2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2练习：综合练习 Word版含答案

选修1－2 学业质量标准自测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数1－3i2－i ＝导学号 18674584( B )A ．1＋iB ．1－iC ．iD ．－i[解析] 1－3i 2－i ＝(1－3i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5－5i5＝1－i.2．已知集合A ＝{2，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的导学号 18674585( A )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 本题考查了充要条件的判断．当a ＝3时，A ＝{2,3}，故A ⊆B ，若A ⊆B ⇒a ＝1或a ＝3，故为充分不必要条件． 3．下列命题的否命题为“邻补角互补”的是导学号 18674586( C ) A ．邻补角不互补 B ．互补的两个角是邻补角 C ．不是邻补角的两个角不互补 D ．不互补的两个角不是邻补角[解析] “邻补角”的否定是“不是邻补角”，“互补”的否定是“不互补”，故选C ． 4．(2016·江西抚州高二检测)为了帮家里减轻负担，高二学生小明利用暑假时间打零工赚学费，他统计了其中五天的工作时间x (小时)与报酬y (元)的数据，分别是(2,30)、(4,40)、(5，m )、(6,50)、(8,70)，他用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为y ＝6.5x ＋17.5，则其中m 为导学号 18674587( D )A ．45B ．50C ．55D ．60[解析] 由题意知x －＝2＋4＋5＋6＋85＝5，又∵点(x －，y －)在回归直线y －＝6.5x ＋17.5上，∴y －＝6.5×5＋17.5＝50， ∴50＝30＋40＋m ＋50＋705，∴m ＝60，故选D ．5．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，下列假设正确的是导学号 18674588( D )A ．假设2是有理数B ．假设3是有理数C ．假设2或3是有理数D ．假设2＋3是有理数[解析] “2＋3是无理数”的否定是“2＋3不是无理数”，故选D ．6．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，其中可以输出的函数是导学号 18674589( D )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝1xC ．f (x )＝ln x ＋2x －6D ．f (x )＝sin x[解析] 第一个判断框的目的是判断输入的函数是否为奇函数，第二个判断框的目的是判断输入的函数是否存在零点．结合选项知，函数f (x )＝sin x 为奇函数，且存在零点，故选D ．7．利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y 有关系”的可信度，如果k >5.024，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为导学号18674590(D)A．25%C．2.5% D．97.5%[解析]查表可得K2>5.024.因此有97.5%的把握认为“x和y有关系”．8．如图是《选修1－2》第二章“推理与证明”的知识结构图，不是证明方法的是导学号18674591(A)A．类比B．综合法C．反证法D．分析法[解析]据推理的相关知识及结构图知，类比不是证明方法．故选A．9．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影是A1、B1，则∠A1FB1等于导学号18674592(C)A．45°B．60°C．90°D．120°[解析]如图由抛物线的定义得，|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A1AF＋∠B1BF＝360°，且∠A1AF＋∠B1BF＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2(∠2＋∠4)＝180°，即∠2＋∠4＝90°，故∠A 1FB 1＝90°.10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是导学号 18674593( D )A ．x 23－y 24＝1B ．x 24－y 23＝1C ．x 25－y 22＝1D ．x 22－y 25＝1[解析] 由题知c ＝7，设双曲线方程为x 2t －y 27－t＝1(t >0)由⎩⎨⎧x 2t －y 27－t＝1y ＝x －1消去y 得，(7－2t )x 2＋2tx －8t ＋t 2＝0. 由题意知x 1＋x 22＝－23，∴x 1＋x 2＝2t 2t －7＝－43，∴t ＝2，∴双曲线方程为x 22－y 25＝1.11．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值依次是导学号 18674594( B )A ．12，－15B ．5，－15C ．5，－4D ．－4，－15[解析] y ′＝6x 2－6x －12＝6(x 2－x －2)＝6(x －2)·(x ＋1)，令y ′＝0，得x ＝－1或x ＝2，∵x ∈[0,3]，∴x ＝－1舍去． 列表如下：由上表可知，函数在[0,3]上的最大值为5，最小值为－15，故选B ． 12．已知函数f (x )(x ∈R )满足f ′(x )＞f (x )，则导学号 18674595( D ) A ．f (2)<e 2f (0) B ．f (2)≤e 2f (0) C ．f (2)＝e 2f (0)D ．f (2)>e 2f (0)[分析] 所给四个选项实质是比较f (2)与e 2f (0)的大小，即比较f (2)e 2与f (0)e 0的大小，故构造函数F (x )＝f (x )ex 解决．[解析] 设F (x )＝f (x )e x ，则f ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x >0，∴F (x )在R 上为增函数，故F (2)>F (0)， ∴f (2)e 2>f (0)e0，即f (2)>e 2f (0)． 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52，则¬p ＝ ∀x ∈R ，使sin x ≠2.导学号 18674596 [解析] 全称命题的否定是特称命题．14．(2016·福建宁德市高二检测)已知复数z 满足z (1＋i)＝1(i 为虚数单位)，则z ＝ 12－12i .导学号 18674597 [解析] z ＝11＋i＝1－i 2＝12－12i.15．观察下列等式 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 ……照此规律，第五个等式应为__5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81__.导学号 18674598[解析] 第1个等式有1项，从1开始；第2个等式有3项，从2开始； 第3个等式有5项，从3开始； 第4个等式有7项，从4开始．每个等式左边都是相邻自然数的和，右边是项数的平方，故由已知4个等式的变化规律可知，第5个等式有9项，从5开始，等式右边是92，故为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81.16．已知点A (x 1，ax 1)、B (x 2，ax 2)是函数y ＝a x (a >1)的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间的函数图象的上方，因此有结论ax 1＋ax 22>ax 1＋x 22成立．运用类比的思想方法可知，若点A (x 1，sin x 1)、B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象上任意不同的两点，则类似地有sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22成立.导学号 18674599 [解析] 依据函数y ＝sin x (x ∈(0，π))的图象可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图象的下方，所以有sin x 1＋sin x 22<sin x 1＋x 22.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(1)计算(1＋i 2)2＋5i3＋4i ；导学号 18674600(2)复数z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )满足z ＋2i z －＝3＋i ，求复数z 的对应点Z 所在的象限． [解析] (1)原式＝2i2＋5i (3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝i ＋4＋3i 5＝45＋85i.(2)由z ＋2i z －＝3＋i 得 (x ＋2y )＋(y ＋2x )i ＝3＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3y ＋2x ＝1， 解得x ＝－13，y ＝53，∴z ＝－13＋53i ，∴复数z 对应点Z 的坐标为(－13，53)，即在第二象限．18．(本题满分12分)已知命题p ：方程x 22－m ＋y 2m －1＝1的曲线是焦点在y 轴上的双曲线，命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，又p ∨q 为真，¬q 为真，求实数m 的取值范围.导学号 18674601[解析] p ：⎩⎪⎨⎪⎧2－m <0m －1>0，∴m >2.故p ：m >2.q ：△＝16(m －2)2－16<0， 即m 2－4m ＋3<0， ∴1<m <3. 故q ：1<m <3.又∵p ∨q 为真，¬q 为真， ∴p 真q 假，即⎩⎨⎧m >2m ≤1或m ≥3，∴m ≥3.19．(本题满分12分)(2016·广东河源市高二检测)为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎开放”政策的热度，现在某市进行调查，随机抽调了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：导学号 18674602“生育二胎放开”政策的支持度有差异.参考数据：[解析] 列联表如下：由公式得K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝50(3×11－7×29)210×40×32×18≈6.272<6.635.故没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异． 20．(本题满分12分)已知a 、b 、c 是全不相等的正实数，求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －bb ＋a ＋b －cc>3.导学号 18674603 [解析] 解法一：(分析法)要证b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c >3，只需证明b a ＋c a －1＋c b ＋a b －1＋a c ＋bc －1>3，即证b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋bc>6.而事实上，由a 、b 、c 是全不相等的正实数， 得b a ＋a b >2，c a ＋a c >2，c b ＋b c >2. 从而b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c >6.故b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3得证． 解法二：(综合法) ∵a 、b 、c 全不相等，∴b a 与a b ，c a 与a c ，c b 与bc 全不相等． ∴b a ＋a b >2，c a ＋a c >2，c b ＋b c >2. 三式相加得b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋bc >6，∴(b a ＋c a －1)＋(c b ＋a b －1)＋(a c ＋bc －1)>3， 即b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc>3. 21．(本题满分12分)(2017·全国Ⅲ文，20)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：导学号 18674604(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由．(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． [解析] (1)解：不能出现AC ⊥BC 的情况．理由如下： 设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2. 又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为(x 22，12)，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2(x 2－x 22)．由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎨⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2(x －x22)，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－m 2，－12)，半径r ＝m 2＋92. 故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－(m2)2＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．22．(本题满分12分)(2017·全国Ⅱ文，21)设函数f (x )＝(1－x 2)e x .导学号 18674605 (1)讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥0时，f (x )≤ax ＋1，求a 的取值范围． [解析] (1)解：f ′(x )＝(1－2x －x 2)e x . 令f ′(x )＝0得x ＝－1－2或x ＝－1＋ 2. 当x ∈(－∞，－1－2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－1－2，－1＋2)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－1＋2，＋∞)时，f ′(x )<0.所以f (x ) 在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)单调递减，在(－1－2，－1＋2)单调递增．(2)解：f (x )＝(1＋x )(1－x )e x . 当a ≥1时，设函数h (x )＝(1－x )e x ， 则h ′(x )＝－x e x <0(x >0)， 因此h (x )在[0，＋∞)单调递减． 而h (0)＝1，故h (x )≤1所以f (x )＝(x ＋1)h (x )≤x ＋1≤ax ＋1. 当0<a <1时，设函数g (x )＝e x －x －1， 则g ′(x )＝e x －1>0(x >0)， 所以g (x )在[0，＋∞)单调递增．而g(0)＝0，故e x≥x＋1.当0<x<1时，f(x)>(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，取x0＝5－4a－12，则x0∈(0,1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，故f(x0)>ax0＋1.当a≤0时，取x0＝5－12，则x0∈(0,1)，f(x0)>(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax＋1.综上，a的取值范围是[1，＋∞)．11。