第9讲 恒定电流的电场和磁场(2)

也称静磁场
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磁感应强度
♦ 磁感应强度
♦ 电流在其周围空间中产生磁场，描述磁场分布的基本物理量是 ♦ 磁场的重要特征是对场中的电流磁场力作用。
♦ 载流回路C1对载流回路C2的作用力是回路C1中的电流I1产生
磁感应强度 B ，单位为T（特斯拉）。
的磁场对回路C2中的电流I2的作用力。
♦ 安培实验定律
♦ 与回路C1的电流分布、场点的位置有关

4

S
R3
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磁感应强度
♦ 磁场对运动电荷的作用力
♦ 置于磁场中载流为I的线回路受到的磁场力：
F Idl B
l
♦ 电流元Idl在外磁场受力：
dF Idl B
♦ 设dt时间内电荷走过距离dl=vdt，v为电荷运动速度，且截面积
♦ 静场比拟法的应用条件
♦ 两种系统中导体的几何形状完全相同、边界条件完全相同
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第三章 恒定电流的电场和磁场
1 磁感应强度 2 恒定磁场的基本方程 3 矢量磁位
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磁感应强度
♦ 什么是磁场
♦ 存在于载流回路或永久磁铁周围空间，能对运动电荷施力的特
殊物质称为磁场。
♦ 产生磁场的源
♦ 永磁体、运动的电荷（即电流）、变化的电场 ♦ 恒定电流或永磁体产生的磁场不随时间变化，称为恒定磁场，
2 1
E1
E1t E2t
♦ 电位边界条件 1 2
1 2 1 2 n n
6
静电比拟法
7
静电比拟法
♦ 若系统为介质中的静电场问题
dS E dS q S1 s S1 2 2 ♦ 两导体间的电容 C U E dl E dl
R r sec z ' z r tan dz ' r sec 2 ˆ z dz ' [ra ˆr ( z z ')a ˆ z ] a ˆ r 2 sec 2 dl R a
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磁感应强度
♦ 有限长度电流线磁感应强度
0 I l / 2 dl R B 4 l / 2 R 3 0 I 2 ˆ a cos d 4 r 1 I ˆ 0 (sin 1 sin 2 ) a 4 r
P U I E l I EJ l S EJ V
4
恒定电流场的基本方程
♦ 电源外部导体中的恒定电流场
S 积分形式 ♦ l
J dS 0 E dl 0


S
dq J dS dV dt
J 0 微分形式 ♦ E 0 ♦ 欧姆定律 J E
的电流应该为以S为边界的体积V内单位时间电荷减少量
♦ 电荷守恒定律数学表达式
J ds 0
S
♦ 上式也称为积分形式的电流连续性方程 ♦ 微分形式的电流连续性方程
d J 0 dt
J 0
3
欧姆定律和焦耳定律
♦ 欧姆定律
♦ 由实验已知, 当导体温度不变时, 通过一段导体的电流强度和导
en
J
en
et
JS
l
h0
2
电荷守恒定律
♦ 电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体的一部分转移
到另一部分，或者从一个物体转移到另一个物体。 ♦ 电荷守恒定律表明，任一封闭系统的电荷总量不变
♦ 体电流密度为 J 的空间内，任取一个封闭曲面S，通过S面流出
d J ds dv V dt S
♦ 磁通连续性原理
B 0
B dS 0
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磁感应强度
♦ 解法2：利用无限长直导线产生的磁场公式：
y
0 I ˆ Ba 2 r 将x´处宽为dx´的无限长导体带看做 无限长导线，其载有的电流为： I dI dx 2a 则，它在x=d处产生的磁感应强度为：
ˆ a ˆz a
r d x
(-a,0)
(d,0) (a,0) (x´,0)
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a
磁感应强度
♦ 例：宽度为2a的无限薄导体通过总电流I，导体无限长，电流
在导体中沿纵向流动并在宽度方向均匀分布，求导体所在平面 内距其中线d(d>a)处的磁感应强度 。 y xx ˆ yy ˆ r ♦ 解：导体无限长，取横截线方向作x轴，与之
I ˆ ，等效电流元：Idl Idx dyy Js y ˆ 2a 2a (-a,0) I I ˆR ( d x) 0 2a dxdyy 0 2a ˆ dB z dxdy 3 2 2 32 4 4 [( d x) y ] R
电磁场与电磁波
电流密度
♦ 在导体中取一截面S，若在Δt时间内流过该截面的总电荷为Δ q d q lim I q，则通过该截面的电流强度定义为： (安培)(A) t 0 t dt ♦ 在电磁理论中，常用体电流、面电流和线电流来描述电流的分
别状态。
♦ 线电流：电流强度
S
I n r I J dS ♦ 体电流： J r lim S 0 S S I ♦ 面电流：J S r lim n r I s | J s dl | l 0 l l
dS，长度dl的体积元电量为dq，则：
dq dF Idl B vdt B dq v B dt
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磁感应强度
♦ 以速度v运动，电量q的点电荷受外磁场作用力：
F qv B
♦ 此公式适用于传导电流及运流电流中的运动电荷。 ♦ 作用力同时垂直于磁感应强度和粒子运动速度 ♦ 只作用于运动带电粒子，且永不对带电粒子做功 ♦ 若电量为q的运动电荷所在空间同时存在电场和磁场，则它所
体两端的电压成正比
♦ 欧姆定律的微分形式
U RI
I U E l ES J S l R S
J E
♦ 焦耳定律
♦ 当导体两端的电压为U，流过的电流为I时，则在单位时间内电
场力对电荷所作的功，即功率是
♦ 焦耳定律的微分形式
P UI
p J E
x
0 I ˆ dB a dx 4a r
I ˆz 0 B a 4a
0 I d a dx ˆ a a d x z 4a ln d a
a
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磁通连续性原理
♦ 磁感应强度在有曲面上的通量简称为磁通量(或磁通)，单位是
Wb(韦)，用φ表示。
♦ 磁感应强度穿过任意闭曲面的磁通量
♦ 单位：T(特)，或Wb/m2(韦伯/米2) ♦ μ0为真空磁导率， μ0=4π×10-7 H/m
磁感应强度
♦ 电流I1在电流元 I 2 dl2 处产生的磁感应强度
0 Idl R ♦ 任意电流回路C产生的磁场感应强度 B ( r ) C R3 4
♦ 将毕奥-萨伐尔定律推广到体电流和面电流 0 J r R dV ♦ 体电流系统的毕萨定律 B r 3 V 4 R 0 J S r R ♦ 面电流系统的毕萨定律 B r dS
sin 1 sin 2
z l/2 r 2 ( z l / 2) 2 z l/2 r 2 ( z l / 2) 2
♦ 无限长载流直导线周围磁感应强度
1 / 2 l 2 / 2
0 I ˆ Ba 2 r
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磁感应强度
磁感应强度


♦ 类似地，面电流和体电流的磁感应强度也满足上式，这说明任
意磁场的磁感应强度穿过任意封闭曲面的磁通量恒等于0，这一 性质称为为磁通连续性原理。 20
磁通连续性原理
♦ 根据散度定理

S
B ds BdV 0
V
♦ 通过任意闭合曲面S的磁通量为零，磁力线闭合 ♦ 磁感应强度是无源(指散度源)场，自然界不存在独立的磁荷；
0 I dl R 0 I dl R S B (r ) ds S 4 C R3 ds C 4 S R3 ds ˆR 0 I dl 1 a 1 ( ) ds 2 C 4 S R R R 0 I dl 1 A ds AdV dV 0 C 4 V S V R
♦ 电位
J 0 t
E
2 0
5
恒定电场的边界条件
♦ 将恒定电流场基本方程的积分形式应用到两种不同导体的界面
上即可得到恒定电流场的边界条件：
J2

S
J dS 0
2 1
J1 E2
J1n J 2 n

l
E dl 0
垂直作y方向，导体中面电流密度：
I
r
r
R
x
(a,0) (d,0)
ˆ r dx
I a 0 I d a d x ˆ 0 ˆ ln B z dx dy z 2 2 32 a 8 a [(d x) y ] 4 a d a
♦ 解：如图所示
B (r ) 0 4

C
Idl R R3
♦ 例：有一载电流I的细圆环，半径为a，求其轴线上任意一 点的
ˆz r za
z (0,0,z)
( za ) 0 Ia ˆ ˆ z aa ˆr 0 Iad a aa ˆr ˆ dB d ( za z) 3 3 4 4 R R
受的电场力和磁场力的总和即为洛仑兹力