为y ＝f (x )＝e x －e －x ，f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，所以函数y ＝e x －e －x 为奇函数，故选D. 答案：D2．下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x解析：A 选项，记f (x )＝x 2sin x ，定义域为R ，f (－x )＝(－x )2sin(－x )＝－x 2sin x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数；B 选项，记f (x )＝x 2cos x ，定义域为R ，f (－x )＝(－x )2cos(－x )＝x 2cos x ＝f (x )，故f (x )为偶函数；C 选项，函数y ＝|ln x |的定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；D 选项，记f (x )＝2－x ，定义域为R ，f (－x )＝2－(－x )＝2x ＝1f (x )，故f (x )为非奇非偶函数，选B. 答案：B3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 2 B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x ＋e x解析：选项A 中的函数是偶函数；选项B 中的函数是奇函数；选项C 中的函数是偶函数；只有选项D 中的函数既不是奇函数也不是偶函数． 答案：D4．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝ln x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝sin xD ．y ＝cos x解析：A 项中的函数是非奇非偶函数；B 项中的函数是偶函数但不存在零点；C 项中的函数是奇函数；D 项中的函数既是偶函数又存在零点． 答案：D5．定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( ) A ．4 B ．3解析：由奇函数的概念可知，y ＝x ，y ＝2sin x 是奇函数． 答案：C6．下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝x －1 B ．f (x )＝x 2＋x C ．f (x )＝2x －2－xD ．f (x )＝4x ＋4－x答案：D7．设f (x )＝x ＋sin x (x ∈R)，则下列说法错误的是( ) A ．f (x )是奇函数 B ．f (x )在R 上单调递增 C ．f (x )的值域为RD ．f (x )是周期函数解析：因为f (－x )＝－x ＋sin(－x )＝－(x ＋sin x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，故A 正确；因为f ′(x )＝1＋cos x ≥0，所以函数f (x )在R 上单调递增，故B 正确；因为f (x )在R 上单调递增，所以f (x )的值域为R ，故C 正确；f (x )不是周期函数，故选D. 答案：D8．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝|x |－1C ．y ＝lg xD ．y ＝⎝⎛⎭⎫12ln|x |解析：A 项，y ＝1x 是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故A 错误；易知B 正确；C 项，y＝lg x 是非奇非偶函数，故C 错误；D 项，y ＝⎝⎛⎭⎫12ln|x |是递减的． 答案：B9．f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )，则当x ＜0时，f (x )＝( ) A ．－x 3－ln(1－x ) B ．x 3＋ln(1－x ) C ．x 3－ln(1－x )D ．－x 3＋ln(1－x )解析：当x ＜0时，－x ＞0， f (－x )＝(－x )3＋ln(1－x )，∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln(1－x )]＝x 3－ln(1－x )． 答案：C10．已知定义在R 上的函数f (x )满足：y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且当x ≥0时，恒有f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,2)时，f (x )＝e x －1，则(2 018)＋f (－2 017)＝( ) A ．1－e B ．e －1 C ．－1－eD ．e ＋1 解析：∵y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，∴y ＝f (x )的图象关于原点对称，∴f (－x )＝－f (x )，又当x ≥0时，f (x ＋2)＝f (x )，∴f (2 018)＋f (－2 017)＝f (0)－f (1)＝0－(e －1)＝1－e ，故选A.答案：A11．x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．增函数D ．周期函数解析：函数f (x )＝x －[x ]在R 上的图象如下图：选D. 答案：D12．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝－2x ，则f (1)＋f (4)等于( ) A.32 B ．－32C ．－1D ．1解析：由f (x ＋4)＝f (x )知f (x )是周期为4的周期函数，又f (x )是定义在R 上的偶函数，故f (4)＝f (0)＝－1，f (1)＝f (－1)，又－1∈[－2,0]，所以f (－1)＝－2－1＝－12，所以f (1)＝－12，f (1)＋f (4)＝－32，选B.答案：B13．函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 3为奇函数，则a ＝________.解析：由题意知，g (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，∴a ＝－1. 答案：－114．设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.解析：f (x )＝x 2＋1＋2x ＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，令g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (x )为奇函数，有g (x )max ＋g (x )min ＝0，故M ＋m ＝2. 答案：215．已知函数f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈(0,1]时，f (x )＝lg(x ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝__________.解析：由函数f (x )是周期为2的奇函数得f ⎝⎛⎭⎫2 0165＝f ⎝⎛⎭⎫65＝f ⎝⎛⎭⎫－45＝－f ⎝⎛⎭⎫45＝－lg 95＝lg 59， 故f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝lg 59＋lg 18＝lg 10＝1.16．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是__________．解析：由已知可得x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)B 组 能力提升练1．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x 3＋3x 2B ．y ＝e x ＋e －x2C ．y ＝x sin xD ．y ＝log 23－x3＋x解析：依题意，对于选项A ，注意到当x ＝－1时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝4，因此函数y ＝x 3＋3x 2不是奇函数．对于选项B ，注意到当x ＝0时，y ＝1≠0，因此函数y ＝e x ＋e －x2不是奇函数．对于选项C ，注意到当x ＝－π2时，y ＝π2；当x ＝π2时，y ＝π2，因此函数y ＝x sin x 不是奇函数．对于选项D ，由3－x 3＋x ＞0得－3＜x ＜3，即函数y ＝log 23－x3＋x 的定义域是(－3,3)，该数集是关于原点对称的集合，且log 23－(－x )3＋(－x )＋log 23－x 3＋x ＝log 21＝0，即log 23－(－x )3＋(－x )＝－log 23－x 3＋x ，因此函数y ＝log 23－x3＋x是奇函数．综上所述，选D. 答案：D2．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－98D ．98解析：因为f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期T ＝4，又f (x )在R 上是奇函数，所以f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2. 答案：B3．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)满足f (x )≤f (a )对x ∈R 恒成立，则函数( ) A ．f (x －a )一定为奇函数 B ．f (x －a )一定为偶函数 C ．f (x ＋a )一定为奇函数 D ．f (x ＋a )一定为偶函数解析：由条件可知f (a )＝1，即x ＝a 是f (x )图象的一条对称轴．又y ＝f (x ＋a )的图象是由y ＝f (x )的图象向左平移a 个单位得到的，所以y ＝f (x ＋a )的图象关于x ＝0对称， 即y ＝f (x ＋a )为偶函数．故选D.4．奇函数f (x )的定义域为R.若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．1解析：由f (x ＋2)是偶函数可得f (－x ＋2)＝f (x ＋2)，又由f (x )是奇函数得f (－x ＋2)＝－f (x －2)，所以f (x ＋2)＝－f (x －2)，f (x ＋4)＝－f (x )，f (x ＋8)＝f (x )，故f (x )是以8为周期的周期函数，所以f (9)＝f (8＋1)＝f (1)＝1，又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (8)＝f (0)＝0，∴f (8)＋f (9)＝1. 答案：D5．已知函数f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f ⎝⎛⎭⎫lg 13＝( ) A.13 B ．－13C ．5D ．8解析：由f (lg 3)＝a sin(lg 3)＋b 3lg 3＋4＝3得a sin(lg 3)＋b 3lg 3＝－1，而f ⎝⎛⎭⎫lg 13＝f (－lg 3)＝－a sin(lg 3)－b 3lg 3＋4＝－[a sin(lg 3)＋b 3lg 3]＋4＝1＋4＝5.故选C. 答案：C6．若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R ，有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，则下列说法一定正确的是( ) A ．f (x )－1为奇函数 B ．f (x )－1为偶函数 C ．f (x )＋1为奇函数D ．f (x )＋1为偶函数解析：∵对任意x 1，x 2∈R 有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，∴令x 1＝x 2＝0，得f (0)＝－1.令x 1＝x ，x 2＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )＋1.∴f (x )＋1＝－f (－x )－1＝－[f (－x )＋1]，∴f (x )＋1为奇函数．故选C. 答案：C7．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：法一：偶函数满足f (x )＝f (|x |)，根据这个结论， 有f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13⇔f (|2x －1|)＜f ⎝⎛⎭⎫13， 进而转化为不等式|2x －1|＜13，解这个不等式即得x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，23.故选A.法二：设2x －1＝t ，若f (t )在[0，＋∞)上单调递增， 则f (x )在(－∞，0)上单调递减，如图， ∴f (t )＜f ⎝⎛⎭⎫13，有－13＜t ＜13，即－13＜2x －1＜13， ∴13＜x ＜23，故选A. 答案：A8．已知定义在R 上的奇函数满足f (x ＋4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)＜f (11)＜f (80) B ．f (80)＜f (11)＜f (－25) C ．f (11)＜f (80)＜f (－25) D ．f (－25)＜f (80)＜f (11) 解析：∵f (x ＋4)＝－f (x )， ∴f (x ＋8)＝－f (x ＋4)， ∴f (x ＋8)＝f (x )， ∴f (x )的周期为8，∴f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)， f (11)＝f (3)＝f (－1＋4)＝－f (－1)＝f (1)， 又∵奇函数f (x )在区间[0,2]上是增函数， ∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数， ∴f (－25)＜f (80)＜f (11)，故选D. 答案：D9．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x [f (x )－f (－x )]＜0的解集为( ) A ．{x |－1＜x ＜0，或x ＞1} B ．{x |x ＜－1，或0＜x ＜1} C ．{x |x ＜－1，或x ＞1} D ．{x |－1＜x ＜0，或0＜x ＜1}解析：∵奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (－x )＝－f (x )，x [f (x )－f (－x )]＜0，∴xf (x )＜0，又f (1)＝0， ∴f (－1)＝0，则有不等式x [f (x )－f (－x )]＜0的解集为{x |－1＜x ＜0或0＜x ＜1}，选D. 答案：D10．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x ＜－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x ＜3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)等于( ) A ．336 B ．337 C ．1 678D ．2 018解析：∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6， 当－3≤x ＜－1时，f (x )＝－(x ＋2)2， 当－1≤x ＜3时，f (x )＝x .∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝1， 由周期可得f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12)＝…＝f (2 011)＋f (2 012)＋…＋f (2 016)＝1， 而f (2 017)＝f (6×336＋1)＝f (1)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝336×1＋1＝337.故选B. 答案：B11．对任意的实数x 都有f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)，若y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，且f (0)＝2，则f (2 015)＋f (2 016)＝( ) A ．0 B ．2 C ．3D ．4 解析：y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，则函数y ＝f (x )的图象关于x ＝0对称， 即函数f (x )是偶函数，令x ＝－1，则f (－1＋2)－f (－1)＝2f (1)， 即f (1)－f (1)＝2f (1)＝0， 即f (1)＝0，则f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)＝0， 即f (x ＋2)＝f (x )，则函数的周期是2，又f (0)＝2，则f (2 015)＋f (2 016)＝f (1)＋f (0)＝0＋2＝2.故选B. 答案：B12．(2017·潍坊模拟)设函数y ＝f (x )(x ∈R)为偶函数，且∀x ∈R ，满足f ⎝⎛⎭⎫x －32＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )＝( ) A ．|x ＋4| B ．|2－x | C ．2＋|x ＋1|D ．3－|x ＋1|解析：∵∀x ∈R ，满足f ⎝⎛⎭⎫x －32＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴∀x ∈R ，满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋32－32＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＋12， 即f (x )＝f (x ＋2)，若x ∈[0,1]，则x ＋2∈[2,3]， f (x )＝f (x ＋2)＝x ＋2， 若x ∈[－1,0]，则－x ∈[0,1]， ∵函数y ＝f (x )(x ∈R)为偶函数， ∴f (－x )＝－x ＋2＝f (x )， 即f (x )＝－x ＋2，x ∈[－1,0]； 若x ∈[－2，－1]，则x ＋2∈[0,1]， 则f (x )＝f (x ＋2)＝x ＋2＋2＝x ＋4， x ∈[－2，－1]．综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，－2≤x ＜－1，－x ＋2，－1≤x ≤0，故选D.答案：D13．(2018·保定调研)已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)，若f (a )＝－2，则实数a ＝________.解析：x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－14的最小值为0，所以f (a )＝－2时，a ＜0，因为f (x )为R 上的奇函数，当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝－x (－x ＋1)＝x 2－x ＝－f (x )，所以x ＜0时，f (x )＝－x 2＋x ，则f (a )＝－a 2＋a ＝－2，所以a ＝－1. 答案：－114．偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.解析：因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，f (－x )＝f (4＋x )，又f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝f (4＋x )，则f (－1)＝f (4－1)＝f (3)＝3. 答案：315．函数f (x )＝e x ＋3x (x ∈R)可表示为奇函数h (x )与偶函数g (x )的和，则g (0)＝________. 解析：由题意可知h (x )＋g (x )＝e x ＋3x ①，用－x 代替x 得h (－x )＋g (－x )＝e －x －3x ，因为h (x )为奇函数，g (x )为偶函数，所以－h (x )＋g (x )＝e －x －3x ②.由(①＋②)÷2得g (x )＝e x ＋e －x2，所以g (0)＝e 0＋e 02＝1.答案：116．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f (5a )的值是________． 解析：由题意可得f ⎝⎛⎫－52＝f ⎝⎛⎫－12＝－12＋a ，f ⎝⎛⎫92＝f ⎝⎛⎫12＝⎪⎪⎪25－12＝110，则－12＋a ＝110，a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.答案：－25。