2013届常外高三数学第三次模拟考试
2013年江苏高考数学模拟试卷及参考答案【最后一卷
2013年江苏高考数学最后一卷2013.06.01数学（必试部分）注意事项：1.本试卷总分160分，考试用时120分钟。
2.答题前，考生务必将班级、姓名、学号写在答卷纸的密封线内。
选择题答案填涂在．．．．．．．．答题卡对应的题号下，主观题答案写在答卷纸上对应的题号下空格内的横线上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
考试结束后，上交答题卡和答卷纸。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．.1.设复数满足（是虚数单位），则复数的模=___▲____.2.已知，则___▲_____.3.抛物线y2 = 8x的焦点到双曲线x212–y24= 1的渐近线的距离为___▲___.4.阅读下列算法语句:Read S1For I from 1 to 5 step 2 SS+IEnd forPrint SEnd输出的结果是▲．5.设集合，则=____▲_______.6.设等比数列{a n}的公比q = 12，前n项和为S n，则S4a4= ____▲_______.7.在区间内随机地取出一个数，则恰好使1是关于x的不等式的一个解的概率大小为__▲_____.8.已知向量，，则的最大值为▲．9.已知A(2,4)，B(–1,2)，C(1,0)，点P(x,y)在△ABC内部及边界上运动，则z = x–y的最大值与最小值的和为___▲___10.设表示两条直线，表示两个平面，现给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的命题是___▲______．（写出所有正确命题的序号）11.设函数，若关于x 的方程恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围为___▲_____.12.函数在求导数时，可以运用对数法：在函数解析式两边求对数得，两边求导数，于是 ．运用此方法可以探求得知的一个单调增区间为____▲_____．13.已知椭圆的上焦点为，直线和与椭圆相交于点，，，，则 ▲ ．14.已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为_▲__．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15.（本小题满分14分）如图，点B 在以PA 为直径的圆周上，点C 在线段AB 上，已知，设，均为锐角. （1）求；（2）求两条向量的数量积的值.16. （本小题满分14分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE //AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB ，且F 是CD 的中点. ⑴求证：AF //平面BCE ；⑵求证：平面BCE ⊥平面CDE .17．（本大题满分14分）2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数（以百人．．为计数单位）作了一个模拟预测．为了方便起见，以10分钟为一个计P A C B A BC D EF算单位，上午9点10分作为第一个计数人数的时间，即；9点20分作为第二个计数人数的时间，即；依此类推，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计数单位.第个时刻进入园区的人数和时间（）满足以下关系： ()()()()()24123612436325363216377207390n n n f n n n n -≤≤⎧⎪⎪⎪⋅≤≤=⎨⎪-+≤≤⎪≤≤⎪⎩， 第个时刻离开园区的人数和时间满足以下关系： .（1）试计算在当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客多少百人？（提示：，结果仅保留整数）（2）问：当天什么时刻世博园区内游客总人数最多？18.（本小题满分16分） 设圆，动圆，（1）求证：圆1C 、圆2C 相交于两个定点；（2）设点P 是椭圆上的点，过点P 作圆1C 的一条切线，切点为1T ，过点P 作圆2C 的一条切线，切点为2T ，问：是否存在点P ，使无穷多个圆2C ，满足？如果存在，求出所有这样的点P ；如果不存在，说明理由.19. （本小题满分16分）已知数列{a n }的通项公式为a n = 2⨯3n + 23n – 1(n ∈N *). ⑴求数列{a n }的最大项；⑵设b n = a n + pa n– 2，试确定实常数p，使得{b n}为等比数列；⑶设，问：数列{a n}中是否存在三项，，，使数列，，是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由.20．（本大题满分16分）已知函数，（1）若，且关于的方程有两个不同的正数解，求实数的取值范围；（2）设函数，满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与无关.试求的取值范围．2013年江苏高考数学最后一卷2013.06.01数学（加试部分）21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题．．．．，每小题l0分，共计20分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.选修4 – 1几何证明选讲如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E,∠BAC的平分线与BC交于点D.求证：ED2= EB·EC.B．矩阵与变换已知矩阵，，求满足的二阶矩阵．C.选修4 – 4 参数方程与极坐标若两条曲线的极坐标方程分别为ρ = 1与ρ = 2cos(θ + π3),它们相交于A，B两点，求线段ABB C EDA的长.D.选修4 – 5 不等式证明选讲设a ,b ,c 为正实数,求证:a 3 + b 3 + c 3 + 1abc ≥2 3.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. （本小题满分10分）如图，在四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD . ⑴求PA 的长；⑵求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值.23．（本小题满分10分）用四个不同字母组成一个含个字母的字符串，要求由开始，相邻两个字母不同. 例如时，排出的字符串是；时排出的字符串是,,,,,,,,aba abc abd aca acb acd ada adb adc ，……， 如图所示.记这含个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是的字符串的种数为. （1）试用数学归纳法证明：；（2）现从四个字母组成的含个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是的概率为，求证：.P B CDA M a b c d n=1 a b c d n=2 a c da b d abc2010届江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学高三调研测试数学参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5答案 2 3 1 10题号 6 7 8 9 10答案15 0.7 6 –2 ④题号11 12 13 14答案815.解（1）：因为点B在以PA为直径的圆周上，所以，所以.所以，………………………………………2分cos cos()PBCPBPCαβ∠=-===，所以，………………………………………………………………4分，…………………………6分又，所以.………………………………………………………8分（2）…………………………11分……………………………………………14分16. ⑴解:取CE中点P，连结FP,BP,因为F为CD的中点,所以FP//DE,且FP =12DE,…2分又AB //DE ,且AB =12DE ,所以AB //FP ,且AB = FP ,所以四边形ABPF 为平行四边形,所以AF //BP . ……………4分 又因为AF ⊂/平面BCE ,BP ⊂平面BCE , 所以AF //平面BCE . …7分 （该逻辑段缺1个条件扣1分）⑵因为△ACD 为正三角形,所以AF ⊥CD .因为AB ⊥平面ACD ,DE //AB ,所以DE ⊥平面ACD , 又AF ⊂平面ACD ,所以DE ⊥AF . …………………9分 又AF ⊥CD ，CD ∩DE = D ，所以AF ⊥平面CDE .又BP //AF ，所以BP ⊥平面CDE . ……………………………12分 又因为BP ⊂平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面CDE . ………………………………………14分17． 解：（1）当且时，，当且时， 所以…××；…………………………2分另一方面，已经离开的游客总人数是： ×5121152⨯+⨯；………………………4分 所以361216563901266S S T =-=-=（百人）故当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客百人. ……………6分 （2）当时园内游客人数递增；当时园内游客人数递减.(i)当时，园区人数越来越多，人数不是最多的时间；………………………8分 (ii)当时，令，得出，即当时，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；……………10分 (iii)当时，，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；……………………………………………………………………………12分 (Ⅳ)当时， 令时，，即在下午点整时，园区人数达到最多.此后离开人数越来越多，故园区内人数最多的时间是下午4点整. ……………………14分 答：（1）当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客百人；（2）在下午点整时，园区人数达到最多. 18.解（1）将方程化为，令得或，所以圆2C 过定点和，……………4分将代入，左边=1644012320+--+==右边，故点在圆1C 上，同理可得点也在圆1C 上，所以圆1C 、圆2C 相交于两个定点和；……………6分（2）设，则，…………………………8分， …………………………………10分 即，整理得（*）………………………………………………12分 存在无穷多个圆2C ，满足的充要条件为有解，解此方程组得ABCDEFP或006545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，………………………………………………………………………………14分 故存在点P ，使无穷多个圆2C ，满足，点P 的坐标为.………………16分19. 解 ⑴由题意a n = 2 + 43n – 1,随着n 的增大而减小,所以{a n }中的最大项为a 1 = 4.…4分 ⑵b n = 2 + 43n – 1 + p 43n – 1= (2 + p )(3n – 1) + 44 = (2 + p )3n + (2 – p )4，若{b n }为等比数列， 则b 2n +1 – b n b n +2= 0(n ∈N * )所以 [(2 + p )3n +1 + ( 2 – p )]2 – [{2 + p )3n + (2 – p )][(2 + p )3n +2 + (2 – p )] = 0(n ∈N *)，化简得(4 – p 2)(2·3n +1 – 3n +2 – 3n ) = 0即– (4 – p 2)·3n ·4 = 0,解得p = ±2. ………………………7分 反之,当p = 2时,b n = 3n ,{b n }是等比数列;当p = – 2时,b n = 1,{b n }也是等比数列.所以,当且仅当p = ±2时{b n }为等比数列. ………………………………………………………………10分 ⑶因为，，，若存在三项，，，使数列，，是等差数列，则，所以=，……………12分 化简得（*），因为，所以，，所以，，（*）的 左边，右边，所以（*）式不可能成立， 故数列{a n }中不存在三项，，，使数列，，是等差数列. ……………16分 20．解：(1)令，，因为，所以，所以关于的方程有两个不同的正数解等价于关于的方程有相异的且均大于1的两根，即 关于的方程有相异的且均大于1的两根，……………………………………………………2分所以，…………………………………………………………………4分 解得，故实数的取值范围为区间.……………………………6分 (2)①当时， a )时，，，所以 ， b )时，，所以 ……8分 ⅰ当即时，对，，所以 在上递增，所以 ，综合a ) b )有最小值为与a 有关，不符合……10分 ⅱ当即时，由得，且当时，，当时，，所以 在上递减，在上递增，所以，综合a ) b ) 有最小值为与a 无关，符合要求．………12分 ②当时， a ) 时，，，所以 b ) 时，，，所以 ，在上递减，所以 ，综合a ) b ) 有最大值为与a 有关，不符合………14分综上所述，实数a 的取值范围是．………………………………………………16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选．做两题．．．，每小题l0分，共计20分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.选修4 – 1几何证明选讲证明: 因为EA 是圆的切线,AC 为过切点A 的弦,所以 ∠CAE = ∠CBA . 又因为AD 是∠BAC 的平分线,所以∠BAD = ∠CAD 所以∠DAE = ∠DAC + ∠EAC = ∠BAD + ∠CBA = ∠ADE所以,△EAD 是等腰三角形,所以EA = ED . ……………………………………………………6分 又EA 2 = EC ·EB ,所以ED 2 = EB ·EC . ……………………………………………………………………………4分 B ．矩阵与变换：解：由题意得，…………………………………………………5分 ，………………………………………10分 C.选修4 – 4 参数方程与极坐标若两条曲线的极坐标方程分别为ρ = 1与ρ = 2cos(θ + π3),它们相交于A ,B 两点,求线段AB 的长.解 首先将两曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,得 x 2 + y 2 = 1与x 2 + y 2 – x +3y = 0……………………………………………………6分解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2 + y 2 = 1x 2 + y 2 – x + 3y = 0 得两交点坐标(1,0),(–12, – 32)所以,线段AB 的长为(1 + 12)2 + (0 + 32)2=3即AB = 3.………………………………………………………………………………10分 D.选修4 – 5 不等式证明选讲设a ,b ,c 为正实数,求证:a 3 + b 3 + c 3 + 1abc ≥2 3.证明 因为a ,b ,c 为正实数,所以a 3 + b 3 + c 3≥33a 3b 3c 3 = 3abc >0…………………………5分 又3abc + 1abc ≥23abc ·1abc = 2 3.所以a 3 + b 3 + c 3 + 1abc ≥2 3.…………………………………………………………………10分B C ED A【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．请在答题．．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.解 如图,以A 为坐标原点,AB ,AD ,AP 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,1,0),P (0,0,a ).因为M 是PC 中点,所以M 点的坐标为(12,12,a 2)，所以AM →= (12,12,a 2)，BD → = (–1,1,0)，BP →= ( – 1,0,a ).⑴因为AM →⊥平面PBD ,所以AM →·BD → = AM →·BP →= 0.即– 12 + a 22 = 0,所以a = 1,即PA = 1. ………………………………………4分 ⑵由AD → = (0,1,0),M →= (12,12,12),可求得平面AMD 的一个法向量n = ( – 1,0,1).又CP → = ( – 1,–1,1).所以cos<n , CP →> = n ·CP →|n |·|CP →|=22·3= 63. 所以,PC 与平面AMD 所成角的正弦值为63.……………………………10分 23．解（1）：证明： （ⅰ）当时，因为，33(1)04+-=，所以等式正确. （ⅱ）假设时，等式正确，即， 那么，时，因为， 这说明时等式仍正确.据（ⅰ），（ⅱ）可知，正确. ……………………………5分 （2）易知，①当为奇数（）时，，因为，所以，又，所以；②当为偶数（）时，，因为，所以，又，所以.综上所述，.……………………………10分温馨提示-专业文档供参考，请仔细阅读后下载，最好找专业人士审核后使用！。
南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准(定稿)
南京市、盐城市2013 届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准2013.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数． 一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共 70 分．1221． (1， 3]2． 53． 84． 75． 375 66． 107． 28．①④9． 210． 23 311． 212． 2x ＋y － 2＝ 0 13． (12， 17) 14． 2二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15． 解（ 1）方法一：因为 tan α＝ 2，所以sin α⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分＝ 2，即 sin α＝ 2cos α．cos α又 sin 2α＋ cos 2α＝1，解得 sin 2α＝4，cos 2α＝1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分55所以 cos2α＝ cos 2 2α＝－ 3． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分α－ sin 5方法二：22α⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分因为 cos2α＝ cos α－ sincos 2α－sin 2 α 1－tan 2α4 分＝ sin 2α＋cos 2 α＝tan 2α＋1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 又 tan α＝2，所以 cos2α＝ 12－22＝－ 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分2 ＋15（ 2）方法一：因为 α∈ (0， π)，且 tan α＝2，所以 α∈π(0， )．2又 cos2α＝－ 3＜0，故 2α∈(π⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分，π) ，sin2α＝ 4．5257 22π由 cos β＝－10 ， β∈ (0， π)，得 sin β＝ 10 ，β∈ (2， π)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分4 7 2 3 2 2． ⋯⋯⋯⋯ 12 分所以 sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝×(－10)－(－ ) × ＝－ 255 10又 2α－ β∈π π π⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分(－ ， )，所以 2α－ β＝－ ．224方法二：因为 α∈ (0， π)，且 tan α＝2，所以 α∈π2tan α4 ．(0， )，tan2α＝2 ＝－321－ tan απ从而 2α∈(2， π)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分由 cos β＝－ 7 2 ， π)，得 sin β＝ 2 π， β∈ (0 10 ，β∈ (2 ， π)，10因此 tan β＝－ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分7－4＋1所以 tan(2α－β)＝tan2α－tan β＝37＝－ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分1＋tan2αtan β411＋(－ 3)× (－ 7)π ππ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分又 2α－ β∈ (－ ， )，所以 2α－ β＝－．2 2 416． 证明 （ 1）如图，取 BC 的中点 G ，连结 AG ， FG ．C 1A 1因为 F 为 C 1B 的中点，所以 FG∥ 1C 1C ．B 1＝ 2在三棱柱 ABC － A 1B 1C 1 中， A 1A ∥＝ C 1C ，且 E 为 A 1A 的中点，EF所以 FG ＝∥EA ．所以四边形 AEFG 是平行四边形．所以 EF ∥ AG ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分DCAGB（第 16 题）因为 EF 平面 ABC ， AG 平面 ABC ，所以 EF ∥平面 ABC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分 （ 2）因为在正三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中， A 1A ⊥平面 ABC ， BD平面 ABC ，所以 A 1A ⊥ BD ．因为 D 为 AC 的中点， BA ＝ BC ，所以 BD ⊥ AC ．因为 A 1A ∩AC ＝A ， A 1 A 平面 A 1ACC 1 ，AC 平面 A 1ACC 1，所以 BD ⊥平面 A 1ACC 1．因为 C 1E 平面 A 1ACC 1，所以 BD ⊥C 1E ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分根据题意，可得 EB ＝C 1E ＝ 62 AB ， C 1B ＝ 3AB ，所以 EB 2＋C 1E 2 ＝C 1B 2．从而∠ C 1EB ＝ 90°，即 C 1E ⊥ EB ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分因为 BD ∩EB ＝ B ，BD 平面 BDE ， EB 平面 BDE ，所以 C 1E ⊥平面 BDE ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分17． 解（ 1）由题意知， f(x)＝－ 2x ＋ 3＋ lnx ，－ 2x ＋ 1 (x ＞ 0)．2 分所以 f ′(x)＝－ 2＋ 1＝x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x由 f ′(x)＞ 0 得 x ∈ (0，1) ．2所以函数 f( x)的单调增区间为1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分(0， )．2（ 2）由 f ′(x)＝ mx － m － 2＋ 1，得 f ′(1)＝－ 1，x所以曲线 y ＝ f(x)在点 P(1， 1)处的切线 l 的方程为 y ＝－ x ＋ 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分由题意得，关于 x 的方程 f(x)＝－ x ＋ 2 有且只有一个解， 即关于 x 的方程1 2－ x ＋ 1＋ln x ＝0 有且只有一个解．m(x － 1)2令 g(x)＝12m(x － 1)2－x ＋ 1＋ lnx(x ＞ 0)．2 －(m ＋ 1)x ＋ 1(x ＞ 0)． ⋯⋯⋯⋯⋯8 分则 g ′(x) ＝m(x － 1)－ 1＋ 1＝ mx＝ (x － 1)(mx － 1)xxx①当 0＜ m ＜1 时，由 g ′(x)＞ 0 得 0＜ x ＜ 1 或 x ＞1，由 g ′(x)＜ 0 得 1＜ x ＜ 1，mm所以函数 g(x)在 (0， 1)为增函数，在 (1， 1)上为减函数，在 ( 1，＋∞ )上为增函数．mm又 g(1)＝ 0，且当 x →∞时， g(x)→∞，此时曲线 y ＝ g(x)与 x 轴有两个交点．故 0＜m ＜ 1 不合题意．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分②当 m ＝ 1 时， g ′(x)≥ 0， g(x)在 (0，＋∞ )上为增函数，且 g(1) ＝ 0，故 m ＝ 1 符合题意．③当 m ＞ 1 时，由 g ′(x)＞ 0 得 0＜x ＜ 1 或 x ＞ 1，由 g ′(x)＜ 0 得 1＜x ＜ 1，mm所以函数 g(x)在 (0， 1) 为增函数，在 ( 1，1) 上为减函数，在 (1，＋∞ )上为增函数．m m又 g(1)＝ 0，且当 x → 0 时， g(x)→－∞，此时曲线 y ＝ g(x)与 x 轴有两个交点．故 m ＞ 1 不合题意．综上，实数 m 的值为 m ＝1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分18．解如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD ， AB＝ 8cm， AD ＝ 6cm，其中点A在面积为S1的部分内．折痕有下列三种情形：①折痕的端点M，N 分别在边AB， AD 上；②折痕的端点M，N 分别在边AB， CD 上；③折痕的端点M，N 分别在边AD ， BC 上．D C D N C D CN MNA MB A M B A B（情形①）（情形②）（情形③）（ 1）在情形②、③中MN ≥6，故当 l＝ 4 时，折痕必定是情形①．设 AM＝ xcm， AN＝ ycm，则 x2＋ y2＝ 16．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分因为 x2＋ y2≥ 2xy，当且仅当x＝ y 时取等号，1所以 S1＝2xy≤ 4，当且仅当x＝y＝ 22时取等号．即 S1的最大值为4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（ 2）由题意知，长方形的面积为S＝6× 8＝ 48．因为 S1∶S2＝1∶ 2， S1≤S2，所以 S1＝ 16， S2＝ 32．当折痕是情形①时，设AM＝ xcm， AN＝ ycm，则132．xy＝16，即 y＝x20≤x≤ 8，16由0≤32x≤6，得3≤x≤8．所以 l＝22232216⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分x＋ y ＝x＋ 2 ，≤x≤ 8．x3322222)(x－ 4 2) 22× 322(x ＋ 32)(x＋ 4设 f(x)＝x＋x2 ，x＞0，则f′(x)＝2x－x3＝x3，x＞0．故x16162）4 2（ 4 2， 8）83（3，4f ′(x)－0＋f(x)4↘64↗80 649所以 f(x)的取值范围为 [64， 80]，从而 l 的范围是 [8 ，45]；⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分当折痕是情形②时，设AM＝ xcm， DN＝ ycm，则1(x＋y)× 6＝ 16，即 y＝16－ x．230≤x≤ 8，得 0≤x≤16．由16所以 l ＝2228 2 16 6 ＋ (x － y)＝ 6 ＋ 4(x － ) ， 0≤x ≤．33所以 l 的范围为 [6，2145 ]； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分31当折痕是情形③时，设BN ＝xcm ，AM ＝ ycm ，则 2(x ＋ y)× 8＝16，即 y ＝ 4－ x ．由 0≤ x ≤ 6，得 0≤ x ≤4．0≤4－ x ≤ 6，所以 l ＝ 82＋ (x － y)2＝ 82＋ 4(x －2) 2， 0≤ x ≤4． 所以 l 的取值范围为 [8， 4 5]．综上， l 的取值范围为 [6， 4 5]．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分19． 解（ 1）由题意得， m ＞ 8－ m ＞ 0，解得 4＜ m ＜ 8．即实数 m 的取值范围是 (4， 8)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分22（ 2）因为 m ＝ 6，所以椭圆 C 的方程为 x ＋y＝ 1．6 2x 2 y 2①设点 P 坐标为（ x ， y ），则 6＋2 ＝ 1．因为点 M 的坐标为（ 1， 0），所以PM 2＝( x －1)2 ＋ y 2＝x 2－ 2x ＋ 1＋ 2－x 2＝2x 2－2x ＋ 33323 2 3 ， x ∈ [－6， 6]．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯＝(x － ) ＋3 2 2363 5所以当 x ＝ 2时， PM 的最小值为2 ，此时对应的点 P 坐标为（ 2，±2 ）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②由 a 2＝ 6，b 2＝ 2，得 c 2＝ 4，即 c ＝ 2，从而椭圆 C 的右焦点 F 的坐标为 (2， 0)，右准线方程为x ＝ 3，离心率 e ＝ 6．3设 A （ x 1， y 1）， B （x 2 ，y 2 ）， AB 的中点 H （ x 0， y 0），则22 22x 1 ＋ y 1 ＝1， x 2 ＋ y 2 ＝1，62622222所以 x 1 － x 2 ＋ y 1－y2＝ 0，即 k AB ＝y 1－y2＝－ x 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯62x 1－ x 2 3y 0令 k ＝ k AB ，则线段 AB 的垂直平分线 l 的方程为 y － y 0＝－ 1k (x － x 0)．4 分6 分9 分令 y ＝0，则 x N ＝ ky 0＋ x 0＝2x 0．322 6因为 AB ＝ AF ＋ BF ＝ e(3－x 1)＋ e(3－ x 2)＝ 3 | x 0－ 3| ．故 AB ＝ 2 6× 3＝ 6．FN 32即 AB 为定值6．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分FN20． 解（ 1）设等差数列 { a n } 的公差为 d ，则 S n ＝ na 1＋n(n － 1)nn － 1 d ．2d ，从而 S＝ a 1＋2n≥n S n －1n － 1n －2dS －＝ (a ＋＋n 2 2 d)＝n － 11d)－ (a 12即数列 {S n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分n } 是等差数列．（ 2）因为对任意正整数n ，k(n ＞k)，都有 S n ＋ k ＋ S n － k ＝ 2 S n 成立，所以 S n ＋ 1＋ S n － 1＝ 2 S n ，即数列 { S n } 是等差数列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分设数列 { S n } 的公差为 d 1，则 S n ＝ S 1＋ (n － 1)d 1＝ 1＋ (n －1)d 1，所以 S n ＝[1 ＋(n － 1)d 1] 2，所以当 n ≥2 时，a n ＝ S n － S n － 1＝ [1 ＋( n － 1)d 1] 2－ [1＋ (n －2)d 1] 2＝ 2d 21n － 3d 21＋ 2d 1，因为 { a n } 是等差数列，所以 a 2－ a 1＝ a 3－a 2，即(4d 21－ 3d 21＋ 2d 1)－ 1＝ (6d 21－ 3d 21＋ 2d 1)－(4d 21－ 3d 21＋ 2d 1)，所以 d 1＝1，即 a n ＝ 2n － 1．又当 a n ＝2n － 1 时， S n ＝ n 2， S n ＋ k ＋ S n － k ＝ 2 S n 对任意正整数 n ， k(n ＞ k)都成立， 因此 a n ＝2n － 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分（ 3）设等差数列 { a n } 的公差为 d ，则 a n ＝ a 1＋ (n － 1)d ， b n ＝ a an ，所以b na n －a n － 1db n－1 ＝ a＝ a ，即数列 { b n } 是公比大于 0，首项大于 0 的等比数列． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分记公比为 q(q ＞ 0)．以下证明： b 1＋ b n ≥b p ＋ b k ，其中 p ， k 为正整数，且 p ＋ k ＝ 1＋ n ．因为 (b 1＋ b n )－ (b p ＋ b k )＝ b 1＋b 1q n － 1－ b 1q p － 1－b 1q k － 1＝b 1( q p －1－ 1)( q k －1－ 1)．当 q ＞1 时，因为 y ＝ q x 为增函数， p －1≥ 0，k － 1≥ 0，所以 q p －1－ 1≥0， q k －1－ 1≥ 0，所以 b 1＋ b n ≥ b p ＋ b k ．当 q ＝1 时， b 1＋ b n ＝ b p ＋ b k ．当 0＜q ＜ 1 时，因为 y ＝ q x 为减函数， p － 1≥0， k － 1≥0，p 1k 1综上， b 1＋ b n ≥ b p ＋ b k ，其中 p ， k 为正整数，且 p ＋ k ＝ 1＋ n ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分所以 n(b 1＋ b n )＝ (b 1＋ b n )＋ (b 1＋ b n )＋⋯＋ (b 1＋ b n )≥(b 1＋ b n )＋ (b 2＋ b n－ 1)＋ (b 3＋ b n － 2)＋⋯＋ (b n ＋ b 1)＝ ( b 1 ＋ b 2 ＋⋯＋ b n )＋ (b n ＋ b n － 1＋⋯＋ b 1)，b 1＋ b 2＋⋯＋ b nb 1＋ b n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分即≤．n2南京市、盐城市2013 届高三第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2013.0521．【选做题】在 A 、 B 、 C 、 D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共 20 分．A ．选修 4— 1：几何证明选讲证明 如图，延长 PO 交⊙ O 于 D ，连结 AO ， BO ． AB 交 OP 于点 E ．A因为 PA 与⊙ O 相切， DOE C P 所以 PA 2＝ PC · PD ．B设⊙ O 的半径为 R ，因为 PA ＝ 12， PC ＝ 6，（第 21 题 A ）所以 122＝6(2R ＋ 6)，解得 R ＝9． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分因为 PA ，PB 与⊙ O 均相切，所以PA ＝ PB ．又 OA ＝ OB ，所以 OP 是线段 AB 的垂直平分线． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分即 AB ⊥ OP ，且 AB ＝ 2AE ．在 Rt △ OAP 中， AE ＝OA · PA ＝ 36．OP 5所以 AB ＝72．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分5B ．选修 4— 2：矩阵与变换1 a 1 0，即 1＋ a ＝0，解 （ 1）由题知，11＝b 2b ＋ 1＝2，解得 a ＝－ 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分b ＝ 1．（ 2）设 P' (x ， y)是曲线 C'上任意一点， P' 由曲线 C 上的点 P (x 0 ， y 0) 经矩阵 M 所表示的变换得到，1 － 1x 0 x x 0－ y 0＝x ，x 0＝ y ＋ x，解得2所以y 0＝，即 x 0＋ y 0＝y ，y － x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分11yy 0＝．2因为 x0y0＝ 1，所以y＋x·y－x＝ 1，即y2－ x2＝ 1．2244即曲线 C' 的方程为y2－ x2＝ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分44C．选修 4— 4：坐标系与参数方程解以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系，则圆 C 的直角坐标方程为 (x－ 3)2＋ ( y－1) 2＝ 4，点 M 的直角坐标为 (3 3，3)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分当直线 l 的斜率不存在时，不合题意．设直线 l 的方程为 y－3＝ k(x－ 3 3)，由圆心 C( 3， 1)到直线 l 的距离等于半径2．故 |2 3k－ 2|＝2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分k2＋1解得 k＝ 0 或 k＝ 3．所以所求的直线 l 的直角坐标方程为y＝3或3x－ y－ 6＝0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分π所以所求直线l 的极坐标方程为ρsinθ＝3或ρsin(－θ)＝3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分3D．选修 4— 5：不等式选讲x≥ 4，x＜ 4，解原不等式等价于x 2－ 4x－ 3＜0，或－ x2＋ 4x－ 3＜ 0．x≥ 4，或 x＜ 4，解得2－ 7＜ x＜ 2＋ 7，x＜ 1或x＞ 3．即4≤x＜ 2＋ 7或 3＜ x＜ 4 或 x＜1．综上，原不等式的解集为 { x| x＜ 1 或 3＜ x＜ 2＋ 7} ．【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共 20 分．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分22．解（ 1）如图，取AC 的中点 F ，连接 BF ，则 BF ⊥ AC．以 A 为坐标原点，过 A 且与 FB 平行的直线为x 轴， AC 为 y 轴， AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系．则A(0，0， 0)， B( 3， 1，0)，z PC(0， 2， 0)， P(0， 0， 2)， E(0， 1， 1)，ED →→从而 PB ＝ (3， 1，－ 2)， AE＝ (0， 1， 1)．设直线 AE 与 PB 所成角为θ，A FC y→ →1x B则 cosθ＝|PB· AE→ →|＝．4（第 22 题）|PB|× |AE|即直线 AE 与 PB 所成角的余弦值为1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分4．→→ （ 2）设 PA 的长为 a ，则 P(0， 0， a)，从而 PB ＝ ( 3， 1，－ a)，PC ＝(0 ，2，－ a)．→→设平面 PBC 的法向量为 n ＝( x ， y ， z) ，则 n ·1·11 PB ＝ 0， n PC ＝ 0，所以 3x ＋ y －az ＝ 0， 2y －az ＝ 0．令 z ＝ 2，则 y ＝ a ， x ＝33 a ．3所以 n 1＝( 3 a ，a ， 2)是平面 PBC 的一个法向量．因为 D ， E 分别为 PB ，PC 中点，所以 3 1 a aD( ， 2， )，E(0， 1， ) ，2 2 2 →3 1 a → a )．则 AD ＝ ( 2 ， ， )， AE ＝ (0，1， 22 2 设平面 ADE 的法向量为 n ＝( x ，y ， z)，则 n→→··22 AD ＝0， n 2 AE ＝ 0．所以31aa2 x ＋ 2y ＋ 2z ＝ 0， y ＋ 2z ＝0．3令 z ＝ 2，则 y ＝－ a ， x ＝－ 3 a ．所以 n 2＝(－3 a ，－ a ， 2)是平面 ADE 的一个法向量． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分3因为面 ADE ⊥面 PBC ，所以 n ⊥n ，即 n ·＝ (32) ·31 2－ a 2＋ 4＝ 0，121 n 23 a ， a ，(－ 3 a ，－ a ， 2)＝－ 3a解得 a ＝ 3，即 PA 的长为 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分223． 解（ 1）p 1＝ ，p 2＝ 2× 2＋ 1× ( 1－2 ) ＝5．33 3 3 9（ 2）因为移了 n 次后棋子落在上底面顶点的概率为于是移了 n ＋ 1 次后棋子落在上底面顶点的概率为从而 p n+1－1＝ 1 (p n －1)．2 3 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分p n ，故落在下底面顶点的概率为1－ p n ．pn+12 1 11．＝ p n ＋ (1－p n )＝ p n ＋333 3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分所以数列 { p n －1} 是等比数列，其首项为1，公比为 1．26 311 ×( 1 ) n －1 1 11⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分所以 p n － ＝3．即 p n ＝＋ ×n ．262 23用数学归纳法证明：①当 n ＝ 1 时，左式＝1＝3，右式＝ 1，因为3＞1，所以不等式成立．4× 2－ 1 525 23当 n ＝2 时，左式＝1＋ 1＝78，右式＝ 4，因为 78＞ 4，所以不等式成立．4× 2－ 1 4× 5－ 155355 339②假设 n ＝ k(k ≥ 2)时，不等式成立，即k1 ＞k2∑．i =14P i － 1 k ＋ 1k112123 k+1则 n ＝k ＋ 1 时，左式＝ ∑＋＞k＋＝ k＋．i － k+1 － 11 11k+1 i =114Pk ＋ 1k ＋ 13 ＋ 24P＋ × k+1)－ 14( 22 3要证 k23k+12＋ ≥ (k ＋ 1) ，k ＋13 k +1＋ 2k ＋ 2k+122只要证3≥(k ＋1) － k．3k+1＋2k ＋ 2 k ＋ 13k+1k 2 ＋3k ＋ 1只要证 3k+1＋2≥ k 2＋ 3k ＋ 2．2 1 只要证3k+1≤k 2＋ 3k ＋1．只要证 3k+1≥ 2k 2＋ 6k ＋2．因为 k ≥2，所以 3k+1＝ 3(1＋ 2)k ≥ 3(1＋ 2k ＋ 4C 2k )＝ 6k 2＋ 3＝ 2k 2 ＋6k ＋ 2＋ 2k(2k －3)＋ 1＞ 2k 2＋ 6k ＋ 2，k 23k+1(k ＋ 1)2所以 k ＋1 ＋ 3k+1＋ 2≥ k ＋ 2 ．即 n ＝k ＋ 1 时，不等式也成立．n1 ＞ n2由①②可知，不等式 ∑对任意的 n ∈ N * 都成立． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分i =14P i －1 n ＋ 1。
高三第三次模拟考试数学试题(原卷版).docx
一、填空题：1.已知集合{}|12A x x =≤≤，{}1,2,3,4B =，则AB = ▲ ．2.已知复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 是虚数单位），则z = ▲ ．3.袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取出2个球，则取出的球颜色相同的概率为 ▲ ．4.平面α截半径为2的球O 所得的截面圆的面积为π，则球心O 到平面α的距离为 ▲ ．5.如图所示的流程图，输出y 的值为3，则输入x 的值为 ▲ ．6.一组数据2,,4,6,10x 的平均值是5，则此组数据的标准差是 ▲ ．7.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的离心率为2,且过点(1,2),则曲线C 的标准方程 为 ▲ ．8.已知函数()f x 对任意的x ∈R 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，2()1f x x ax =-+．若()f x 有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．9.已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ▲ ．10.在直角三角形ABC 中，C =90°，6AC =，4BC =．若点D 满足2AD DB =-，则||CD = ▲ ． 11.已知函数()sin()f x x ωϕ=+的图象如图所示，则(2)f = ▲ ．12.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=．若直线(1)y k x =+上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是 ▲ ．13.设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若12a a <，12b b <，且2(1,2,3)i i b a i ==，则 数列{b n }的公比为 ▲ ．14.在△ABC 中，BC =2，AC =1，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点，C 、D 两点 在直线AB 的两侧）．当C ∠变化时，线段CD 长的最大值为 ▲ ．二、解答题：15.如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ． （1）求证：AB ∥EF ；（2）求证：平面BCF ⊥平面CDEF ．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若4b =，8BA BC ⋅=． （1）求22a c +的值；13 xy O（第11题）·1-1（2）求函数2()3sin cos cos f B B B B =+的值域．17.某风景区在一个直径AB 为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A 与圆 弧上的一点C 之间设计为直线段小路，在路的两侧．．边缘种植绿化带；从点C 到点B 设计为沿弧BC 的弧形小路，在路的一侧．．边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计） （1）设 ÐBAC =q （弧度），将绿化带总长度表示为q 的函数()s θ； （2）试确定q 的值，使得绿化带总长度最大．18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，7AB CD +=． （1）求椭圆的方程；（2）求AB CD +的取值范围．19.已知函数2()()e x f x x a =-在2x =时取得极小值． （1）求实数a 的值；（2）是否存在区间[],m n ，使得()f x 在该区间上的值域为44[e ,e ]m n ？若存在，求出m ，n 的值； 若不存在，说明理由．20.各项均为正数的数列{a n }中，设12n n S a a a =+++，12111n nT a a a =+++，且(2)(1)2n n S T -+=，*n ∈N ． （1）设2n n b S =-，证明数列{b n }是等比数列；（2）设12n n c na =，求集合(){}*,,|2,,,,m r k m k r c c c m k r m k r +=<<∈N ．南通市2014届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）21.A 选修4—1：几何证明选讲如图，圆O 的两弦AB 和CD 交于点E ，//EF CB ，EF 交AD 的 延长线于点F ．求证：△DEF ∽△EAF ．21.B 选修4—2：矩阵与变换若矩阵012a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 把直线:20l x y +-=变换为另一条直线:40l x y '+-=，试求实数a 值．21.C 选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P （0，1），曲线C 的方程为2220x y x +-=，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值．21.D 选修4—5：不等式选讲已知0x >，0y >，a ∈R ，b ∈R ．求证()222ax by a x b yx y x y++++≤．22.在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F （1，0），点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，点N 为平面内的动点，且满足0PM PF ⋅=，PM PN +=0． （1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）设点Q 是直线l ：1x =-上任意一点，过点Q 作轨迹C 的两条切线QS ，QT ，切点分别为S ，T ，设切线QS ，QT 的斜率分别为1k ，2k ，直线QF 的斜率为0k ，求证：1202k k k +=．23.各项均为正数的数列{}n x 对一切*n ∈N 均满足112n n x x ++<．证明：（1）1n n x x +<； （2）111n x n-<<．。
2013江苏高考数学模拟试卷3-参考答案
犛 ０ １ １ 犪 ２ ０ １ １ ＝２ １＋ 烄 烅 犪 犪 ０ ０ ７ 犱＝７ １ ０ ０ ８＝ １ ＋１ 烆
｛
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２ ０ １ ３×２ ０ １ ２ ２ ０ １ ３×２ ０ １ ２ ） vw ， ×犱＝２ ×４＝６ ０ ３ ９． 犛 ０ １ ３ 犪 ０ １ ３× （ －４ ０ ２ １ ＋ ２ ０ １ ３ ＝２ １＋ ２ ２ ， 】 (÷ø# ４ + ±２， vw ω＝ ， ! 狓） 犃＝２， 【 1~^w3ö 犳（ π （２狓＋ ４π） ２ １ １ ３ π， ， 1Ùùt®^3 １ × π ＋ y φ＝３ vw 犳（ 狓） ＝２ ｓ ｉ ｎ（ 狓＋ ＝π， 狓） ＝２ ｓ ｉ ｎ（ 狓＋ π） ． 犳（ φ） ４ ２ ２ ２ φ ２ ４ ８． 狓） ＝２ ｓ ｉ ｎ 犳（ １ ３ １
３ ２ （ ３ ２ ＋ ＝２ 犿＋３ 狀） ＋ 犿 狀 犿 狀
（
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2013年高三理科数学三模试卷参考答案
2013年高三理科数学三模试卷参考答案一、选择题：1——5 ABABC 6------10 BDCAA 11----12 CB 二、填空题：13.192- 14. 4315 15. 36π 16. ③④ 三、解答题：17. 解：(Ⅰ)()131nn n n a a f a a +==+1131111133n n n n n na a a a a a +++∴==+∴-= 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，3为公差的等差数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分(Ⅱ)()111313232n n n n a a n ∴=+-=-∴=- 111111323133231n n a a n n n n +⎛⎫⋅=⋅=⋅- ⎪-+-+⎝⎭11111111113447323133131n nS n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分 18. (I)基本事件总数为6636⨯=，若使方程有实根，则240b c ∆=-≥，即b ≥当1c =时，2,3,4,5,6b =；当2c =时，3,4,5,6b =；当3c =时，4,5,6b =； 当4c =时，4,5,6b =；当5c =时，5,6b =；当6c =时，5,6b =,记方程20x bx c ++= 有实根为事件A ,事件A 所含基本事件个数为54332219,+++++=因此，方程20x bx c ++= 有实根的概率为19.36 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分 (II)由题意知，0,1,2ξ=，则17(0)36P ξ==，21(1),3618P ξ===17(2)36P ξ==， 故ξ的分布列为ξ的数学期望17117012 1.361836E ξ=⨯+⨯+⨯= ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分19. （Ⅰ）解：因为底面ABCD 是菱形，60,ABC ∠= 又AC a = 所以AB AD a ==，在PAB ∆中，因为PA a =，所以)222222PA AB a PB +=== 故PA AB ⊥，同理，PA AD ⊥，所以PA ⊥平面ABCD ，作//EG PA 交AD于G ，则EG ⊥平面ABCD .作GH AC ⊥于H ，连结EH ，则EH AC ⊥，EHG ∠即为二面角E AC D --的平面角. 又21PE ED :=:，所以.3360sin ,32,31a AG GH a AG a EG =︒===从而t a n ,3EG GH EHG ==∠ 30.EHG =︒∠ ∴二面角E AC D --是30.︒⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅6分（Ⅱ）解法一 以A 为坐标原点，直线AD 、AP 分别为y 轴、z 轴，过A 点垂直平面PAD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为).0,21,23(),0,21,23(),0,0,0(a a C a a B A -).31,32,0(),,0,0(),0,,0(a a E a P a D所以211(0,,),,,0).332AE a a AC a ==1(0,0,),(,,).22AP a PC a a a ==-1(,,).2BP a a =设点F 是棱PC 上的点，1,,),01,2PF PC a a λλλλλ==-<< 其中则11(,,),,)22BF BP PF a a a a λλλ=+=+-)).1(),1(21),1(23(λλλ-+-=a a a 令 12BF AC AE λλ=+ 得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+=-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+=-.311,341,1.31)1(,3221)1(21,23)1(2322112211λλλλλλλλλλλλλλ即a a a a a a a 解得 .23,21,2121=-==λλλ 即 21=λ时，13.22BF AC AE =-+即，F 是PC 的中点时，、、共面.又 BF ⊄平面AEC ，所以当F 是棱PC 的中点时，//BF 平面AEC ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分 解法二 当F 是棱PC 的中点时，//BF 平面AEC ，证明如下，证法一 取PE 的中点M ，连结FM ，则//FM CE . ①由 ,21ED PE EM ==知E 是MD 的中点. 连结BM 、BD ，设BD AC O = ，则O 为BD 的中点. 所以 //BM OE . ②由①、②知，平面//BFM 平面AEC .⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分 又 BF ⊂平面BFM ，所以//BF 平面AEC .证法二因为11()22BF BC CP AD CD DP =+=++.2123)(23)(212321-=-+-+=++=所以 、、共面.又 BF ⊄平面ABC ，从而BF //平面AEC .⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12分20. 解：（Ⅰ）由题意：一条切线方程为：2x =，设另一条切线方程为：4(2)y k x -=-2=，解得：34k =，此时切线方程为：3542y x =+…………2分 切线方程与圆方程联立得：68,55x y =-=，则直线AB 的方程为22=+y x 令0=x ，解得1=y ，∴1=b ；令0y =,得2x =,∴2=a故所求椭圆方程为1422=+y x ……………………………6分（Ⅱ）联立221.4y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩整理得()08384122=+++kx x k ，令),(11y x P ，),(22y x Q ，则2214138kkx x +-=+，221418k x x +=， 0)41(32)38(22>+-=∆k k ，即：0122>-k原点到直线l的距离为=d ， ……………………………………8分12|||PQ x x =-，∴121||2OPQS PQ d x x ∆=⋅=-===1=当且仅当k =时取等号，则OPQ ∆面积的最大值为1．………………………12分 21. 解：（I ）23232()(3123)(63)(393)x x x f x x x e x x x t e x x x t e '=-++-++=--++322()393,'()3693(1)(3)g x x x x t g x x x x x =--++=--=+-令()(-,-1),(3,+)(-1,3)g x ∞∞在上递增,上递减.()3824.(3)0g x t g ⎧∴∴-<<⎨<⎩ g(-1)>0有个零点…………………………4分（II ）不等式 ()f x x ≤，即32(63)x x x x t e x -++≤，即3263xt xe x x x -≤-+-.转化为存在实数[]0,2t ∈，使对任意的[]1,x m ∈， 不等式3263xt xex x x -≤-+-恒成立.即不等式32063xxe x x x -≤-+-在[]1,x m ∈上恒成立.即不等式2063xex x -≤-+-在[]1,x m ∈上恒成立……………………6分设2()63x x e x x ϕ-=-+-，则()26x x e x ϕ-'=--+.设()()26x r x x e x ϕ-'==--+，则()2x r x e -'=-，因为1x m ≤≤，有()0r x '<. 故()r x 在区间[]1,m 上是减函数………………………8分 又123(1)40,(2)20,(3)0r e r e r e ---=->=->=-< 故存在0(2,3)x ∈，使得00()()0r x x ϕ'==.当01x x ≤<时，有()0x ϕ'>，当0x x >时，有()0x ϕ'<.从而()y x ϕ=在区间[]01,x 上递增，在区间[)0,x +∞上递减………10分 又123(1)40,(2)5>0,(3)6>0,e e e ϕϕϕ---=+>=+=+456(4)5>0,(5)20,(6)30.e e e ϕϕϕ---=+=+>=-<所以当15x ≤≤时，恒有()0x ϕ>；当6x ≥时，恒有()0x ϕ<； 故使命题成立的正整数m 的最大值为5.…………………………12分 22. （I ）证:∵,,CH AB DB AB ⊥⊥，∴,AEH AFB ACE ADF ∆~∆∆~∆∴FDCEAF AE BF EH ==，∵HE EC =， ∴BF FD = ∴ F 是BD 中点.………….…5分（II ）∵AB 是直径，∴ACB ∠=90°∴BCF ∠=CBF ∠=90°CBA CAB ACO -∠=∠=∠ ∴90OCF ︒∠=，∴CG 是O 的切线….………10分（说明：也可证明OCF OBF ∆≅∆（从略,） 23.（Ⅰ）横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到2cos 2(2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）()22124C x y ∴-+=为.…….………….…3分又2224C y y ρθ+= 为=4sin ,即x .…….………….….…….………….…5分 （Ⅱ）12C C 和公共弦的垂直平分线的极坐标方程是cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭10分 24. （I ）当5a =-时，要使函数()f x =有意义， 则05|2||1|≥--++x x①当1-≤x 时，原不等式可化为0521≥-+---x x ，即2-≤x ；②当21≤≤-x 时，原不等式可化为521≥+-+x x ，即53≥，显然不成立； ③当2≥x 时，原不等式可化为521≥-++x x ，即3≥x .综上所求函数的定义域为(][)+∞⋃-∞-,32,…….….…….………….…5分（II ）函数()f x 的定义域为R ，则0|2||1|≥+-++a x x 恒成立，即a x x -≥-++|2||1|恒成立，构造函数()|2||1|-++=x x x h =⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≤--≤-)2(,12)21(,3)1(,21x x x x x ，求得函数的最小值为3，所以3-≥a .…….……….…….………10分。
江苏省南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2013届高三第三次模拟考试数学试卷
（第3题）(第5题)江苏省南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2013届高三第三次模拟考试数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 已知集合(]2 1A =-，，[)1 2B =-，，则A B =U ▲ ．2． 设复数z 满足(34i)50z ++=（是虚数单位），则复数z的模为 ▲ ．3． 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．4． “M N >”是“22log log M N >”成立的 ▲ 条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写）5． 根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆 机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布 直方图如右图所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60 km/h~120 km/h ，则该时 段内非正常行驶的机动车辆数为 ▲ ．6． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为 ▲ ．7． 从集合{}1 2 3 4 5 6 7 8 9，，，，，，，，中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为 ▲ ．(第9题)8． 在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：22(1)4x y -+=上的任意一点，点Q (2a ，3a -) (a ∈R )，则线段PQ 长度的最小值为 ▲ ．9． 函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0ω>，02)ϕ<π≤在R 上的部分图象如图所示，则(2013)f 的值为 ▲ ．10．各项均为正数的等比数列{}n a 中，211a a -=．当3a 取最小值时，数列{}n a 的通项公式a n = ▲ ．11．已知函数2221 0 () 0ax x x f x x bx c x ⎧--⎪=⎨++<⎪⎩，≥，，是偶函数，直线y t =与函数()y f x =的图象自左向右依次交于四个不同点A ，B ，C ，D ．若AB BC =，则实数的值为 ▲ ．12．过点(1 0)P -，作曲线C ：e x y =的切线，切点为1T ，设1T 在x 轴上的投影是点1H ，过点1H 再作曲线C 的切线，切点为2T ，设2T 在x 轴上的投影是点2H ，…，依次下去，得到第1n +()n ∈N 个切点1n T +．则点1n T +的坐标为 ▲ ．13．在平面四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，且AB1=，EF ，CD =．若15AD BC ⋅=u u u r u u u r ，则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为 ▲ ．14．已知实数a 1，a 2，a 3，a 4满足a 1+a 2+a 30=，a 1a 42+a 2a 4-a 20=，且a 1>a 2>a 3，则a 4的取值范围是 ▲ ．二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，四条侧棱长均相等． （1）求证：AB //平面PCD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面ABCD ．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知222222sin 2sin sin C b a c A C c a b --=---． （1）求角B 的大小；（2）设222sin sin sin T A B C =++，求T 的取值范围．17．某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm ；图2是双层中空玻璃，厚度均为4 mm ，中间留有厚度为x 的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为d 的均匀介质，两侧的温度差为T ∆，单位时间内，在单位面积上通过的热量T Q k d∆=⋅，其中k 为热传导系数．假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．（注：玻璃的热传导系数为3410 J mm/C -⨯⋅o ，空气的热传导系数为42.510 J mm/C -⨯⋅o ．）（1）设室内，室外温度均分别为1T ，2T ，内层玻璃外侧温度为1T '，外层玻璃内侧温度为2T '，ABC（第15题）PDO（第18题）且1122T T T T ''>>>．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量（结果用1T ，2T 及x 表示）；（2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计x 的大小？18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的右焦点为(1 0)F ，，．分别过O ，F 的两条弦AB ，CD 相交于点E （异于A ，C 两点），且OE EF =．（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线AC ，BD 的斜率之和为定值．图1图2（第17题）19．已知数列{}n a 是首项为1，公差为d 的等差数列，数列{}n b 是首项为1，公比为(1)q q >的等比数列．（1）若55a b =，3q =，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和；（2）若存在正整数(2)k k ≥，使得k k a b =．试比较n a 与n b 的大小，并说明理由．20．设()f x 是定义在(0 )+∞，的可导函数，且不恒为0，记()()()n nf xg x n x =∈*N ．若对定义域内的每一个x ，总有()0n g x <，则称()f x 为“n 阶负函数”；若对定义域内的每一个x ，总有[]()0n g x '≥，则称()f x 为“n 阶不减函数”（[]()n g x '为函数()n g x 的导函数）．（1）若31()(0)a f x x x x x =-->既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数a 的取值范围；（2）对任给的“2阶不减函数”()f x ，如果存在常数c ，使得()f x c <恒成立，试判断()f x 是否为“2阶负函数”？并说明理由．数学附加题21．【选做题】A ．选修4—1：几何证明选讲如图，⊙O 的半径为3，两条弦AB ，CD 交于点P ，且1AP =， 3CP =OP =求证：△APC ≌△DPB ．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M 566x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦不存在逆矩阵，求实数x 的值及矩阵M 的特征值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知(0 1)A ，，(0 1)B -，，( 0)C t ，，()3 0D t，，其中0t ≠．设直线AC 与BD 的交点为P ，求动点P 的轨迹的参数方程（以为参数）及普通方程．D ．选修4—5：不等式选讲已知0a >，0b >，n ∈*N ．求证：11n n n na b a b++++22．【必做题】设n ∈*N 且2n ≥，证明：()22221212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+()1232n a a a a ⎡+++⋅⋅⋅+⎣()234n a a a a +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅]1n n a a -+．23．【必做题】下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分的面积各占转盘面积的112，16，14，12．游戏规则如下： ① 当指针指到Ⅰ，Ⅱ， Ⅲ，Ⅳ部分时，分别获得积分100分，40分，10分，0分； ② （ⅰ）若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40分，则按①获得相应的积分，游戏结束； （ⅱ）若参加该游戏转一次获得的积分是40分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏．正面向上时，游戏结束；反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积分不高于40分，则最终积分为0分，否则最终积分为100分，游戏结束．设某人参加该游戏一次所获积分为ξ．（1）求0ξ=的概率；（2）求ξ的概率分布及数学期望．南通市2013届高三第三次调研测试数学参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 已知集合(]2 1A =-，，[)1 2B =-，，则A B =U ▲ ． 【答案】(2 2)-，2．设复数z 满足(34i)50z ++=（是虚数单位），则复数z 的 模为 ▲ ． 【答案】（第23题）(第9题)(第5题)3． 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ． 【答案】24004． “M N >”是“22log log M N >”成立的 ▲ 条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写） 【答案】必要不充分5． 根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆 机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布 直方图如右图所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60 km/h~120 km/h ，则该时 段内非正常行驶的机动车辆数为 ▲ ． 【答案】156． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦 点到准线的距离为 ▲ ．【答案】47． 从集合{}1 2 3 4 5 6 7 8 9，，，，，，，，中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为 ▲ ．【答案】1128． 在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：22(1)4x y -+=上的任意一点，点Q (2a ，3a -) (a ∈R)，则线段PQ 长度的最小值为 ▲ ．【答案2-9． 函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0ω>，02)ϕ<π≤在R 上的部分图象如图所示，则(2013)f 的值为 ▲ ． 【答案】 10．各项均为正数的等比数列{}n a 中，211a a -=．当3a 取最小值时，数列{}n a 的通项公式a n =▲ ．【答案】12n -11．已知函数2221 0 () 0ax x x f x x bx c x ⎧--⎪=⎨++<⎪⎩，≥，，是偶函数，直线y t =与函数()y f x =的图象自左向右依次交于四个不同点A ，B ，C ，D ．若AB BC =，则实数的值为 ▲ ． 【答案】74- 12．过点(1 0)P -，作曲线C ：e x y =的切线，切点为1T ，设1T 在x 轴上的投影是点1H ，过点1H 再作曲线C 的切线，切点为2T ，设2T 在x 轴上的投影是点2H ，…，依次下去，得到第1n +()n ∈N 个 切点1n T +．则点1n T +的坐标为 ▲ ． 【答案】()e n n ，13．在平面四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，且AB 1=，EF ，CD =．若15AD BC ⋅=u u u r u u u r ，则AC BD ⋅u u u r u u u r的值为 ▲ ．【答案】1314．已知实数a 1，a 2，a 3，a 4满足a 1+a 2+a 30=，a 1a 42+a 2a 4-a 20=，且a 1>a 2>a 3，则a 4的取值范围是 ▲ ．【答案】二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，四条侧棱长均相等． （1）求证：AB //平面PCD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面ABCD ． 证明：（1）在矩形ABCD 中，//AB CD ， 又AB ⊄平面PCD ， CD ⊂平面PCD ，所以AB //平面PCD ． ………6分APD（2）如图，连结BD ，交AC 于点O ，连结PO ， 在矩形ABCD 中，点O 为 AC BD ，的中点， 又PA PB PC PD ===，故PO AC ⊥，PO BD ⊥， ………9分 又AC BD O =I ， AC BD ，⊂平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ， ………12分又PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ． ………14分16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知222222sin 2sin sin C b a c A C c a b --=---． （1）求角B 的大小；（2）设222sin sin sin T A B C =++，求T 的取值范围． 解：（1）在△ABC 中，222222sin 2cos cosB sin cos 2sin sin 2cos cos sin cos C b a c ac B c C B A C ab C b C B Cc a b ---====----， ………3分因为sin 0C ≠，所以sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，所以2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B B C C B B C A =+=+=， ………5分因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =，因为0πB <<，所以π3B =． ………7分（2）222131sin sin sin (1cos 2)(1cos 2)242T A B C A C =++=-++-()71714π(cos 2cos 2)cos 2cos 242423A C A A -⎡⎤=⎢⎥⎣+=--⎦+()()71171πcos22cos 2422423A A A =-=-+ (11)分因为2π03A <<，所以4π023A <<，故ππ5π2333A <+<，因此()π11cos 232A -+<≤，所以3924T <≤． ………14分17．某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm ；图2是双层中空玻璃，厚度均为4 mm ，中间留有厚度为x 的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为d 的均匀介质， 两侧的温度差为T ∆，单位时间内，在单位面积上通过的热量T Q k d ∆=⋅，其中k 为热传导系数．假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．（注：玻璃的热传导系 数为3410 J mm/C -⨯⋅o ，空气的热传导系数为42.510 J mm/C -⨯⋅o ．）（1）设室内，室外温度均分别为1T ，2T ，内层玻璃外侧温度为1T '，外层玻璃内侧温度为2T '， 且1122T T T T ''>>>．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过 的热量（结果用1T ，2T 及x 表示）；（2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计x 的大小？图1图2（第17题）（第18题）解：（1）设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量分别为1Q ，2Q ， 则3121214108 2 000T T T T Q ---=⨯⋅=， ………2分3431112222410 2.51041044T T T T T T Q x ---''''---=⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅ ………6分11122234344410 2.510410T T T T T T x ---''''---===⨯⨯⨯ 11122234344410 2.510410T T T T T T x ---''''-+-+-=++⨯⨯⨯124 000 2 000T T x -=+． ………9分（2）由（1）知21121Q Q x =+， 当121x =+4%时，解得12x =（mm ）． 答：当12x =mm 时，双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4%． ………14分18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的右焦点为(1 0)F ，．分别过O ，F 的两条弦AB ，CD 相交于点E （异于A ，C 两点），且OE EF =． （1）求椭圆的方程；（2）求证：直线AC，BD 的斜率之和为定值．（1）解：由题意，得1c =，c e a ==，故a从而2221b a c =-=，所以椭圆的方程为2212x y +=． ① (5)分（2）证明：设直线AB 的方程为y kx =，②直线CD 的方程为(1)y k x =--， ③ ………7分由①②得，点A ，B的横坐标为由①③得，点C ，D………9分记11( )A x kx ，，22( )B x kx ，，33( (1))C x k x -，，44( (1))D x k x -，， 则直线AC ，BD 的斜率之和为13241324(1)(1)kx k x kx k x x x x x ----+-- 132413241324(1)()()(1)()()x x x x x x x x k x x x x +--+-+-=⋅--1234123413242()()()()()x x x x x x x x k x x x x --+++=⋅-- (13)分2222124232(1)4222201121()()k k k k k x x x k x ⎛⎫---+ ⎪+++⎝-⎭=⋅-- 0=． ………16分19．已知数列{}n a 是首项为1，公差为d 的等差数列，数列{}n b 是首项为1，公比为(1)q q >的等比数列．（1）若55a b =，3q =，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和；（2）若存在正整数(2)k k ≥，使得k k a b =．试比较n a 与n b 的大小，并说明理由．解：（1）依题意，5145511381a b b q -===⨯=， 故5181120514a a d --===-， 所以120(1)2019n a n n =+-=-， ………3分令2111213413(2019)3n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅， ① 则213 13213(2039)3(2019)3n n n S n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅， ② ①-②得，()2121+20333(2019)3n n n S n --=⨯++⋅⋅⋅+--⋅，13(13)1+20(2019)313n n n --=⨯--⋅-(2920)329n n =-⋅-，所以(2029)3292n n n S -⋅+=． ………7分（2）因为k k a b =， 所以11(1)k k d q-+-=，即111k q d k --=-，故111(1)1k n q a n k --=+--，又1n n b q -=， ………9分所以1111(1)1k n n n q b a qn k --⎡⎤--=-+-⎢⎥-⎣⎦()()111(1)1(1)11n k k q n q k --⎡⎤=-----⎣⎦- ()()23231(1)1(1)11n n k k q k q q q n q q q k -----⎡⎤=-++⋅⋅⋅++--++⋅⋅⋅++⎣⎦- ………11分（ⅰ）当1n k <<时，由1q >知()()232311()1(1)1n n k k n n n q b a k n q q q n q q q k ------⎡⎤-=-++⋅⋅⋅++--++⋅⋅⋅+⎣⎦- 211()(1)(1)()1n n q k n n q n k n q k ---⎡⎤<-----⎣⎦- 22(1)()(1)1n q q k n n k ----=--0<， ………13分（ⅱ）当n k >时，由1q >知()()231231(1)()11n n k k k n n q b a k q q q n k q q q k ------⎡⎤-=-++⋅⋅⋅+--++⋅⋅⋅++⎣⎦- 121(1)()()(1)1k k q k n k q n k k q k ---⎡⎤>-----⎣⎦- 22(1)()k q q n k -=-- 0>，综上所述，当1n k <<时，n n a b >；当n k >时，n n a b <；当1 n k =，时，n n a b =． ………16分（注：仅给出“1n k <<时，n n a b >；n k >时，n n a b <”得2分．）20．设()f x 是定义在(0 )+∞，的可导函数，且不恒为0，记()()()n n f x g x n x=∈*N ．若对定义域内的每 一个x ，总有()0n g x <，则称()f x 为“n 阶负函数”；若对定义域内的每一个x ，总有[]()0n g x '≥， 则称()f x 为“n 阶不减函数”（[]()n g x '为函数()n g x 的导函数）．（1）若31()(0)a f x x x x x =-->既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数a 的取值范围；（2）对任给的“2阶不减函数”()f x ，如果存在常数c ，使得()f x c <恒成立，试判断()f x 是 否为“2阶负函数”？并说明理由．解：（1）依题意，142()1()1f x ag x x x x==--在(0 )+∞，上单调递增， 故15342[()]0a g x x x '=-+≥ 恒成立，得212a x ≤， ………2分 因为0x >，所以0a ≤． ………4分 而当0a ≤时，1421()10a g x x x=--<显然在(0 )+∞，恒成立，所以0a ≤． ………6分（2）①先证()0f x ≤：若不存在正实数0x ，使得20()0g x >，则2()0g x ≤恒成立． ………8分假设存在正实数0x ，使得20()0g x >，则有0()0f x >，由题意，当0x >时，2()0g x '≥，可得2()g x 在(0 )+∞，上单调递增， 当0x x >时，0220()()f x f x x x >恒成立，即2020()()f x f x x x >⋅恒成立， 故必存在10x x >，使得201120()()f x f x x m x >⋅>（其中m 为任意常数）， 这与()f x c <恒成立（即()f x 有上界）矛盾，故假设不成立，所以当0x >时，2()0g x ≤，即()0f x ≤； ………13分 ②再证()0f x =无解：假设存在正实数2x ，使得2()0f x =， 则对于任意320x x >>，有322232()()0f x f x x x >=，即有3()0f x >， 这与①矛盾，故假设不成立， 所以()0f x =无解，综上得()0f x <，即2()0g x <，故所有满足题设的()f x 都是“2阶负函数”． ………16分（第21—A 题）南通市2013届高三第三次调研测试 数学附加题参考答案及评分建议21．【选做题】A ．选修4—1：几何证明选讲如图，⊙O 的半径为3，两条弦AB ，CD 交于点P ，且1AP =， 3CP =，OP = 求证：△APC ≌△DPB ．证明：延长OP 交⊙O 与点E ，F ， ………2分由相交弦定理得((333CP DP AP BP FP EP ⋅=⋅=⋅=-⨯=，………6分 又1AP =，3CP =，故1DP =，3BP =， ………8分所以AP DP =，BP CP =， 而APC DPB ∠=∠，所以△APC ≌△DPB ． ………10分B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M 566x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦不存在逆矩阵，求实数x 的值及矩阵M 的特征值． 解：由题意，矩阵M 的行列式5066x =，解得5x =， ………4分矩阵M 5566⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征多项式 55()(5)(6)(5)(6)66f λλλλλ--==----⨯---， ………8分 令()0f λ=并化简得2110λλ-=，解得0λ=或11λ=，所以矩阵M 的特征值为0和11． ………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知(0 1)A ，，(0 1)B -，，( 0)C t ，，()3 0D t，，其中0t ≠．设直线AC 与BD 的交点为P ，求动点P 的轨迹的参数方程（以为参数）及普通方程． 解：直线AC 的方程为1x y t +=，①直线BD 的方程为13x y t -=，② (2)分由①②解得，动点P 的轨迹的参数方程为2226 33 3t x t t y t ⎧=⎪+⎨-⎪=+⎩，（为参数，且0t ≠）， ………6分 将263t x t =+平方得222236(3)t x t =+， ③将2233t y t -=+平方得()()2222233t y t -=+， ④ ………8分由③④得，221(0)3x y x +=≠． ………10分（注：普通方程由①②直接消参可得．漏写“0x ≠”扣1分．）D ．选修4—5：不等式选讲已知0a >，0b >，n ∈*N ．求证：11n n n na b a b ++++证明：先证112n n n n a b a ba b +++++≥， 只要证112()()()n n n n a b a b a b +++++≥， 即要证11n n n n a b a b ab +++--≥0，即要证()(n n a b a b --)≥0， ………5分若a b ≥，则a b -≥0，n n a b -≥0，所以()(n n a b a b --)≥0， 若a b <，则0a b -<，0n n a b -<，所以()()0n n a b a b -->， 综上，得()(n n a b a b --)≥0．从而112n n n n a b a ba b +++++≥， ………8分因为2a b+，所以11n n n na b a b ++++ ………10分 22．【必做题】设n ∈*N 且2n ≥，证明：()22221212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+()1232n a a a a ⎡+++⋅⋅⋅+⎣()234n a a a a +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅]1n n a a -+．证明：（1）当2n =时，有()2221212122a a a a a a +=++，命题成立． ………2分 （2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立， 即()22221212k k a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+()1232k a a a a ⎡+++⋅⋅⋅+⎣()234k a a a a +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅]1k k a a -+成立， ………4分那么，当1n k =+时，有()2121k k a a a a +++⋅⋅⋅++ ()()221212112k k k k a a a a a a a a ++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++22212k a a a =++⋅⋅⋅+()1232k a a a a ⎡+++⋅⋅⋅+⎣()234k a a a a +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅]1k k a a -+ (12a +2a ++⋅⋅⋅)211k k k a a a ++++．2222121k k a a a a +=++⋅⋅⋅++()12312k k a a a a a +⎡+++⋅⋅⋅++⎣+(234a a a ++⋅⋅⋅k a +)1k a ++ +⋅⋅⋅ ]1k k a a ++．所以当1n k =+时，命题也成立． ………8分根据（1）和（2），可知结论对任意的n ∈*N 且2n ≥都成立． ………10分23．【必做题】下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分的面积各占转盘面积的112，16，14，12．游戏规则如下： ① 当指针指到Ⅰ，Ⅱ， Ⅲ，Ⅳ部分时，分别获得积分100分，40分，10分，0分； ② （ⅰ）若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40分，则按①获得相应的积分，游戏结束； （ⅱ）若参加该游戏转一次获得的积分是40分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏．正面向上时，游戏结束；反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积 分不高于40分，则最终积分为0分，否则最终积分为100分，游戏结束．中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献设某人参加该游戏一次所获积分为ξ．（1）求0ξ=的概率；（2）求ξ的概率分布及数学期望．解：（1）事件“0ξ=”包含：“首次积分为0分”和“首次积分为40分后再转一次的积分不高于40分”，且两者互斥，所以111183(0)(1)26212144P ξ==+⨯⨯-=； ………4分（2）ξ的所有可能取值为0，10，40，100， 由（1）知83(0)144P ξ==，又1(10)4P ξ==，111(40)6212P ξ==⨯=，111113(100)126212144P ξ==+⨯⨯=，所以ξ的概率分布为：………7分因此，831113535()0104010014441214436E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（分）． …10分（第23题）。
江苏省徐州、宿迁市2013届高三第三次模拟数学试题
江苏省徐州、宿迁市2013届高三第三次模拟数学试题徐州、宿迁市高三年级第三次模拟考试数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,nx x x L 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11n ii x x n ==∑；锥体的体积公式：1=3VSh 锥体，其中S 为锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知i 是虚数单位，若3i i(,)i a b a b =∈++R ，▲ ．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间2. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7,9.9,10.1,10.2,10.1，则这组数据的方差为 ▲ ．3. 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．4. 若集合{}1,0,1A =-，{}|cos(),B y y x x A ==π∈，则A B =I ▲ ．5. 方程22115x y k k =-++表示双曲线的充要条件是k ∈▲ ．6．在ABC △中，已知4cos 5A =，1tan()2A B -=-，则tan C 的值是 ▲ ．7. 已知实数,x y 满足1,3,10,x y x y -⎧⎪⎨⎪-⎩+≥≤≤则222xy x-+的最小值是▲ ．8. 已知nS 是等差数列{}n a 的前n 项和，若77S=，1575S=，则数列nS n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为 ▲ ． 9. 已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等，现沿PA ，PB，PC 三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为26则三棱锥P ABC -的体积为 ▲ ． 10．已知O 为ABC △的外心，若51213OA OB OC +-=0u u u r u u u r u u u r，则C ∠等于 ▲ ．11. 已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是 ▲ ． 12. 若0,0a b >>，且11121a b b =+++，则2a b +的最小值为 ▲ ． 13．已知函数2,01,()12, 1.2x x x f x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≤≥若0a b >≥，且()()f a f b =，则()bf a 的取值范围是 ▲ ．14. 已知曲线C ：()(0)a f x x a x=>+，直线l ：y x =，在曲线C 上有一个动点P ，过点P 分别作直线l 和y 轴的垂线，垂足分别为,A B .再过点P 作曲线C 的切线，分别与直线l 和y 轴相交于点,M N ，O 是坐标原点.若ABP △的面积为12，则OMN △的面积为 ▲ ．二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题．．卡指定的区域内作答．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明．．．．．．．．．．、．证．明．过程或演算步骤．．．．．．．． 15. 如图，AB ，CD 均为圆O 的直径，CE ⊥圆O 所在的平面，BF CE P .求证：⑴平面BCEF ⊥平面ACE ； ⑵直线DF P 平面ACE ．ABC DOEF（第15题图）16．已知ABC △的面积为S ，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，32AB AC S =u u u r u u u r g ． ⑴求cos A 的值；⑵若,,a b c 成等差数列，求sin C 的值．17．已知一块半径为r 的残缺的半圆形材料ABC ，O为半圆的圆心，12OC r =，残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以BC 为斜边；如图乙，直角顶点E 在线段OC 上，且另一个顶点D 在»AB 上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．AD （第17题甲图）AD（第17题乙图）18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率3e ，12,A A 分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆2A 的半径为a ，过点1A 作圆2A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q ．⑴求直线OP 的方程；⑵求1PQQA 的值；19．已知数列{}na 满足：12(0)a a a =+≥，12n n a aa+=+*n ∈N ．⑴若0a =，求数列{}na 的通项公式；⑵设1nnn ba a +=-，数列{}nb 的前n 项和为nS ，证明：1n S a <．20．已知函数2=--，a∈R．()lnf x x ax x⑴若函数()=在其定义域内是单调增函数，y f x求a的取值范围；⑵设函数()P f分成的两部=的图象被点(2,(2))y f x分为,c c（点P除外），该函数图象在点P处12的切线为l，且,c c分别完全位于直线l的两12侧，试求所有满足条件的a的值．宿迁市高三年级第三次模拟考试数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本大题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆A ，圆B 都经过点C ，BC 是圆A 的切线，圆B 交AB 于点D ，连结CD 并延长交圆A 于点E ，连结AE .求证2DE DC AD DB ⋅=⋅.EA B C D（第21—A 题图）注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共2页，均为解答题（第21题~第23题）。
陕西省西安市2013届高三数学第三次模拟考试试题 理 新人教A版
某某省某某市2013届高三数学第三次模拟考试试题 理第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共50分) 1.若集合{|0}1xA x x =≤-,2{|2}B x x x =<,则A B =【 】. A.{|01}x x << B.{|01}x x ≤< C.{|01}x x <≤ D.{|01}x x ≤≤ 2.若复数z 满足:1(1)z z i +=-,则复数z 的共轭复数z =【 】.A.i -B.iC.1i -D.1i +3.若三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为【 】.A.80B.40C.380D.3404.若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =,则ABC ∆【 】. A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 5.函数()lg |sin |f x x =是【 】.A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为2π的偶函数6.按右面的程序框图运行后,输出的S 应为【 】. A.26 B.35 C.40 D.577.若数列{}n a 满足151=a ,且2331-=+n n a a ,则使01<⋅+k k a a 的k 值为【 】.A.22B.21C.24D.23i>5? 否开始S =0,i =1T =3i －1S=S+Ti = i +1 是 输出S8.“1=a ”是“直线1l :012=-+y ax 与2l :04)1(=+++y a x 平行”的【 】.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.设1F ,2F 分别为双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点P ,满足212PF F F =,且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为【 】.A.34B.35 C.45D.441 10.一个赛跑机器人有如下特性：(1)步长可以人为地设置成1.0米,2.0米,3.0米,…,8.1米或9.1米；(2)发令后,机器人第一步立刻迈出设置的步长,且每一步的行走过程都在瞬时完成； (3)当设置的步长为a 米时,机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a 秒． 则这个机器人跑50米(允许超出50米)所需的最少时间是【 】.A.6.48秒B.6.47秒C.48秒D.47秒 第Ⅱ卷 （共100分）二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.在6(42)xx --的展开式中,常数项为. 12.若向量(cos ,sin )a θθ=,(3,1)b =-,则|2|a b -的最大值为. 13.若实数y x ,满足14x y -<+<,且23x y <-<,则y x p 32-=的取值X 围是________. 14.若曲线21-=xy 在点12(,)m m-处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为18,则=m ________.15.请考生从以下三个小题中任选一个作答,若多选,则按所选的第一题计分.A.(不等式选讲)若实数c b a ,,满足4222=++c b a ,则c b a 543++的最大值为_________.B.(几何证明选讲)以Rt ABC ∆的直角边AB 为直径的圆O 交AC 边于点E ,点D 在BC 上,且DE 与圆O 相切.若︒=∠56A ,则=∠BDE _________.C.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线)3cos(4πθρ-=与直线1)6sin(=+πθρ的两个交点之间的距离为_________.三、解答题(本大题共6小题,共75分)16.(本题12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数a .①︒︒-︒+︒17cos 13sin 17cos 13sin 22； ②︒︒-︒+︒15cos 15sin 15cos 15sin 22； ③︒︒-︒+︒12cos 18sin 12cos 18sin 22； ④︒︒--︒+︒-48cos )18sin(48cos )18(sin 22； ⑤︒︒--︒+︒-55cos )25sin(55cos )25(sin 22. (1)从上述五个式子中选择一个,求出常数a ； (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.17.(本题12分)如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,11,2,AD AA AB ===点E 在棱AB 上. (1)求异面直线1D E 与1A D 所成的角；(2)若二面角1D EC D --的大小为45︒,求点B 到面1D EC 的距离.18.(本题12分) 某校设计了一个实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是31,且每题正确完成与否互不影响. (1)求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算其数学期望； (2)请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力.19.(本题12分)在数列{}n a 中,123a =,且对任意的*N n ∈都有121n n n a a a +=+. (1)求证:1{1}na -是等比数列； (2)若对任意的*N n ∈都有1n n a pa +<,某某数p 的取值X 围.20.(本题13分)已知椭圆C :12222=+b y a x )0(>>b a 的离心率为36,过右焦点F 且斜率为1的直线交椭圆C 于B A ,两点,N 为弦AB 的中点,O 为坐标原点. (1)求直线ON 的斜率ON k ；(2)求证:对于椭圆C 上的任意一点M ,都存在)2,0[πθ∈,使得OB OA OM θθsin cos +=成立.21.(本题14分)设函数)1ln()(2++=x a x x f 有两个极值点21,x x ,且21x x <. (1)某某数a 的取值X 围； (2)讨论函数)(x f 的单调性；(3)若对任意的),(1+∞∈x x ,都有m x f >)(成立,某某数m 的取值X 围.高2013届第三次五校联考数学(理)参考答案 一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共50分)二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11. 1512.4 13. (3,8) 14. 64 15. A.210 B.︒68 C.32三、解答题(本大题共6小题,共75分)16.(本题12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数a . ①︒︒-︒+︒17cos 13sin 17cos 13sin 22； ②︒︒-︒+︒15cos 15sin 15cos 15sin 22；③︒︒-︒+︒12cos 18sin 12cos 18sin 22； ④︒︒--︒+︒-48cos )18sin(48cos )18(sin 22；⑤︒︒--︒+︒-55cos )25sin(55cos )25(sin 22. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出常数a ；(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.解:(1)选择②式计算:4330sin 21115cos 15sin 15cos 15sin 22=︒-=︒︒-︒+︒=a .…4分 (2)猜想的三角恒等式为:43)30cos(sin )30(cos sin 22=-︒--︒+αααα.………6分证明:)30cos(sin )30(cos sin 22αααα-︒--︒+22sin (cos30cos sin 30sin )sin (cos30cos sin 30sin )αααααα=+︒+︒-︒+︒222233131sin cos sin cos sin sin cos sin 42422αααααααα=+++--22333sin cos 444αα=+=.………………………………12分 17.(本题12分)如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,11,2,AD AA AB ===点E 在棱AB 上. (1)求异面直线1D E 与1A D 所成的角；(2)若二面角1D EC D --的大小为45︒,求点B 到平面1D EC 的距离. 解法一:(1)连结1AD .由11AA D D 是正方形知11AD A D ⊥. ∵AB ⊥平面11AA D D ,∴1AD 是1D E 在平面11AA D D 内的射影.根据三垂线定理得11AD D E ⊥,则异面直线1D E 与1A D 所成的角为90︒.…………5分 (2)作DF CE ⊥,垂足为F ,连结1D F ,则1CE D F ⊥.所以1DFD ∠为二面角1D EC D --的平面角,145DFD ∠=︒.于是111,2DF DD D F ===,易得Rt Rt BCE CDF ∆≅∆,所以2CE CD ==,又1BC =,所以3BE =. 设点B 到平面1D EC 的距离为h ,则由于1,B CED D BCE V V --=即1111113232CE D F h BE BC DD ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅, 因此有11CE D F h BE BC DD ⋅⋅=⋅⋅,即223h =,∴64h =.…………12分 解法二:如图,分别以1,,DD DC DA 为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系. (1)由1(1,0,1)A ,得1(1,0,1)DA =,设(1,,0)E a ,又1(0,0,1)D ,则1(1,,1)D E a =-.∵111010DA D E ⋅=+-=∴11DA D E ⊥,则异面直线1D E 与1A D 所成的角为90︒.……………………5分(2)(0,0,1)=m 为面DEC 的法向量,设(,,)x y z =n 为面1CED 的法向量,则(,,)x y z =n 222||||2|cos ,|cos 45||||2z x y z ⋅<>===︒=++m n m n m n ,∴222z x y =+. ①由(0,2,0)C ,得1(0,2,1)D C =-,则1D C ⊥n ,即10D C ⋅=n ,∴20y z -=②由①、②,可取(3,1,2)=n ,又(1,0,0)CB =,所以点B 到平面1D EC 的距离||36422CB d ⋅===n |n |.……………12分 18.(本题12分) 某校设计了一个实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是31,且每题正确完成与否互不影响. (1)求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算其数学期望； (2)请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力.解:(1)设甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ,η,则ξ取值分别为3,2,1；η取值分别为3,2,1,0.51)1(362214===ξC C C P ,53)2(361224===ξC C C P ,51)3(360234===ξC C C P . ∴考生甲正确完成题数的概率分布列为2513532511=⨯+⨯+⨯=ξE .…………………………3分∵==)0(ηP 271)321(303=-C , 同理:276)1(==ηP ,2712)2(==ηP ,278)3(==ηP .∴考生乙正确完成题数的概率分布列为:227832712227612710=⨯+⨯+⨯+⨯=ηE .………………7分 (2)∵5251)32(53)22(51)12(222=⨯-+⨯-+⨯-=ξD ,32278)32(2712)22(276)12(271)02(2222=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=ηD .（或32==npq D η）. ∴η<ξD D . ∵8.05153)2(=+=≥ξP ,74.02782712)2(≈+=≥ηP , ∴)2()2(≥η>≥ξP P .……………10分从做对题数的数学期望考察,两人水平相当；从做对题数的方差考察,甲较稳定；从至少完成2道题的概率考察,甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验操作能力较强.……………………12分 说明:只根据数学期望与方差得出结论,也给分. 19.(本题12分)在数列{}n a 中,123a =,且对任意的*N n ∈都有121n n n a a a +=+. (1)求证:1{1}na -是等比数列； (2)若对任意的*N n ∈都有1n n a pa +<,某某数p 的取值X 围.证:(1)由121n n n a a a +=+,得11111111(1)222n n n n n n a a a a a a ++--=-==-. 又由123a =,得111102a -=≠. 因此,1{1}n a -是以11112a -=为首项,以12为公比的等比数列.………5分解:(2)由(1)可得111111()222n n n a --=⨯=,即221n n na =+,111221n n n a +++=+, 于是所求的问题:“对任意的n N +∈都有1n n a pa +<成立”可以等价于问题:“对任意的*N n ∈都有11111122122112122121n n n n n n n n n a p a ++++++++>=⋅==++++成立”.若记11()121n f n +=++,则()f n 显然是单调递减的,故1116()(1)1215f n f +≤=+=+. 所以,实数p 的取值X 围为65p >.………………………12分 20.(本题13分)已知椭圆C :12222=+b y a x )0(>>b a 的离心率为36,过右焦点F 且斜率为1的直线交椭圆C 于B A ,两点,N 为弦AB 的中点.(1)求直线ON (O 为坐标原点)的斜率ON k ； (2)求证:对于椭圆C 上的任意一点M ,都存在)2,0[πθ∈,使得OB OA OM θθsin cos +=成立.解:(1)设椭圆的焦距为c 2,因为36=a c ,所以有32222=-ab a ,故有223b a =. 从而椭圆C 的方程可化为:22233b y x =+①易知右焦点F 的坐标为(0,2b ),据题意有AB 所在的直线方程为:b x y 2-=. ②由①,②有:0326422=+-b bx x . ③设),(),,(2211y x B y x A ,弦AB 的中点),(00y x N ,由③及韦达定理有:.422,423200210b b x y b x x x -=-==+=所以3100-==x y k ON ,即为所求. ………5分(2)显然OA 与OB 可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量OM ,有且只有一对实数μλ,,使得等式OB OA OM μλ+=成立.设),(y x M ,由(1)中各点的坐标有:),(),(),(2211y x y x y x μλ+=,故2121,y y y x x x μλμλ+=+=. ……7分又因为点M 在椭圆C 上,所以有22212213)(3)(b y y x x =+++μλμλ整理可得:2212122222212123)3(2)3()3(b y y x x y x y x =+++++λμμλ. ④由③有:43,22322121b x x b x x =⋅=+.所以 06936)(234)2)(2(332222212*********=+-=++-=--+=+b b b b x x b x x b x b x x x y y x x ⑤又点B A ,在椭圆C上,故有22222221213)3(,3)3(b y x b y x =+=+ .⑥将⑤,⑥代入④可得:122=+μλ. ………11分所以,对于椭圆上的每一个点M ,总存在一对实数,使等式OB OA OM μλ+=成立,且122=+μλ. 所以存在)2,0[πθ∈,使得θμθλsin ,cos ==.也就是:对于椭圆C 上任意一点M ,总存在)2,0[πθ∈,使得等式OB OA OM θθsin cos +=成立. ………13分21.(本题14分)设函数)1ln()(2++=x a x x f 有两个极值点21,x x ,且21x x <. (1)某某数a 的取值X 围； (2)讨论函数)(x f 的单调性；(3)若对任意的),(1+∞∈x x ,都有m x f >)(成立,某某数m 的取值X 围.解:(1)由)1ln()(2++=x a x x f 可得12212)('2+++=++=x ax x x a x x f )1(->x .令a x x x g ++=22)(2)1(->x ,则其对称轴为21-=x ,故由题意可知21,x x 是方程0)(=x g 的两个均大于1-的不相等的实数根,其充要条件为⎩⎨⎧>=->-=∆0)1(084a g a ,解得210<<a .……………………5分 (2)由(1)可知1))((2122)('212+--=+++=x x x x x x a x x x f ,其中211x x <<-,故①当),1(1x x -∈时,0)('>x f ,即)(x f 在区间),1(1x -上单调递增； ②当),(21x x x ∈时,0)('<x f ,即)(x f 在区间),(21x x 上单调递减；③当),(2+∞∈x x 时,0)('>x f ,即)(x f 在区间),(2+∞x 上单调递增.………9分 (3)由(2)可知)(x f 在区间),(1+∞x 上的最小值为)(2x f . 又由于0)0(>=a g ,因此0212<<-x .又由022)(2222=++=a x x x g 可得)22(222x x a +-=,从而)1ln()22()1ln()(2222222222++-=++=x x x x x a x x f .设)1ln()22()(22++-=x x x x x h ,其中021<<-x , 则)1ln()12(22)1ln()12(22)('++-=-++-=x x x x x x x h .由021<<-x 知:012>+x ,0)1ln(<+x ,故0)('>x h ,故)(x h 在)0,21(-上单调递增. 所以,42ln 21)21()()(22-=->=h x h x f .所以,实数m 的取值X 围为42ln 21-≤m .……………………………14分(事实上,当21→a 时,212-→x ,此时42ln 21)(2-→x f .即,“42ln 21-≤m ”是其充要条件.)。
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2013届常外高三数学第三次模拟考试(满分160分，考试时间120分钟)2013．05一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,3,5}，集合B ＝{3,4}，则(∁U A )∩B ＝ .2. 已知i 是虚数单位，m ∈R ，且2i 1i m -+是纯虚数，则20112i 2i m m -⎛⎫⎪+⎝⎭＝ ．3. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x ＞0，为奇函数，则a ＋b ＝__ .4. 在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有九个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他八个小长方形面积和的15，则中间一组的频数为__ _．5.下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是_ .6. 如图所示，与函数y =A sin(ωx ＋φ)()A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 的图象相对应的函数的解析式是__ _.7. 数列{a n }满足a n ＋1+n a ＝12(n ∈N *)，a 1＝－12，S n 是{a n }的前n项和，则S 2 013＝_ .8. 若m ∈(0,3)，则直线(m ＋2)x ＋(3－m )y －3＝0与x 轴、y 轴围 成的三角形的面积小于98的概率为__ _．9. 若中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为 x ＋3y ＝0，则此双曲线的离心率为_____．10. 已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则ca a c 22+++的最小值为__ _．11. 已知点P 、A 、B 、C 是球O 表面上的四个点，且P A 、PB 、PC 两两成60°角，P A ＝PB ＝PC ＝1cm ，则球的表面积为_ __cm 2.12. 如图，过点P (5,4)作直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝25交于A 、B 两点，若P A ＝2，则直线l 的方程为___ __．13. 在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是___ _．14. 若关于x 的方程x 4＋ax 3＋ax 2＋ax ＋1＝0有实数根，则实数a 的取值范围为 ．二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）已知函数()sin()2cos()cos 22f x x x x x ππ=⋅--+⋅+.（1）求)(x f 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，c b a ,,分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若4)(=A f ，1=b ，ABC ∆的面积为23，求a 的值.16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是平行四边形，且AC CD ⊥，PA AD =，M ，Q 分别是PD ，BC 的中点． （1）求证：∥MQ 平面PAB ；（2）若AN PC ⊥，垂足为N ，求证：MN PD ⊥．PABDCMNQ17.(本小题满分14分)如图扇形AOB 是一个观光区的平面示意图，其中扇形AOB 的圆心角为32π，半径OA 为1km ，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A 到出口 B 的观光道路，道路由圆弧AC 、线段CD 及线段BD 组成．其中D 在线段OB 上，且CD //AO ， 设∠AOC =θ．（1）用θ表示CD 的长度，并写出θ的取值范围；（2）当θ为何值时，观光道路最长？18．（本小题满分16分）已知椭圆E ：()012222＞＞b a by a x =+的离心率为21，右焦点为F ，且椭圆E 上的点到点F 距离的最小值为2． ⑴求椭圆E 的方程；⑵设椭圆E 的左、右顶点分别为,A B ，过点A 的直线l 与椭圆E 及直线8x =分别相交于点,M N ．（ⅰ）当过,,A F N 三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；（ⅱ）若cos AMB ∠=，求ABM △的面积．OD C B A19. (本小题满分16分)已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，且S n ＝2n ＋7－2a n .(1) 求证：{a n －2}为等比数列；(2) 是否存在实数k ，使得a n ≤n 3＋kn 2＋9n 对于任意的n ∈N *都成立？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）对于函数y ＝()f x ，x ∈(0，)+∞，如果a ，b ，c 是一个三角形的三边长，那么()f a ，()f b ，()f c 也是一个三角形的三边长， 则称函数()f x 为“保三角形函数”．对于函数y ＝()g x ，x ∈[0，)+∞，如果a ，b ，c 是任意的非负实数，都有()g a ，()g b ，()g c 是一个三角形的三边长，则称函数()g x 为“恒三角形函数”．（1）判断三个函数“1()f x ＝x ，2()f x 3()f x ＝23x (定义域均为x ∈(0，)+∞)”中，那些是“保三角形函数”？请说明理由；（2）若函数()g x ＝2211x kx x x ++-+，x ∈[0，)+∞是“恒三角形函数”，试求实数k 的取值范围；（3）如果函数()h x 是定义在(0，)+∞上的周期函数，且值域也为(0，)+∞，试证明：()h x 既不是“恒三角形函数”，也不是“保三角形函数”．三模答案1. {4}2. i3. 04. 505. －96.⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3221sin 2πx y 7.15022 8. 23 9. 103或1010. 10 11. 3π2 12. y ＝4或40x －9y －164＝0 13. [2,5] 14. ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－23∪[2，＋∞) 15． 解：（1）2()22cos 2f x x x =++2cos 232sin(2)36x x x π=++=++ …4分.22ππ==∴T …6分（2）由4)(=A f ，43)62sin(2)(=++=∴πA A f ，.21)62sin(=+∴πA又ABC A ∆为 的内角，πππ613626<+<∴A ，ππ6562=+∴A ，.3π=∴A …8分 23=∆ABC S ，1=b ，23sin 21=∴A bc ，2=∴c ············· 11分32121241cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=A b c b a ，.3=∴a 14分 16．（1）取PA 的中点E ，连结ME ，BE ，因为M 是PD 的中点，所以ME AD ，12ME AD =， 又因为Q 是BC 中点，所以12BQ BC =，因为四边形ABCD 是平行四边形； 所以BC AD ∥，所以BQ ME ∥,所以四边形MQBE 是平行四边形，…………4分所以MQ BE ．因为BE ⊂平面PAB ，MQ ⊄平面PAB ， 所以MQ 平面PAB ．……………………6分 （2）因为PA ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,所以PA CD ⊥，又因为AC CD ⊥,PA AC A = ,PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， 所以CD ⊥平面PAC ，又AN ⊂平面PAC ， 所以AN CD ⊥． ……………………………9分又AN PC ⊥，PC CD C = ，PC ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AN ⊥平面PCD ，又PD ⊂平面PCD ，所以AN PD ⊥，……………………12分 又PA AD =，M 是PD 中点，所以AM PD ⊥，……………………………………13分 又AM AN A = ，AM ⊂平面AMN ，AN ⊂平面AMN ，所以PD ⊥平面AMN ，又MN ⊂平面AMN ，所以MN PD ⊥．……………………………………………………14分17.（1）在OCD ∆中，由正弦定理，得sin sin sin CD OD CO COD DCO CDO==∠∠∠，又CD AO ∥，1CO =，AOC θ∠=，所以2cos 3CD πθθθ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，OD θ=，因为 OD OB <，所以sin θ<03πθ<<，cos CD θθ=+，θ∈ 0,3π⎛⎫⎪⎝⎭．（2）设道路的长度为()L θ，则()1cos L BD CD CA θθθθθ=++=++弧的长cos 1,0,3πθθθθ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭()'sin 1L θθθ=-+，由()'0L θ=，得sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 又0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以6πθ=，列表（略）得当6πθ=时，()L θ达到最大值，即观光道路最长．18．⑴由已知，12c a =，且2a c -=，所以4a =，2c =，所以22212b a c =-=， 所以椭圆E 的方程为2211612x y =+．………………………………………………………3分 ⑵（ⅰ）由⑴，(4,0)A -，(2,0)F ，设(8,)N t ．设圆的方程为220x y dx ey f =++++，将点,,A F N 的坐标代入，得21640,420,6480,d f d f t d et f ⎧-=⎪=⎨⎪=⎩+++++++解得2,72,8,d e t t f =⎧⎪⎪=--⎨⎪=-⎪⎩……………………………………………6分 所以圆的方程为22722()80x y x t y t --=+++，即222172172(1)[()]9()24x y t t t t-=+++++，因为2272()t t +≥，当且仅当72t t=±+故所求圆的方程为22280x y x ±-=++．………………………………………9分 （ⅱ）由对称性不妨设直线l 的方程为(4)(0)y k x k =>+．由22(4),1,1612y k x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩++得222121624(,)3434k k M k k -++，……………………………………………11分 所以222424(,)3434kMA k k--=++ ，2223224(,)3434k k MB k k -=++ ，所以cos MA MB AMB MA MB ∠=== ，化简，得42164090k k --=，…14分解得214k =，或294k =，即12k =，或32k =， 此时总有3M y =，所以ABM △的面积为183122⨯⨯=．…………………………16分 19. (1) 证明：n ＝1时，a 1＝S 1＝2＋7－2a 1，解得a 1＝3.(2分)n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2－2a n ＋2a n －1，即3a n ＝2a n －1＋2，可得a n －2＝23(a n －1－2)，所以{a n －2}是首项为1，公比为23的等比数列．(6分)(2) 解：由(1)可得：a n －2＝⎝⎛⎭⎫23n －1，所以a n ＝2＋⎝⎛⎭⎫23n －1.由2＋⎝⎛⎭⎫23n －1≤n 3＋kn 2＋9n 得k ≥2n 2＋⎝⎛⎭⎫23n －1n2－⎝⎛⎭⎫n ＋9n ，(8分) 只需求出p (n )＝2n 2＋⎝⎛⎭⎫23n －1n2－⎝⎛⎭⎫n ＋9n 的最大值即可． 设f (n )＝2n 2，g (n )＝⎝⎛⎭⎫23n －1n2，h (n )＝－⎝⎛⎭⎫n ＋9n ，(10分)易得f (n )单调递减， g n g n ＋1 ＝⎝⎛⎭⎫23n －1n 2÷⎝⎛⎭⎫23n n ＋1 2＝32⎝⎛⎭⎫n ＋1n 2＞1，所以g (n )＜g (n ＋1)，(12分)故g (n )单调递减，h (n )－h (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫n ＋1＋9n ＋1－⎝⎛⎭⎫n ＋9n ＝n 2＋n －9n n ＋1，当n ≥3时，h (n )＞h (n ＋1)，故n ≥3时，h (n )单调递减，所以n ≥3时，p (n )＝2n 2＋⎝⎛⎭⎫23n －1n2－⎝⎛⎭⎫n ＋9n 随着n 的增大而减小，(14分) 而p (1)＝－7，p (2)＝－356，p (3)＝－46481，所以p (n )的最大值为p (3)＝－46481，故k ≥－46481.(16分)20．解析：（1）对于1()f x ＝x ，它在(0，)+∞上是增函数，不妨设a ≤b ≤c ，则1()f a ≤1()f b ≤1()f c ，因为a ＋b ＞c ，所以1()f a ＋1()f b ＝a ＋b ＞c ＝1()f c ，故1()f x 是“保三角形函数”．对于2()f x (0，)+∞上是增函数，，不妨设a ≤b ≤c ，则2()f a ≤2()f b ≤2()f c ，因为a ＋b ＞c ，所以2()f a ＋2()f b ＝2()f c ，故2()f x 是“保三角形函数”．对于3()f x ＝23x ，取a ＝3，b ＝3，c ＝5，显然a ，b ，c 是一个三角形的三边长，但因为3()f a ＋3()f b ＝223(33)⨯+＜235⨯＝3()f c ，所以3()f a ，3()f b ，3()f c 不是三角形的三边长，故3()f x 不是“保 三角形函数”．（2）解法1：因为()g x ＝1＋2(1)1k xx x +-+，所以当x ＝0时，()g x ＝1；当x ＞0时，()g x ＝1＋111k x x++-．①当k ＝－1时，因为()g x ＝1，适合题意． ②当k ＞－1时，因为()g x ＝1＋111k x x ++-≤1＝k ＋2，所以()g x ∈(1，2]k +．从而当k1时，()g x ∈[1，2]k +．由1＋1＞k ＋2，得k ＜0，所以－1＜k ＜0．③当k ＜－1时，因为()g x ＝1＋111k x x ++-≥1k ＋2，所以()g x ∈[2k +，1)，从而当k ＞－1时，所以()g x ∈[2k +，1]．由20(2)(2)1k k k +>⎧⎨+++>⎩，得，k ＞32-，所以32-＜k ＜－1．综上所述，所求k 的取值范围是(32-，0)．解法2：因为/()g x ＝2222(2)(1)(1)(21)(1)x k x x x kx x x x +-+-++--+＝22(1)(1)(1)(1)k x x x x ++---+，①当k ＝－1时，因为()g x ＝1，适合题意．②当k ＞－1时，可知()g x 在[0，1)上单调递增，在(1，)+∞上单调递减，而(0)g ＝1，(1)g ＝k ＋2，且当x ＞1时，()g x ＞1，所以此时()g x ∈[1，2]k +．③当k ＜－1时，可知()g x 在[0，1)上单调递减，在(1，)+∞上单调递增，而(0)g ＝1，(1)g ＝k ＋2，且当x ＞1时，()g x ＜1，所以此时()g x ∈[2k +，1]．（以下同解法1） （3）①因为()h x 的值域是(0，)+∞，所以存在正实数a ，b ，c ，使得()h a ＝1，()h b ＝1，()h c ＝2，显然这样的()h a ，()h b ，()h c 不是一个三角形的三边长．故()h x 不是“恒三角形函数”．②因为()h x 的最小正周期为T (T ＞0)，令a ＝b ＝m ＋kT ，c ＝n ，其中k ∈*N ，且k ＞22n mT-，则a ＋b ＞c ，又显然b ＋c ＞a ，c ＋a ＞b ，所以a ，b ，c 是一个三角形的三边长．但因为()h a ＝()h b ＝()h m ＝1，()h c ＝()h n ＝2，所以()h a ，()h b ，()h c 不是一个三角形的三边长．故()h x 也不是“保三角形函数”．（说明：也可以先证()h x 不是“保三角形函数”，然后根据此知()h x 也不是“恒三角形函数”．）。