高等数学教案第五周

教学内容 章节：第二章 导数与微分
教学设计 高阶导数求 导相对较难， 需重点进行 提示 需熟记，特别 是几个函数 导数 熟悉几种函 数的求导过 程
第四节 高阶导数 第五节 隐函数的导数及参数方程所确定的函数的导数 第四节 高阶导数 一．高阶导数 在一阶导数的基础上再求导就是二阶导数 在二阶导数的基础上再求导就是三阶导数 以此类推：一阶导数记作： y,
(a 0, a 1),
生提问分段 函数的导数 求法，并给出 相应例题。
x 0,
解：当
x 0,
2 f ( x ) ln a a x a x cos x sin x f / (x) x2
/
2 x 2 a 1 1 f ( x ) f (0) a f / _ (0) lim lim a x 0 x x 0 x 0
dy dy dt e y cos t dx dx 2( t 1)(1 e y sin t ) dt
3、 分段函数的导数
dy e y cos t dt 1 e y sin t
用多媒体展 示案例，向学
2 2 x a 1 , x0 a a 1) 设 f ( x ) sin x , x0 x / 求： f ( x )
x v1t 例 设参数方程 y v t - 1 gt2 ，求 2 2
例 设
y
本节难点： 隐
x a(t - sin t ) 0 t 2 求 y y a ( 1 cos t )
函数和参数 方程确定的 函数的二阶
例 1：求下列隐函数的导数 （1）设 ysinx cosx y 0 解： 方程两边对 x 求导， 求 y/
2 x (a 1) 2 lim a ln a x a x 0
sin x 1 f ( x ) f (0) / x f (0) lim lim x x x 0 x 0
教师完成本 教学单元教 学后对教学 设计、教学重 难点把握、教 学方法应用、 教学效果等 课堂教学过 程情况的总 结与分析，为 以后教学提 供经验和素 材
熟记几个常 用的 n 阶导数
f ( x)
案例 2 若水以 2 立方米/分的速度灌入一个高为 10 米的、底 通 过 案 例 来 面半径是 5 米的圆锥形水槽中，问当水深为 6 米时，水位的上 比 较 高 阶 导 升速度是多少？ 案例 3 数和一阶的
dy 联系和区别。 x a cost (0 t 2 ) 所确定的一阶导数 求方程 的 dx y b sin t 作业：2-4
1 e
1 e
师向学生提 问，隐函数的 求导实质。
y yx 是由方程 e y xy e 所确定的隐函数,
试求 y / 0 , y
0 。
①
解: 方程两边对 x 求导：
e y y / y xy / 0
方程两边再对 x 求导：
e y y // e y y /
d2y dx2
值，再求二阶导数
1题
二．[莱布尼茨（Leibniz）公式]
第五节 隐函数的导数及参数方程所确定的函数的导数 一．隐函数求导法 （1）学生阅读 55 页内容总结隐函数求导法则 （2）方程两侧对 x 求导，遇到含有 y 的项，先对 y 求导，再 对 x 求到，这样得到一个含有 y 的式子，求出 y 即可 例 求由方程 xy - e e 0 确定的隐函数的导数 y
2 2y / xy // 0
②
/ 由原方程知，当 x 0 时， y 1 ，代入①得 y (0)
1 e
再将 x
//
0 ， y 1， y / (0) 1 代入②式，
e
得 y (0) 2
1
e
x e 2 t 1 (4) 设 3 y t 1
lim
sin x x x2
x 0
cos x 1 lim 0 2 x x 0
f / (0) f / (0)
∴
x0 / f ( x ) f (0) 不存在，故 x0
/
高阶导数（n 阶）略， 例
y x (2x 1) ( x 3)
一阶导数连续 解： ① a lim g(x) lim
x 0
f (x) f (x) f (0) lim f / (0) x x 0 x x 0
本节给出了 较多的例题， 目的就是加 深对个各种 函数求导的 巩固。
y( x ) 在 x 0 连续， 也就是在（ , ）连续
x y
例 设曲线 3 y 程
2
x2 ( x 1) ， 求在 2,2 处的切线斜率和切线方
例 求由方程 sin x sin
y 。
y - xy 2 确定的隐函数的导数
本节重点： 隐 函数和参数 方程确定的
例 求由方程 x -
y sin x 6 确定的隐函数的导数 dy x sin x sin y dx
导数的求法， 幂指函数的 求导法．
y / sinx ycosx sin x y 1 y / 0


y/
ycosx sinx y sinx y sinx
xy
（2）设 y yx 是由函数， x 1
/
0
解： 由原方程知当 x=0 时， y 方程两边对 x 求导。
1 ， e
e
xy

1 ey / 0 1 0 e
(3)
//
1 y/ 1 y y xy 0 ， 将 x=0 ， 代入得： 学 生 自 行 讨 e y 1 x 论解决，由教
/

/ ∴ y 0 1
通过此例题 的讲解，使学 生理解并掌 握由参数方
3 t (1 t )e 4 t 2
(5) 设
y y ( x) 是由方程组
dy 。 dx
程确定的函 x t 2 2t 3 所确定的函 y 数的求导法。 y e sin t 1 0
数，求： 解：
dx 2t 2 dt dy dy e y cos t e y sin t 0 dt dt
x 0
/
//
//
而 lim g ( x ) lim
x 0
作业：2-5 1、2、4 题
xf // (x) f / (x) f / (x) f // (0) lim lim g / 0 x 0 x 0 2x 2
g / x 在 x 0 连续,即在 ,连续
即当 a
f (0),
/
f (x) f / (0) g ( x ) g ( 0 ) / lim x ② g (0) lim x x x 0 x 0
lim
/
f (x) f ( x ) f (0) lim 2 x 0 2x x 0 2
xf / ( x ) f ( x ) x2
dy 求 dx ,
d2y dx 2
dy dy dt 3t 2 3 2 2 t 解： t e dx dx 2e 2 t 2 dt
dy d dy dx d 2 d y dx dt 3 (2 te2 t 2 t 2 e 2 t ) 1 dx dx 2 dx 2 2e 2 t dt
y ( 6)
2
3
4 6 !
x0
2) 设 f ( x ) 在（ , ）上具有二阶连续导数，且 f (0) 0 ，对
f (x) x 函数 g( x ) a
x0
(1) 确定 a 的值，使 g( x ) 在（ , ）上连续 (2) 对（1）中确定的 a ，证明 g( x ) 在（ , ）上
函数的求导 方法．
二．对数求导法则 （1）学生阅读 56 页内容总结对数求导法则 （2）对数求导事实上是把一些通过乘除乘方开方构成的复杂 函数转化成隐函数，然后再运用隐函数求导法则求出导数
2 3 例 y (x - 1) (3x 1) (x - 2) 求
y
sin x 例yx 求
y
例yx 求
dy dx
二阶导数记作： y, 三阶导数记作： y, 例 计算 y x 的二阶导数
3
d y n3 dx y (n) d n 阶导数记作： y , n dx
d y 2 dx 3
2
例 计算 y sin x 的二阶导数 例 计算 y cos x 的二阶导数 案例 1
f( x) x sin x ，求 f ( x ) ， 1 cos x
xx
y
例y
x - 1 ( x 1)11 求 ( x 2)10 (2x - 8) 21
y
用讲授、交流 讨论来讲解
三．参数方程求导 （1）学生阅读 117 页总结参数方程求导法 对数求导法 则和参数方 程求导。
x (t ) （2）设参数方程 y (t )
dy dy dt y 则 dx dx dt