重庆南开2022级高一下期中数学试卷
重庆市南开中学高一数学下学期期中试卷(含解析)
重庆市南开中学2 014-2015学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（每小题5分，l0小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）1．已知等比数列{a n}中，a2=﹣4，，则公比q=（）A．﹣2 B．C．D．22．己知向量，非零不共线，则下列各组向量中，可作为平面向量的一组基底的是（）A．，B．，C．，D．，3．等比数列{a n}中，“公比q＞1”是“数列{a n}单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．下列说法中，一定成立的是（）A．若a＞b，c＞d，则ab＞cd B．若|a|＜b，则a+b＞0C．若a＞b＞0，则a b＞b a D．若，则a＜b5．设等差数列{a n}的前n项和S n，若a1+a5+a8=a2+12，则S11=（）A．44 B．66 C．100 D．1326．某人月初0元购入一部5000元的手机，若采用分期付款的方式每月月底等额还款，分l0个月还清，月利率0.1%按复利计算，则他每月应还款（1.011.00110≈1.01）（）A．500元B．505元C．510元D．515元7．已知，则（1﹣2x）x2（1+2x）的最大值为（）A．B．C．D．8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．9 B．11 C．55 D．669．已知四边形ABCD，==（1，1），+=，则四边形ABCD的面积为（）A．1 B．C．D．210．各项均为正数的数列{a n}满足：a n+1=，若存在三个不同的首项a1，使得a3=m，则实数m的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，1）C．[，1）D．[，2]二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡Ⅱ上相应位置（只填结果，不写过程）11．已知数列2，，，，…，则是该数列中的第项．12．已知向量满足：，，则向量与的夹角为．13．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=3a n﹣2，求a n=．14．已知两个单位向量的夹角为，设向量，其中t∈R，当取最小值时，t=．15．已知在锐角△AB C中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是．三、解答题；（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡Ⅱ上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16．已知向量=（1，2），=（1，﹣1）．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设向量，若与的夹角为钝角，求实数x的取值范围．17．已知等差数列{a n}的公差d＜0，a3a5=112，a4=11．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，当n为何值时，S n取得最大值？并求此最大值．18．已知x＞0，y＞0，x+2y﹣xy=0．（Ⅰ）求xy的最小值；（Ⅱ）求x+y的最小值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（Ⅰ）求{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）记，求．20．已知数列{a n}满足：a1=1，a n=，设b n=3n﹣1（a n+1）．（Ⅰ）证明：{b n}是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和．21．若函数f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N*}中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数f（x）是等比源函数．（Ⅰ）判断下列函数：①y=x2；②；③y=log2x中，哪些是等比源函数？（不需证明）（Ⅱ）判断函数f（x）=2x+1是否为等比源函数，并证明你的结论；（Ⅲ）证明：∀d，b∈N*，函数g（x）=dx+b都是等比源函数．重庆市南开中学2014-2015学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（每小题5分，l0小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）1．已知等比数列{a n}中，a2=﹣4，，则公比q=（）A．﹣2 B．C．D．2考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：直接利用等比数列的通项公式化简求解即可．解答：解：等比数列{a n}中，a2=﹣4，，可得a2q3=a5，即﹣4q3=，解得q=﹣．故选B．点评：本题考查等比数列的通项公式的应用，等比数列的性质的应用，考查计算能力．2．己知向量，非零不共线，则下列各组向量中，可作为平面向量的一组基底的是（）A．，B．，C．，D．，考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：判断向量是否共线，推出结果即可．解答：解：=﹣（），选项B的两个向量共线，不正确；，选项C的两个向量共线，不正确；，选项D的两个向量共线，不正确；故选：A．点评：本题考查平面向量基本定理的应用，基本知识的考查．3．等比数列{a n}中，“公比q＞1”是“数列{a n}单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据等比数列递增的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若a1＜0，q＞1时，{a n}递减，∴数列{a n}单调递增不成立．若数列{a n}单调递增，当a1＜0，0＜q＜1时，满足{a n}递增，但q＞1不成立．∴“公比q＞1”是“数列{a n}单调递增”的既不充分也不必要条件．故选：D点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质是解决本题的关键，比较基础．4．下列说法中，一定成立的是（）A．若a＞b，c＞d，则ab＞cd B．若|a|＜b，则a+b＞0C．若a＞b＞0，则a b＞b a D．若，则a＜b考点：不等关系与不等式．专题：不等式．分析：通过取特殊值，判断A，C，D，通过绝对值的性值得到B一定成立．解答：解：对于A，若a=2，b=1，c=﹣4，d=﹣5，显然ab＜cd，故A不一定成立；对于B，若|a|＜b，则﹣b＜a＜b，故a+b＞0一定成立，对于C，若a=4，b=3时43=64，34=81，不成立，对于D，当a=1，b=﹣2时，不成立，故选：B．点评：本题考查了不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题5．设等差数列{a n}的前n项和S n，若a1+a5+a8=a2+12，则S11=（）A．44 B．66 C．100 D．132考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的通项公式，可得a1+a11=12，依据等差数列的前n项和公式即可求解．解答：解：在等差数列中，∵a1+a5+a8=a2+12，∴2a1+10d=12，即a1+a11=12，则S11=（a1+a11）=66．故选：B．点评：本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式的计算，求出a1+a11=12是解决等差数列的关键．6．某人月初0元购入一部5000元的手机，若采用分期付款的方式每月月底等额还款，分l0个月还清，月利率0.1%按复利计算，则他每月应还款（1.011.00110≈1.01）（）A．500元B．505元C．510元D．515元考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：应用题；等差数列与等比数列．分析：根据条件，结合等比数列的前n项和公式建立方程关系即可得到结论解答：解：把5000元存入银行10个月，月利0.1%，按复利计算，则本利和为5000×（1+0.1）10=5000×（1.001）10=5000×1.01=5050，每月存入银行a元，月利0.1%，按复利计算，则本利和为a+a（1+0.1%）+a（1+0.1%）2+…+a（1+0.1%）9=a•=a•=10a．由题意知10a=5050，解得a=505（元）．即每月还款大约为505元，故选：B点评：本题主要考查函数的应用问题，结合等比数列的前n项和公式是解决本题的关键7．已知，则（1﹣2x）x2（1+2x）的最大值为（）A．B．C．D．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：换元t=4x2∈[0，1），恒等变形得出1﹣2x）x2（1+2x）=×（1﹣t）t利用基本不等式求解即可．解答：解：∵，∴t=4x2∈[0，1），∴（1﹣2x）x2（1+2x）=×（1﹣t）t×=（t=时等号成立），∵t=时，x=，∴当x=时，（1﹣2x）x2（1+2x）的最大值为，故选：C．点评：本题考察了换元法转为基本不等式求解最大值问题，关键是构造条件，等号是否成立，8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．9 B．11 C．55 D．66考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=1×的值，约分计算即可得解．解答：解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=1×的值，由于S=1×==66．故选：D．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，模拟执行程序框图，正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．9．已知四边形ABCD，==（1，1），+=，则四边形ABCD的面积为（）A．1 B．C．D．2考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据题意，利用向量加法的平行四边形法则得到四边形ABCD是菱形且∠BAD=135°，因此算出||=||=，即可求出四边形ABCD的面积．解答：解：因为四边形ABCD，=，所以四边形ABCD是平行四边形，因为+=，所以AC是平行四边形ABCD的角平分线，且∠BAD=135°可得四边形ABCD是菱形，||=||=，因此四边形ABCD的面积S==．故选：B．点评：本题给出四边形ABCD满足的向量等式，求四边形ABCD的面积．着重考查了向量加法的平行四边形法、向量模的公式与平行四边形面积求法等知识，属于中档题．10．各项均为正数的数列{a n}满足：a n+1=，若存在三个不同的首项a1，使得a3=m，则实数m的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，1）C．[，1）D．[，2]考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：分类讨论：当时，a2=2a1≤1，可得a3=4a1=m，解得m范围．同理当时，得a1=，解得m范围．当a1＞1时，解得a1=，解得m范围．由于存在三个不同的首项a1，使得a3=m，求其交集即可．解答：解：当时，a2=2a1≤1，∴a3=2a2=4a1=m，得，解得m≤2．当时，a2=2a1＞1，a3===m，解得a1=，∴，解得．当a1＞1时，＜1，∴a3=2a2==m，解得a1=，∴＞1，解得m＜2．∵存在三个不同的首项a1，使得a3=m，∴，解得．∴实数m的取值范围是．故选：C．点评：本题考查了分类讨论思想方法、不等式的性质、分段函数性质、集合运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡Ⅱ上相应位置（只填结果，不写过程）11．已知数列2，，，，…，则是该数列中的第12项．考点：数列的函数特性．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据条件求出数列的通项公式即可得到结论．解答：解：数列的等价条件为，，，，…，则数列的通项公式为a n=，由a n==，解得n=18，即则是该数列中的第18项，故答案为：18点评：本题主要考查数列的通项公式的求解，根据数列项的概率求出数列的通项公式是解决本题的关键．12．已知向量满足：，，则向量与的夹角为120°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：把已知式子平方代入数据可得向量夹角的余弦值，可得向量的夹角．解答：解：∵，，∴=1，∴1+4+2×1×4×cosθ=1，解得cosθ=∴向量与的夹角θ=120°故答案为：120°点评：本题考查平面向量的夹角，属基础题．13．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=3a n﹣2，求a n=3n﹣1+1．考点：数列的概念及简单表示法．专题：探究型；转化思想．分析：题目给出了数列的首项及递推式，求解通项公式时，首先把递推式变形，变为我们熟悉的等比数列，求出新数列的通项公式后再求原数列的通项．解答：解：由a n+1=3a n一2得：a n+1﹣1=3（a n﹣1），∵a1﹣1=2﹣1=1≠0，∴数列{a n﹣1}构成以1为首项，以3为公比的等比数列，∴，∴．故答案为3n﹣1+1．点评：本题考查了给出递推式求数列通项公式的方法，对于a n+1=pa n+q型的递推式，一般能够造成{a n+x}型的等比数列，属常见题．14．已知两个单位向量的夹角为，设向量，其中t∈R，当取最小值时，t=．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得2=（t+）2+，由二次函数的最值可得．解答：解：由题意可得2==+2t+=1+2t×+t2=t2+t+1=（t+）2+，由二次函数可知当t=﹣时，2取最小值，∴当取最小值时，t=故答案为：点评：本题考查平面向量的模长公式，涉及二次函数的最值，属基础题．15．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是（0，12）．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，得到C的坐标，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范围．解答：解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，因为∠B=，|﹣|=||=2，所以C（1，），设A（x，0）因为△ABC是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A＜90°，即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），所以1＜x＜4，则=x2﹣x=（x﹣）2﹣，所以的范围为（0，12）．故答案为：（0，12）．点评：本题考查了向量的几何意义以及利用坐标法求数量积范围；属于中档题．三、解答题；（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡Ⅱ上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16．已知向量=（1，2），=（1，﹣1）．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设向量，若与的夹角为钝角，求实数x的取值范围．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）由题意可得2﹣的坐标，由模长公式可得；（Ⅱ）可得向量的坐标，由与的夹角为钝角可得＜0，解不等式排除向量反向可得．解答：解：（Ⅰ）∵=（1，2），=（1，﹣1），∴2﹣=（2，4）﹣（1，﹣1）=（1，5），∴==；（Ⅱ）可得=（x+x2，2x﹣x2），由与的夹角为钝角可得=（x+x2）﹣（2x﹣x2）＜0，解方程可得0＜x＜，若向量反向则x+x2+2x﹣x2=0，解得x=0，此时向量为，不满足题意，∴实数x的取值范围为（0，）．点评：本题考查平面向量的夹角，涉及向量的模长公式，属基础题．17．已知等差数列{a n}的公差d＜0，a3a5=112，a4=11．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，当n为何值时，S n取得最大值？并求此最大值．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据等差数列的通项公式建立方程组关系求出首项和公差即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）根据数列的通项公式，求出a n=23﹣3n≥0得值，即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）∵等差数列{a n}的公差d＜0，a3a5=112，a4=11．∴（a4﹣d）（a4+d）=112，即（11﹣d）（11+d）=112，则121﹣d2=112，即d2=9，d=﹣3，∵a4=a1+3d=11，∴a1=20，则数列{a n}的通项公式a n=20﹣3（n﹣1）=23﹣3n；（Ⅱ）∵a n=23﹣3n，∴由a n=23﹣3n≥0得n≤；即当1≤n≤7时，a n＞0，当n≥8时，a n＜0，∴当n=7时，S n取得最大值，求此最大值S7==77．点评：本题主要考查等差数列的通项公式以及前n项和的性质，根据方程组求出首项和公差是解决本题的关键．18．已知x＞0，y＞0，x+2y﹣xy=0．（Ⅰ）求xy的最小值；（Ⅱ）求x+y的最小值．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（I）由于x＞0，y＞0，x+2y﹣xy=0．变形利用基本不等式的性质即可得出．（II）由x+2y=xy，解得y=＞0，解得x＞2．变形x+y=x+=x﹣2++2，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（I）∵x＞0，y＞0，x+2y﹣xy=0．∴xy=x+2y，化为xy≥8，当且仅当x=2y=4时取等号．∴xy的最小值是8；（II）由x+2y=xy，解得y=＞0，解得x＞2．∴x+y=x+=x﹣2++2≥2+2=2+2，当且仅当x=2+，y=1+时取等号．∴x+y的最小值为2+2．点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于基础题．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（Ⅰ）求{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）记，求．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用“裂项求和”即可得出．解答：解：（I）∵满足，∴当n=1时，a1=2﹣（2+1）a1，解得a1=．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为．∴数列是等比数列，首项为，公比为．∴=．∴．（Ⅱ）=．∴==．∴=++…+=2=3﹣．点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式与“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知数列{a n}满足：a1=1，a n=，设b n=3n﹣1（a n+1）．（Ⅰ）证明：{b n}是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和．考点：数列递推式；数列的求和．专题：证明题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知可得b n﹣b n﹣1=2，即可证明，（II）由于通项是一个等差数列与一个等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的前n项和．解答：解：（Ⅰ）证明：∵a1=1，a n=，∴3a n=a n﹣1+﹣2（n≥2），∴b n﹣b n﹣1=3n﹣1a n+3n﹣1﹣3n﹣2a n﹣1﹣3n﹣2=3n﹣2（a n﹣1+﹣2﹣a n﹣1）+2•3n﹣2=3n﹣2（a n﹣1+﹣2﹣a n﹣1+2）=2．∴则{b n}是首项为2，公差为2的等差数列．（Ⅱ）∵b n=3n﹣1（a n+1）=2+（n﹣1）2，可解得：a n=，∴s n=1+（）+（﹣1）+（﹣1）+…+（）=+++…++2﹣n，①3s n=2×2+++…++6﹣3n，②∴②﹣①可得：2s n=++…+﹣+8﹣2n，∴s n=++…+﹣+4﹣n=﹣﹣n﹣．点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求通项公式及数列的求和，属于中档题．21．若函数f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N*}中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数f（x）是等比源函数．（Ⅰ）判断下列函数：①y=x2；②；③y=log2x中，哪些是等比源函数？（不需证明）（Ⅱ）判断函数f（x）=2x+1是否为等比源函数，并证明你的结论；（Ⅲ）证明：∀d，b∈N*，函数g（x）=dx+b都是等比源函数．考点：等比数列的性质．分析：（Ⅰ）直接举例说明题目给出的三个函数都是“等比源函数”；（Ⅱ）利用反证法思想证明函数f（x）=2x+1不是等比源函数；（Ⅲ）首先证明数列{g（n）}为等差数列，然后验证g（1），g[g（1）+1]，g[2g（1）+g（1）d+1]构成等比数列，从而说明结论的正确性．解答：（Ⅰ）解：对于函数y=x2，分别取x=1，2，4，对应的函数值为1，4，16，构成等比数列，符合等比源函数定义，∴函数y=x2是等比源函数；对于函数，分别取x=1，2，4，对应的函数值为1，，构成等比数列，符合等比源函数定义，∴函数是等比源函数；对于函数y=log2x，分别取x=2，4，16，对应的函数值为1，2，4，构成等比数列，符合等比源函数定义，∴函数y=log2x是等比源函数．∴①②③都是等比源函数；（Ⅱ）解：函数f（x）=2x+1不是等比源函数．证明如下：假设存在正整数m，n，k且m＜n＜k，使得f（m），f（n），f（k）成等比数列，则（2n+1）2=（2m+1）（2k+1），整理得22n+2n+1=2m+k+2m+2k，等式两边同除以2m，得22n﹣m+2n﹣m+1=2k+2k﹣m+1．∵n﹣m≥1，k﹣m≥2，∴等式左边为偶数，等式右边为奇数，∴等式22n﹣m+2n﹣m+1=2k+2k﹣m+1不可能成立，∴假设不成立，说明函数f（x）=2x+1不是等比源函数；（Ⅲ）证明：∵∀b，n∈N*，都有g（n+1）﹣g（n）=d，∴∀d，b∈N*，数列{g（n）}都是以g（1）为首项，公差为d的等差数列．∀d，b∈N*，g（1），g（1）（1+d），g（1）（1+d）2成等比数列，∵g（1）（1+d）=g（1）+（g（1）+1﹣1）d=g[g（1）+1]，g（1）（1+d）2=g（1）+（2g（1）+g（1）d+1﹣1）d=g[2g（1）+g（1）d+1]，∴g（1），g[g（1）+1]，g[2g（1）+g（1）d+1]∈{g（n）|n∈N*}，∴∀d，b∈N*，函数g（x）=dx+b都是等比源函数．点评：本题考查了等比数列的性质，是新定义题，解答的关键是通过举例验证证明，是中档题．。
天津市重点中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷
南开中学2022—2023学年度第二学期期中检测高一数学试卷考试时间：100分钟I 卷(共32分)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷两部分，共100分．考试结束后，将答题卡、答题纸一并交回.一、单项选择题(共8题，每题4分，共32分)1. 下面关于平面向量的描述不正确的有()A ．共线向量是在一条直线上的向量B ．起点不同但方向相同且模相等的向量是相等向量C ．向量CD 与向量DC 长度相等D ．两个非零向量a ，b ，若a +b =a -b ，则a ⊥b 2. 己知复数z 满足i -1 z =2，给出下列四个命题其中正确的是()A ．z =2B ．z 的虚部为-1C ．z =1+iD ．z 2=-2i 3.以下说法正确的是()①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体．A ．①②④⑥B ．②③④⑤C ．①②③⑥D ．①②⑤⑥4．在平行四边形ABCD 中，AC =1,2 ，BD =-3,2 ，则AD =()A ．-1,2B ．-2,4C ．1,-2D ．2,-45. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =c 2cos B +1 ,sin C =45，则sin B =()A ．1825B ．-2425C ．-1825D ．24256．在△ABC 中，AB =1,AC =4,∠BAC =π3，点D 为边BC 上靠近B 的三等分点，则AD ⋅BC 的值为()A ．-163B ．163C ．-4D ．47．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE =45AB ，连接AC 、EF 交于点P ，若AP =411AC ，则点F 在AD 上的位置为()A ．AD 边中点B ．AD 边上靠近点D 的三等分点C ．AD 边上靠近点D 的四等分点D ．AD 边上靠近点D 的五等分点8. 如图，△ABC 是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若AD =2，BD =1，点M 为线段CE 上的动点，则MA ⋅MC 的最小值为()A ．-254B ．2516C ．-2516D ．254II 卷(共68分)二、填空题(共6题，每小题4分，共24分)9. 若i 是虚数单位，复数1+3i 2-i 3=.10.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是侧棱AA 1的中点，则平面B 1CE 截正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1所得的截面图形的周长是.11.已知点B (6,5)，若向量AB 与a =(2,3)同向，|AB |=213，则点A 的坐标为.12.已知a ,b ,c 分别为ΔABC 的三个内角A ,B ,C 的对边，a =3，且(a +b )(sin A -sin B )=(c -b )sin C ，则ΔABC 面积的最大值为.13. 三棱锥P -ABC 的顶点都在球O 的球面上，且AB =2AC =12，∠ABC =π6，若三棱锥P -ABC 的体积最大值为108，则球O 的表面积为.14．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位：米)，三角高程测量法是珠穆朗玛峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ,B ,C 三点，且A ,B ,C 在同一水平面上的投影A ′,B ′,C ′满足∠A ′C ′B ′=45°,∠A ′B ′C ′=60°, 由点C 测得点B 的仰角为15°,BB ′与CC′的差为100，由点B测得点A的仰角为45°, 则A,C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′-CC′为米.三、解答题(共3题，共44分)15．(14分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且sin2A+sin A sin B=cos2B-cos2C.(1)求角C的大小；(2)若sin A=2sin B，c=7，求△ABC的面积.16．（15分）已知点P为正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=AB=13，M、N分别为PA、BD上的点，且PMMA=BNND=58．(1)求证：MN∥平面PBC；(2)求线段MN的长.17. （15分）如图所示，某市有一块空地△OAB，其中OA=2km，∠OAM=60°，∠AOB=90°．当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N，都在边AB上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN的周围安装防护网．设∠AOM=θ．(1)当AM=1km时，求此时防护网的总长度.(2)若θ=15°，问此时人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的多少倍？(3)为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小？最小面积是多少？参考答案1-4ABCA5-8DBBC9．1+i10．32+2511. (2，-1)12．94313．192π14．100(3+2)15．(1)2π3(2)32【分析】(1)先将条件中的等式全部变为正弦，然后利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求角即可；(2)先利用正弦定理将sin A=2sin B转化为a,b的关系，再结合(1)中的条件求出a,b，最后利用三角形的面积公式求解即可.【详解】(1)∵sin2A+sin A sin B=cos2B-cos2C=1-sin2B-1-sin2C=sin2C-sin2B,∴由正弦定理得a2+ab=c2-b2，即a2+b2-c2=-ab∴cos C=a2+b2-c22ab=-ab2ab=-12，又C∈0,π，∴C=2π3；(2)∵sin A=2sin B，∴由正弦定理得a=2b①，又a2+b2-7=-ab②，由①②得a=2,b=1，∴S△ABC=12ab sin C=12×2×1×sin2π3=32.16.17. 【答案】(1)6km；(2)3倍；(3)当θ=15°时，S△OMN最小值为6-33km2．【分析】(1)在三角形OAM中，由余弦定理得OM的值，利用勾股定理可得三角形OAM是直角三角形，可求θ的值，求得△OAN是等边三角形，即可得解．(2)由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求MNAM=3，由于以O为顶点时，△OMN和△OAM的高相同，根据三角形的面积公式即可求解．(3)由已知利用正弦定理求出OM，ON，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求△OMN的面积关于θ的函数，利用正弦函数的性质即可求解其最小值．【详解】(1)在三角形OAM中，由余弦定理得，OM=22+12-2×2×1×cos60°=3，所以OM2+AM2=3+1=4=OA2，所以三角形OAM是直角三角形，所以∠OMA=90°，θ=30°．由于∠MON =30°，所以∠AON =∠A =60°，所以△OAN 是等边三角形，周长为2×3=6，也即防护网的总长度为6km ．(2)θ=15°时，在三角形OAM 中，由正弦定理得OM sin60°=AM sin15°⇒OM =AM ⋅sin60°sin15°，在三角形OMN 中，∠ONA =180°-60°-15°-30°=75°，由正弦定理得，MN sin30°=OM sin75°⇒MN =OM ⋅sin30°sin75°=AM ⋅sin60°⋅sin30°sin75°sin15°．所以MN AM =sin60°⋅sin30°sin75°sin15°=sin60°⋅sin30°cos15°sin15°=sin60°⋅sin30°12sin30°=2sin60°=3．以O 为顶点时，△OMN 和△OAM 的高相同，所以S △OMN S △OAM =MN AM=3，S △ONN =3S △OAM ，即人工湖用地△OMN 的面积是堆假山用地△OAM 的面积的3倍．(3)在三角形OAN 中，∠ONA =180°-60°-30°-θ=90°-θ，由正弦定理得，ON sin60°=2sin 90°-θ=2cos θ⇒ON =2sin60°cos θ=3cos θ．在三角形OAM 中，∠ONA =180°-60°-30°-θ=90°-θ，由正弦定理得OM sin60°=2sin 180°-60°-θ =2sin θ+60°⇒OM =2⋅sin60°sin θ+60° =3sin θ+60°．所以S △OMN =12⋅OM ⋅ON ⋅sin30°=14⋅3cos θ⋅3sin θ+60° =34⋅1sin θ+60° ⋅cos θ=34⋅1sin θcos60°+cos θsin60° ⋅cos θ=34⋅112sin θcos θ+32cos 2θ=34⋅114sin2θ+32⋅1+cos2θ2=34⋅114sin2θ+34cos2θ+34=32⋅112sin2θ+32cos2θ+32=32⋅1sin 2θ+60° +32=3⋅12sin 2θ+60° +3．由于∠AOM =θ，0°<θ<60°，所以当2θ+60°=90°，θ=15°时，S △OMN 最小值为3⋅12+3=3⋅2-32+3 2-3=(6-33)km 2．。
重庆一中高2022级高一下期中考试数学试卷
︒120︒60︒135︒45=−b a Cc 2cos 1ABC −−6,3)(6,3)(−3,6)(−3,6)(=b =b 35︒180=−a 1,2)(b =S 7++=a a a 6138S n a n }{<≠b cbc a a 0)(>a a b c >b c a a log log >b c 22>>a b c 1,∈a b c R ,,=b c ⋅=⋅a b a c b a b a =−a b =a b =a b =a 0=a 0−3,1)(−3,1][−1,3)(−1,3][=C A R =−−≥A x x x 2302}{第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知集合，则（ ）A ． B. C. D.2. 下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若与方向相反，则；与是相反向量；④若，则.其中正确的命题个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 33. 先后抛掷质地均匀的骰子两次，分别得到两个点数，则下列事件中，发生的概率最大的是（ ）A. 两个点数都是奇数B. 点数的和是奇数C. 点数的和小于13D. 点数的和大于74. 设，且，则（ ）A. B. C. D. 5．已知等差数列的前n 项和为，若，则（ ）A. 7B. 10C. 14D. 216. 若平面向量与向量的夹角是，且，则（ ） A. B. C. D.7. 在中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若，则角A 为（ ） A. B. C. D.重庆一中高2022级高一（下）学期5月月考数学试题卷数学试题共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须试用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，在选涂其他答案标号。
2023-2024学年重庆市南开中学高一(下)段考数学试卷(3)(含答案)
2023-2024学年重庆市南开中学高一（下）段考数学试卷（3）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z =3−2i ，则z 的实部与虚部的和为( )A. −1B. 1C. 5D. −52.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“cos2A >cos2B ”是“a <b ”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知向量a ，b 满足a ⋅b =10，且b =(4,−3)，则a 在b 上的投影向量为( )A. (8,−6)B. (−8,6)C. (−85,65)D. (85,−65)4.在复平面内，复数z =|3+4i|7−i 对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.碧津塔是著名景点，某同学为了测量碧津塔ED 的高，他在山下A 处测得塔尖D 的仰角为45°，再沿AC 方向前进24.4米到达山脚点B ，测得塔尖点D 的仰角为60°，塔底点E 的仰角为30°，那么碧津塔高约为( 3≈1.7, 2≈1.4)( )A. 37.54B. 38.23C. 39.53D. 40.526.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ba +c +ca +b ≥1，则角A 的取值范围是( )A. (0,π6]B. [π6,π2)C. (0,π3]D. [π3,π)7.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：e ix =cosx +isinx ，其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是( )A. e πi =1B. |e π2i −e θi |(θ∈R)的最大值为2C. 复数e π4i在复平面内对应的点位于第二象限D. 若z 1=e π3i ，z 2=e θi在复平面内分别对应点Z 1，Z 2，则△OZ 1Z 2面积的最大值为328.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosB b +cosC c =23sinA 3sinC，cosB +3sinB =2，则a +c 的取值范围是( )A. (32, 3]B. (32,3]C. [32, 3]D. [32,3]二、多选题：本题共3小题，共18分。
2021-2022学年重庆市南开中学校高一下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年重庆市南开中学校高一下学期期中数学试题一、单选题 1．已知复数52iz =+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．1- B ．2 C ．i - D ．i【答案】A【分析】根据复数的概念及复数的除法即可求解. 【详解】()()()()52i 52i 52i 2i 2i 2i 5z --====-++-， 所以z 的虚部为1-. 故选：A.2．若向量a ，b 满足||2a =，||2b =，2a b ⋅=，则||a b -=（ ） A ．2 B ．2C ．23D ．4【答案】B【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得a b -的值. 【详解】由题意可得()22222222222a b a b a a b b -=-=-⋅+=-⨯+=.故选：B.3．两个体积分别为1V ，2V 的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为1S ，2S ，则“12V V =”是“12S S ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】由祖暅原理，再结合充分条件，必要条件的定义即可求解． 【详解】解：根据祖暅原理，①由12S S ，得到12V V =，∴必要性成立，②由12V V =，则1S ，2S 不一定相等，例如两个完全相同的棱锥，分别正置和倒置，∴充分性不成立，12V V ∴=是12S S 的必要不充分条件，故选：B ．4．如图，在△ABC 中，3AB AD =，CE ED =，设AB a =，AC b =，则AE =（ ）A ．1132a b +B ．1142a b +C ．1152a b +D ．1162a b +【答案】D【分析】根据向量的加法法则，即可求解. 【详解】解：由题意得：11111112223262AE AD AC AB AC a b =+=⨯+=+， 故选：D.5．现将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．sin 43x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 46x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据三角函数相位平移和周期变换特点得到函数解析式.【详解】()sin 2f x x =向右平移6π个单位长度得sin 2sin(2)63y x x ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，再将所得图像上所有点横坐标变为原来倍，纵坐标不变，得：sin()3y x π=-，所以()sin()3g x x π=-故答案为：A6． ABC 中，2cos2cos22sin B C A ->，则 ABC 的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】C【分析】先利用二倍角公式化简得到化简得222sin sin sin +<B C A ，进而得到2220-+<c a b ，再利用余弦定理判断.【详解】解：因为在 ABC 中，2cos2cos22sin B C A ->，所以()2222cos 12cos 12sin --->C A B ，化简得222sin sin sin +<B C A ， 即2220-+<c a b ，所以222cos 02-=+<a c b A bc， 因为,2A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以 ABC 的形状为钝角三角形，故选：C7．已知函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上恰有3个零点，则正实数ω的取值范围是( )A ．1723,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1117,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭D ．75,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】根据0>ω，[]0,2x π∈，得,2333x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数图像，确定23ππω-的位置范围即可求出ω的范围﹒【详解】∵0>ω，[]0,2x π∈，∴,2333x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦， 函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上恰有3个零点，则如图，2275363233ππωπωππωπ⎧-⎪⎪⇒<⎨⎪-<⎪⎩﹒故选：D ．8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，过1A ，E ，F 三点的平面将正方体分割成两部分，两部分的体积分别为1V ，()212V V V <，则12:V V =（ ）A ．519B ．524C ．717D ．724【答案】C【分析】结合台体体积公式、正方体体积公式求得正确答案. 【详解】由于11////EF AC AC ，所以11,,,E F C A 共面， 111BEFB AC ，所以111BEF B A C -是台体，设正方体的边长为2，111111117111122222322223BEF B A C V -⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以127737172223V V ==⨯⨯-.故选：C二、多选题9．下列关于复数z 的运算结论，正确的有（ ） A ．2z z z ⋅= B ．22z z = C ．1212z z z z ⋅=⋅ D ．1212z z z z +≤+【答案】ACD【分析】设出复数直接计算可得.【详解】记111222i i i z a b z a b z a b =+=+=+，，，则i z a b =- 则222(i)(i)=z z a b a b a b z ⋅=+-+=，A 正确； 因为2222(i)2i z a b a b ab =+=-+，故B 错误； 因为12112212121221(i)(i)=()i z z a b a b a a b b a b a b ⋅=++-++，所以2222222222121212122112122112()()z z a a b b a b a b a a a b a b b b ⋅=-++=+++ 又22222222222212112212122112()()z z a b a b a a a b a b b b ⋅=++=+++，故C 正确； 222222212121212121212()()22z z a a b b a a b b a a b b +=+++=+++++2222222221211221122()2()()z z a b a b a b a b +=++++++因为2222222222221122121221122()()2a b a b a a a b a b b b ++=+++ 22221212121212122222a a a a b b b b a a b b ≥++=+所以1212z z z z +≤+，D 正确. 故选：ACD10．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12CC =，点E ，F ，G 分别为棱CD ，1DD ，1CC 的中点，则下列结论中正确的有( )A ．11AB 与FG 共面 B ．AE 与11AC 异面C ．1AG ∥平面AEFD ．该正四棱柱外接球的表面积为8π【答案】ABC【分析】证明11//A B FG 即可判断A ；连接11AC A C 、，证明AE 与11A C 分别是两个互相平行的平面里面的不平行直线即可判断B ；取1AA 的中点为H ，连接,HF HD AF CH AF HD I ⋂=、、、，连接IE ，证明1//A G //CH EI 即可判断C ；根据长方体外接球球心为体对角线中点即可计算长方体外接球半径，从而计算其外接球表面积，从而判断D ．【详解】①1//DD 1CC ，且11,DD CC F =是1DD 中点，G 是1CC 中点， 1//FD ∴1GC ，且11FD GC =，∴四边形11C D FG 是平行四边形，//FG ∴1111,//C D C D 1111,//A B A B ∴11,FG A B ∴与FG 共面，故A 正确；②连接111,//AC AC AA 、111,,CC AA CC =∴四边形11ACC A 为平行四边形， 11//A C ∴AC ，ACAE A =，故AE 与11A C 不平行，而AE ⊂平面11,ABCD AC ⊂平面1111D C B A ，平面//ABCD 面1111D C B A ， 11AC ∴和AE 互为异面直线，故B 正确；③取1AA 的中点为H ，连接,HF HD AF CH AF HD I ⋂=、、、，连接IE . 1//AA 111,,DD AA DD H =是1AA 中点，F 是1DD 中点，//AH ∴DF ，且,AH DF =∴四边形ADFH 是平行四边形， I ∴是DH 的中点，又E 是CD 中点，∴在CDH △中，//EI CH ．1//AA 111,,CC AA CC H =是1AA 中点，G 是1CC 中点， 1//A H ∴1,,CG A H CG =∴四边形1A HCG 是平行四边形，//CH ∴1A G ，/EI /∴1,A G EI ⊂平面1,AEF AG ⊄平面1//,AEF A G ∴平面AEF ，故C 正确．④设该四棱柱外接球半径为R ，则22222(2)11246R R =++⇒=， 故该正四棱柱外接球的表面积为246R ππ=，故D 错误． 故选：ABC.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列结论正确的有( )A ．若4b =，3sin 4A =，3sin 5B =，则5a = B ．若2bc a =，则3A π≥C ．若4b =，60A =︒，5a =则△ABC 有唯一解 D．若a =23A π≤ 【答案】ACD【分析】根据正弦定理可解A ，根据余弦定理和基本不等式可判断BD ，根据余弦定理解三角形可判断C ．【详解】A 选项：根据正弦定理得，43sin 53sin sin sin 45a b b a A A B B=⇒=⋅=⨯=，故A 正确；B 选项：根据余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，∵2bc a =， ∴22222cos a b c a A =+-，∴222222222221cos 2222b c a bc a a a A a a a +---===， ()0,A π∈，0,3A π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦，故B 错误；C 选项：由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，即212516242c c =+-⨯⋅⋅，即2490c c --=，方程Δ0>，设方程两根为12c c 、，∵1290c c =-<，124c c =，∴方程只有一个正根，即c 边有唯一取值，故三角形有唯一解，故C 正确； D 选项：根据余弦定理得，2222cos a b cbc A =+-，∵a = ∴2222cos b c bc A =+-⎝⎭， ∴22222222126261()cos 22()2222b c b c b c bc bc bc b c A bc bc b c bc bc bc +-++==--=-++，当且仅当b ＝c 时取等号，∵()0,A π∈，203A π∴<，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知平面向量满足1a =，2b =，22c b a b a --=-，则以下说法正确的是（） A ．2b a = B ．13a b +≤≤C ．若0a b ⋅=，则c a -的最大值是D ．c a ⋅的取值范围是[]4,5- 【答案】BCD【分析】由题意当2b a =时，4=0c a -，由已知不能确定4=0c a -，判断A;利用绝对值不等式性质可判断B;建立直角坐标系，利用坐标运算表示出42c a -=结合三角函数性质，判断C;作图分析可得向量c 对应的点轨迹为圆，利用圆的性质，结合数量积的几何意义，可判断D.【详解】A 选项：当2b a =时， 22=0c b a b a --=-，即4=0c a -，由已知不能确定4=0c a -是否成立，故A 错误；B 选项：3a b a b ++=≤，||||||||1a b a b +≥-=，B 选项正确： 对于C,因为0a b ⋅=，故以向量a ，b 起点为坐标原点，a 方向为y 轴正方向，b 方向为x 轴正方向，建立坐标系,则()0,1a =，()2,0b =，设(),c x y =， 由()22c a b b a -+=-， 得()()22228x y -+-=，设2x θ=+，2y θ=+，[0,2]θπ∈ ， ()(),12,1c a x y θθ-=-=++，则42c a -=其中2cos ))θθθθθϕ+=+=+，(sin ϕϕ== ，故θθ+≤2πθϕ+=时取等号，故410c a -≤C 选项正确；D 选项：以b ，2a 邻边作平行四边形OADB 为菱形，2,OA a OB b == ， 2AB b a =-，2OD b a =+，设OC c = ，由题目条件，可知点C 的轨迹是以D 为圆心，2r b a AB =-=为半径的圆． 设AOD θ∠=，则4cos OD θ=，4sin AB θ=，所求的cos c c a θ⋅=，即为c 在a 上的投影， 如图所示，延长OA 交点C 的轨迹于F ,作DE AF ⊥ , 当C 为图中两条切线的切点时，取得最大值、最小值，()2maxcos 4cos 4sin c a OE BF OD r θθθ⋅=+=+=+22154sin sin 14(sin )524θθθ⎡⎤⎡⎤=-++=--+≤⎣⎦⎢⎥⎣⎦=，当1sin 2θ=时取等号， 同理，可得()22mincos 4cos 4sin 4sin 44sin c dOD r θθθθθ⋅-=-=-+=-2154(sin )424θ⎡⎤=-++≥-⎢⎥⎣⎦，当sin 1θ= 时取等号，故[]4,5c a ⋅∈-，故D 选项正确， 故选：BCD三、填空题13．在ABC 中，,,a b c 是角,,A B C 所对的边长，若sin :sin :sin 4:5:6A B C =，则cos C ________．【答案】18【分析】由正弦定理得到::4:5:6a b c =，设ABC 的三边分别为4,5,6，结合余弦定理，即可求解.【详解】由sin :sin :sin 4:5:6A B C =，由正弦定理可得::4:5:6a b c =， 可设ABC 的三边分别为4,5,6a b c ===，由余弦定理可得2222224561cos 22458a b c C ab +-+-===⨯⨯， 故答案为：18.14．如图，△ABC 中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边BC 的中点，点N 为边AB 的中点，则AM CN ⋅=_________．【答案】－1【分析】用AB AC 、作为基底表示出AM CN 、即可根据数量积的运算律计算． 【详解】()()()()111224AM CN AB AC CB CA AB AC AB AC AC ⋅=+⋅+=+⋅-- ()()()()()22211112||2|||414444AB AC AB AC AB AC AC =+⋅-=-=⨯-=⨯-=-． 故答案为：－1．15．某同学欲为台灯更换一种环保材料的灯罩，如图所示，该灯罩是一个有上底面无下底面的圆台．经测量，灯罩的上底面直径为18 cm ，下底面直径为34 cm ，灯罩的侧面展开图是一个圆心角为23π的扇环，则新灯罩所需环保材料的面积为_________2cm (结果保置π)．【答案】705π【分析】作出圆台轴截面图像和侧面展开图，找到边长对应关系，根据扇形面积和圆的面积计算公式即可计算． 【详解】如图为圆台轴截面：如图为圆台侧面展开图：圆台上底面半径为19r =，下底面半径为217r =，1112323r l r ππ==，2222323r l r ππ==， 则扇环面积为：()()()222222112211213333179624r l rl r r r r r r ππππππ-=⋅-⋅=-=-=，则新灯罩所需环保材料的面积为：()22162462481705cm r πππππ+=+=．故答案为：705π．16．△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足()2221cos cos 0A c ac C b a --+-=，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，2AD CD =，若2BD =，则△ABC 的面积的最大值为_________． 33【分析】根据条件结合余弦定理和三角恒等变换得出角A ,在ABD △中由余弦定理求出AD AB ⋅的最大值，从而得出答案.【详解】由()2221cos cos 0A c ac C b a --+-=可得2222cos cos c b a ac C c A +-=+即22cos cos cos bc A ac C c A =+,即22sin sin cos sin sin cos sin cos B C A A C C C A =+ 由0C π<<则sin 0C ≠，所以()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B =+=+= 即2sin cos sin B A B =,由0B π<<则sin 0B ≠, 1cos 2A =, 又0A π<<,所以3A π=在ABD △中, 2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅所以22222224233333AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+-⋅≥⋅⋅-⋅=⋅ ⎪⎝⎭所以6AB AC ⋅≤，当且仅当23AB AC =时等号成立. 由13333sin 62442ABCSAB AC A AB AC =⋅=⋅≤⨯=所以△ABC 的面积的最大值为332故答案为：332四、解答题17．已知z 为虚数，z 为z 的共轭复数，满足2i 3z z =⋅-，其中i 为虚数单位． (1)求z z ⋅ (2)若5mz -m 的值． 【答案】(1)5 (2)5m =【分析】（1）设()i ,z a b a b R =+∈，根据2i 3z z =⋅-，利用复数相等求解； （2）先化简5mz 5mz 为纯虚数求解. 【详解】(1)解：设()i ,z a b a b R =+∈，则i z a b =-， 由题意得：()()2i i i 3a b a b +=--，即22i 3i +=-+a b b a ，则232a b b a =-⎧⎨=⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩， 所以()()2i 2i 5⋅=---+=z z ；(2)∵()552552i 2i ⎫⎫=--=--+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭mz m m m ， 且5mz 为纯虚数， ∴252050m m ⎧-=⎪⎪⎨⎫⎪-≠⎪⎪⎪⎝⎭⎩，∴m =18．已知平面直角坐标系xOy 中，有三个不同的点A ，B ，C ，其中()0,2A ，()3,1B ，(),C x y ． (1)若2AC BC =，求点C 的坐标；(2)若CA CB ⊥，且OC AB =，求OC AB ⋅． 【答案】(1)()6,0； (2)0﹒【分析】(1)根据向量线性运算的坐标表示即可列方程求解；(2)向量垂直，数量积为零，据此求出C 的坐标，再根据向量数量积坐标表示即可求解． 【详解】(1)∵(),2AC x y =-，()3,1BC x y =--，∴()()23622210x x x AC BC y y y ⎧=-=⎧⎪=⇒⇒⎨⎨-=-=⎪⎩⎩，即C 的坐标为()6,0C ．(2)∵(),2CA x y =--，()3,1CB x y =--，由2222·0332010CACBx y x y OC AB x y ⎧=⎧+--+=⎪⇒⎨⎨=+=⎩⎪⎩， 解得：13x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=⎩，又∵A ，B ，C 为三个不同的点，13x y =⎧⎨=⎩，∴()1,3OC =，()3,1AB =-， ∴0OC AB ⋅=．19．已知平面向量()cos sin a x x x =-，()cos sin ,2cos b x x x =+，设函数()f x a b =⋅．(1)求函数()y f x =图象的对称轴；(2)若方程()f x m =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．【答案】(1)()62k x k Z ππ=+∈ (2)()1,2m ∈【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；（2）由x 的取值范围，求出26x π+的范围，即可求出函数的单调区间，依题意可得()y f x =与y m =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个不同的交点，即可得解；【详解】(1)解：因为()cos sin a x x x =-，()cos sin ,2cos b x x x =+，且()f x a b =⋅，所以()()()cos sin cos sin cos f x a b x x x x x x =⋅=-++22cos sin cos x x x x =-+cos 22x x =12cos 222x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当()262x k k Z πππ+=+∈时，解得()62k x k Z ππ=+∈， 所以对称轴()62k x k Z ππ=+∈． (2)解：当02x π<<时，72666x πππ<+<， 令2662x πππ<+≤，解得06x π<≤，即函数在0,6π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，令72266x πππ<+<，解得62x ππ<<，即函数在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又()02sin 16f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，2sin 22666f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2sin 22sin 12266f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()f x m =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个不相等的实数根，即()y f x =与y m =有两个不同的交点， ∴()1,2m ∈．20．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知sin 20a B A =． (1)求角B 的大小；(2)给出三个条件：①b =②3a c +=+③cos sin c C A =，从中选出两个作为已知条件，求△ABC 的面积． 【答案】(1)6B π=【分析】（1）由正弦定理统一为三角函数化简可得；（2）选①②利用余弦定理可求出ac ，再由面积公式求解；选①③由余弦定理及正弦定理转化为关于c 的方程求解即可得c ，再得出a ，由三角形面积公式求解；选②③由正弦定理转化为三角形边的方程，再联立已知即可求出ac ，由面积公式求解.【详解】(1)∵sin 2sin 0a B A =，∴2sin cos sin 0a B B A =∴2cos 0ab B =，从而()cos B 0πB =∈， ∴6B π=(2)若选①②：已知b =3a c +=+1）可知6B π=，由余弦定理可得22222cos 32a c b B a c ac +-==⇒+=∴()223a c ac +-=，即((2323ac +-=．解得ac =1sin 2ABCSac B ==若选①③：已知b =sin sin c C A =．由余弦定理可得22222cos 32a c b B a c ac +-==⇒+=∵sin sin c C A =，∴2c a =．∴43230c c +-=，即(30c c c +=∴c =∴3a =，∴1sin 2ABCSac B ==若选②③：已知3a c +=sin sin c C A = ∵sin sin c C A =，∴2c a =．23a c c a ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩3c a ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩∴1sin 2ABCSac B ==21．“方舱医院”原为解放军野战机动医疗系统中的一种，是可以移动的模块化卫生医疗平台，一般由医疗功能区、病房区、技术保障区等部分构成，具有紧急救治、外科处置、临床检验等多方面功能．某市有一块三角形地块，因疫情所需，当地政府现紧急划拨该地块为方舱医院建设用地．如图所示，2km AB BC AC ===，D 是BC 中点，E 、F 分别在AB 、AC 上，△CDF 拟建成技术保障区，四边形AEDF 拟建成病房区，△BDE 拟建成医疗功能区，DE 和DF 拟建成专用快速通道，90EDF ∠=︒，记CDF θ∠=(1)若30θ=︒，求病房区所在四边形AEDF 的面积；(2)当θ取何值时，可使快速通道E -D -F 的路程最短？最短路程是多少？ 【答案】53(2)45θ=︒，最短路程326【分析】（1）根据已知条件中的几何关系可知，DCF 是直角三角形、BDE 是等边三角形 ，分别求出线段的长，再进行面积求解即可；（2）在△BDE 中和△CDF 中分别表示出DE 、DF ，表示出快速通道E -D -F 的路程，再运用三角恒等变换公式进行化简，最后从函数值域的角度求最值. 【详解】(1)30θ=︒，则Rt DCF △中，1DC =，12CF =，3DF =； BDE 为等边三角形，1BD DE BE ===，DE AC ∥，四边形AEDF 为直角梯形，其面积为：13353122AEDP S ⎛=+= ⎝⎭(2)在△BDE 中，由正弦定理：()()sin60sin 30sin 90DE BD BEθθ==︒︒+︒- 在△CDF 中，由正弦定理；()sin60sin sin 120DF CF CDθθ==︒︒-所以()()sin603sin 30DE θ︒==︒+()()sin603sin 120DF θ︒==- ()()()()33311sin 120sin 30E D F l θθ--⎫==+⎪⎪︒-︒+⎝⎭()()()()()31sin cos sin 120sin 303333sin cos 2sin 30sin 12022332sin cos sin21θθθθθθθθθθθ++⎫︒-+︒+++==⎪⎪︒+︒-⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭sin cos 2sin 1,24t πθθθ⎛⎫⎡⎤=+=+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，则22sin cos 1t θθ=- ()23333122331122t l t t tθ++==-⎛⎫-+- ⎪-⎝⎭在1,2t ⎡⎤∈⎣⎦上单调递减，所以当2t =即45θ=︒时，取最小值326l =-.22．如图，圆柱1OO 的轴截面ABCD 为正方形，2AB =，EF 是圆柱上异于AD ，BC 的母线，P ，Q 分别为线段BF ，ED 上的点．(1)若P ，Q 分别为BF ，ED 的中点，证明：//PQ 平面CDF ； (2)若1BP DQ CFPF QE DF==≤，求图中所示多面体FDQPC 的体积V 的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值12．【分析】（1）连接CE ，根据圆柱的性质可得四边形BEFC 为平行四边形，即可得到P 为CE 的中点，从而得到//PQ CD ，即可得证；（2）设CDF θ∠=，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即可得到2sin CF θ=，2cos DF θ=，再根据比例关系，表示出DCF S △，PCF S △，表示出三棱锥Q CFD -与三棱锥Q PCF -的高，根据锥体的体积公式得到22tan 1sin 23tan 1(tan 1)CDFPQ Q CFD Q DCF V V V θθθθ--⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭，令tan ,01x x θ=<≤，则1141132CDFPQx x V x x x x ++=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，再令113u x x =++≥，根据函数的性质求出最大值；【详解】(1)证明：如图连接CE ，根据圆柱的性质可得//BC EF 且BC EF =，所以四边形BEFC 为平行四边形， 因为P 为BF 的中点，所以P 为CE 的中点，又Q 为ED 的中点，所以//PQ CD ， 因为PQ ⊄平面CDF ，CD ⊂平面CDF ， 所以//PQ 平面CDF ，(2)解：Rt CDF 中，设CDF θ∠=，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则2sin CF θ=，2cos DF θ=，所以2sin tan 12cos BP DQ CF PF QE DF θθθ====≤， 所以12sin cos sin 22DCFS CF DF θθθ=⋅==， 1112sin 2sin 2tan 12tan 1tan 1PCFBCF SSθθθθθ=⋅=⨯⨯⨯=+++设三棱锥Q CFD -高为h ，设三棱锥Q PCF -高为s ， 由比例关系，可知tan 2tan tan 1tan 1h EF θθθθ=⋅=++，21ta 1co n 1tan s s DF θθθ=⋅=++ 所以，12sin 2tan 33tan 1Q CFDCFD V S h θθθ-=⋅=+，()212sin 233tan 1Q PCF PCF V S s θθ-=⋅=+22tan 1sin 23tan 1(tan 1)CDFPQ Q CFD Q DCF V V V θθθθ--⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭ ∵22tan sin 2tan 1θθθ=+∴()()222tan tan tan 1431tan (tan 1)CDFPQV θθθθθ++=++ ∵设tan ,01x x θ=<≤∴()()()222111441133112CDFPQ x x x x x V x x x x x x ++++==⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 令113u x x=++≥，当且仅当1x =时取等号，则()()244411311313CDFPQ u u V u u u u u===-+--又CDFPQ V 关于u 在[)3,+∞上单调递减，∴当3u =，即1x =，即45θ=︒时，CDFPQ V 取到最大值12．。
重庆市第一中学2022_2022学年高一数学下学期期中仿真卷A卷2022053101106
2022-2022学年下学期高一年级期中考试仿真测试卷数学〔A 〕考前须知：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．[2022·孝感八校]一个单位有职工200人，其中有业务员120人，管理人员50人，后勤效劳人员30人，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法抽取样本，那么在20人的样本中应抽取管理人员人数为〔 〕 A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】在20人的样本中应抽取管理人员人数为502051205030⨯=++，选C ．2．[2022·人大附中]“双色球〞彩票中有33个红色球，每个球的编号分别为01，02，…，33．一位彩民用随机数表法选取6个号码作为6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数表中第1行第6列的数3开始，从左向右读数，那么依次选出来的第3个红色球的编号为〔 〕 A ．21 B ．32C ．09D ．20【答案】C【解析】根据随机数表法的应用得到数据分别为：21，32，09…，故第三个数据为09．故答案为C ．3．[2022·南阳一中]要从已编号〔〕的枚最新研制的某型导弹中随机抽取枚来进行发射试验，用每局部选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的7枚导弹的编号可能此卷只装订不密封级 姓名 准考证号 考场号 座位号是〔 〕A ．5，10，15，20，25，30，35B ．3，13，23，33，43，53，63C ．1，2，3，4，5，6，7D ．1，8，15，22，29，36，43【答案】B【解析】根据系统抽样的定义那么编号间距为70710÷=，那么满足条件是3，13，23，33，43，53，63；应选B ．4．[2022·张家界联考]如图是某赛季甲、乙两名篮球运发动每场比赛得分的茎叶图，那么甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是〔 〕 A ．62 B ．63C ．64D ．65【答案】C【解析】甲：13，15，23，26，28，34，37，39，41，所以中间的数是28，乙：15，24，25，32，36，37，38，45，47，中间的数是36，所以甲的中位数是28，乙的中位数是36，所以和是283664+=，应选C ．5．[2022·西北工业大学附中]假设关于某设备使用年限x 〔年〕和所支出的维修费用y 〔万元〕有如下统计资料：假设对呈线性相关关系，那么与的线性回归方程必过的点是〔 〕x1 2 4 5 y11.5 5.58A ．()2,2B ．()1,2C ．()4,5D ．()3,4【答案】D 【解析】∵124534x +++==，1 1.5 5.5844y +++==，∴这组数据的样本中心点是()3,4，∵线性回归方程过样本中心点，∴线性回归方程一定过点()3,4，应选D ．6．[2022·聊城一中]执行如下图的程序框图，假设输出的结果为 1.5，那么输入k 的值应为〔 〕 A ．4.5 B ．6C ．7.5D ．9【答案】B【解析】1n =，S k =，判断是，2n =，22k k S k =-=，判断是，3n =，263k k kS =-=，判断是，4n =，3124k k k S =-=，判断否，输出 1.54kS ==，6k =，应选B ． 7．[2022·泉州一中]用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，那么两个小球颜色不同的概率为〔 〕 A ．13B ．12C ．23D ．58【答案】C【解析】三种不同的颜色分别用A ，B ，C 表示，随机事件所包含的根本领件有：(),A A ，(),A B ，(),A C ，(),B A ，(),B B ，(),B C ，(),C A ，(),C B ，(),C C 共9个，其中表示两个小球颜色不同的有6个，那么两个小球颜色不同的概率为6293P ==，应选C ． 8．[2022·淮南一模]有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，假设小球落在阴影局部，那么可中奖，小明要想增加中奖时机，应选择的游戏盘是〔 〕A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据几何概型的概率公式可得，A 图中奖的概率38P =，B 图中奖的概率2184P ==，C 图中奖的概率2163P ==，D 图中奖的概率13P =，那么概率最大的为A ，应选A 〔考点：几何概型〕．9．[2022·桂林联考]执行如下图的程序框图，假设输出的所有值之和是54，那么判断框的空白处应填〔 〕 A ．8n > B ．9n > C ．10n > D ．12n >【答案】B【解析】模拟程序的运行，可知，程序输出的x 是1，3，5，7，9，11，13，15，17中不是3的倍数的数，因为所有输出值的和157********+++++=．故程序共运行9次．即判断框的空白处应填9n >．应选B ．10．[2022·三明联考]如图是某工厂对一批新产品长度(单位:mm )检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的平均数与中位数分别为〔 〕 A ．22.5 20 B ．22.5 22.75C ．22.75 22.5D ．22.75 25【答案】C【解析】由题意，这批产品的平均数为()50021250041750082250032750033252275x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．，其中位数为()0050020.04520225008x -+⨯=+=....．应选C ．11．[2022·佳木斯一中]如果数据1x ，2x ，，n x 的平均数为x ，方差为2s ，那么143x +，243x +，，43n x +的平均数和方差分别为〔 〕A sB 2sC 216sD 216s【答案】D【解析】 ()()()2222121...n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦， 143x ∴+，243x +，...，43n x +的平均数为 143x +，243x +，...，43n x +的方差为()()()222212143434343...434316n x x x x x x S n ⎡⎤+--++--+++--=⎣⎦，应选D ． 12．[2022·临汾一中]在区间[]2,2-上任取一个数a ，那么函数()243f x x x a a =-+-+在[]0,4x ∈上的最大值是3的概率为〔 〕A ．34B ．14C ．45D ．25【答案】A【解析】由二次函数的性质可得，()243f x x x a =-+-在[]0,4上的最大值()()()(){}max max 024f x f f f =,,，又()max 3f x =，()()04f f =，()()03 23f f ⎧=⎪∴⎨≤⎪⎩或()()2303f f ⎧=≤⎪⎨⎪⎩，即33 113a a a a a -+=⇒≤⎧--+≤⎪⎨⎪⎩或13133a a a a a ⎧--+=⎪⇒=⎨-+≤⎪⎩，综合两种情况及[]22a ∈-，可得21a -≤≤，由几何概型概率公式可得函数()f x 在[]04x ∈，上的最大值是3的概率为()()123224--=--，应选A ． 第二卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13．[2022·四川诊断]我国古代数学名著?九章算术?有一抽样问题：“今有北乡假设干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面假设干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人〔用分层抽样的方法〕，那么北面共有__________人． 【答案】8100【解析】因为共抽调300人，北面抽掉了108人，所以西面和南面共14400人中抽出了192人，所以抽样比为19214400，所以北面共有144001088100192⨯=人，故填8100．14．[2022·中山一中]如下图的框图运行后，假设输入n 的值为60，那么输出的结果是______．【答案】63 【解析】636420062m ⨯=>，所以输出63n =． 15．[2022·太原模拟]某人在微信群中发了一个7元“拼手气〞红包，被甲、乙、丙三人抢完，假设三人均领到整数元，且每人至少领到1元，那么甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是___________． 【答案】25【解析】由题意得共有()115,,，()151,,，()511,,，()124,,，()142,,，()214,,，()241,,，()412,,，()421,,，()133,,，()313,,，()331,,，()223,,，()232,,，()322,,这15种， 其中甲领取的钱数不少于其他任何人的事件有()511,,，()412,,，()421,,，()313,,，()331,,，()322,,这6种，所以概率为62155=．16．[2022·泉州模拟]图①是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，图中从左向右第一组的频数为4000．在样本中记月收入(单位:元)在[)1000,1500，[)1500,2000，[)2000,2500，[)2500,3000，[)3000,3500，[)3500,4000的人数依次为1A ，2A ，⋯，6A ，图②是统计月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，那么样本的容量n =_____，输出的S =_____．(用数字作答)图①图②【答案】〔1〕10000；〔2〕6000【解析】∵月收入在[)1000,1500的频率为0000850004⨯=..，且有4000人，∴样本的容量4000100000.4n ==． 由图②知输出的2361000040006000S A A A =++⋯+=-=．故填〔1〕10000，〔2〕6000．三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．[2022·哈尔滨六中]从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155,160，第二组[)160,165，⋯，第八组[]190,195，以下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一局部，第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．〔1〕估计这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上(含180cm )的人数；〔2〕求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图〔如需增加刻度请在纵轴上标记出数据，并用直尺作图〕；〔3〕由直方图估计男生身高的中位数． 【答案】〔1〕144；〔2〕详见解析；〔3〕174.5． 【解析】〔1〕由直方图，前五组频率为()000800160040040065082⨯.+.+.+.+.=.， 后三组频率为10.82018-=.；这所学校高三男生身高在180cm 以上(含180cm )的人数为8000.18144⨯=人．···········3分〔2〕由频率分布直方图得第八组频率为0.0085004⨯=.，人数为004502⨯=.人， 设第六组人数为m ，那么第七组人数为0185027m m ⨯--=-.，又()227m m +=-，所以4m =，即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08，0.06．频率除以组距分别等于0.016，0.012，见图．···········7分 〔3〕设中位数为n ，由[]155,170频率为0.32，所以[)170,175n ∈，1700.50.3250.2n --=， 解得174.5n =．···········10分18．[2022·阜城期末]某校高一年级某次数学竞赛随机抽取100名学生的成绩，分组为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，统计后得到频率分布直方图如下图：〔1〕试估计这组样本数据的众数和中位数〔结果精确到0.1〕；〔2〕年级决定在成绩[]70,100中用分层抽样抽取6人组成一个调研小组，对高一年级学生课外学习数学的情况做一个调查，那么在[)70,80，[)80,90，[]90,100这三组分别抽取了多少人？〔3〕现在要从〔2〕中抽取的6人中选出正副2个小组长，求成绩在[)80,90中至少有1人中选为正、副小组长的概率．【答案】〔1〕65，73.3；〔2〕3，2，1；〔3〕35． 【解析】〔1〕由频率分布直方图得：众数为：6070652+=．成绩在[)5070,内的频率为：()000500351004+⨯=...， 成绩在[)70,80内的频率为：0031003⨯=..， ∴中位数为：0.1701073.30.3+⨯≈．···········4分 〔2〕成绩为[)70,80，[)80,90，[]90,100这三组的频率分别为0.3，0.2，0..1， ∴[)70,80，[)80,90，[]90,100这三组抽取的人数分别为3人，2人，1人．·····7分 〔3〕由〔2〕知成绩在[)70,80有3人，分别记为a ，b ，c ；成绩在[)80,90有2人，分别记为d ，e ；成绩在[]90,100有1人，记为f ．∴从〔2〕中抽取的6人中选出正副2个小组长包含的根本领件有2630A =种，分别为：ab ，ba ，ac ，ca ，ad ，da ，ae ，ea ，af ，fa ，bc ，cb ，bd ，db ，be ，eb ，bf ，fb ，cd ，dc ，ce ，ec ，cf ，fc ，de ，ed ，df ，fd ，ef ，fe ，记“成绩在[)80,90中至少有1人中选为正、副小组长〞为事件Q ， 那么事件Q 包含的根本领件有18种，∴成绩在[)80,90中至少有1人中选为正、副小组长的概率()183305P Q ==．···12分 19．[2022·成都七中]在“新零售〞模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，方案在S 市A 区开设分店，为了确定在该区设分店的个数，该公司对该市开设分店的其他区的数据做了初步处理后得到以下表格．记x 表示在各区开设分店的个数，y 表示这x 个分店的年收入之和．〔1〕该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程；〔2〕假设该公司在A 区获得的总年利润z (单位：百万元)与x ，y 之间的关系为200514z y x =--..，请结合〔1〕中的线性回归方程，估算该公司在A 区开设多少个分店时，才能使A 区平均每个分店的年利润最大？参考公式：回归直线方程为ˆˆˆybx a =+，其中()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx=-． 【答案】〔1〕08506y x =+..；〔2〕4．【解析】〔1〕由表中数据和参考数据得：4x =，4y =，()()()121ˆ8508510ni i i n i i x x y y b x x ==--===-∑∑..，ˆ4408506ˆa y bx =-=-⨯=..． ∴y 关于x 的线性回归方程为08506y x =+..．··········6分 〔2〕220051400508508z y x x x =--=-+-.....，A 区平均每个分店的年利润08800050850015085z t x x x x x ⎛⎫==--+=-++ ⎪⎝⎭.....， ∴4x =时，t 取得最大值．故该公司应在A 区开设4个分店时，才能使A 区平均每个分店的年利润最大．··········12分20．[2022·河南八市联考]某超市周年庆典，设置了一项互动游戏如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头P 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数〔箭头指向两个区域的边界时重新转动〕，且箭头P 指向每个区域的可能性都是相等的．要求每个家庭派一名儿童和一位成人先后各转动一次游戏转盘，记为()a,b ，假设一个家庭总得分a b X =+，假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动，游戏规定：①假设X 8>，那么该家庭可以获得一等奖一份； ②假设X 8=，那么该家庭可以获得二等奖一份；假设()080X ab <<≠，那么该家庭可以获得纪念奖一份． 〔1〕求一个家庭获得纪念奖的概率；〔2〕试比拟同一个家庭获得一等奖和二等奖概率的大小． 【答案】〔1〕一个家庭获得纪念奖的概率为1936；〔2〕见解析． 【解析】〔1〕由题意可知，一个家庭的得分情况共有36种，获得纪念奖的情况为()11,，()12,，()13,，()14,，()15,，()21,，()22,，()23,，()24,，()25,，()31,，()32,，()33,，()34,，()41,，()42,，()43,，()51,，()52,．共有19种． 记事件A =“一个家庭获得纪念奖〞，那么()1936P A =． 故一个家庭获得纪念奖的概率为1936．··········6分 〔2〕记事件B =“一个家庭获得一等奖〞，那么符合获得一等奖条件的得分情况包括：()45,，()54,，()55,共3种，那么()313612P B ==． 记事件C =“一个家庭获得二等奖〞，那么符合获得二等奖条件的得分情况包括：()44,，()53,，()35,共3种，所以()112P C =； 所以同一个家庭获得一等奖和二等奖的概率相等．·········12分21．[2022·成都期末]阅读如下图的程序框图，解答以下问题： 〔1〕求输入的x 的值分别为1-，2时，输出的()f x 的值；〔2〕根据程序框图，写出函数()f x ()x R ∈的解析式；并求当关于x 的方程()0f x k -=有三个互不相等的实数解时，实数k 的取值范围． 【答案】〔1〕见解析；〔2〕()0,1．【解析】〔1〕当输入的x 的值为1-时，输出的()1122f x -==；··········3分 当输入的x 的值为2时，输出的()222211f x =-⨯+=．··········6分〔2〕根据程序框图，可得()22020 210x x f x x x x x ⎧<⎪==⎨⎪-+>⎩， 当0x <时，()2xf x =，此时()f x 单调递增，且()01f x <<；当0x =时，()2f x =；当0x >时，()()22211f x x x x =-+=-在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，且()0f x ≥．那么可知当关于x 的方程()0f x k -=有三个互不相等的实数解时， 实数k 的取值范围为()0,1．··········12分22．[2022·大同一中]设关于x的一元二次方程20x b ++=．〔1〕假设a 是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b 是从0、1、2三个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率；〔2〕假设a 是从区间[]03，任取的一个数，b 是从区间[]02，任取的一个数，求上述方程有实数根的概率． 【答案】〔1〕()34P A =；〔2〕23． 【解析】设事件A为“方程20x b ++=有实根〞，方程20x b ++=有实根，那么a b ≥．〔1〕根本领件共12个：()0,0，()0,1，()0,2，()1,0，()1,1，()1,2，()2,0，()2,1，()2,2，- 11 - ()3,0，()3,1，()3,2，其中括号第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个根本领件，()00，，()10，，()11，，()20，，()21，，()22，，()30，，()31，，()32，，事件A 发生的概率为；()93124P A ==．··········6分〔2〕试验的全部结束所构成的区域为(){},|03,02a b a b ≤≤≤≤，构成事件A 的区域为(){},|03,02,a b a b a b ≤≤≤≤≥，··········12分 在Rt PAB △中，PB ==． ∴Rt PBD △中，12BPD S DP PB ∆=⋅⋅=．。
2021-2022学年高一下学期期中数学试卷 (解析版)
一、选择题1．cos（）的值是（）A．B．C．D．2．已知向量（cosθ，sinθ），（1，），若与的夹角为，则||＝（）A．2B．C．D．13．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝1，b，∠C＝45°，则∠A＝（）A．150°B．60°C．45°D．30°4．已知平面向量，满足||＝||＝1，若|32|，则向量与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°5．把函数y＝sin（2x）的图象向左平移后，所得函数的解析式是（）A．y＝sin2xB．C．D．y＝﹣sin2x6．已知ω＞0，函数f（x）＝cos（）的一条对称轴为，一个对称中心为，则ω有（）A．最小值2B．最大值2C．最小值1D．最大值17．已知向量，满足||＝4，在上的投影的数量为﹣2，则|2|的最小值为（）A．4B．10C．D．88．在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ﹣cos2θ的值等于（）A．1B．C．D．9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且2S＝（a+b）2﹣c2，则tanC＝（）A．B．C．D．10．如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为75°的扇形，点A，B，C分别是半径OP，OQ及扇形弧上的三个动点（不同于O，P，Q三点）．则△ABC周长的最小值是（）A．B．C．D．11．函数f（x）＝cos（2x）的图象的一条对称轴方程为（）A．x B．x C．xπD．x12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosA，则△ABC不可能为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．设向量||＝3，||，若（λ）⊥（λ），则实数λ＝．14．已知函数f（x）sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象如图所示，则ω＝，φ＝．15．cos•cos16．△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC，BC＝3，则•的值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知tanα＝2，（1）求3cos2α+2sin2α的值；（2）求的值．18．已知，，是同一平面内的三个向量，其中（1，2），（﹣2，4），（﹣2，m）．（1）若⊥（），求||；（2）若k与2共线，求k的值．19．已知sin（α）+sinα，cosβ且α，β∈（0，π），（1）求α的值；（2）求cos（α+2β）的值．20．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA acosB．（1）求角B的大小；（2）若b＝3，sinC＝2sinA，求△ABC的周长．21．已知函数．（1）求的值；（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移后得到函数y＝g（x），若时，不等式c＜g（x）＜c+2恒成立，求实数c的取值范围．22．如图所示，合肥一中积极开展美丽校园建设，现拟在边长为0.6千米的正方形地块ABCD上划出一片三角形地块CMN建设小型生态园，点M，N分别在边AB，AD上（1）当点M，N分别时边AB中点和AD靠近D的三等分点时，求∠MCN的余弦值；（2）实地勘察后发现，由于地形等原因，△AMN的周长必须为1.2千米，请研究∠MCN是否为定值，若是，求此定值，若不是，请说明理由．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1-10题每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，11-12为多选题. 1．cos（）的值是（）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解．解：cos（）＝cos（﹣8π）＝cos．故选：A．【点评】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．2．已知向量（cosθ，sinθ），（1，），若与的夹角为，则||＝（）A．2B．C．D．1【分析】利用向量数量积运算性质、模的计算公式即可得出．解：∵向量（cosθ，sinθ），（1，），∴1，．∵与的夹角为，∴2•1+3+2×1cos7，解得||．故选：B．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝1，b，∠C＝45°，则∠A＝（）A．150°B．60°C．45°D．30°【分析】由已知利用余弦定理可求c的值，利用等腰三角形的性质可求A的值．解：∵a＝1，b，∠C＝45°，∴由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2abcosC＝1+2﹣2，解得：c＝1，∴A＝C＝45°．故选：C．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．4．已知平面向量，满足||＝||＝1，若|32|，则向量与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°【分析】由题意利用两个向量数量积的定义，求向量的模的方法，求得向量与的夹角的余弦值，可得向量与的夹角．解：∵平面向量，满足||＝||＝1，若|32|，设向量与的夹角为θ，θ∈[0°，180°]，则有7，即912•47，即9+12•1•1•cosθ+4＝7，求得cosθ，∴θ＝120°，故选：D．【点评】本题主要考查两个向量数量积的定义，求向量的模，属于基础题．5．把函数y＝sin（2x）的图象向左平移后，所得函数的解析式是（）A．y＝sin2xB．C．D．y＝﹣sin2x【分析】根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：把函数y＝sin（2x）的图象向左平移后，所得函数的解析式是y＝sin[2（x）]＝sin（2x），故选：C．【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．6．已知ω＞0，函数f（x）＝cos（）的一条对称轴为，一个对称中心为，则ω有（）A．最小值2B．最大值2C．最小值1D．最大值1【分析】由函数f（x）＝cos（）的﹣条对称轴为，求得φ＝3k﹣1 ①．再由﹣个对称中心为，求得ω＝12n+2 ②．综合①②可得，ω的最小值为2．解：由已知ω＞0，函数f（x）＝cos（）的﹣条对称轴为，可得ωkπ，k∈z，求得φ＝3k﹣1 ①．再由﹣个对称中心为，可得ωnπ，n∈z，解得ω＝12n+2 ②．综合①②可得，ω的最小值为2，故选：A．【点评】本题主要考查函数y＝Acos（ωx+φ）的对称性的应用，属于中档题．7．已知向量，满足||＝4，在上的投影的数量为﹣2，则|2|的最小值为（）A．4B．10C．D．8【分析】由在上的投影的数量为﹣2，可得||cos，2，||，可得﹣1≤cos，0，∴||≥2，利用数量积运算性质展开，即可得出．解：∵在上的投影的数量为﹣2，∴||cos，2，∴||，∴﹣1≤cos，0，∴||≥2，∵4•442﹣4×4×（﹣2）+448+448+4×22＝64．∴|2|的最小值为8．故选：D．【点评】本题考查了向量的投影、数量积运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ﹣cos2θ的值等于（）A．1B．C．D．【分析】求出每个直角三角形的长直角边，短直角边的长，推出小正方形的边长，先利用小正方形的面积求得（cosθ﹣sinθ）2的值，判断出cosθ＞sinθ求得cosθ﹣sinθ的值，然后求得2cosθsinθ利用配方法求得（cosθ+sinθ）2的进而求得cosθ+sinθ，利用平方差公式把sin2θ﹣cos2θ展开后，把cosθ+sinθ和cosθ﹣sinθ的值代入即可求得答案．解：依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为cosθ，短直角边为sinθ，小正方形的边长为cosθ﹣sinθ，∵小正方形的面积是，∴（cosθ﹣sinθ）2又θ为直角三角形中较小的锐角，∴cosθ＞sinθ∴cosθ﹣sinθ又∵（cosθ﹣sinθ）2＝1﹣2sinθcosθ∴2cosθsinθ∴1+2sinθcosθ即（cosθ+sinθ）2∴cosθ+sinθ∴sin2θ﹣cos2θ＝（cosθ+sinθ）（sinθ﹣cosθ）故选：B．【点评】本题主要考查了三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系．考查了学生综合分析推理和基本的运算能力．9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且2S＝（a+b）2﹣c2，则tanC＝（）A．B．C．D．【分析】首先由三角形面积公式得到S△ABC，再由余弦定理，结合2S＝（a+b）2﹣c2，得出sinC﹣2cosC＝2，然后通过（sinC﹣2cosC）2＝4，求出结果即可．解：△ABC中，∵S△ABC，由余弦定理：c2＝a2+b2﹣2abcosC，且2S＝（a+b）2﹣c2，∴absinC＝（a+b）2﹣（a2+b2﹣2abcosC），整理得sinC﹣2cosC＝2，∴（sinC﹣2cosC）2＝4．∴4，化简可得3tan2C+4tanC＝0．∵C∈（0，180°），∴tanC，故选：C．【点评】本题考查了余弦定理、三角形面积公式以及三角函数的化简求值，要注意角C的范围，属于中档题．10．如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为75°的扇形，点A，B，C分别是半径OP，OQ及扇形弧上的三个动点（不同于O，P，Q三点）．则△ABC周长的最小值是（）A．B．C．D．【分析】先根据对称性将边BC，边AC转移，再根据三角形三边在一直线时周长最小的思路即可解答．解：作点C关于线段OQ，OP的对称点C1，C2．连接CC1，CC2．则C△ABC＝C1B+BA+AC2≥C1C2．又∵C1C2而∠C1OC2＝∠C1OQ+∠QOC+∠COP+∠POC2＝2（∠QOC+∠POC）＝2∠QOP＝150°∴．∴△ABC的周长的最小值为．故选：B．【点评】本题主要考查数形结合，余弦定理的运用，解题关键是：三边转成一线时三角形周长最小．11．函数f（x）＝cos（2x）的图象的一条对称轴方程为（）A．x B．x C．xπD．x【分析】由余弦函数的性质，令2x kπ，k∈Z，解得：x，k∈Z，讨论即可求解．解：令2x kπ，k∈Z，则解得：x，k∈Z，当k＝1时，x，当k＝2时，x．故选：BC．【点评】本题主要考查了余弦函数的性质，考查了函数思想，属于基础题．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosA，则△ABC不可能为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求得B为钝角，进而可判断．解：由正弦定理可得，cosA，整理可得，sinC＜sinBcosA，所以sin（A+B）＝sinAcosB+sinBcosA＜sinBcosA，故sinAcosB＜0，因为sinA＞0，所以cosB＜0即B为钝角，则△ABC为钝角三角形．∴△ABC不可能为直角三角形或等边三角形．故选：BD．【点评】本题主要考查了利用正弦定理及和差角公式判断三角形的形状，属于基础试题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．设向量||＝3，||，若（λ）⊥（λ），则实数λ＝±3 ．【分析】由已知结合向量数量积的性质进行转化即可求解．解：若（λ）⊥（λ），则（λ）•（λ），∴18﹣2λ2＝0，∴λ＝±3，故答案为：±3【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．14．已知函数f（x）sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象如图所示，则ω＝ 2 ，φ＝．【分析】由函数f（x）的部分图象，求出最小正周期T得ω；由f （）＝0，结合φ的范围，由正弦函数的图象和性质可求出φ的值．解：由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象知，T，∴T＝π，∴ω2；又f（）sin（2φ）＝0，∴由正弦函数的图象和性质可得：φ＝2kπ+π，k∈Z，且0＜φ＜2π，∴φ．故答案为：2，．【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，考查了数形结合思想，属于基础题．15．cos•cos【分析】利用三角函数公式化简即可求出结果．解：cos•cos，故答案为：．【点评】本题主要考查了运用三角函数公式化简求值，是基础题．16．△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC，BC＝3，则•的值为．【分析】取BC的中点D，连接AD，OD，则OD⊥BC．可得（），，代入•，化简整理即可得出．解：取BC的中点D，连接AD，OD，则OD⊥BC．（），，∴•（）••••（）（）（）[22]，故答案为：．【点评】本题考查了向量三角形与平行四边形法则、数量积运算性质、三角形外心性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知tanα＝2，（1）求3cos2α+2sin2α的值；（2）求的值．【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．解：（1）∵tanα＝2，∴3cos2α+2sin2α＝2+cos2α＝222．（2）cotα．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．18．已知，，是同一平面内的三个向量，其中（1，2），（﹣2，4），（﹣2，m）．（1）若⊥（），求||；（2）若k与2共线，求k的值．【分析】（1）先分别求出向量的坐标，然后根据向量数量积的性质的坐标表示可求；（2）根据向量平行的坐标表示即可直接求解．解：（1）因为（﹣2，4），（﹣2，m），所以（﹣4，4+m），若⊥（），则•（）＝﹣4+2（4+m）＝0，解可得，m＝﹣2，（﹣2，﹣2）所以||＝2，（2）由已知可得k（k﹣2，k+4），（4，0），所以0×（k﹣2）＝4（2k+4），所以k＝﹣2．【点评】本题考查了向量平行及垂直的坐标表示，属于基础试题．19．已知sin（α）+sinα，cosβ且α，β∈（0，π），（1）求α的值；（2）求cos（α+2β）的值．【分析】（1）利用两角和与差的正弦函数公式化简已知可得sin（α），求得α的范围，可求α的值，进而可得α的值．（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinβ的值，利用两角和的余弦函数公式即可计算求值得解．【解答】（本题满分为14分）解：（1）因为：，…因为：α∈（0，π），所以：，所以：，所以：．…（2）因为：，所以：，所以：，所以：．…【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．20．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA acosB．（1）求角B的大小；（2）若b＝3，sinC＝2sinA，求△ABC的周长．【分析】（1）由题意利用正弦定理求得tanB 的值，可得B的值．（2）由题意利用余弦定理求得a的值，可得c的值，从而求得△ABC的周长a+b+c的值．解：（1）△ABC中，∵bsinA acosB，由正弦定理得sinBsinA sinAcosB，∴tanB，B．（2）∵sinC＝2sinA，由正弦定理得c＝2a，又b2＝a2+c2﹣2ac•cosB，B，b＝3，∴9＝a2+4a2﹣2a•2a•cos，∴a，c＝2．∴△ABC的周长为a+b+c＝3+3．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．21．已知函数．（1）求的值；（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移后得到函数y＝g（x），若时，不等式c＜g（x）＜c+2恒成立，求实数c的取值范围．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（2）直接利用平移变换的应用求出函数的关系式，进一步利用函数的值域和恒成立问题的应用求出结果．解：（1），所以．（2），由于，所以，则，由c＜g （x）＜c+2在恒成立，所以，整理得，所以实数c的取值范围为．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．22．如图所示，合肥一中积极开展美丽校园建设，现拟在边长为0.6千米的正方形地块ABCD上划出一片三角形地块CMN建设小型生态园，点M，N分别在边AB，AD上（1）当点M，N分别时边AB中点和AD靠近D的三等分点时，求∠MCN的余弦值；（2）实地勘察后发现，由于地形等原因，△AMN的周长必须为1.2千米，请研究∠MCN是否为定值，若是，求此定值，若不是，请说明理由．【分析】（1）根据题意计算tan∠DCN和tan∠MCB的值，求出tan（∠DCN+∠MCB）的值，即得∠MCN，再求cos∠MCN；（2）设AM＝x，AN＝y，利用余弦定理求出xy、再计算tan∠DCN、tan∠MCB，从而求得tan（∠DCN+∠MCB），得出∠MCN为定值．解：（1）当点M，N分别是边AB中点和AD靠近D的三等分点时，tan∠DCN，tan∠MCB，如图所示；所以tan（∠DCN+∠MCB）1，所以∠DCN+∠MCB，所以∠MCN，所以cos∠MCN；（2）设AM＝x，AN＝y，则MN2＝x2+y2＝（1.2﹣x﹣y）2，可得xy＝1.2（x+y）﹣0.72，又tan∠DCN，tan∠MCB，所以tan（∠DCN+∠MCB），将xy＝1.2（x+y）﹣0.72代入上式，计算得tan（∠DCN+MCB）＝1，所以∠DCN+∠MCB，所以∠MCN为定值．【点评】本题考查了三角形中边角关系应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．。
2020-2021学年重庆市南开中学高一(下)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年重庆市南开中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1. 已知a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(2x,−3)且a ⃗ //b ⃗ ，则x =( )A. −3B. −34C. 0D. 342. 已知复数z 满足z(1−2i)=3−i ，则复数z 的虚部为( )A. −iB. iC. −1D. 13. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“acosB =bcosA ”是“△ABC是等边三角形”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件4. 在△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，M 是AB 的中点，N 是CM 的中点，则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 13a ⃗ +23b ⃗ B. 13a ⃗ +12b ⃗ C. 12a ⃗ +14b ⃗ D. 14a ⃗ +12b ⃗ 5. 在△ABC 中，面积S =a 2−(b −c)2，则sinA =( )A. 1517B. 817C. 1315D. 13176. a ，b 是空间两条不相交的直线，那么过直线b 且平行于直线a 的平面( )A. 有且仅有一个B. 至少有一个C. 至多有一个D. 有无数个7. 平面向量a ⃗ =(sinθ,2)，b ⃗ =(1,−cosθ)，已知|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b⃗ |，则tan2θ=( ) A. 3B. 43C. 34D. −438. 如图所示，在四边形ABCD 中，△ABD 是边长为4的等边三角形，AC =2√13，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =t CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2−t)CD ⃗⃗⃗⃗⃗ (t >1)，则OD =( )A. 52 B. 2√2 C.3 D. √139. 已知△ABC 面积为12，BC =6，则下列说法正确的是( )A. 若cosB =2√55，则sinA =35 B. sin A 的最大值为1213 C. c b +b c 的值可以为92D. cb +2bc 的值可以为92二、多选题（本大题共3小题，共15.0分）10. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下说法中正确的是( )A. 若a >b ，则sinA >sinBB. 若a =4，b =5，c =6，则△ABC 为钝角三角形C. 若a =4，b =10，A =π6，则符合条件的三角形不存在 D. 若bcosC +ccosB =asinA ，则△ABC 为直角三角形11. 已知直线a ，b 和平面β，γ，下列说法中不正确的有( )A. 若a//β，a ⊂γ，β∩γ=b ，则a//bB. 若a//β，b//β，则a//bC. 若a 与b 为异面直线，且a//β，a//γ，b//β，b//γ，则β//γD. 若a//b ，b//γ，则a//γ12. 已知直角三角形ABC 斜边AC =10，直角边AB =6，动点D 满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−24，下列说法正确的是( ) A. |AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为10 B. |BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为6 C. AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为24 D. 存在D 点满足DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知M(−2,7)、N(10,−2)，点P 是线段MN 上的点，且PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则P 点的坐标为______．14. 多项式x 2+1在实数范围内不能分解因式，但数系扩充到复数以后x 2+1=(x +i)(x −i)，则在复数范围内多项式x 2−4x +5分解成一次因式乘积的结果为______． 15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cosA =35，cosB =513，则a+b c=______．16. 如图所示四棱锥P −ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB//CD ，AD ⊥AB ，AB =AD =12CD =1，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，O ∈面ABCD ，PO//平面MBD ，则O 点轨迹长度为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.三棱锥P−ABC，PA=4，BC=6．(1)该棱锥的6条棱中，共有多少对异面直线？请一一列出；(2)若PB中点为M，AC中点为N，MN=4，求异面直线PA与BC所成角的余弦值．18.已知|b⃗ |=2|a⃗|=2，a⃗，b⃗ 夹角为60°，(a⃗+b⃗ )⊥(a⃗+λb⃗ )．(1)求实数λ的值；(2)求|a⃗+λb⃗ |．19.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别是棱DD1，AB的中点．(1)平面PQC与直线AA1交于R点，求AR的值；A1R(2)M为线段CC1上靠近C点的四等分点，求证：BM//面PQC．20.在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且有a=2．在下列条件中选择一个条件完成该题目：①cosC+(cosB−√3sinB)cosA=0；②2asinA=(2b−c)sinB+(2c−b)sinC．(1)求A的大小；(2)求2b−c的取值范围．21.如图所示，在△ABC中，BD=AC=2AD，CD=2，E为CD中点，直线AE与BC边交于点F．(1)若AC=BC，求AB长度；(2)求AF长度范围．22.有一鱼池，其中有两条边l1，l2成定角120°，现要在距离A点1米处的地方钉一粒钉子D，然后过D拉一条浮漂隔离线BC，使△ABC内无浮漂，便于观赏鱼类．B，C两点分别固定在两边l1，l2上．(1)若∠BAD=60°，求△ABC面积的最小值；(2)若无论怎么拉浮漂隔离线BC，总能使得△ABC的面积不低于2√3，求∠BAD的取3值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了平面向量共线的坐标表示．属于基础题．根据平面向量的共线定理的坐标表示(x1y2−x2y1=0)代入即可求解．【解答】解：∵a⃗=(1,2)，b⃗ =(2x,−3)且a⃗//b⃗ ，∴1×(−3)−2×(2x)=0，∴x=−3，4故选B．2.【答案】D【解析】解：复数z满足z(1−2i)=3−i，∴z(1−2i)(1+2i)=(3−i)(1+2i)，化为5z=5+5i，∴z=1+i，则复数z的虚部为1，故选：D．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出复数z的虚部．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由acosB=bcosA得sinAcosB=sinBcosA，即tanA=tanB，在三角形内A=B，则△ABC是等腰三角形，不一定是等边三角形，即充分性不成立，若“△ABC是等边三角形，则A=B，此时acosB=bcosA成立，即“acosB=bcosA”是“△ABC是等边三角形”的必要不充分条件，故选：B．根据正弦定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用正弦定理进行转化是解决本题的关键，是基础题．4.【答案】D【解析】 【分析】本题考查向量的加法和数乘运算，属于基础题．可画出图形，根据条件及向量加法的平行四边形法则和向量数乘的几何意义即可用a ⃗ ,b ⃗ 表示出AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 【解答】 解：如图，∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，M 是AB 的中点，N 是CM 的中点；∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) =14a ⃗ +12b ⃗ ． 故选：D ．5.【答案】B【解析】 【分析】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．根据三角形的面积公式表示出三角形ABC 的面积，由已知的面积利用完全平方公式化简后，利用余弦定理变形，两面积相等利用同角三角间的基本关系即可求出sin A 的值． 【解答】解：根据S =12bcsinA ，又a 2=b 2+c 2−2bccosA ，则S =a 2−(b −c)2=a 2−b 2−c 2+2bc =−2bccosA +2bc ，所以−2bccosA+2bc=12bcsinA，化简得：sinA=−4cosA+4①，又sin2A+cos2A=1②，联立①②，解得：sinA=817．故选：B．6.【答案】B【解析】解：∵a，b是空间两条不相交的直线，∴a，b的位置关系有两种：即平行或异面．若a，b平行，那么过直线b且平行于直线a的平面有无数个；若a，b异面，如图，在b上任取一点O，过O作c//a，则b，c确定平面α，∴a//α，那么过直线b且平行于直线a的平面只有1个．故过直线b且平行于直线a的平面至少有一个．故选：B．空间中两直线不相交，则两直线可能平行，也可能异面，然后分a，b平行和异面讨论．本题考查了直线与平面平行的判定，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．7.【答案】D【解析】解：平面向量a⃗=(sinθ,2)，b⃗ =(1,−cosθ)，已知|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，∴a⃗⋅b⃗ =0，sinθ−2cosθ=0，即tanθ=2，则tan2θ=2tanθ1−tan2θ=−43，故选：D．由题意可得a⃗⋅b⃗ =0，求得tanθ=2，再利用二倍角的正切公式，求得tan2θ的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，二倍角的正切公式，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：∵CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵CA⃗⃗⃗⃗⃗ =t CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2−t)CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =t(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(2−t)(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t −2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =1λAO ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(t −2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λt AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵B ，O ，D 三点共线，∴λ(t −2)−λt =1，∴λ=−12，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√13， ∴在△AOD 中，∠ADO =60°，AD =4，AO =√13， ∴由余弦定理得：AO 2=AD 2+OD 2−2AD ⋅ODcos60°， ∴13=16+OD 2−4OD ， 解得：OD =1(舍去)或OD =3， 故选：C ．由题意可知CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t −2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =1λAO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(t −2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λt AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由B ，O ，D 三点共线可得λ(t −2)−λt =1，所以λ=−12，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√13，在△AOD 中由余弦定理即可求出OD 的长． 本题主要考查了平面向量基本定理，考查了余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．9.【答案】A【解析】解：如图所示，过A 点作AD ⊥BC 于D ，S △ABC =12BC ⋅AD =12，BC =6，∴AD =4，又AD =ABsinB =ACsin∠ACD ， 若cosB =2√55，则AB =AD sinB=4√5，BD =ABcosB =8，∴CD =BD −BC =2，∴AC =√AD 2+CD 2=2√5，∴S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sinA =12，∴sinA =35， 故选项A 正确；由S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sinA =12，得sinA =24AB⋅AC ，当sin A 取最大值时，AB ⋅AC 取最小值，AB 2=AD 2+BD 2，AC 2=AD 2+CD 2，当D 在线段BC 上时，BD +CD =BC =6， ∴AB 2⋅AC 2=(16+BD 2)(16+CD 2)，令BD =t +3，则CD =3−t ，t ∈(−3,3)， AB 2⋅AC 2=[16+(t +3)2][16+(t −3)2]=(t 2−9)2+32(t 2−9)+32×18+162，∴当t 2=0时，AB 2⋅AC min 2=252，即sin A 的最小值为2425>1213，故选项B 错误；假设cb +bc =92，得c b =±√654+94，不妨取c b =√654+94，由选项B ，AB 2=16+(t +3)2，t ∈(−3,3)， ∴c 2b 2=AB 2AC 2=16+(t+3)216+(t−3)2=1+1225t+t−6，其中25t +t ∈(−∞,−343)∪(343,+∞)， ∴c 2b 2≤1+12343−6=134<(√654+94)2，假设不成立， 故选项C 错误； cb +2b c=92时，c b =12或cb =4，由c 2b 2=1+1225t+t−6=14或16，又b 2c 2∈(413,1)∪(1,134)，无解，故选项D 错误． 故选：A ．由已知条件可将选项A 、B 的问题利用面积桥和边的关系进行推导，对于选项C 、D ，可利用反证法进行推导证明．本题考查了解三角形，以及三角函数的灵活运用．10.【答案】ACD【解析】解：对于A ：若a >b ，所以2RsinA >2RsinB ，整理得sinA >sinB ，故A 正确；对于B：根据a=4，b=5，c=6，利用余弦定理cosC=a2+b2−c22ab =18>0，所以最大角C<π2，故△ABC为锐角三角形；故B错误；对于C：由于a=4，b=10，A=π6，利用正弦定理：asinA=bsinB，整理得sinB=54>1，故不存在这样的三角形，故C正确；对于D：若bcosC+ccosB=asinA，整理得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，故sin(B+ C)=sinAsinA，故sinA=1(0舍去)，故△ABC为直角三角形，故D正确．故选：ACD．直接利用三角函数的关系式的变换，正弦定理和余弦定理的应用，三角形形状的判定求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理和余弦定理的应用，三角形形状的判定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.【答案】BD【解析】解：对于A：a//β，a⊂γ，β∩γ=b，由线面平行的性质，则a//b，故A正确；对于B：a//β，b//β，则a//b或a和b相交，或异面，故B错误；对于C：a与b为异面直线，且a//β，a//γ，b//β，b//γ，根据面面平行的判定定理的推论，则β//γ，故C正确；对于D：当a//b，b//γ，则a//γ或a⊂γ内，故D错误；故选：BD．直接利用线面平行的判定和性质的应用，面面平行的判定和性质的应用判定A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：线面平行的判定和性质的应用，面面平行的判定和性质的应用，主要考查学生对空间问题的应用，属于基础题．12.【答案】ABC【解析】解：已知直角三角形ABC斜边AC=10，直角边AB=6，∴由勾股定理可得BC2=AC2−AB2，∴BC=8．以B为坐标原点，BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系，如图：则C(0,8)，A(6,0)，B(0,0)，设D(x,y)，可得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y −8)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −6,y)，∵动点D 满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−24，∴(x,y −8)(x −6,y)=−24，即x 2−6x +y 2−8y =−24，整理得(x −3)2+(y −4)2=1，所以点D 的轨迹为以(3,4)为圆心，1为半径的圆，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)． |AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(2x −6)2+4y 2=2√(x −6)2+y 2，等价于点D 到点(6,0)的距离， ∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |max =10，故选项A 正确； BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0)，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −6,y)，|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x −6)2+y 2， ∴|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |max =6，故选项B 正确；AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6(6−x)=36−6x ，当x =2时，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值24，故选项C 正确； 假设存在点D ，使满足DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则D 为△ABC 的重心， ∴D(2,83)，不满足方程(x −3)2+(y −4)2=1，所以假设不成立，故选项D 错误； 故选：ABC ．由题干可得到动点D 的轨迹为圆，再由向量的坐标表示对选项逐一判断即可． 本题考查了向量的坐标表示以及向量的模长公式的应用．13.【答案】(2,4)【解析】解：设P(x,y)，则PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(10−x,−2−y)，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−x,7−y)， ∵PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{10−x =−2(−2−x)−2−y =−2(7−y)， ∴{x =2y =4∴P 点的坐标为(2,4)．故答案为：(2,4)先写出2个向量的坐标，利用2个向量相等，则他们的坐标对应相等．本题考查两个向量相等的条件，两个向量相等时，他们的坐标相等，考查计算能力．14.【答案】(x −2+i)(x −2−i)【解析】解：∵x 2+1=(x +i)(x −i)，∴x 2−4x +5=x 2−4x +4+1=(x −2)2+1=(x −2+i)(x −2−i)． 故答案为：(x −2+i)(x −2−i)．把已知二次三项式配方变形，结合x 2+1=(x +i)(x −i)得答案． 本题考查复数的运算，把已知二次三项式配方变形是关键，是基础题．15.【答案】2【解析】解：因为cosA =35，cosB =513，所以sinA =√1−cos 2A =45，sinB =√1−cos 2B =1213，可得sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =45×513+35×1213=5665， 由正弦定理可得a+b c=sinA+sinB sinC=45+12135665=2．故答案为：2．利用同角三角函数基本关系式可求sin A ，sin B 的值，利用两角和的正弦公式可求sin C 的值，进而根据正弦定理，即可计算得解．本题主要正弦定理在解三角形中的应用，考查三角函数的化简和求值，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】3√24【解析】解：延长AB 至E ，使得AE =DC ，且AE//DC ，连接EC取BE 的中点F ，作BD//FG ，交BC 于点H ，DC 于G ，连接PG ，因为AB=AD=12CD，所以AB=BE，此时在△AFP中，有AM=2MP，AB=2BF，所以PF//MB，又面PFG//平面MBD，所以O的轨迹为GH，因为BF//DG，BD//GF，所以四边形BFGD是平行四边形，所以DG=BF=12AB=12，所以∠HFB=∠DBA=45°，在△BEC中，BE=CE，CE⊥BE，所以∠HBF=45°，在△BHF中，∠BHF=180°−∠HFB−∠HBF=90°，又BF=12，所以HF=√24，所以GH=GF−HF=BD−HF=√2−√24=3√24．故答案为：3√24．延长AB至E，使得AE=DC，且AE//DC，连接EC，取BE的中点F，作BD//FG，交BC于点H，DC于G，连接PG，由线面平行的判定定理可得面PFG//平面MBD，进而可得O的轨迹为GH，在计算，即可得出答案．本题考查立体几何中的轨迹问题，解题中需要熟悉几何体的特征，属于中档题．17.【答案】解：(1)该棱锥的6条棱中，共有3对异面直线，分别是PA与BC，PB与AC，PC与AB．(2)如图，取AB中点O，连接OM，ON，因为PB中点为M，AC中点为N，所以OM//PA，ON//BC，所以异面直线PA与BC所成的角为∠MON或其补角，PA=4，BC=6．所以OM=2，ON=3，又MN=4，在△MON中，由余弦定理可得cos∠MON=OM2+ON2−MN22OM⋅ON =4+9−162×2×3=−14，所以异面直线PA与BC所成角的余弦值为14．【解析】(1)由异面直线的定义即可求解；(2)取AB中点O，连接OM，ON，可得异面直线PA与BC所成的角为∠MON或其补角，利用余弦定理即可求得异面直线PA与BC所成角的余弦值．本题主要考查异面直线及其所成的角，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵|b⃗ |=2|a⃗|=2，a⃗，b⃗ 夹角为60°，(a⃗+b⃗ )⊥(a⃗+λb⃗ )．∴(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗+λb⃗ )=a⃗2+(λ+1)a⃗⋅b⃗ +λb⃗ 2=1+(λ+1)⋅1⋅2⋅cos60°+4λ=0，求得λ=−25．(2)|a⃗+λb⃗ |=√(a⃗+λb⃗ )2=√a⃗2+2λa⃗⋅b⃗ +λ2b⃗ 2=√1+2λ⋅1⋅2⋅cos60°+λ222=√1+2λ+4λ2=√215．【解析】(1)由题意利用两个向量垂直的性质，求得λ的值．(2)由题意利用求向量的模的方法，计算求得结果．本题主要考查两个向量垂直的性质，求向量的模，属于中档题．19.【答案】(1)解：延长CQ和DA交于E，连接PE，交A1A于R，即平面PQC与直线AA1交于R点，因为Q为AB中点，AQ//DC，所以A为ED中点，于是AR=12⋅PD=12⋅12⋅D1D=14⋅D1D=14⋅A1A，所以ARA1R =13；(2)证明：取PC中点N，DC中点G，连接NG，NM，因为MN//CG，且MN=CG，CG//BQ，且CG=BQ，所以MN//BQ，且MN=BQ，所以四边形MNQB为平行四边形，所以BM//NQ，又因为BM⊄平面PQC，NQ⊂平面PQC，所以BM//面PQC．【解析】(1)延展平面PQC，确定AR14⋅A1A即可；(2)只须证明BM平行于平面PQC内直线NQ即可．本题考查了正方体截面问题，考查了直线与平面的位置关系，属于中档题．20.【答案】解：(1)若选①，cosC+(cosB−√3sinB)cosA=0，整理可得cosC+ cosAcosB=√3sinBcosA，所以−cos(A+B)+cosAcosB=√3sinBcosA，可得sinAsinB−cosAcosB+ cosAcosSB=√3sinBcosA，可得sinAsinB=√3sinBcosA，由于sinB≠0，可得tanA=√3，又0<A<π，∴A=π3．若选②，2asinA=(2b−c)sinB+(2c−b)sinC，根据正弦定理化简得：2a2=b(2b−c)+c(2c−b)，即a2=b2+c2−bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =12，又0<A<π，∴A=π3．(2)因为A=π3，a=2，由正弦定理bsinB =csinC=√32=4√33，可得b=4√33sinB，c=4√33sinC，可得2b−c=4√33(2sinB−sinC)=4√33[2sin(A+C)−sinC]=4√33(2sinAcosC+2cosAsinC−sinC)=4cosC，又B+C=2π3，在锐角△ABC中，可得π6<C<π2，可得0<cosC<√32，所以2b −c ∈(0,2√3).【解析】(1)若选①，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA =√3，结合范围0<A <π，可得A 的值；若选②，利用正弦定理化简已知的等式，得到关于a ，b 及c 的关系式，再利用余弦定理表示出cos A ，把得到的关系式代入求出cos A 的值，由A 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数； (2)由正弦定理可得b =4√33sinB ，c =4√33sinC ，利用三角函数恒等变换的应用可求2b −c =4cosC ，根据C 的范围，利用余弦函数的性质即可求解．此题考查了正弦、余弦定理以及三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．21.【答案】解：(1)设AD =x ，所以BD =AC =BC =2AD =2x ，AB =3x ， 所以cos∠ACB =AC 2+BC 2−AB 22AC⋅BC=(2x)2+(2x)2−(3x)22⋅2x⋅2x=−18，又CD =2，BD =2AD ，所以CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=49 CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+49 CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +19CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，可得4=49⋅4x 2+49⋅4x 2⋅(−18)+19⋅4x 2， 所以x =√2，可得AB =3√2．(2)设AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∠CAB =θ，AD =x ， 因为E 为CD 中点，AD =13AB ， 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为B 、F 、C 三点共线， 所以12λ+16λ=1，可得λ=32，所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2+2⋅34⋅14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=94x 2+94x 2cosθ+94x 2=4516x 2+94x 2cosθ，因为cosθ=AD 2+AC 2−CD 22AD⋅AC=5x 2−44x 2，所以AF =√4516x 2+94x 2⋅5x 2−44x 2=√458x 2−94， 又{ x +2x >22x −x <2， 所以23<x <2， 所以AF ∈(12,92).【解析】(1)设AD =x ，可得BD =AC =BC =2AD =2x ，AB =3x ，由余弦定理可得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方利用平面向量数量积的运算可求AB 的值． (2)设AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∠CAB =θ，AD =x ，可得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE⃗⃗⃗⃗⃗ =12λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由于B 、F 、C 三点共线，可得λ=32，利用余弦定理可得AF =√458x 2−94，又{ x +2x >22x −x <2，即可得解AF 的取值范围． 本题主要考查了余弦定理，平面向量数量积的运算在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和方程思想，属于中档题．22.【答案】解：(1)设AB =c ，AC =b ，因为∠BAD =π3，所以∠CAD =π3， 所以S △ABC =S △ABD +S △ACD ，可得12bcsin2π3=12csin π3+12bsin π3， 所以bc =b +c ≥2√bc ，可得bc ≥4， 所以S △ABC =12bcsin2π3=√34bc ≥√3，当b =c =2时等号成立．(2)设∠BAD =θ，所以∠CAD =2π3−θ，因为S △ABC =S △ABD +S △ACD ， 所以12bcsin2π3=12csinθ+12bsin(2π3−θ)≥12⋅2√sinθ⋅sin(2π3−θ)⋅bc ，所以bc ≥163sinθsin(2π3−θ)=83[cos(2π3−θ)−cos2π3]=43(−cos2θ+√3sin2θ+1)， 所以S △ABC =12bcsin2π3≥√34⋅43(−cos2θ+√3sin2θ+1)≥2√33， 所以−cos2θ+√3sin2θ≥1，所以√32sin2θ−12cos2θ=sin(2θ−π6)≥12，所以2θ−π6∈[π6,5π6]，即θ∈[π6,π2]，所以∠BAD取值范围为[π6,π2 ].【解析】(1)设AB=c，AC=b，由S△ABC=S△ABD+S△ACD，利用三角形的面积公式，基本不等式即可求解．(2)由题意可得∠CAD=2π3−θ，由S△ABC=S△ABD+S△ACD，利用三角形的面积公式，基本不等式，三角函数恒等变换可得sin(2θ−π6)≥12，利用正弦函数的性质即可求解∠BAD取值范围．本题主要考查了三角形的面积公式，基本不等式，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质，考查了函数思想和转化思想，属于中档题．。