2020-2021学年广东省高三第三次模拟考试数学(理)试题及答案解析

广东省普通高考第三次模拟考试试题理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|3A x N x =∈<，{}|,,B x x a b a A b A ==-∈∈，则A B =I （ ） A ．{}1,2B ．{}2,1,1,2--C ．{}1D ．{}0,1,22.已知z 是z 的共轭复数，且||34z z i -=+，则z 的虚部是（ ）A ．76B ．76-C ．4D ．4-3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，7524S S -=，35a =，则7S =（ ） A ．25B ．49C ．15D ．404.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5.某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系，得到如表统计数据表：根据数据表可得回归直线方程$$y bxa =+$，其中 2.4b =$，$a y bx =-$，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为（ ）广告费用x （万元） 2 3 4 5 6 销售轿车y （台数）34 610 12A ．176.将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是（ ） A ．40B ．60C ．80D ．1007.已知函数20172017log 3sin ,0,()log ()sin ,0,m x x x f x x n x x +>⎧=⎨-+<⎩为偶函数，则m n -=（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．4-8.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器—商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x 为（ ）A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.49.设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于（ ） AB ．2CD10.动点(,)A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，其初始位置为01(2A ，12秒旋转一周，则动点A 的纵坐标y 关于时间t （单位：秒）的函数解析式为（ ） A ．sin()36y t ππ=+B ．cos()63y t ππ=+C ．sin()63y t ππ=+D ．cos()36y t ππ=+11.记不等式组10,330,10x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域为D ，若对任意00(,)x y D ∈，不等式0020x y c -+≤恒成立，则c 的取值范围是（ ） A ．(,4]-∞B ．(,2]-∞C ．[]1,4-D ．(,1]-∞-12.已知函数2()(3)xf x x e =-，设关于x 的方程2212()()0f x mf x e--=（m R ∈）有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为（ ） A ．3B ．1或3C ．4或6D ．3或4或6第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.10()x y -的展开式中，73x y 的系数与37x y 的系数之和等于．14.已知||3a =r ，||4b =r ，0a b ⋅=r r ，若向量满足()()0a c b c -⋅-=r r r r ，则||c r的取值范围是．15.已知2cos sin αα=，则41cos sin αα+=． 16.“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin()2sin ()24C A B π-=-． （Ⅰ）求sin cos A B 的值；（Ⅱ）若233a b =，求B ． 18.如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，60ABM ∠=︒．（Ⅰ）证明：M 是侧棱SC 的中点； （Ⅱ）求二面角S AM B --的余弦值．19.某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名维修工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为13． （Ⅰ）若出现故障的机器台数为x ，求x 的分布列；（Ⅱ）该厂至少有多少名维修工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？（Ⅲ）已知一名维修工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位维修工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有2名维修工人，求该厂每月获利的均值．20.如图，已知抛物线E ：2y x =与圆M ：222(4)x y r -+=（0r >）相交于A 、B 、C 、D 四个点．（Ⅰ）求r 的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、BD 的交点P 的坐标． 21.已知函数()ln xf x x=，()(1)g x k x =-． （Ⅰ）证明：k R ∀∈，直线()y g x =都不是曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）若2,x e e ⎡⎤∃∈⎣⎦，使1()()2f xg x ≤+成立，求实数k 的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知点3)P ，曲线C 的参数方程为22sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=（Ⅰ）判断点P 与直线l 的位置关系并说明理由； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 的两个交点分别为A ，B ，求11||||PA PB +的值． 23.选修4-5：不等式选讲已知()||f x x a =+，()|3|g x x x =+-，记关于x 的不等式()()f x g x <的解集为M ． （Ⅰ）若3a M -∈，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若[]1,1M -⊆，求实数a 的取值范围．普通高考第三次模拟考试试题理科数学答案一、选择题1-5:DCBBC 6-10:AABCC 11、12：DA二、填空题13.240- 14.[]0,5 15.2 16.134三、解答题17.解：（Ⅰ）sin()1cos()2A B C π-=--1sin C =-1sin()A B =-+，故2sin cos 1A B =，∴1sin cos 2A B =．（Ⅱ）由正弦定理得sin sin A a B b ==，由（Ⅰ）知1sin cos cos 22A B B B B ===，∴sin 2B =， ∴23B π=或23π， ∴6B π=或3π． 18.（Ⅰ）证明：作//ME CD 交SD 于点E ，则//ME AB ，ME ⊥平面SAD ， 连接AE ，则四边形ABME 为直角梯形作MF AB ⊥，垂足为F ，则AFME 为矩形．设ME x =，则SE x =，AE ==，MF AE ==，2FB x =-，由tan 60MF FB =⋅︒)x =-，解得1x =，即1ME =，从而12ME DC =， 所以M 为侧棱SC 的中点．（Ⅱ）解：2MB ==，又60ABM ∠=︒，2AB =，所以ABM ∆为等边三角形， 又由（Ⅰ）知M 为SC 中点，SM =，SA =，2AM =，故222SA SM AM =+，90SMA ∠=︒．取AM 中点G ，连接BG ，取SA 中点H ，连接GH ，则BG AM ⊥，GH AM ⊥，由此知BGH ∠为二面角S AM B --的平面角， 连接BH ，在BGH ∆中，332BG AM ==，1222GH SM ==，22BH AB AH =+222=， 所以2226cos 23BG GH BH BGH BG GH +-∠==-⋅． 所以二面角S AM B --的余弦为63-．19.解：（Ⅰ）一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为A ，则事件A 的概率为13，该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验，因出现故障的机器台数为X ，故1~(4,)3X B ，044216(0)()381P X C ===，0341232(1)()3381P X C ==⋅⋅=，02241224(2)()()3381P X C ==⋅⋅=，034128(3)()3381P X C ==⋅⋅=， 1(4)81P X ==．即X 的分布列为：x n ≤，即0x =，1x =，…，x n =，这1n +个互斥事件的和事件，则∵90%8181≤≤， ∴至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修的概率不少于90%．（Ⅲ）设该厂获利为Y 万元，则Y 的所有可能取值为：18，13，8，72(18)(0)(1)(2)81P Y P X P X P X ===+=+==， 8(13)(3)81P Y P X ====， 1(8)(4)81P Y P X ====， 即Y 的分布列为：则72()1813881818181E Y =⨯+⨯+⨯=， 故该厂获利的均值为140881． 20.解：（Ⅰ）将抛物线E ：2y x =代入圆M ：222(4)x y r -+=（0r >）的方程， 消去2y ，整理得227160x x r -+-=，①E 与M 有四个交点的充要条件是：方程①有两个不相等的正根1x ，2x ，由此得2212212(7)4(16)0,70,160,r x x x x r⎧∆=--->⎪+=>⎨⎪=->⎩解得215164r <<，又0r >，所以r 的取值范围为4)． （Ⅱ）设四个交点的坐标分别为1(A x ，1(,B x，2(,Cx ，2(D x ，则直线AC 、BD 的方程分别为1)y x x -=-，1)y x x=-，解得点P 的坐标为， 设t =，由t =及（Ⅰ）得7(0,)2t ∈．由于四边形ABCD 为等腰梯形，因而其面积则212112||||2S x x x x =⋅⋅-=-，∴22121212()4(S x x x x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦， 将127x x +=t =代入上式，并令2()f t S =，得232()(72)(72)82898343f t t t t t t =+-=--++（702t <<）， ∴2'()2456982(27)(67)f t t t t t =--+=-+-， 令'()0f t =，得76t =，或72t =-（舍去）． 当706t <<时，'()0f t >；当76t =时，'()0f t =；当7762t <<时，'()0f t <， 故当且仅当76t =时，()f t 有最大值，即四边形ABCD 的面积最大，故所求的点P 的坐标为7(,0)6．21.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,1)(1,)+∞U ，2ln 1'()(ln )x f x x -=， 由于直线()y g x =过定点(1,0)，设直线()y g x =与曲线()y f x =相切于点000(,)ln x x x （00x >且01x ≠）， 则020ln 1(ln )x k x -=00ln 1x x x =-，即00ln 10x x +-=，①设()ln 1h x x x =+-，(0,)x ∈+∞，则1'()10h x x=+>， 所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，又(1)0h =，从而当且仅当01x =时，①成立，这与01x ≠矛盾． 所以，k R ∀∈，直线()y g x =都不是曲线()y f x =的切线．（Ⅱ）1()()2f x g x ≤+，即1(1)ln 2x k x x --≤， 令()(1)ln x x k x xϕ=--，2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦， 则2,x e e ⎡⎤∃∈⎣⎦，使1()()2f x g x ≤+成立，即min 1()2x ϕ≤， 222ln 111111'()()()(ln )ln ln ln 24x x k k k x x x x ϕ-=-=-+-=--+-．（i ）当14k ≥时，'()0x ϕ≤，()x ϕ在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为减函数，于是222min()()(1)2e x e k e ϕϕ==--，由221(1)22e k e --≤得12k ≥，满足14k ≥，所以12k ≥符合题意．（ii ）当14k <时，由211()24y t k =--+-及1ln t x=的单调性知111'()()ln 24x k x ϕ=--+-在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，①所以2'()'()'()e x e ϕϕϕ≤≤，即1'()4k x k ϕ-≤≤-． 若0k -≥，即0k ≤，则'()0x ϕ≥，所以()x ϕ在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，于是min 1()()(1)2x e e k e e ϕϕ==--≥>，不合题意；②若0k -<，即104k <<，则由'()0e k ϕ=-<，21'()04e k ϕ=->及'()x ϕ的单调性知存在唯一20(,)x e e ∈，使0'()0x ϕ=，且当0(,)x e x ∈时，'()0x ϕ<，()x ϕ为减函数；当20(,)x x e ∈时，'()0x ϕ>，()x ϕ为增函数，所以0min 000()()(1)ln x x x k x x ϕϕ==--， 由0001(1)ln 2x k x x --≤，得00000111111()()1ln 212224x x k x x x ≥->-=>--，这与104k <<矛盾，不合题意． 综上可知，k 的取值范围为1[,)2+∞． 22.解：（Ⅰ）点P 在直线上，理由如下：直线l：)6ρ=，即2cos()6πρθ-=cos sin θρθ+=y +=P 在直线上．（Ⅱ）由题意，可得直线l的参数方程为1,2,x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的普通方程为22124x y +=，直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程，得2212())42t -+=，∴251240t t +-=，根为1t ，2t ，∴12125t t +=-，∴12405t t =-<，故1t 与2t 异号，∴12||||||PA PB t t +=-==， ∴12124||||||||5PA PB t t t t ⋅=⋅=-=， ∴11||||||||||||PA PB PA PB PA PB ++=⋅= 23.解：（Ⅰ）依题意有|23|||(3)a a a -<--，若32a ≥，则233a -<，∴332a ≤<， 若302a ≤<，则323a -<，∴302a <<， 若0a ≤，则32(3)a a a -<---，无解． 综上所述，a 的取值范围为(0,3)．（Ⅱ）由题意可知，当[]1,1x ∈-时，()()f x g x <恒成立， ∴||3x a +<恒成立， 即33x a x --<<-， 当[]1,1x ∈-时恒成立， 所以22a -<<.。