2014高考数学一轮复习课件2.4二次函数与幂函数

•3．函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞， 3]上是减函数，则实数a的取值范围是 ________． •【解析】 二次函数f(x)的对称轴是x＝1－a， 由题意知 •1－a≥3，∴a≤－2. •【答案】 (－∞，－2]
•4．(2013·东莞质检)设函数f(x)＝mx2－mx －1，若f(x)＜0的解集为R，则实数m的取值 范围是________．
1．本题求解的关键是利用幂函数的单调性，把函数值 的大小关系转化为自变量的大小关系．
2．当α≠0，1时Байду номын сангаас幂函数y＝x 在第一象限的图象特征 (如图所示)： (1)α＞1，图象过点(0，0)，(1，1)，下凸递增，如y＝ x2； (2)0＜α＜1，图象过点(0，0)，(1，1)，上凸递增，如y 1 ＝x2；
•已知二次函数f(x)＝x2＋2bx＋c(b，c∈R)． •(1)若f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤1}，求实数b， c的值； •(2)若f(x)满足f(1)＝0，且关于x的方程f(x)＋x ＋b＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)， (0，1)内，求实数b的取值范围．
【解】
(1)x1，x2是方程f(x)＝0的两个根．
•在研究二次函数时，要注意二次项系数对函 数性质的影响， •往往需要对二次项系数分大于零与小于零两 种情况讨论．
二次函数y＝f(x)对称轴的判断方法 (1)对定义域内所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝ x1＋x2 f(x)的图象关于x＝ 对称． 2 (2)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要 条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．
•(2)二次函数的性质
函数
y＝ax2＋bx＋ c(a＞0)
y＝ax2＋bx＋ c(a＜0)
图象
定义域
R
值域
4ac－b2 [ ____________ ，＋∞) 4a
__
4ac－b2 (－∞， ] _________ 4a
____
单调性
b 减 b 在(－∞，－ ]___ 增 在(－∞，－ ]____ 2a 2a b b 增 在[－ ，＋∞)____ 在[－ ，＋∞)___ 减 2a 2a
x1＋x2＝－2b， 由韦达定理，得 x1x2＝c. －2b＝0， 即 c＝－1.
∴b＝0，c＝－1.
(2)由题知，f(1)＝1＋2b＋c＝0，∴c＝－1－2b. 记g(x)＝f(x)＋x＋b＝x2＋(2b＋1)x＋b＋c ＝x2＋(2b＋1)x－b－1，
g（－3）＝5－7b＞0， g（－2）＝1－5b＜0， 1 5 则 ⇒ ＜b＜ ， 5 7 g（0）＝－1－b＜0， g（1）＝b＋1＞0 1 5 即b的取值范围为( ， ). 5 7
【解析】 当m＝0时，不等式为－ 1＜0，符合题意
m＜ 0， 当m≠0时，则有 ∴－4＜m＜0 2 Δ＝ m ＋ 4m＜ 0，
综上知，－ 4＜m≤0.
•【答案】 (－4，0]
• (2013·广州调研)已知函数f(x)＝x2＋2ax ＋3，x∈[－4，6]． •(1)当a＝－2时，求f(x)的最值； •(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－ 4，6]上是单调函数； •(3)当a＝－1时，求f(|x|)的单调区间． •【思路点拨】 解答(1)和(2)可根据对称轴 与区间的关系，结合图象或单调性直接求解， 对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单 调区间．
a＞ 0， 其几何意义是抛物线恒在 Δ＜ 0，
2．幂函数与指数函数有何不同？y＝(x＋1)3，y＝x3－1， y＝ x是幂函数吗？
【提示】 幂函数与指数函数的本质区别就在于自变量 的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自 变量在指数位置．在所给的三个函数中只有y＝ x是幂函数．
(3)当a＝－1时，f(|x|)＝x2－2|x|＋3
x2＋ 2x＋ 3＝（ x＋ 1） 2＋ 2， x≤ 0， ＝ 2 2 x － 2 x ＋ 3 ＝（ x － 1 ） ＋2，x＞0，
作函数f(|x|)，x∈[－4，6]的图象如图，
•∴f(|x|)在区间[－4，－1)和[0，1)上为减函 数，在区间[－1，0)和[1，6]上为增函数．
【解析】 (1)由题意知m2－m－1＝1，解得m＝2或m ＝－1， 当m＝2时，f(x)＝x－3符合题意； 当m＝－1时，f(x)＝x0不合题意． 综上知m＝2. (2)∵a＜0，∴y＝xa在(0，＋∞)上是减函数， 1a a ∴0.2 ＞( ) ＞2a. 2
•【答案】 (1)A (2)B
•二次函数、二次方程与二次不等式统称为 “三个二次”，它们常有机结合在一起，而 二次函数又是“三个二次”的核心，通过二 次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次 函数的问题，数形结合，密切联系图象是探 求解题思路的有效方法．
α
【答案】
B
•2．函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数， 则f(x)在区间(－5，－3)上( ) •A．先减后增 B．先增后减 •C．单调递减 D．单调递增 •【解析】 ∵f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶 函数， •∴2m＝0，∴m＝0. •则f(x)＝－x2＋3在(－5，－3)上是增函数． •【答案】 D
已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴 m 对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1) 2 ＜(3－ m 2a) 2 的实数a的取值范围．
•【思路点拨】
【尝试解答】 ∵ f(x)在 (0，＋∞)上是减函数． ∴ m2－ 2m－ 3＜ 0，解之得－1＜ m＜ 3. 又 m∈ N*，∴ m＝ 1或 m＝2. 由于 f(x)的图象关于 y轴对称． ∴ |m2－ 2m－ 3|为偶数， 又当 m＝ 2时， |m2－ 2m－3|为奇数， ∴ m＝ 2舍去．因此 m＝ 1. 1 又 y＝ x2在 [0，＋∞)上为增函数． 1 1 ∴ (a＋ 1)2＜(3－ 2a)2等价于 0≤ a＋ 1＜ 3－ 2a， 2 解之得－ 1≤ a＜ ， 3 2 故实数 a的取值范围是{a|－ 1≤ a＜ }． 3
3 1．(人教A版教材习题改编)已知点M( ，3)在幂函数 3 f(x)的图象上，则f(x)的表达式为( ) － A．f(x)＝x2 B．f(x)＝x 2 1 1 C．f(x)＝x2 D．f(x)＝x－ 2
3α 【解析】 设f(x)＝x ，则有3＝( ) ， 3 － ∴α＝－2，∴f(x)＝x 2.
•第四节 二次函数与幂函数
•1．二次函数 •(1)二次函数的三种形式 •一般式：f(x)＝ _______________ (a≠0)； ax2＋bx＋c •顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标 为 ______ ； (h， k) •零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2 为f(x)的零点．
【思路点拨】 法一 分a＞0，a＝0，a＜0三种情况 求出f(x)在(1，4)上的最小值f(x)min，再令f(x)min＞0求解． 2 2 2 2 法二 分离参数a得a＞－ 2 ＋ x ，然后求g(x)＝－ 2 ＋ x x x 的最大值即可．
1 2 【尝试解答】 法一 当a＞0时，f(x)＝a(x－ a ) ＋2－ 1 ≤1， 1 a 或 a ，由f(x)＞0，x∈(1，4)得： f（1）＝a－2＋2≥0 1 1 1＜a＜4， ≥4， 或a f（1）＝2－1＞0 f（4）＝16a－8＋2≥0， a a
b 函数的图象关于x＝－ 对称 2a
对称性
•2.幂函数 y＝xα •(1)定义：形如 ________ (α∈R)的函数叫幂 自变量 x是_________，α是常数． 函数，其中
•(2)幂函数的性质
•1．ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的条件是什 么？其几何意义如何？
【提示】 ax2 ＋ bx＋ c＞ 0(a≠0) 恒成立的充要条件是 x 轴上方．
当 a＝ 0时，f(x)＝－ 2x＋ 2， f(1)＝ 0， f(4)＝－ 6，∴不合题意． 1 综上可得，实数 a的取值范围是 a＞ . 2 法二 由f(x)＞ 0，即 ax2－ 2x＋ 2＞ 0， x∈ (1， 4)， 2 2 得 a＞－ 2＋ 在(1， 4)上恒成立． x x
2 2 1 12 1 令 g(x)＝－ 2＋ ＝－2( － ) ＋ ， x x x 2 2 1 1 ∈ ( ， 1)， x 4 1 ∴ g(x)max＝g(2)＝ ， 2 1 所以要使f(x)＞0在 (1， 4)上恒成立，只要a＞ 即可． 2
α
(3)α＜0，图象过点(1，1)，单调递减，且以两坐标轴 1 －1 为渐近线，如y＝x ，y＝x－ . 2
(1)(2013· 佛山模拟)函数f(x)＝(m2－ m－ 1)xm2－ 2m－ 3 是幂函数，且在 x∈(0，＋∞ )上是减函数，则实数m的值为 ( ) A． 2 B． 3 C． 4 D．5 (2)若 a＜ 0，则下列不等式成立的是( ) 1a 1a a a A． 2a＞ ( ) ＞ (0.2) B．(0.2) ＞( ) ＞2a 2 2 1a 1a a a C． ( ) ＞ (0.2) ＞ 2a D． 2a＞ (0.2) ＞ ( ) 2 2
【尝试解答】 (1)当a＝－ 2时， f(x)＝x2－ 4x＋ 3＝ (x － 2)2－ 1， 则函数在[－ 4， 2)上为减函数，在 (2， 6]上为增函数， ∴ f(x)min＝ f(2)＝－ 1， f(x)max＝f(－ 4)＝ (－ 4)2－ 4× (－ 4)＋ 3＝35. 2a 2 (2)函数f(x)＝x ＋ 2ax＋3的对称轴为 x＝－ ＝－ a， 2 ∴要使 f(x)在[－ 4， 6]上为单调函数， 只需－ a≤－ 4或－ a≥ 6，解得 a≥ 4或a≤－ 6.
•1．本题中二次项系数不确定，因此使用方 法一时需分三种情况讨论． •2．由不等式恒成立求参数取值范围，一般 有两个解题思路：(1)分离参数；(2)不分离参 数，二者都将问题归结为求函数的最值，至 于用哪种方法，关键是看参数是否已分 离．这两个思路的依据是：a≥f(x)⇔a≥f(x)max， a≤f(x)⇔a≤f(x)min.