2021年上海市中考数学考点必杀500题专练12(几何压轴题)(30题)(解析版)

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2021年中考数学几何专题练习(含解析)

2021年中考数学几何专题课时练及答案一．选择题1．（2018•无锡）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（）A．等于B．等于C．等于D．随点E位置的变化而变化二．填空题2．（2018•武汉）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是．3．（2018•呼和浩特）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM；②无论点M运动到何处，都有DM=HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．其中正确结论的序号为．4．（2018•青岛）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC 上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．5．（2018•咸宁）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为．6．（2018•江西）在正方形ABCD中，AB=6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD=2AP，则AP的长为．7．（2018•潍坊）如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y 轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置，B'C′与CD相交于点M，则点M的坐标为．8．（2018•台州）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为．三．解答题9．（2018•盐城）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．10．（2018•白银）已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．（1）求证：△BGF≌△FHC；（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．11．（2018•潍坊）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE ⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE．（1）求证：AE=BF；（2）已知AF=2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．12．（2018•湘潭）如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于点O．（1）求证：△DAF≌△ABE；（2）求∠AOD的度数．13．（2018•遵义）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM=ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．答案提示1．【分析】根据题意推知EF∥AD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答．【解答】解：∵EF∥AD，∴∠AFE=∠FAG，∴△AEH∽△ACD，∴==．设EH=3x，AH=4x，∴HG=GF=3x，∴tan∠AFE=tan∠FAG===．故选：A．2．【分析】分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得．【解答】解：如图1，∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED=∠ADE=∠DAE=60°，∴∠BAE=∠CDE=150°，又AB=AE，DC=DE，∴∠AEB=∠CED=15°，则∠BEC=∠AED﹣∠AEB﹣∠CED=30°．如图2，∵△ADE是等边三角形，∴AD=DE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∴DE=DC，∴∠CED=∠ECD，∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，∴∠CED=∠ECD=（180°﹣30°）=75°，∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°．故答案为：30°或150°．3．【分析】先判定△MEH≌△DAH（SAS），即可得到△DHM是等腰直角三角形，进而得出DM=HM；依据当∠DHC=60°时，∠ADH=60°﹣45°=15°，即可得到Rt△ADM中，DM=2AM，即可得到DM=2BE；依据点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，可得∠AHM＜∠BAC=45°，即可得出∠CHM ＞135°．【解答】解：由题可得，AM=BE，∴AB=EM=AD，∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，∴EM=AH，∠AHE=90°，∠MEH=∠DAH=45°=∠EAH，∴EH=AH，∴△MEH≌△DAH（SAS），∴∠MHE=∠DHA，MH=DH，∴∠MHD=∠AHE=90°，△DHM是等腰直角三角形，∴DM=HM，故②正确；当∠DHC=60°时，∠ADH=60°﹣45°=15°，∴∠ADM=45°﹣15°=30°，∴Rt△ADM中，DM=2AM，即DM=2BE，故①正确；∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，∴∠AHM＜∠BAC=45°，∴∠CHM＞135°，故③正确；故答案为：①②③．4．【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF，进一步得∠AGE=∠BGF=90°，从而知GH=BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD，在△ABE和△DAF中，∵，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE=∠DAF，∵∠ABE+∠BEA=90°，∴∠DAF+∠BEA=90°，∴∠AGE=∠BGF=90°，∵点H为BF的中点，∴GH=BF，∵BC=5、CF=CD﹣DF=5﹣2=3，∴BF==，∴GH=BF=，故答案为：．5．【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标．【解答】解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线EG，垂足为G，连接GE、FO交于点O′．∵四边形OEFG是正方形，∴OG=EO，∠GOM=∠OEH，∠OGM=∠EOH，在△OGM与△EOH中，∴△OGM≌△EOH（ASA）∴GM=OH=2，OM=EH=3，∴G（﹣3，2）．∴O′（﹣，）．∵点F与点O关于点O′对称，∴点F的坐标为（﹣1，5）．故答案是：（﹣1，5）．6．【分析】根据正方形的性质得出AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=90°，根据勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD，画出符合的三种情况，根据勾股定理求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=6，∴AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=∠DAB=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC===6，∴OA=OB=OC=OD=3，有三种情况：①点P在AD上时，∵AD=6，PD=2AP，∴AP=2；②点P在AC上时，设AP=x，则DP=2x，在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP2=DO2+OP2，（2x）2=（3）2+（3﹣x）2，解得：x=﹣（负数舍去），即AP=﹣；③点P在AB上时，设AP=y，则DP=2y，在Rt△APD中，由勾股定理得：AP2+AD2=DP2，y2+62=（2y）2，解得：y=2（负数舍去），即AP=2；故答案为：2或2或﹣．7．【分析】连接AM，由旋转性质知AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°，证Rt△ADM≌Rt△AB′M得∠DAM=∠B′AD=30°，由DM=ADtan∠DAM可得答案．【解答】解：如图，连接AM，∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′，∴AD=AB′=1，∠BAB′=30°，∴∠B′AD=60°，在Rt△ADM和Rt△AB′M中，∵，∴Rt△ADM≌Rt△AB′M（HL），∴∠DAM=∠B′AM=∠B′AD=30°，∴DM=ADtan∠DAM=1×=，∴点M的坐标为（﹣1，），故答案为：（﹣1，）．8．【分析】根据面积之比得出△BGC的面积等于正方形面积的，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长．【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，∴阴影部分的面积为×9=6，∴空白部分的面积为9﹣6=3，由CE=DF，BC=CD，∠BCE=∠CDF=90°，可得△BCE≌△CDF，∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3=，设BG=a，CG=b，则ab=，又∵a2+b2=32，∴a2+2ab+b2=9+6=15，即（a+b）2=15，∴a+b=，即BG+CG=，∴△BCG的周长=+3，故答案为： +3．9．【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；【解答】证明：（1）∵正方形ABCD，∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠ABE=∠ADF，在△ABE与△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）连接AC，四边形AECF是菱形．理由：∵正方形ABCD，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，∴OB+BE=OD+DF，即OE=OF，∵OA=OC，OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形.10．【分析】（1）根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可；（2）利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可．【解答】解：（1）∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，∴FH∥BE，FH=BE，FH=BG，∴∠CFH=∠CBG，∵BF=CF，∴△BGF≌△FHC，（2）当四边形EGFH是正方形时，可得：EF⊥GH且EF=GH，∵在△BEC中，点，H分别是BE，CE的中点，∴GH=，且GH∥BC，∴EF⊥BC，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB=EF=GH=a，∴矩形ABCD的面积=．11．【分析】（1）通过证明△ABF≌△DEA得到BF=AE；（2）设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到•x•x+•x•2=24，解方程求出x得到AE=BF=6，则EF=x ﹣2=4，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用正弦的定义求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴BA=AD，∠BAD=90°，∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，∴∠AFB=90°，∠DEA=90°，∵∠ABF+∠BAF=90°，∠EAD+∠BAF=90°，∴∠ABF=∠EAD，在△ABF和△DEA中，∴△ABF≌△DEA（AAS），∴BF=AE；（2）解：设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，∵四边形ABED的面积为24，∴•x•x+•x•2=24，解得x1=6，x2=﹣8（舍去），∴EF=x﹣2=4，在Rt△BEF中，BE==2，∴sin∠EBF===．12．【分析】（1）利用正方形的性质得出AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，即可得出结论；（2）利用（1）的结论得出∠ADF=∠BAE，进而求出∠ADF+∠DAO=90°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB，在△DAF和△ABE中，，∴△DAF≌△ABE（SAS），（2）由（1）知，△DAF≌△ABE，∴∠ADF=∠BAE，∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°，∴∠AOD=180°﹣（∠ADF+DAO）=90°．13．【分析】（1）证△OAM≌△OBN即可得；（2）作OH⊥AD，由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH=HA=2、HM=4，再根据勾股定理得OM=2，由直角三角形性质知MN=OM．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°，∴∠OAM=∠OBN=135°，∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，∴∠AOM=∠BON，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM=ON；（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，∵正方形的边长为4，∴OH=HA=2，∵E为OM的中点，∴HM=4，则OM==2，∴MN=OM=2．。

2021年上海市中考数学考点必杀500题专练10(向量大题)(30题)(解析版)

2021中考考点必杀500题专练10（向量大题）（30道）1．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，//AB DE ，//AC DF ，AC 与DE 相交于点G ，12AG DG GC GE ==，2BE =．（1）求BF 的长；（2）设EG a =，BE b =，那么BF = ，DF = （用向量a 、b 表示）．【答案】（1）8BF =；（2）4b ⃗ ，3b ⃗ −32a ⃗ 【分析】（1）先证△CEG△△CBA ，再证△ECG△△EFD ，然后求解即可；（2）先证22EC BE b ==，CF b =，再证32ED EG CD a =+=，然后再由23EF EC CF b b b =+=+=得出结论即可．【详解】解：（1）△AB△GE ，△△B=△DEC ，△△ACB=△ACB ，△△CEG△△CBA ， △1=2AG BE GC CE =， △CE=2BE=4，同理△ECG△△EFD ， △1=2DG FC GE CE =， △CE=2FC=4，△BF=BE+EC+FC=2+4+2=8；（2）BE b=，由（1）可知BE=CF=12 EC，△22EC BE b==，CF b=，△4BF BE EC CF b=++=，△EG a=，△1122 GD EG a==，△32 ED EG CD a=+=，△23 EF EC CF b b b =+=+=，△332DF EF ED b a =-=-．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定与向量，解题的关键是掌握相似三角形的性质与判定．2．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在ABCD中，AE平分BAD∠，AE与BD交于点F， 1.2AB=，1.8BC=．（1）求:BF DF的值；（2）设AB a=，BC=b，求向量DF（用向量a、b表示）．【答案】（1）BF:DF=2：3，（2）3355DF a b=-．【分析】（1）先证∆BFE△∆DFA，得出BE BFAD DF=，在利用角平分线的性质进行等量代换，得到BE ABAD AD=再结合平行四边形的性质即可求得答案．（2）利用第（1）小问的结论，得到DF与DB的数量关系，进而得到DF与DB的关系，根据向量DB= AB AD-即可求解．（1）在ABCD 中，△BC △AD△△BEA =△DAE ，又△△BFE =△DFA ，△∆BFE △∆DFA ， △BE BF AD DF= ，又△AE 平分BAD ∠，△△BAE =△DAE ，△△BAE =△BEA ，△AB =BE ， △BE AB AD AD= 又△ 1.2AB =， 1.8AD BC ==． △1.221.83BF AB DF AD === △BF :DF =2：3（2）△BF :DF =2：3△DF =35DB △35DF DB ==3()5AB AD - △BC △ AD ， BC =AD ，AB a =，BC =b ，△AD BC b == △333()555DF a b a b =-=-．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，平面向量的加减法等知识点，证明∆BFE △∆DFA 并且进行等量代换、理解平面向量的加减法是解决本题的关键．3．（2021·上海长宁区·九年级一模）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 是边AD 的中点AC 、BE 相交于点O ．设BA a =，CB b =．（1）试用a 、b 表示BO ；（2）在图中作出CO 在CB 、CD 上的分向量，并直接用a 、b 表示CO ．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）【答案】（1）2133BO a b =-；（2）见解析，2233CO b a =+ 【分析】（1）首先证明23BO BE =，求出BE 即可求解；（2）证明23CO CA =，求出CA 即可解决问题．【详解】解（1）△//AD BC △12OE AE BO BC == △23BO BE = △()222121333233BO BE BA AE a b a b ⎛⎫==+=-=- ⎪⎝⎭；（2）△AE△BC ， △1=2AO AE CO CB =， △23CO CA =， △()()2222233333CO CA CB BA b a b a ==+=+=+ 如图所示，CO 在CB 、CD 上的分向量分别为CN 和CM ．【点睛】本题考查作图—复杂作图，平行线的性质、平面向量等知识，解题的关键是正确理解题意，灵活运用所学知识点．4．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，点M 为边BC 上一点，13BM BC =，联结AM 交DE 于点N ．（1）求DN NE的值；（2）设AB a =，AM b =，如果23AD DB =，请用向量a 、b 表示向量NE ．【答案】（1）12；（2）4455b a -．【分析】（1）由平行线的性质得到△ADN△△ABM ，△ANE△△AMC ，可得DN NE BM MC ，即DN BM NE MC =，根据13BM BC =可求出DN NE的值；（2）根据23AD DB =可得25AD AD AB AD DB ==+，所以DN =()2255BM BA AM =+，根据DN NE =12，即可得出答案．【详解】解：（1）△//DE BC ，△△AND=△B ，△AND=△AMB ，△ANE=△AMC ，△AEN=△C ，△△ADN△△ABM ，△ANE△△AMC ，△DN AN BM AM =，AN NE AM MC =，△DN NE BM MC ， △DN BM NE MC=， △13BM BC =， △12BM MC =， △DN NE =12；（2）△23AD DB =， △25AD AD AB AD DB ==+， △DN =()2255BM BA AM =+=()222555a b b a -+=-， △DN NE =12， △224422=5555NE DN b a b a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，向量等相关知识．熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键．5．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如图，一个33⨯的网格．其中点A 、B 、C 、D 、M 、N 、P 、Q 均为网格点．（1）在点M 、N 、P 、Q 中，哪个点和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似？请说明理由；（2）设AB a =a ，BC b =，写出向量AD 关于a 、b 的分解式．【答案】（1）点N 和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似，理由见解析；（2）2a 3b -【分析】（1）设网格中小正方形的边长为a ，利用勾股定理求出各边的长度，然后分类讨论，根据三边对应成比例的两个三角形相似逐一判断即可；（2）延长AB 至E ，使BE=AB ，根据向量加法的三角形法则计算即可．【详解】解：（1）点N 和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似，理由如下：设网格中小正方形的边长为a ，则BC=a ，=， =，其中BC ＜AB ＜AC如下图所示，连接BM 、AM则=，=，其中AB ＜BM ＜AM△AB BC a ==BM AB ==△AB BC ≠BM AB△ABM 和ABC 不相似；如下图所示，连接AN则BN=2a ，=，其中AB ＜BN ＜AN△ABBC a ==BN AB ==AN AC ==， △AB BC ＝BN AB =AN AC△NBA △△ABC ；如下图所示，连接BP则=，AP=3，其中AB ＜BP ＜AP△AB BC a ==BP AB == △AB BC ≠BP AB△ABP △和ABC 不相似；如下图所示，连接BQ 、AQ则=，=，其中AB ＜BQ ＜AQ△ABBC ==2BQ AB == △AB BC ≠BQ AB△ABQ △和ABC 不相似；综上：点N 和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似；（2）延长AB 至E ，使BE=AB ，根据正方形的性质可知，点E 正好落在格点上，如下图所示△22AE AB a==，33ED BC b=-=-△AD=AE＋ED=2a3b-．【点睛】此题考查的是勾股定理与网格问题、相似三角形的判定和向量的加法，掌握相似三角形的判定定理和向量加法的三角形法则是解题关键．6．（2021·上海浦东新区·九年级一模）已知向量关系式12(a−x )=b⃗+3x，试用向量a、b表示向量x．【答案】x=17a−27b⃗【分析】根据平面向量的定义，既有方向，又有大小计算即可．【详解】解：△12(a−x )=b⃗+3x，△1 2a−12x=b⃗+3x，△7 2x=12a−b⃗，△x=17a−27b⃗．【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．7．（2021·上海宝山区·九年级一模）如图，已知ABC中，//DE BC，且DE经过ABC的重心点G，BD a=，BC b=．（1）试用向量a 、b 表示向量BE ；（2）求作向量()233a b -（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）．【答案】（1）23BE a b =+；（2）见解析【分析】（1）根据重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，分析得到DE=23BC ，再根据向量的加法法则，首尾顺次相连，由三角形法则即可求解；（2）取AD 的中点J ，延长CB 到I ，使BI=DE ，以BJ 、BI 为邻边作平行四边形BJKI ，边接BK ，则BK 即是所求作的向量．【详解】解：（1）如图，连接AG 并延长交BC 于点F ，则GF=12AG ， AG 2=AF 3∴， DE//BC ，BC b = ADE ABC ∴△△∽，DE AG 2==BC AF 3∴ ， 23b DE BC =＝， 2a 3BE BD DE b ∴=+=+（2）BD a =，3BA a ∴=，作AD 的中点J ，2J=3a 23B a ∴⨯=，延长CB 到I ，使得BI=DE ， 23BI b ∴=-，以BJ 、BI 为邻边作平行四边形BJKI ，则()2223a 33BK BJ BI a b b =+=-=-， △BK 即是所求的求作的向量【点睛】本题考查了向量的知识，掌握法则向量的平行四边形法则，向量的三角形法则是解题的关键． 8．（2021·上海崇明区·九年级一模）如图，已知ABC 中，//DE BC ，2AD =，4DB =，8AC =．（1）求线段AE的长；（2）设BA a=，BC b=．①请直接写出向量AE关于a、b的分解式，AE=________；②连接BE，在图中作出向量BE分别在a、b方向上的分向量．（可以不写作法，但必须写出结论）【答案】（1）83AE=；（2）①1133a b-+；②作图见解析．【分析】（1）先求出AB，再据平行线分线段成比例，写出关于AE、AC、AD、AB的等比式，问题可解．（2）①以AD，DE为边作平行四边形ADEF，，先再求得11,33AD a AF b=-=，据AE AD AF=+问题可解；②以BD、DE为边作平行四边形即可．【详解】解：（1）△//DE BC，△AD AE AB AC=，△83 AE=．（2）①如下图△DE△BC△△ADE=△B，△AED=△C △△ADE△△ABC△2163AD DE AB BC === 又BA a =，BC b = △11,33AD a DE b =-= △四边形ADEF 是平行四边形 △13AF DE b ==△1133AE a b =-+， ②如下图，BD 和BM 是BE 分别在a 、b 方向上的分向量．9．（2021·上海九年级一模）如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且2AD =，4DB =，3AE =，6EC =， 3.2DE =（1）求BC 的长（2）联结DC ，如果DE a =，BA b =．试用a 、b 表示向量CD ．【答案】（1）9.6=BC ；（2）233-+a b ．【分析】（1）根据SAS 判定ADE ABC ，再根据相似三角形对应边成立解题即可；（2）根据相似三角形的判定与性质解题即可．【详解】解：（1）2AD =，4DB =，3AE =，6EC =，2131,6393AD AE AB AC ∴==== A A ∠=∠ADEABC ∴13DE BC ∴= 9.6BC ∴=；（2）由（1）中，2233BD BA b ==， 33BE DE a == CD 233CB BD BC BD a b =+=-+=-+．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、向量的线性运算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．10．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ． E 为OC 的中点，连接BE 并延长，交边CD 于点F ，设BA a =，BC b =．（1）填空：向量AE =__________；（2）填空：向量BF =__________，并在图中画出向量BF 在向量BA 和BC 方向上的分向量．（注：本题结果用含向量a 、b 的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【答案】（1）3344b a -；（2）13a b +；作图见解析【分析】（1）先求出AE 占AC 得几分之几，然后再根据向量运算的三角形法则计算即可；（2）先根据相似三角形的性质得到CF 占CD 得几分之几，然后再根据向量运算的三角形法则以及平行四边形法则计算并画图即可．【详解】解：（1）△平行四边形ABCD 中 △AO=OC=12AC △OE=EC=12OC=14AC △AE=AO+OC=12AC+14AC=34AC △AC BC BA b a =-=- △()33334444AE AC b a b a ==-=-；故答案为3344b a -；（2）△EC=14AC,AE=34AC △13EC AE = △平行四边形ABCD△AB//CD△△FCE△△BAE△13FC EC AB AE ==,即FC=13AB △AB//FC△13CF BA =,即13CF a = △13BF CF BC a b =++=+ 故答案为：13a b +．【点睛】本题主要考査了平面向量的三角形法则、平行四边形法则等知识，灵活运用向量运算的运算法则成为解答本题的关键．11．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如图，已知抛物线23y x ax =-++与y 轴于点A ，且对称轴是直线1x =．（1）求a 的值与该抛物线顶点Р的坐标﹔（2）已知点B 的坐标为(1,2)-，设,OA a OP b ==，用向量,a b 表示OB ．【答案】（1）a=2，顶点()1,4P ；（2）−2a ⃗ +b ⃗【分析】（1）根据对称轴方程可求出a 值，即可得出抛物线的解析式，化成二次函数的顶点式即可得顶点坐标；（2）根据二次函数解析式可得出A 点坐标，根据B 、P 两点坐标可得PB//OA ，PB=2OA ，可用a 表示出PB ，进而根据OB OP PB =+可表示出OB ．【详解】（1）△对称轴是直线1x =， △12(1)a -=⨯-，解得：a=2，△抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++=()214x --+，△顶点P 坐标为（1，4）．（2）△2y x 2x 3=-++，△当x=0时，y=3，△A （0，3），△OA=3，△P （1，4），B （1，-2），△PB//OA ，PB=6，△PB=2OA ，△22PB AO a ==-，△2OB OP PB a b =+=-+．【点睛】本题考查二次函数的性质及平行向量的计算，熟练掌握二次函数的性质及向量的运算法则是解题关键． 12．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，在ABC 中，点G 是ABC 的重心，联结AG ，联结BG 并延长交边AC 于点D ，过点G 作//GE BC 交边AC 于点E ．（1）如果AB a =，AC b =，用a 、b 表示向量BG ；（2）当AG BD ⊥，6BG =，45GAD ∠=︒时，求AE 的长．【答案】（1）2133BG a b =-+；（2）AE = 【分析】（1）由G 是重心，可得 12AD b =，23BG BD = ，因为BD BA AD =+，可得12BD a b =-+，进而求出BG ；（2）根据G 是重心，求出DG=3,因为△AGD 是等腰直角三角形，勾股定理计算出AD=由AD=DC,DC=3DE求出相加即可【详解】解：（1）△BD BA AD =+，△点G 是Rt△ABC 的重心，△AD ＝12AC ， △AB a =，AC b =， △12AD a =， △12BD a b =-+ △221()332BG BD a b ==-+， 2133BG a b =-+ （2）△G 是三角形的重心，△BG=2GD ，AD=DC ，△BG=6，△GD=3，△AG BD ⊥，45GAD ∠=︒，△AG=GD=3，△AD =，△//GE BC ，△13DE GD DC BD ==,△AE=AD+DE=【点睛】本题考查了三角形的重心、平面向量、勾股定理以及平行线分线段成比例定理；熟练掌握三角形重心的性质以及平行线分线段成比例定理，能够熟练运用向量的运算、勾股定理解题是关键．13．（2020·上海虹口区·九年级一模）如图，在Rt△ABC 中，△ABC ＝90°，点G 是Rt△ABC 的重心，联结BG 并延长交AC 于点D ，过点G 作GE △BC 交边BC 于点 E ．（1）如果AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，a 、b 表示向量BG ；（2）当AB ＝12时，求GE 的长．【答案】（1）BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23b ⃗ +13a ；（2）GE ＝4．【分析】（1）由已知可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ，有BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ⃗ +12a ，剩余BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(−b ⃗ +12a )=−23b ⃗ +13a ；（2）过点D 作DF △BC ，由GE △DF ，则23GE DF =，再由DF △AB ，D 是AC 的中点，可得DF ＝12AB ，即可求GE ．【详解】解：（1）△BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，△点G 是Rt△ABC 的重心，△AD ＝12AC ， △AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ， △AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ， △BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−b ⃗ +12a ， △BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(−b ⃗ +12a )=−23b ⃗ +13a ，（2）过点D 作DF △BC ，△GE △DF ， △23GE DF =， △DF △AB ，D 是AC 的中点，△DF＝12 AB，△AB＝12，△DF＝6，△GE＝4．【点睛】本题主要考查了平面向量，比例的性质，掌握平面向量，比例的性质是解题的关键.14．（2020·上海长宁区·）如图，在梯形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，AD△EF△BC，EF与BD交于点G，AD＝5，BC＝10，AEEB＝23．（1）求EF的长；（2）设AB＝a，BC＝b，那么DB＝，FC＝．（用向量a、b表示）【答案】（1）7；（2）a﹣12b，35a+310b．【分析】（1）由平行线得出25DF AEDC AB==，△BEG△△BAD，△DFG△△DCB，得出35EG AEAD AB==，25GF DFBC DC==，可解得EG＝3，GF＝4，即可得出答案；（2）求出AD＝12BC＝12b，得出DB＝AB+DA＝a﹣12b，得出DC DB BC=+＝＝a﹣12b+b＝a+12b，证出FC＝35DC，得出FC＝35DC得出结果．【详解】解：（1）△AEEB＝23，△AEAB＝25,EBAB=35.△AD△EF△BC，△25DF AEDC AB==，△BEG△△BAD，△DFG△△DCB，△35EG AEAD AB==，25GF DFBC DC==，即355EG=，2105GF=，解得：EG＝3，GF＝4，△EF＝EG+GF＝7；（2）△AD＝5，BC＝10，△AD＝12 BC，△AD△EF△BC，△AD＝12BC＝12b，△DB＝AB+DA＝a﹣12b，△DC DB BC=+＝＝a﹣12b+b＝a+12b，△25DF AEDC AB==，△FCDC=35，△FC＝35 DC，△FC＝35DC＝35（a+12b）＝35a+310b；故答案为：a﹣12b，35a+310b．【点睛】考查了相似三角形的判定与性质、平面向量和平行线分线段成比例定理等知识；解答（2）题时，求出AD＝12BC＝12b是解题的关键．15．（2020·上海青浦区·九年级一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上一点，AE与BD交于点F，DE△EC=2△3．(1)求BF△DF的值；（2）如果AD a=，AB b=，试用a、b表示向量AF．【答案】(1)5△2；（2）5277AF a b =+ 【分析】 (1)根据平行线分线段成比例定理以及比例的性质，即可求得答案；（2）首先根据已知条件，求得57BF BD =，再根据向量的性质即可求得答案．【详解】△四边形ABCD 是平行四边形，△DC//AB ，DC=AB ，△=BF AB DF DE． △DE △EC =2△3，△DC △DE =5△2，△AB △DE =5△2，△BF △DF=5△2．（2）△BF △DF=5△2，△57=BF BD ， △BD AD AB =-，△=-BD a b ， △555777==-BF BD a b ， △=+AF AB BF ，△55527777=+-=+AF b a b a b ．【点睛】本题考查了平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、比例的性质以及平面向量的知识，根据比例的性质进行灵活变形是解题的关键．解题时要注意向量是有方向的．16．（2020·上海奉贤区·九年级一模）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=，45BAD ∠=，2DC =，6AB =，AE BD ⊥，垂足为点F .（1）求DAE ∠的余弦值；（2）设DC a =，BC b =，用向量a 、b 表示AE .【答案】（1（2）334AE a b =+ 【分析】(1)作DM△AB ，垂足为M ，易得：DM=AM=4，BC=DM=4，从而得tan△BAE=12=，设BF=x ，则AF=2x ，根据勾股定理，即可求解；(2)易得：3344BE BC b ==，33AB DC a ==，根据+AE AB BE =，即可求解. 【详解】（1）作DM△AB ，垂足为M ，△在梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=，△四边形BCDM 是矩形，△BM=CD=2，AM=AB -BM=6-2=4，△45BAD ∠=，△∆AMD 是等腰直角三角形，△DM=AM=4，BC=DM=4， △tan△CBD=2142CD BC ==， △AE BD ⊥，△△BEF+△EBF=90°，△△BEF+△BAE=90°，△△EBF =△BAE ， △tan△BAE=12=，设BF=x ，则AF=2x ，△在Rt∆ABF 中，222BF AF AB +=，△222(2)6x x +=，解得：△DAE ∠的余弦值=AF AD == （2）△AB=6，tan△BAE=12=， △BE=3，△BC=4， △BE=34BC ，即： 3344BE BC b ==， △CD=2，AB=6, //AB CD ，△33AB DC a ==， △3+34AE AB BE a b ==+.【点睛】本题主要考查三角函数得应用和平面向量加法的三角形法则，掌握平面向量加法的三角形法则，是解题的关键.17．（2020·上海崇明区·九年级一模）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ， 2BC AD =，对角线 AC 、BD 相交于点 O ，设AD a =， AB b =.试用a 、b 的式子表示向量 AO . 【答案】1233AO b a =+ 【分析】先根据平行线分线段成比例得到12AO AD OC BC ==，得到13AO AC =，再根据AC AB BC =+即可求解. 【详解】 //,2AD BC BC AD =12AO AD OC BC ∴== 13AO AC ∴=即13AO AC = AD a =， BC 与AD 同向，2BC a ∴=2AC AB BC b a =+=+1233AO b a ∴=+ 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识.18．（2020·上海九年级一模）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，且2AE ED =，联结BE 并延长交边CD 的延长线于点F ，设，,BA a BC b ==．（1）用,a b 表示，,BE DF ；（2）先化简，再求作：32()2a b a b ⎛⎫-++- ⎪⎝⎭（不要求写作法，但要写明结论）【答案】（1）23BE a b =+，12DF a =;（2）原式12a b =-，作图见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质得对边相等且平行，再根据向量，平行向量的概念，性质及向量的运算进行求解；（2）根据平行四边形的性质得对边相等且平行，再根据向量的运算进行化简，根据化简结果的运算性质作图.【详解】解：（1）△四边形ABCD 是平行四边形，△AB=CD,AB△CD,AD=BC,AD△BC △AB AE DF ED, △AE=2ED, △DF=12AB,AE=23AD, △,BA a BC b ==,△12DF a =,23AE b =， △23BE AB AE a b +==+；（2）32()2a b a b ⎛⎫-++- ⎪⎝⎭3222a b a b =-++-， 21a b =-; 如图，平行四边形ABCD ，取AB 的中点，则12BM a =,CB b =-， △1122CM CB BM b a a b =+=-+=-, △12CM a b =-【点睛】本题考查向量的性质及运算，根据平行线得平行向量及向量的运算是解答此题的关键.19．（2020·上海九年级专题练习）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE△BC ，且DE=23BC ．（1）如果AC=6，求AE 的长；（2）设AB a =，AC b =，求向量DE （用向量a 、b 表示）．【答案】（1）4；（2）DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(b ⃗ −a ). 【分析】3（1）由平行线截线段成比例求得AE 的长度；（2）利用平面向量的三角形法则解答．【详解】（1）如图，△DE△BC ，且DE=23BC ， △23AE DE AC BC ==．又AC=6，△AE=4．（2）△AB a =，AC b =，△BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ．又DE△BC ，DE=23BC ， △DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(b ⃗ −a ) 【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的三角形法则和平行向量的定义．20．（2020·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =12，CD =7，点E 在边AD 上，23DE AE =，过点E 作EF //AB 交边BC 于点F . （1）求线段EF 的长；（2）设AB a =，AD b =，联结AF ，请用向量,a b 表示向量AF .【答案】（1）9；（2）3354b a +【分析】 (1)过D 作BC 的平行线分别交EF 于M ，AB 于G ，由DE ：AE=2：3，即可求得25DE AD =，然后在梯形ABCD 中，AB△CD ，AB=12，CD=7，根据平行线分线段成比例定理，即可求得EF 的长．(2)根据（1）中的比例关系写出向量即可.【详解】解：(1) 过D 作BC 的平行线分别交EF 于M ，AB 于G ， △23DE AE =,△25DE AD =. 又△EF△AB ，AB△CD ，AB=12，CD=7，△CD=MF=GB=7，△AG=5.2,5EM DE AG AD ==∵ △EM=25AG=2. △EF=EM+MF=9．(2)△ AB a =，AD b =，由（1）知，33,5593,12433==.54AE AD b EF AB a AF AE EF b a ====++∴【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理以及向量的基本知识,解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用．21．（2020·上海九年级专题练习）已知：如图，在△ABCD 中，设BA ＝a ，BC ＝b ．（1）填空：CA ＝（用a 、b 的式子表示）（2）在图中求作a +b ．（不要求写出作法，只需写出结论即可）【答案】(1) a -b ;(2) BD【分析】（1）根据三角形法则可知：,CA CB BA =+延长即可解决问题；（2）连接BD ．因为,BD BA AD =+ ,AD BC =即可推出.BD a b =+【详解】解：（1）△,CA CB BA =+ BA ＝a ，BC ＝b△.CA a b =-故答案为a -b ．（2）连接BD ．△,BD BA AD =+ ,AD BC =△.BD a b =+△BD 即为所求；【点睛】本题考查作图﹣复杂作图、平行四边形的性质、平面向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．（2019·上海虹口区·九年级一模）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，4cotA 3=，6BC =，点D E 、分别在边AC AB 、上，且//DE BC ，1tan 2DBC ∠=．（1）求AD 的长；（2）如果,AC a AB b ==，用a b 、表示DE ．【答案】（1）5；（2）5588DE b a =-．【分析】（1）解Rt ABC ∆求得8AC =，解Rt BCD ∆得到3CD =，可得5AD AC CD =-=；（2）由平行线截线段成比例求得58DE BC =，由已知可得CB AB AC b a =-=-，即可得5588DE b a =-．【详解】解：（1）△在Rt ABC ∆中，090C ∠=，4cotA ,63BC ==， △463AC AC CB ==，则8AC =．又△在Rt BCD ∆中，1tan 2DBC ∠=， △162DC DC BC ==， △3CD =．△5AD AC CD =-=；（2）△//DE BC ， △58DE AD BC AC ==． △58DE BC =． △,AC a AB b ==，△CB AB AC b a =-=-． △5588DE b a =-．故答案为（1）5；（2）5588DE b a =-. 【点睛】本题考查平面向量，解直角三角形，平行线的性质．注意：向量是有方向的．23．（2019·上海杨浦区·九年级月考）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，CE ＝2BE ，AC 、DE 相交于点F ．（1）求DF ：EF 的值；（2）如果CB =a ，CB =b ，试用a 、b 表示向量EF ．【答案】（1）3=2DFEF；（2）24515EF b a=-.【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；（2）利用三角形法则即可解决问题.【详解】（1）△四边形ABCD是平行四边形，△AD＝BC，AD△BC，△DF AD EF EC=，△CE＝2BE，△32 BCEC=，△32 DFEF=．（2）△CE＝2BE，△23CE CB=，△2233CE CB a==，△ED CD CE=-，△23ED b a=-，△32 DFEF=，△25EF ED=，△22224()553515EF ED b a b a ==-=-．【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．（2019·上海徐汇区·中考模拟）如图，已知△ABC，点D在边AC上，且AD＝2CD，AB△EC，设BA＝a，BC＝b．（1）试用a、b表示CD；（2）在图中作出BD在BA、BC上的分向量，并直接用a、b表示BD．【答案】（1）CD=1133a b-；（2）BD=1233a b+.【分析】（1）利用三角形法则求出CA，再根据CD＝13CA求出CD即可解决问题．（2）利用平行四边形法则，画出分向量，根据BD＝BC+CD计算即可．【详解】（1）△BA＝a，BC＝b，△CA＝CB+BA＝﹣b+a，△AD＝2CD，△CD＝13 CA，△CD与CA同向，△CD＝13CA＝13（﹣b+a）＝13a﹣13b；（2）如图BD在BA、BC上的分向量分别为BM，BN．△BD＝BC+CD＝b+13a﹣13b＝13a+23b．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识25．（2019·上海市位育实验学校九年级一模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E 为边AB上一点，且BE = 2AE．设AB a=，AD b=．（1）填空：向量DE=；（2）如果点F是线段OC的中点，那么向量EF=，并在图中画出向量EF在向量AB和AD方向上的分向量．注：本题结果用向量a b、的式子表示．画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．【答案】（1）13a b-; （2）53124a b+．【分析】（1）根据平行四边形的性质，即可解决问题；（2）利用平行线分线段成比例定理、三角形法则计算即可；【详解】解：（1）∵BE = 2AE△AE=13 AB△AB a=，△13AE a=，△DE DA AE=+，DE = 13a b - (2)过F 点作FG△BC 交AB 于G ，△平行四边形ABCD 中，AO=OC ，又△点F 是线段OC 的中点， △34AF AC =, △FG△BC ， △FG AG AF BC AB AC== △FG=34BC ，34AG AB =，由（1）可知△AE=13AB △3154312EG AG AE AB AB AB =-=-= △512EG a =, △53124EF EG FG a b =+=+ ，故答案为（1）13a b -．（2）53124a b +．【点睛】此题考查了平面向量的知识、平行四边形的性质以及平行线分线段成比例的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．26．（2019·上海长宁区·中考模拟）如图，AB 与CD 相交于点E ，AC△BD ，点F 在DB 的延长线上，联结BC ，若BC 平分△ABF ，AE ＝2，BE ＝3．（1）求BD 的长；（2）设EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ⃗ ，用含a 、b ⃗ 的式子表示bc⃗⃗⃗⃗ ．【答案】（1）152（2）−a−23b ⃗ 【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质和平行线的性质得到AB ＝AC ＝5，然后结合平行线截线段成比例求得BD 的长度．（2）由平行线截线段成比例和平面向量的三角形法则解答．【详解】（1）△BC 平分△ABF ，△△ABC ＝△CBF ．△AC△BD ，△△CBF ＝△ACB ．△△ABC ＝△ACB ．△AC ＝AB ．△AE ＝2，BE ＝3，△AB ＝AC ＝5．△AC△BD ，△AC BD =AE BE ．△5BD =23．△BD ＝152；（2）△AC△BD ，△EC ED =AE EB =23．△ED⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ⃗ ， △EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝−23b ⃗ ． △BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝﹣a −23b ⃗ ．【点睛】考查了平行线的性质和平面向量，需要掌握平行线截线段成比例和平面向量的三角形法则，难度不大． 27．（2019·上海奉贤区·九年级一模）如图，已知AD 是△ABC 的中线，G 是重心．（1）设AB ＝a ，BC ＝b ，用向量a 、b 表示BG ；（2）如果AB ＝3，AC ＝2，△GAC ＝△GCA ，求BG 的长．【答案】（1）BG =1132a b -+；（2）BG ．【分析】（1）根据已知条件得到12BD b =，由AB a =，得到12AD a b =+，由于G 是重心，得到2233AG AD ==（121233a b a b +=+），于是得到结论；（2）延长BG 交AC 于H ，根据等腰三角形的判定得到GA =GC ，求得AH 12=AC =1，求得BH △AC ，解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）△AD 是△ABC 的中线，BC b =，△12BD b =． AB a =，△12AD a b =+． △G 是重心，△2233AG AD ==（121233a b a b +=+），△2132BG AB AG a a b =-+=-++=1132a b -+；（2）延长BG 交AC 于H ． △△GAC =△GCA ，△GA =GC ．△G 是重心，AC =2，△AH 12=AC =1，△BH △AC ．在Rt△ABH 中，△AHB =90°，AB =3，△BH ==△BG 23=BH 3=．【点睛】本题考查了三角形的中线，平面向量，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．28．（2019·上海普陀区·中考模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE与BD相交于点G，:3:1AG GE=．（1）求:EC BC的值；（2）设BA a=，AO b=，那么EC=____________．【答案】（1）2:3；（2）11 33a b --【解析】【分析】（1）利用三角形相似即可解答.(2)将设BA a＝，AO b＝作为初始向量，利用向量间的关系表示出来即可.【详解】△ △AD△BC，△△BEG△△DAG，△13 BE EG AD GA==△BE：BC＝1:3.△EC：BC＝2：3，△2411,3333 EC a b GB a b =+=--.【点睛】本题考查三角形相似和变量表示，能够找出证明条件是解题关键.29．（2019·上海杨浦区·中考模拟）如图，已知△ABCD 的对角线交于点O ，点E 为边AD 的中点，CE 交BD 于点G ．（1）求OG DG的值；（2）如果设AB a =，BC b =，试用a 、b 表示GO ．【答案】(1)12OG DG =.(2) 1()6a b - 【解析】【分析】 (1)根据ABCD 是平行四边形，可以求出ED DG BC GB＝，再根据点E 为边AD 的中点即可求解； (2)先将BD 用a 、16OG b BD 表示，再用＝即可求解. 【详解】解：（1）△□ABCD ，△BO ＝OD ，AD //BC ，AD ＝B C.△ED DG BC GB＝. △点E 为边AD 的中点，△1122ED AD BC ＝＝.△12DG GB ＝. △BO ＝OD ，△12OG DG ＝. （2）△AB a ＝，BC b ＝，△BD BA AD BA BC a b -＝＋＝＋＝＋.△BO ＝OD ，12OG DG ＝，△16OG BD ＝. △()1166GO DB a b ＝＝-. 【点睛】本题考查的是平行四边形，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.30．（2018·上海虹口区·中考模拟）如图，在△ABC 中，点E 在边AB 上，点G 是△ABC 的重心，联结AG 并延长交BC 于点D ．（1）若,AB a AC b ==，用向量a 、b 表示向量AG ；（2）若△B=△ACE ，AB=6，BC=9，求EG 的长．【答案】(1) 11.33AG a b =+(2)EG=3. 【解析】【分析】（1）由点G 是△ABC 的重心，推出23AG AD =，再根据三角形法则求出AD 即可解决问题；（2）想办法证明△AEG△△ABD ，可得21333EG BD BC ===；【详解】(1)△点G 是△ABC 的重心， △23AG AD =， △1111(),2222AD AB BC a b a a b =+=+-=+ △11.33AG a b =+(2)△△B =△ACE ，△CAE =△BAC ，△△ACE △△ABC ，△AE AC AC AB=， △AE =4，此时23AE AG AB AD==，△△EAG=△BAD，△△AEG△△ABD，△213.33EG BD BC===【点睛】考查平面向量的线性运算以及相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.。

专练十二几何压轴题(原卷版)-2022年中考数学双减改革重点题型专练

2022年中考数学改革重点题型专练（重庆专用）专练十二、几何压轴题1．在等边△ABC中，D是边AC上一动点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，连接CE．（1）如图1，当B、A、E三点共线时，连接AE，若AB＝2，求CE的长；（2）如图2，取CE的中点F，连接DF，猜想AD与DF存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE、AP交于G点．若GF＝DF，请直接写出的值．2．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠CBA＝90°．以斜边AC为腰作等腰△CAD，使AC ＝AD，点E为CD边中点，连接AE．（1）如图1，当A、B、D三点共线时，若AE与BC相交于点F，求证：BF＝BD．（2）如图2，射线BM是∠ABC的外角∠CBG的角平分线，当点D恰好落在射线BM上时，请求出∠CAE的度数．（3）如图3，连接BD，以BD为斜边作Rt△BQD，连接EQ，若AC＝8，请直接写出线段EQ的最大值．3．在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在直线BC上．（1）如图1所示，点D在BC上，点E是AC的中点，连接DE．若tan∠EDC＝，DE ＝2，求△ABC的周长；（2）如图2所示，点D在CB的延长线上，连接AD，过点B作CD的垂线交AD于点E．点F在BC上，FG⊥AD于点G，连接CG．若AC＝FG，DF＝CG+AG，求证：DE＝2AG；（3）如图3所示，点D、E在BC边上，连接AD、AE，AD＝AE，点F是AB的中点，连接EF，与AD交于点P．将△BEF沿着EF翻折，点B的对应点是点G，连接AG．若AE＝EF，DP＝，请直接写出△AGE的面积．4．△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，连接AD，在线段AD上有一点M，连接CM，以AM为直角边，点A为直角顶点，向右作等腰直角三角形AMN．（1）如图1，若sin∠MCD＝，CD＝4，求线段MN的长；（2）如图2，将等腰直角三角形AMN绕点A顺时针旋转α°（0°＜α°＜45°），连接CM、DM、CN，若DM∥CN，求证：4DM2+CN2＝CM2；（3）如图3，线段MN交线段AC于点E，点P、点Q分别为线段BC、线段AC上的点，连接PM、QN，将△DPM沿PM翻折得到ΔD'PM，将△EQN沿QN翻折得到ΔE'QN，若AM＝3DM，BC＝8，在线段BC上找一点F，连接FD'、FE'，请直接写出FD'+FE'的最小值．5．如图1，在等腰Rt△ABC中，AB＝BC，D是BC的中点，E为边AC上任意一点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF，交AB于点G．（1）若AB＝6，AE＝，求ED的长；（2）如图2，点G恰好是EF的中点，连接BF，求证：CD＝BF；（3）如图3，将△BDF沿DF翻折，使得点B落在点P处，连接AP、EP，若AB＝6，当AP+DP最小时，直接写出△AEP的面积．6．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠CAB＝90°，点P是直线BC上一动点，连接AP，分别过B、C作直线AP的垂线，垂足分别为点E、F，取BC的中点Q，连接QE、QF．（1）如图1，若点P在BC的延长线上且∠P＝30°，PC＝2，求BC的长；（2）如将2，若P是BC的延长线上任意一点，求证：CE+BF＝QE；（3）如图3，作点C关于直线AP的对称点C'，连接QC'，若AC＝1，请直接写出当QC'取得最大值时PC的长．7．已知等腰直角△ABC与△ADE有公共顶点A，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝8，AD ＝AE＝4．现将△ADE绕点A旋转．（1）如图①，当点B，A，D在同一直线上时，点F为DE的中点，求BF的长；（2）如图②，连接BE，DC．点G为DC的中点，连接AG交BE于点P，求证：AG⊥BE；（3）如图③，点F为DE的中点，以BF为直角边构造等腰Rt△FBN，连接CN，在△ADE绕点A旋转过程中，当CN最小时，直接写出△BCN的面积．8．如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上一点，连接AD．（1）如图1，将AD绕点A顺时针旋转60°得到AE．连接DE，BE，若，BC ＝6，求CD的长度；（2）如图2，将AD绕点A顺时针旋转120°得到AE，连接CE交AB于F，G为AC边的中点，连接FG，猜想FG与AE存在的关系，并证明你的猜想；（3）如图3，以AC为斜边向AC边右侧作Rt△AEC，连接BE，F为BE上一点，且BF ＝BE，连接DF，若AB＝4，CD＝1，当DF取最小值时，请直接写出△BDF的面积．9．在△ABC中，CA＝CB，CA⊥CB，点D是射线AC上一动点，连接BD，将BD绕点D 逆时针旋转90°得ED，连接CE．（1）如图1，当点D在线段AC上时，若DE＝，BC＝3，求△ABD的周长；（2）如图2，点D在AC延长线上，作点C关于AB边的对称点F，连接FE，FD，将FD绕点D顺时针旋转90°得GD，连接AG，求证：AG＝CE；（3）如图3，点D在AC延长线上运动过程中，延长EC交AG于H，当BH最大时，直接写出的值．10．已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，P为平面内一点．（1）如图1，∠BAP＝45°，∠APB＝75°，若AB＝2，则AP的长为．（2）如图2，将线段P A绕点A顺时针旋转90°，得到线段QA，连接CQ，取CQ的中点M，连接MA，猜想线段BP与线段AM的数量关系并证明．（3）如图3，AB＝2，P为△ABC内一点，∠BP A＝150°，H为线段BC上一动点（不与B、C两点重合），连接PH，是否存在点P、H使2PH+CH值最小，若存在，则2PH+CH的最小值为．11．在△ABC中∠BCA＝90°且AC＝BC．M为平面内一点，把CM绕着C点顺时针旋转90°后得到线段CN，射线AM与BN相交于点D．（1）如图1，M点在线段BC上且AM平分∠BAC，当AB的长为2时，求△BMN的面积．（2）如图2，M为三角形外一点，AM交BC于H，且∠MAC＝15°．求证：CD＝BH．（3）如图3，在△ABC中∠BCA＝90°且AC＝BC＝4，D为动点且∠ADB＝90°，连接CD．把CD绕C点顺时针旋转90°得CE，直接写出AE的最小值．12．如图1，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，∠BAC＝60°，CE⊥AB 交AB于点E，AE＝AD，点F在线段BD上，连接AF．（1）若AC＝4，求线段BD的长；（2）如图2，若∠DAF＝60°，点M为线段BF的中点，连接CM，证明：2CM＝BF+AC；（3）如图3，在（2）的条件下，将△ADF绕点A旋转得△AD′F′，连接BF′，点M 为线段BF′的中点，连接D′M，当D′M长度取最小时，在线段AB上有一动点N，连接MN，将线段MN绕点M逆时针旋转60°至MN′，连接D′N′，若AC＝4，请直接写出（2MN′﹣D′N′）的最小值．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边上任意一点，连接AD，以点D为旋转中心，将线段DA顺时针旋转90°，点A的对应点是点E，连接AE，取AE的中点F，连接DF．（1）如图1，若∠CAD＝30°，DF＝6，求线段CD的长．（2）如图1，连接CF，求证：AC+CD＝CF；（3）如图2，若AC＝6，BC＝8，点D在线段BC上运动，点G在线段DE上运动，连接AG，取线段AG的中点P，连接BP、BF、PF，当线段PB最大时，直接写出△BPF 的面积．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在CB上截取CD＝CA，连接AD，过点C作CE⊥AB于点E，交AD于点F．（1）如图1，若D为BC边的中点，且CE＝2，BE＝4，求线段AD的长度；（2）如图2，过点C作CG⊥AD于点G，延长CG交AB于点H，连接BG．若∠1＝∠2，求证：CF+BH＝BG．（3）如图3，过点C作CG⊥AD于点G，把△AGC绕点C顺时针旋转，记旋转后的△AGC为△A'G′C，过点A作直线AM∥G′C交直线A′C于点M，连接BM．当AC＝DB＝时，直接写出线段BM的最小值．15．△ABC为等边三角形，将线段CA绕点C顺时针旋转60°得到线段CD，F为平面内一点．连接BF，作∠ABF的角平分线交CF延长线于点E，连接DE．（1）如图1，连接BD，若点F恰好在线段BD上，CE⊥BC，BC＝2，求EF的长度；（2）如图2，若∠FBC＝2∠ECD，证明：BE+DE＝EC；（3）如图3，当BC＝2，∠ACE＝45°时，以CE为斜边构造直角△PEC，Q为CP中点，连接AQ．当AQ最大时，求△ACQ的面积．16．△ABC为等边三角形，D是边AB上一点，点G为AB延长线上一点，连接CD，GC．（1）如图1，若BG＝2，AC＝4，求GC的长；（2）如图2，点E是BC反向延长线上一点，连接DE，GE，若∠DCG＝60°，CD＝DE，猜想线段EG，CG，DC的数量关系，并证明；（3）如图3，点M是AC的中点，将△ABC沿直线DM折叠，点A恰好落在CG上的点Q，连接DC，若AC＝4，CD＝，求△CQD的面积．。

专练03(选择题-压轴)(20题)-2021年中考数学考点必杀500题(通用版)(解析版)

2021中考考点必杀500题专练03（选择题-压轴）（20道）1．（2021·内蒙古呼和浩特市·九年级一模）如图，矩形ABCD中，AB：AD=2：1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，当PB的最小值为AD的值为（）A．2B．3C．4D．6【答案】B如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1．当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2，∴P1P2∥CE且P1P2=12 CE，∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP∥P1P2时，PB取得最小值，∴矩形ABCD中，AB∴AD=2∴1，E为AB的中点，∴∥CBE，∥ADE，∥BCP1均为等腰直角三角形，CP1=BC，∴∥ADE=∥CDE=∥CP1B=45°，∥DEC=90°，∴∥DP2P1=90°，∴∥DP1P2=45°，∴∥P2P1B=90°，即BP1∥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2在等腰直角三角形BCP 1中，CP 1=BC ，∴BP 1BC ，又PB 的最小值是，∴AD=BC=3，故选B ．2．（2020·苏州新草桥中学九年级二模）如图，点O 是边长为的等边△ABC 的内心，将△OBC 绕点O 逆时针旋转30°得到△OB 1C 1，B 1C 1交BC 于点D ，B 1C 1交AC 于点E ，则DE ＝（）A ．2B．2 C1 D．3【答案】D 令1OB 与BC 的交点为F ，11B C 与AC 的交点为M ，过点F 作FN OB ⊥于点N ，如图，将∥OBC 绕点O 逆时针旋转30°得到∥OB 1C 1，30BOF ∴∠=︒点O 是边长为∥ABC 的内心，302OBF OB AB ∴∠=︒==，∴∥FOB 为等腰三角形，112BN OB ==cos 3BN BF OF OBF ∴===∠ 11OBF OB D BFO B FD ∠=∠∠=∠，∴∥BFO ∥1B FD11B D B F OB BF∴=1123B F OB OF =-=-12B D ∴=在∥BFO 和∥CMO 中==OBF OCM OB OCBOF COM ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴∥BFO ≅∥()CMO ASA12OM BF C M ===- 在∥1C ME 中，160C ME MOC MCO ∠=∠+∠=︒，130C ∠=︒160C EM ∴∠=︒111sin (21C E C M C EM ∴=⋅∠==11112)1)3DE BC B D C E ∴=--=-= 故选：D ．【点睛】原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 43．（2020·湖北孝感市·九年级其他模拟）如图，点M 是正方形ABCD 内一点，MBC △是等边三角形，连接AM MD 、对角线BD 交CM 于点N ，现有以下结论：△150AMD ∠=︒；△2MA MN MC =⋅；△23ADMBMC S S ∆∆=；△3DN BN =( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C解：∥四边形ABCD 是正方形，∥AB=BC=CD=DA ，∥ABC=∥BCD=∥CDA=∥BAD=90°，∥ADB=45°，∥∥BCM 是等边三角形，∥BM=MC=BC ，∥MBC=∥BMC=∥BCM=60°，∥∥ABM=∥DCM=30°，AB=BM=CM=CD ，∥∥BAM=∥CMD=∥CDM=75°，∥∥DAM=∥ADM=15°，∥∥AMD=180°-∥DAM-∥ADM=150°，故∥正确；∥∥DAM=∥ADM=15°，∥AM=MD ，∥∥ADB=45°，∥∥MDN=30°=∥MCD ，∥∥CMD 是公共角，∥∥DMN∥∥CMD ，∥DM ：CM=MN ：DM ，∥DM 2=MN•CM ，∥AM 2=MN•CM ，故∥正确；设BC=CD=2a ，过点M 作EH∥BC 于点H ，交AD 于点E ，∥∥MBC是等边三角形，∥BH=a，，，∥AD=BC，∥1·3213·2ADMBMCAD EMSS BC MH===，故∥错误；过点D作DF∥MC于点F，过点B作BG∥MC于点G，则有，DF=12CD=a，DF//BG，∥∥DFN∥∥BGN，∥DN DFBN BG===，故∥正确，所以正确的结论有∥∥∥，故选：C．4．（2020·广东深圳市·）如图，过坐标原点O的直线AB与两函数()18y xx=>，()2y xx=<的图象分别交于A，B两点，作AH y⊥轴于H，连接BH交x轴于点C，则下列结论：△9AOHS∆=；△3OAOB=；△13OCAH=；△34BOCS=△．其中正确的是（）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6A ．△△B ．△△△C ．△△△D ．△△【答案】B∥根据反比例函数的性质，得到11892AOH S ∆=⨯=，故∥正确；设A 点坐标为（m ，18m ），则H （0，18m ）设直线AB 的解析式为y kx =，代入A 点坐标，得18m km =，解得2=18k m∥直线AB 的解析式为218y x m = 将218y x m =和2y x =联立，求得3mx =-∥B 点坐标为（3m-，6m -）设直线BH 的解析式为()0y kx b k =+≠，代入B 、H 坐标得，6318mk b m b m ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得7218k m b m⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∥直线BH 的解析式为7218m y x m =+当y=0时，x=14-∥OC∥AH∥BOC BHA∥相似比为64124m m=∥3OA OB =，14OC AH =，故∥正确，∥错误 ∥1118=3223BOH S OH h m m =⨯⨯⨯⨯=△ ∥3912BAH S =+=△ ∥2131244BOC S ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭△，故∥正确故选B ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求函数解析式，对于反比例函数()0k y k x=≠，k 过图像上的点向两坐标轴做垂线，所形成的矩形的面积． 5．（2020·深圳市福田区南华实验学校九年级其他模拟）如图，在正方形ABCD 中，点M 是AB 上一动点，点E 是CM 的中点，AE 绕点E 顺时针旋转90°得到EF ，连接DE ，DF 给出结论：△DE EF =；△45CDF ∠=︒；△75AM DF =；△若正方形的边长为2，则点M 在射线AB 上运动时，CF 有最小值．其中结论正确的是（）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△【答案】B ∥如图，延长AE 交DC 的延长线于点H ，∥点E是CM的中点，∥ME＝EC，∥AB∥CD，∥∥MAE＝∥H，∥AME＝∥HCE，∥∥AME∥∥HCE（AAS），∥AE＝EH，又∥∥ADH＝90°，∥DE＝AE＝EH，∥AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，∥AE＝EF，∥AEF＝90°，∥AE＝DE＝EF，故∥正确；∥∥AE＝DE＝EF，∥∥DAE＝∥ADE，∥EDF＝∥EFD，∥∥AEF＋∥DAE＋∥ADE＋∥EDF＋∥EFD＝360°，∥2∥ADE＋2∥EDF＝270°，∥∥ADF＝135°，∥∥CDF＝∥ADF−∥ADC＝135°−90°＝45°，故∥正确；∥∥EP∥AD，AM∥AD，CD∥AD，∥AM∥PE∥CD，∥AP ME=PD EC＝1，∥AP＝PD，∥PE是梯形AMCD的中位线，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8∥PE ＝12（AM ＋CD ）， ∥∥FDC ＝45°，FN∥CD ，∥∥DFG ＝∥FDC ＝45°，∥DG ＝GF ，DF ，∥∥AEP ＋∥FEN ＝90°，∥AEP ＋∥EAP ＝90°，∥∥FEN ＝∥EAP ，又∥AE ＝EF ，∥APE ＝∥ENF ＝90°，∥∥APE∥∥ENF （AAS ），∥AP ＝NE ＝12AD ， ∥PE ＝12（AM ＋CD ）＝NE ＋NP ＝12AD ＋NP ， ∥12AM ＝NP ＝DG ，∥AM ＝2DG ＝DF ，∥AM DF ，故∥错误； ∥如图，连接AC ，过点E 作EP∥AD 于点P ，过点F 作FN∥EP 于N ，交CD 于G ，连接CF ，∥EP∥AD ，FN∥EP ，∥ADC ＝90°，∥四边形PDGN 是矩形，∥PN ＝DG ，∥DGN ＝90°，∥∥CDF ＝45°，∥点F 在DF 上运动，∥当CF∥DF 时，CF 有最小值，∥CD ＝2，∥CDF ＝45°，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ∥CF，故∥正确；故选：B ． 6．（2020·湖北武汉市·九年级一模）如图．ABC ∆的面积为1．分别取,AC BC 两边的中点11A B 、，则四边形11A ABB 的面积为34，再分别取的11,A C B C 中点2222,,,A B A C B C 的中点33,A B ，依次取下去…．利用这一图形．计算出233333···4444n ++++的值是（）A ．11414n n ---B ．414nn - C ．212n n - D ．1212n n --【答案】B∥A 1、B 1分别是AC 、BC 两边的中点，且∥ABC 的面积为1，∥∥A 1B 1C 的面积为114⨯，∥四边形A 1ABB 1的面积=∥ABC 的面积-∥A 1B 1C 的面积=31144=-，∥四边形A 2A 1B 1B 2的面积=∥A 1B 1C 的面积-∥A 2B 2C 的面积=22113444-=，…，∥第n 个四边形的面积1113444n n n --=，故2321333311111···(1)()()444444444n n n -++++=-+-++-114n =-414n n -=．故选：B ．【点睛】本题考查了规律型问题，三角形中位线定理和相似三角形的判定与性质，同时也考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．7．（2020·浙江杭州市·九年级一模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止，过点E作EF△PE交射线BC于点F，联结PF，设M是线段PF的中点，则点P运动的整个过程中，线段DM长的最小值为（）A B C．D．72 13【答案】A解：连接BE、EM、BM，作BE的垂直平分线GH分别与DA的延长线、BC的延长线交于点G、H，过D作DN∥GH于点N，连接EH，过H作HK∥AD，与AD的延长线交于点K，∥∥ABC＝∥PEF＝90°，M是PF的中点，∥BM＝EM，∥无论P点运动到什么位置时，M点始终在BE的垂直平分线上，∥M点在GH上，当M与N点重合时，DM＝DN的值最小，设EH＝x，∥GH是BE的垂直平分线，∥BH＝EH＝x，∥∥EHG＝∥BHG，∥GD∥BH，∥∥EHG＝∥BHG＝∥G，∥EG＝EH＝x，∥∥ABH＝∥BAK＝∥K＝90°，∥四边形ABHK为矩形，∥AK＝BH＝x，AB＝KH＝6，∥AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3，∥AE＝2，ED＝6，∥EK＝AK﹣AE＝x﹣2，∥EH2﹣EK2＝KH2，∥x2﹣（x﹣2）2＝62，解得，x＝10，∥GE＝x＝10，GD＝EG+DE＝x+6＝10+6＝16，∥OE∥DN，∥∥GEO∥∥GDN，∥105168 EO GEDN GD===，∥DN＝85 EO，∥BE==∥EO＝12BE，∥DN=即线段DM，故选：A．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、相似三角形、直角三角形的性质及勾股定理等，灵活运用所学的知识点进行分析是解题的关键．8．（2020·东莞市松山湖实验中学九年级一模）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE△AB，AF＝原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！122AE ，FC 交BD 于O ，交AB 于M ，下列说法正确的有（）个△AF ＝BD△△DOC ＝60° △34EFM M S S △△BC△AF 2＝OD•FMA ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C解：连接FB ，∥四边形ABCD 是正方形，∥AB ＝BC ＝AD ，∥ABD ＝∥CBD ＝45°，BDAB ，∥FE∥AB ，AF ＝2AE ，∥sin∥AFE ＝12，∥∥AFE ＝30°，∥∥FAE ＝60°，EF＝2AF ，∥E 是AB 的中点，EF∥AB ，∥AF ＝BF ，∥∥AFB 是等边三角形，∥∥ABF ＝∥FAB ＝60°，AB ＝FB ＝BC ＝AD ＝CD ，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14∥AF≠BD ，故∥错误；∥BC ＝BF ，∥∥CFB ＝∥BCF ＝18090602︒-︒-︒＝15°， ∥∥DOC ＝∥DBC+∥BCO ＝45°+15°＝60°，故∥正确；∥EF∥AB ，BC∥AB ，∥EF∥BC ，∥∥EFM∥∥BCM ，∥22324EFMM AF S EF S BC AF ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪=== ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭△△BC ，故∥正确； ∥∥BCM ＝15°，∥∥DCO ＝75°，∥BMC ＝75°＝∥AMF ，∥∥AMF ＝∥DCO ，又∥∥BAF ＝∥DOC ＝60°，∥∥AFM∥∥ODC ， ∥AF FM OD CD=， ∥AF•CD ＝OD•FM ，又∥AF ＝CD∥AF 2＝OD•FM ，故∥正确；故选：C ．9．（2020·山东济南市·九年级其他模拟）如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，AE 平分BAD ∠，分别交,BC BD 于点,E P ，连接OE ，ADC 60∠=，112AB BC ==，则下列结论：△30CAD ∠=；△BD =△S 平行四边形ABCD AB AC =；△14OE AD =；△APO S =△（）A．2B．3C．4D．5【答案】C∥∥AE平分BAD∠，∥∥BAE=∥DAE，∥四边形ABCD为平行四边形，∥AD∥BC，∥ABC＝∥ADC=60°，∥∥DAE=∥BEA，∥BAE=∥BEA，∥AB=BE=1，∥∥ABE是等边三角形，∥BC=2，∥EC=1，∥AE=EC，∥∥EAC=∥ACE，∥∥AEB=∥EAC+∥ACE=60°，∥∥ACE=30°，∥AD∥BC，∥∥CAD=∥ACE=30°，故∥正确；∥∥BE=EC，OA＝OC，∥OE=12AB=12，OE∥AB，∥∥EOC=∥BAC=60°+30°=90°，在RT∥EOC中，2OC∥四边形ABCD是平行四边形，∥∥BCD=∥BAD=120°，∥∥ACB=30°，∥∥ACD=90°，在RT∥OCD中，OD，故∥正确；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16∥由∥知，∥DCA=∥BAC=90°，∥S 平行四边形ABCD AB AC =故∥正确；∥由∥知：OE 是∥ABC 的中位线， ∥OE=12AB ， ∥AB=12BC ， ∥OE=11=44BC AD ，故∥正确；∥∥四边形ABCD 是平行四边形，∥111===222AOE EOC S S OE OC ⨯△△， ∥OE∥AB ，∥EOP∥∥ABP ， ∥12EP OE AP AB ==,∥12POEAOP SS =, ∥2233AOP AOE S S ==△△ 故∥错误；本题正确的有4个，故选择C ．【点睛】本题是一道几何的综合题目，掌握平行四边形的性质及求面积方法、等腰三角形的性质、勾股定理、中位线定理、相似等是解答本题的关键．10．（2020·四川眉山市·九年级其他模拟）已知如图，在正方形ABCD 中AD ＝4，E ，F 分别是CD ，BC上的一点，且△EAF ＝45°，EC ＝1，将△AED 绕点A 沿顺时针方向旋转90°后与△ABG 重合，连接EF ，过点B 作BM△AG 交AF 于M ，则下面结论：△△AGF△△AEF ；△DE ＋BF ＝EF ；△BF ＝47；△32175MBF S ，其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D解：∥AG ＝AE ，∥FAE ＝∥FAG ＝45°，AF ＝AF ，∥∥AGF∥∥AEF （SAS ），故∥正确，∥EF ＝FG ，∥DE ＝BG ，∥EF ＝FG ＝BG ＋FB ＝DE ＋BF ，故∥正确，∥BC ＝CD ＝AD ＝4，EC ＝1，∥DE ＝3，设BF ＝x ，则EF ＝x ＋3，CF ＝4﹣x ，在Rt∥ECF 中，（x ＋3）2＝（4﹣x ）2＋12，解得x ＝47，∥BF ＝47，故∥正确，∥BM∥AG ，∥∥FBM∥∥FGA ， ∥FBMFGA S S △△＝（FB FG）2，∥S ∥FBM ＝32175，故∥正确，故选：D.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1811．（2020·广东深圳市·九年级三模）如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边CD ，BC 上，且△EAF ＝45°，BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧BD ．下列结论：△DE ＋BF ＝EF ；△BN 2+DM 2=MN 2；△△AMN△△AFE ；△弧BD 与EF 相切；△EF△MN ．其中正确结论的个数是（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】B解：延长CB 到G ，使BG=DE ，连接AG ．在∥ABG 和∥ADE 中，AD ABADE ABG DE BG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∥∥ABG∥∥ADE （SAS ），∥AG=AE ，∥DAE=∥BAG ，又∥∥EAF=45°，∥DAB=90°，∥∥DAE+∥BAF=45°∥∥GAF=∥EAF=45°．在∥AFG 和∥AFE 中，AE AGGAF EAF AF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∥∥AFG∥∥AFE （SAS ），∥GF=EF=BG+BF ，又∥DE=BG ，∥EF=DE+BF ；故∥正确；在AG 上截取AH=AM ，连接BH 、HN ，在∥AHB 和∥AMD 中，AD AB HAB MAD AH AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∥∥AHB∥∥AMD ，∥BH=DM ，∥ABH=∥ADB=45°，又∥∥ABD=45°，∥∥HBN=90°．∥BH 2+BN 2=HN 2．在∥AHN 和∥AMN 中，AM AH HAN MAN AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∥∥AHN∥∥AMN ，∥MN=HN ．∥BN 2+DM 2=MN 2；故∥正确；∥AB∥CD ，∥∥DEA=∥BAM ．∥∥AEF=∥AED ，∥BAM=180°-∥ABM-∥AMN=180°-∥MAN-∥AMN=∥AND ，∥∥AEF=∥ANM ，又∥MAN=∥FAE ，∥∥AMN∥∥AFE ，故∥正确；过A 作AP∥EF 于P ，∥∥AED=∥AEP ，AD∥DE ，∥AP=AD ，BD ∴与EF 相切；故∥正确；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20 ∥∥ANM=∥AEF ，而∥ANM 不一定等于∥AMN ，∥∥AMN 不一定等于∥AEF ，∥MN 不一定平行于EF ，故∥错误，故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．12．（2020·广东汕头市·九年级其他模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别是（﹣1，0）、（2，0）．点C 在函数 k y x= （x ＞0）的图象上，连结AC 、BC ．AC 交y 轴于点D ，现有以下四个结论：△ AC BC 3<+ ；△ ΔOBC ΔOAC S 2S = ；△若△C=90°，点C 的横坐标为1，则k =；△若 AC AD 9⋅= ，则△ABC=△C ．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C ∥三条边能构成三角形的条件是：任意两边之和大于第三边且两边之差小于第三边，所以AC BC 3-<，即AC BC 3<+，故 ∥ 正确；∥ ∥点A 、B 的坐标分别是（﹣1，0）、（2，0），∥OA=1，OB=2，设C （a ，b ），由题意可知：a 0>且b 0>；OBC 1SOB b b 2=⨯⨯=； OAC 11S AO b b 22=⨯⨯=； ΔOBC ΔOAC S 2S =，故∥正确；∥ 由题意可知：C （1，b ），∥C=90°；过点C 作AB 边的高交AB 于一点E ；AE2=；CE b=；AC==EB1=；BC==；根据三角形的面积相等可得：AC BC AB b⨯=⨯；代入数据解得和b=；，故∥正确；∥ 当∥ABC=∥C时，AB=AC=3；∥AC AD9⋅=.解得AD=3.这与题干矛盾，故∥错误；故∥∥∥正确；∥错误；故答案为：C.【点睛】此题考查了反比例函数的图象，反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的三边关系，利用数形结合思想处理函数图像的相关问题，同时注意逆推思想的应用.13．（2020·广西钦州市·九年级一模）如图，在正方形有ABCD中，E是AB上的动点，（不与A、B重合），连结DE，点A关于DE的对称点为F，连结EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH△DE交DG的延长线于点H，连接BH，那么BHAE的值为（）A．1BCD．2【答案】B如图，在线段AD上截取AM，使AM=AE，，∥AD=AB，∥DM=BE，∥点A关于直线DE的对称点为F，∥∥ADE∥∥FDE，∥DA=DF=DC，∥DFE=∥A=90°，∥1=∥2，∥∥DFG=90°，在Rt∥DFG和Rt∥DCG中，∥DF DC DG DG ⎧⎨⎩＝＝，∥Rt∥DFG∥Rt∥DCG（HL），∥∥3=∥4，∥∥ADC=90°，∥∥1+∥2+∥3+∥4=90°，∥2∥2+2∥3=90°，∥∥2+∥3=45°，即∥EDG=45°，∥EH∥DE，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22∥∥DEH=90°，∥DEH 是等腰直角三角形，∥∥AED+∥BEH=∥AED+∥1=90°，DE=EH ，∥∥1=∥BEH ，在∥DME 和∥EBH 中，∥1DM BE BEH DE EH ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∥∥DME∥∥EBH （SAS ），∥EM=BH ，Rt∥AEM 中，∥A=90°，AM=AE ，∥EM =，∥BH，即BH AE= 故选：B.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，等知识，解决本题的关键是作出辅助线，利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等．14．（2020·辽宁沈阳市·九年级其他模拟）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴分别交于A 、B 两点，点A 在（0，0）（-1，0）之间，抛物线与y 轴交于C 点，OA OC =．则由抛物线的特征写出如下结论：△0abc >；△240ac b ->；△0a b c -+>；△10ac b ++=．其中正确的个数是（）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 24A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B 观察图象可知，开口向上a >0，对称轴在右侧b <0，与y 轴交于负半轴c <0，∥abc >0，故正确；∥∥抛物线与x 轴有两个交点，∥2b −4ac >0,即4ac −2b <0，故错误；∥当x =−1时y =a −b +c ,由图象知(−1,a −b +c )在第二象限，∥a −b +c >0，故正确∥设C (0,c )，则OC =|c |，∥OA =OC =|c |，∥A (c ,0)代入抛物线得20ac bc c ++=，又c ≠0，∥ac +b +1=0，故正确；故正确的结论有∥∥∥三个，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线x 轴的交点，熟练掌握二次函数的图象与性质为解题关键．15．（2020·山东泰安市·九年级二模）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A -，顶点坐标()1,n ，与y 轴的交点在()0,2，()0,3之间（包含端点），则下列结论：△30a b +<；△213a -≤≤-；△对于任意实数m ，2a b am bm +≥+总成立；△关于x 的方程21ax bx c n ++=+有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C∥抛物线的开口向下∥a<0∥对称轴x=−b2a =1∥b=−2a∥3a+b=a∥3a+b<0，故∥正确；∥ A(−1,0)在抛物线上∥a−b+c=0∥3a +c=0∥c=−3a∥c 在2,3之间∥2≤−3a≤3 ∥−1≤a≤−23，故∥正确；∥顶点坐标()1,n ，且当x=1时，y 有最大值，最大值为n∥对于任意实数m ，a+b+c≥am 2+bm+c∥a+b≥am 2+bm ，故∥正确∥顶点坐标()1,n∥y=ax 2+bx+c 与y=n 只有一个交点∥y=ax 2+bx+c 与y=n+1没有交点，故∥错误原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 26故选C16．（2020·天津红桥区·九年级二模）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()10A -，，与y 轴的交点B 在点()02，与点()03，之间（不包括这两点），对称轴为直线2x =．有下列结论： △0abc ＜；△530a b c ++＞；△3255a --＜＜；△若点()19M a y -，，253N a y ⎛⎫⎪⎝⎭，在抛物线上，则12y y <．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C抛物线的开口向下，且与y 轴的交点B 在点()02，与点()03，之间（不包括这两点）0a ∴<，23c << 对称轴为22bx a =-=40b a ∴=->0abc ∴<，则结论∥正确由二次函数的对称性可知，抛物线与x 轴的另一个交点为(5,0)则当3x =时，0y >即930a b c ++>0a <40a ∴<453053a a b c a b c ∴+++<+++，即9353a b c a b c ++<++53930a b c a b c ∴++>++>，则结论∥正确将点()10A -，代入抛物线得：0a b c -+=，即c b a =-4b a =-45c a a a ∴=--=-又23c <<253a ∴<-< 解得3255a -<<-，则结论∥正确 ()19M a y -，，253N a y ⎛⎫⎪⎝⎭，由结论∥可知，3255a -<<- 1827955a ∴<-<，52133a -<<- 由对称性可知，当543x a =-时，2y y = 52133a -<<- 1454533a ∴<-< 由二次函数的性质可知，当2x ≥时，y 随x 的增大而减小虽然9a -和543a -均大于2，但它们的大小关系不能确定所以1y 与2y 的大小不能确定，则结论∥错误综上，正确结论的个数是3个故选：C ．17．（2020·云南昆明市·九年级二模）如图所示，菱形ABCD 的顶点A 在反比例函数y =5x (x ＞0)的图象上，函数y =k x(k ＞5，x ＞0)的图象关于直线AC 对称，且经过点B 、D 两点．若AB =2，△DAB =30°，如下结论：△O 、A 、C 三点在同一直线上；△点A ；△点D 的坐标是；△比例系数k 的值为10+( )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 28A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△【答案】B 如图，连接OC 、AC ，过点A 作AE x ⊥轴于点E ，过点D 作DF x ⊥轴于点F ，延长DA ，与x 轴交于点G ，则//AE DF 函数k y x=的图象关于直线AC 对称 ∴O 、A 、C 三点在同一直线上，且45COE ∠=︒，则结论∥正确OA AE ∴=设(0)OE AE a a ==>，则点(,)A a a将(,)A a a 代入函数5y x=得：5a a =解得a =a =A ∴即点A∥不正确四边形ABCD 是菱形，30DAB ∠=︒，2AB =1152OAG DAC DAB ∴∠=∠=∠=︒，2AD = 45COE OAE ︒=∠=∠451530OAE OA EAG G ∠-∠=︒-=︒=∴∠︒在Rt AEG 中，tan EG EAG AE ∠=tan30=︒=解得3EG =23AG EG ∴==23DG AG AD =+=+ //AE DF30EAG FDG ∴=∠=∠︒则在Rt DFG 中，121GF DG =+=，cos DF FDG DG ∠=cos302)DF DG ∴=︒==1133OF OE EF OE GF EG =+=+-=+-=∴点D 的坐标为D ，则结论∥不正确点D 在函数k y x=的图象上=解得1)5k =⨯=+∥不正确综上，不正确的结论是∥∥∥故选：B ．18．（2020·湖北武汉市·九年级其他模拟）如图，反比例函数(0)k y x x=>的图象分别与矩形OABC 的边AB ，BC 相交于点D ，E ，与对角线OB 交于点F ，以下结论：原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 30 △若OAD △与OCE △的面积和为2，则2k =；△若B 点坐标为(4,2)，:1:3AD DB =，则1k =；△图中一定有ADCEBD BE =；△若点F 是OB 的中点，且6k =，则四边形ODBE 的面积为18．其中一定正确个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C解：∥D 、E 均在反比例函数图象上，OAD OCE S S ，又OAD 与OCE ∆的面积和为2，1OAD OCE S S ，2k ∴=；故本选项正确；∥B 点坐标为(4,2)，4AB ∴=，2AO =，:1:3AD DB ，1AD ∴=，2AO =，122k ∴=⨯=；故本选项错误；∥OAD 与OCE ∆的面积相等， ∴1122AD AO OC CE ， ∴OC AO AD CE ， ∴AB CB AD CE ， ∴AB AD CB CEADCE ，∴DB BE AD CE ， ∴AD CE BD BE=，故本选项正确； ∥过F 点作FG OC ⊥交OC 于G 点，过F 点作FHOA 交OA 于H 点， 6k ， 6OGFHS 四边形，又∥点F 是OB 的中点，6424ABCOS 四边形， 1632AOD CEOS S ， 243318ODBE S 四边形，故本选项正确；总上所述，正确的有3个，故选：C ．19．（2020·云南昆明市·九年级二模）如图，在反比例函数3y x=的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第二象限内有一点C ，满足AC BC =，当点A 运动时，点C 始终在函数k y x=的图象上运动，若tan 2CAB ∠=，则k 的值为（）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！32 A ．12-B ．6-C ．18-D ．24-【答案】A 解：连接OC ，作CM∥x 轴于M ，AN∥x 轴于N ，如图，∥A 、B 两点为反比例函数与正比例函数的两交点，∥点A 、点B 关于原点对称，∥OA=OB ，∥CA=CB ，∥OC∥AB ，在Rt∥AOC 中，tan∥CAO=2CO AO=， ∥∥COM+∥AON=90°，∥AON+∥OAN=90°，∥∥COM=∥OAN ，∥Rt∥OCM∥Rt∥OAN ， ∥2)4(COM OAN S CO S OA ==，而13223OAN S =⨯=， ∥S ∥CMO =6，∥12|k|=6，而k ＜0， ∥k=-12．故选：A ．20．（2020·绵阳市富乐实验中学九年级期中）如图，正方形ABCD 中，点F 是BC 边上一点，连接AF ，以AF 为对角线作正方形AEFG ，边FG 与正方形ABCD 的对角线AC 相交于点H ，连接DG ．以下四个结论：△EAB GAD ∠=∠；△AFC AGD ∆∆∽；△22AE AHAC =⋅；△DG AC ⊥．其中正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 解：∥∥四边形AEFG 和四边形ABCD 均为正方形∥∥EAG=∥BAD=90°又∥∥EAB=90°-∥BAG ，∥GAD=90°-∥BAG∥∥EAB=∥GAD∥∥正确∥∥四边形AEFG 和四边形ABCD 均为正方形∥AD=DC ，AG=FGAD ，AG∥AC AD =，AF AG= 即AC AF AD AG= 又∥∥DAG+∥GAC=∥FAC+∥GAC∥∥DAG=∥CAF∥AFC AGD ∆∆∽∥∥正确∥∥四边形AEFG 和四边形ABCD 均为正方形，AF 、AC 为对角线 ∥∥AFH=∥ACF=45°又∥∥FAH=∥CAF∥∥HAF∥∥FAC ∥AF AC AH AF= 即2·AF AC AH =原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 34 又AE∥22AE AH AC =⋅∥∥正确∥由∥知AFC AGD ∆∆∽又∥四边形ABCD 为正方形， AC 为对角线 ∥∥ADG=∥ACF=45°∥DG 在正方形另外一条对角线上 ∥DG∥AC∥∥正确故选：D ．。

决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品(上海专版) 专题01 创新题型(教师版含解析)

专题01创新题型模块一：定义应用例1.定义[x ]为不超过x 的最大整数，如[3.6] = 3，[ 3.6-] = 4-．对于任意实数x ，下列式子错误的是( ) A ．[x ] = x (x 为整数)B ．0[]1x x ≤-<C ．[][][]x y x y +≤+D ．[][]n x n x +=+(n 为整数)【难度】★★ 【答案】C ．【解析】由反例[][3.8 2.7] 6.56+==，[3.8][2.7]325+=+=可知C 错误．【总结】本题考查取整函数[x ]的定义及应用．例 2.在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (x ，y )和Q (x ，'y )，给出如下定义：若()()0'0y x y y x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，则称点Q 为点P 的“可控变点”．如果点(1-，2-)为点M 的可控变点，则点M 的坐标为___________．【难度】★★ 【答案】(-1，2)【解析】由题意得，当0<x 时，'=-y y ，且x 不变，所以当1x =-，时'2=y ，即点M 坐标为(1-，2)．【总结】把握好“可控变点”的定义，找出'y 与y 两者之间存在的关系．例3.定义一种新运算：2x y x y x +*=，如2212122+⨯*==，则()()421**-=______．【难度】★★ 【答案】0．【解析】先计算()4224224+⨯*==，再计算()()2122102+-⨯*-==．【总结】根据运算法则进行运算，注意运算顺序．例4.已知1m x =+，2n x =-+，若规定()()11m n m n y m n m n ⎧+-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，则y 的最小值为( )A ．0B ．1C ．1-D ．2【难度】★★ 【答案】B ．【解析】把1m x =+，2n x =-+代入，得到1221222⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩x x y x x ，当12≥x 时，1≥y ；当12<x 时，1>y ．所以y 的最小值是1，故选B ．【总结】考查分段函数求最值的问题．例5.定义运算“*”：规定x y ax by *=+(其中a 、 b 为常数)，若113*=，()111*-=，12*=______．【难度】★★ 【答案】4．【解析】把113*=，()111*-=代入运算法则，得31+=⎧⎨-=⎩a b a b ，解得：21=⎧⎨=⎩a b ，所以12*=2×1+1×2=4．【总结】根据新运算，求出a 、b 的值是解答本题的关键．例 6.对于实数m 、n ，定义一种运算“*”为：m n mn n *=+．如果关于x 的方程()14x a x **=-有两个相等的实数根，那么满足条件的实数a 的值是______．【难度】★★ 【答案】0．【解析】根据运算法则，()*=+a x ax x ，()()*+=+++x ax x x ax x ax x ，整理得()()211104++++=a x a x ，此方程有两个相等的实数根，则()()210110+≠⎧⎪⎨=+-+=⎪⎩a a a ，解得：1201a a ==-，(舍)，所以a=0．【总结】由运算法则整理得一元二次方程的一般形式，再结合一元二次方程根的判别式进行求解，注意二次项系数不能为零．例7.(2020黄浦区一模)定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD 中，对角线BD 是它的相似对角线，∠ABC =70°，BD 平分∠ABC ，那么∠ADC =____________度【答案】145【分析】先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在△ABD 和△DBC 中，已知∠ABD=∠CBD ，所以需另一组对应角相等，若∠A=∠C ，则△ABD 与△DBC 全等不符合题意，所以必定有∠A=∠BDC,再根据四边形的内角和为360°列式求解. 【详解】解：根据题意画出示意图，已知∠ABD=∠CBD ， △ABD 与△DBC 相似，但不全等， ∴∠A=∠BDC ，∠ADB=∠C.又∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°， ∴2∠ADB+2∠BDC+∠ABC=360°， ∴∠ADB+∠BDC=145°，即∠ADC=145°.【点睛】对于新定义问题，读懂题意是关键.例8.(2020杨浦区一模).在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF ．如果△DEF 与△ABC 相似(相似比不为1)，那么△DEF 的面积为______．【答案】1；【分析】根据小正方形的边长，分别求出ABC 和DEF 三边的长，然后判断它们是否对应成比例，再用三角形面积公式求解即可. 【详解】如图，∵1AB BC ==，，AC∴:?:?AB BC AC =∵DE =2EF =，DF =∴::DE EF DF ==∴:?:?::AB BC AC DE EF DF = ∴~ABC DEF ∴12112DEFS=⨯⨯= 故答案为：1【点睛】本题考查了在网格中画与已知三角形相似的三角形、三角形全等的判定以及三角形面积公式，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键.例9.我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在Rt ABC ∆和Rt ACD ∆中，90ACB ACD ∠=∠=︒，点D 在边BC 的延长线上，如果BC = DC = 3，那么ABC ∆和ACD ∆的外心距是______．【难度】★★ 【答案】3．【解析】直角三角形的外心为斜边的中点，所以ABC ∆和ACD ∆ 的外心分别为AB 和AD 的中点，这两个三角形的外心距即∆ABD 的中位线，长度是132=BD ．【总结】本题考查的知识点有直角三角形的外心、三角形的中位线．例10.定义[a ，b ，c ]为函数2y ax bx c =++的“特征数”．如：函数232y x x =+-的“特征数”是[1，3，2-]，函数4y x =-+的“特征数”是[0，1-，4]．如果将“特征数”是[2，0，4]的函数图像向下平移3个单位，得到一个新函数图像，那么这个新函数的解析式是__________________．【难度】★★ 【答案】221=+y x ．【解析】由题意得“特征数”是[2，0，4]的函数解析式为224=+y x ，向下平移3个单位可得新函数的解析式为：221=+y x ．【总结】特征数[a ，b ，c ]即为二次函数的三个系数，已知特征数则可求得二次函数的解析式，再根据抛物线的平移法则“上加下减、左加右减”进行解题．例11.在平面直角坐标系xOy 中，C 的半径为r ，点P 是与圆心C 不重合的点，给出如下定义：若点'P 为射线CP 上一点，满足2'CP CP r =，则称点'P 为点P 关于C 的反演点．如图为点P 及其关于C 的反演点'P 的示意图．请写出点M (12，0)关于以原点O 为圆心，以1为半径的O 的反演点'M 的坐标．AB D【难度】★★★【答案】(2，0)．【解析】由反演点的定义可得2'=OM OM r ，即21'12=OM ，解得：'2=OM ，又点'M 在x 轴上，所以点'M 的坐标为(2，0)．【总结】掌握“反演点”的定义中，两点之间存在的关系．例12.如图1，对于平面上不大于90°的MON ∠，我们给出如下定义：如果点P 在MON ∠的内部，作PE OM ⊥，PF ON ⊥，垂足分别为点E 、F ，那么称PE + PF 的值为点P 相对于MON ∠的“点角距离”，记为d (P ，MON ∠)．如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点P 在第一象限内，且点P 的横坐标比纵坐标大1，对于xOy ∠，满足d (P ，xOy ∠)= 5，点P 的坐标是__________．【难度】★★★ 【答案】(3，2)．x yP' CPO ENF OPM 图1yx-11-11O图2【解析】过点P 分别作PA ⊥x 轴，PB ⊥y 轴， ∵点P 在第一象限内且横坐标比纵坐标大1， ∴设PA =a ，则PB =a +1， ∵d (P ，xOy ∠)= 5，可得：PA +PB =5，即a +a +1=5，解得：a =2，所以点P 的坐标为(3,2)．【总结】本次考查“点角距离”的定义，利用定义求解相关点的坐标．模块二：阅读理解例1.一组数1，1，2，x ，5，y ，…，满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y 表示的数为______．【难度】★ 【答案】8．【解析】由题得，x =1+2=3，y =3+5=8．【总结】本题难度不大，运算也比较简单．例2.四个数a 、b 、c 、d 排列成a b c d，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：a b ad bc c d=-．若331233x x x x +-=-+，则x =______．【难度】★★ 【答案】1．【解析】由运算法则得()()22333333+-=+---+x x x x x x ，整理得：1212=x ，解得：x =1．【总结】由运算法则整理，再解关于x 的方程即可．例3.对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定符号{max a ，}b 表示a 、b 中的较大值，如：{max 2，}44=，按照这个规定，方程{max x ，}21x x x+-=的解为( )A ．1B ．2-C ．11D ．11-【难度】★★ 【答案】D ．【解析】当x >0时，{}max x x x -=，，解方程21+=x x x，得：1=±x所以1=+x 当x <0时，{}max x x x -=-，，解方程21x x x+-=，得：121==-x x ，所以1=-x ；综上，1=x 1-，故选D ．【总结】本题注意分类讨论，根据定义进行取值，再解关于x 的方程．例4.我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的腰长为2，“内角正度值”为45°，那么该三角形的面积等于______．【难度】★★ 【答案】1或2．45x +，45，则180x =，解得：45x =，此三角形为等腰直角三角形， ∴此三角形的面积=12当顶角为x 时，则4545180x x x ++++=，解得：30x =．如图，2==AB AC ，30A ∠=，作CD ⊥AB ，在Rt ADC ，∵30A ∠=，∴112==CD AC ， 211⨯=．综上所述，该三角形的面积等于1或2．【总结】本题注意分类讨论．根据“内角正度值”的定义求出三角形各内角的度数，再进行面积的求解．例 5.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三D CBA角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt ABC ∆，90C ∠=︒，较短的一条直角边边长为1，如果Rt ABC ∆是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于．【难度】★★【解析】“有趣中线”有三种情况：若“有趣中线”为斜边AB 上的中线，直角三角形的斜边中点到三顶点距离相等，不合题意；若“有趣中线”为BC 边上的中线，根据斜边大于直角边，矛盾，不成立；若“有趣中线”为另一直角边AC 上的中线，如图所示，BC =1，设2BD x =，则CD x =．在Rt BCD 中，勾股定理得1+()222=x x ，解得：xBD =2x．【总结】本题考查“有趣中线”的定义，注意分类讨论．例6.如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1 : 2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当“协调边”为3时，它的周长为______．【难度】★★ 【答案】8或10．【解析】由题意可知，存在两种情况：(1)一组邻边长分别为3和1，周长=8； (2)一组邻边长分别为3和2，周长=10．【总结】本题考查“协调平行四边形”的定义及平行四边形的性质．例7.设正n 边形的半径为R ，边心距为r ，如果我们将Rr的值称为正n 边形的“接近度”，那么正六边形的“接近度”是______(结果保留根号)．DCBA【难度】★★【解析】设正六边形的边长为a ，则半径为R=a ，边心距为，所以R r．【总结】本题考查“接近度”的定义及正六边形的性质．例8.将关于x 的一元二次方程20x px q ++=变形为2x px q =--，就可将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知210x x --=，可用“降次法”求得431x x --的值是____________．【难度】★★ 【答案】1．【解析】由210x x --=，得21=+x x ，代入431x x --=()221311+--=-=x x x x ．【总结】本题运用“降次”及“整体代入”的思想进行解题．例9.在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线y = x 平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆A 的圆心为(2-，3)A 的所有“孪生圆”的圆心坐标为_________．【难度】★★【答案】(0，5)或(-4，1)．【解析】由题意得，连心线所在直线为5=+y x ，因为两圆外切，设另一圆心为圆B ，所以圆心距=AB ，设(),5+B x x ，所以AB 解得：10=x ，24=-x ，所以圆心B 的坐标为(0,5)或(-4,1)．【总结】本题考查了“孪生圆”的定义、一次函数的图像以及圆与圆的位置关系．例10.当两个圆有两个公共点，且其中一个圆的圆心在另一圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．如果1O 、2O 半径分别3和1，且两圆“内相交”，那么两圆的圆心距d 的取值范围是___________．【难度】★★ 【答案】23<<d ．【解析】两个圆有两个公共点即两圆相交，可得24<<d ，当小圆的圆心恰好在大圆上时，3=d ，所以内相交的圆心距d 取值范围是23<<d ．【总结】本题考查圆与圆的位置关系及“内相交”的定义．模块三：规律探究例1.观察下列各数：1，43，97，1615，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为( )A ．2531B ．3635C ．47D ．6263【难度】★★ 【答案】C ．【解析】根据题意，可知规律为221n n -，故第6个数为：3663，化简为47，故选C ．【总结】本题考查针对给定的一列数字找规律．例2.按一定规律排列的一列数：12，22，32，52，82，132，…．若x 、y 、z 表示这列数中的连续三个数，猜测x 、y 、z 满足的解析式是____________．【难度】★★ 【答案】=xy z ．【解析】由给出的这一列数字，可得出规律：从第三个数字开始，每个数等于它两个数的乘积，所以=xy z ．【总结】本题考查针对给定的一列数字找规律．例3.在平面直角坐标系中，有三个点A (1，1-)、B (1-，1-)、C (0，1)，点P (0，2)关于点A 的对称点为1P ，1P 关于点B 的对称点为2P ，2P 关于点C 的对称点为3P ，按此规律，继续以点A 、B 、C 为对称中心重复前面的操作，依次得到点4P ，5P ，6P ，…，则点2017P 的坐标为( ) A ．(0，0) B ．(0，2)C ．(2，4-)D ．(4-，2)【难度】★★ 【答案】C ．【解析】由题意得1P (2，-4)、2P (-4，2)、3P (4，0)、4P (-2，-2)、5P (0，0)，6P (0，2)，每6个数形成一个周期，2017÷6=336……1，所以2017P 的坐标和1P 的坐标相同，故选C ．【总结】本题考查了点的对称问题及周期问题的处理．例4.如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为2S ，…，按照此规律继续下去，则2017S 的值为_____________．【难度】★★★【答案】20141()2．【解析】由题意得1S =2×2=4=22，2S 12=，3S =111⨯==20，…… 由以上规律，可知2017S =2-201420141()2=．【总结】本题考查了找规律在几何图形中的应用．1.(2020松江二模)如果一个三角形中有一个内角的度数是另外两个内角度数差的2倍，我们就称这个三角形为“奇巧三角形”.已知一个直角三角形是“奇巧三角形”，那么该三角形的最小内角等于度.【分析】设直角三角形的最小内角为x ，另一个内角为y ，根据三角形的内角和列方程组即可得到结论．【解答】解：设直角三角形的最小内角为x ，另一个内角为y ，由题意得，，解得：，答：该三角形的最小内角等于22.5°，故答案为：22.5．2．(2020静安二模)如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线称为这个四边形的“等分周长线”．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，DC＝AD，∠B是锐角，cot B＝，AB＝17．如果点E在梯形的边上，CE是梯形ABCD的“等分周长线”，那么△BCE的周长为．【分析】作CH⊥AB于H，设BH＝5a，证明四边形ADCH为矩形，得到AD＝CH＝12a，根据题意求出a，根据勾股定理求出BC，根据“等分周长线”计算，得到答案．【解答】解：作CH⊥AB于H，设BH＝5a，∵cot B＝，∴＝，∴CH＝12a，∵AB∥CD，∴∠D＝∠A＝90°，又CH⊥AB，∴四边形ADCH为矩形，∴AD＝CH＝12a，CD＝AH，∵DC＝AD，∴AH＝CD＝12a，由题意得，12a+5a＝17，解得，a＝1，∴AD＝CD＝AH＝12，BH＝5，在Rt△CHB中，BC＝＝13，∴四边形ABCD的周长＝12+12+17+13＝54，∵CE是梯形ABCD的“等分周长线”，∴点E在AB上，∴AE＝17+13﹣27＝3，∴EH＝12﹣3＝9，由勾股定理得，EC＝＝15，∴△BCE 的周长＝14+13+15＝42，故答案为：42．3.(2020嘉定二模)定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足∠α=2∠β,那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”，如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个【考查内容】新定义题型，黄金三角形【评析】中等为底角时，用内角和公式求得∠β= 36，此时为黄金三角形，腰长与底边用内角和公式求得∠β= 45，此时为等腰直角三角【答案】22或215+4.(2020长宁二模)如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为5，这个圆的一个联络四边形是边长为2的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是．【分析】先根据题意画出图形，连接BD 、OD ，设AM ＝x ，根据AD 2﹣AM 2＝OD 2﹣OM 2，列出方程，求出x ，再根据OC ＝OA ﹣AM ﹣CM 计算即可．【解答】解：根据题意画图如下：连接BD ，与AC 交与点M ， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠AMD ＝∠DMC ＝90°，∠ACD ＝∠ACB ，CD ＝CD ，AM ＝CM ， ∴DM 2＝AD 2﹣AM 2，设AM＝x，则DM2＝(2)2﹣x2，连接OD、OB，在△OCD和△OCB中，，∴△OCD≌OCB(SSS)，∴∠OCD＝∠OCB，∴∠ACD+∠OCD＝∠ACB+∠OCB＝180°，∴OC与AC在一条直线上，∴△OMD是一个直角三角形，OM＝OA﹣AM＝5﹣x，∴DM2＝OD2﹣OM2，＝52﹣(5﹣x)2，∴(2)2﹣x2＝52﹣(5﹣x)2，x＝2，∴AM＝CM＝2，∴OC＝OA﹣AM﹣CM＝5﹣2﹣2＝1．故答案为：1．5.(2020青浦二模)小明学习完《相似三角形》一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似．他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似分割线．如图1、图2，直线CG、DH分别是两个不相似的Rt△ABC和Rt△DEF的相似分割线，CG、DH 分别与斜边AB、EF交于点G、H，如果△BCG与△DFH相似，AC＝3，AB＝5，DE＝4，DF＝8，那么AG＝．【分析】先由勾股定理得出BC的值，再由△BCG∽△DFH列出比例式，设AG＝x，用含x 的式子表示出DH；按照相似分割线可知，△AGC∽DHE，但要先得出两个相似三角形的边或角是如何对应的，再根据相似三角形的性质列出比例式，解得x值即可．解：∵Rt△ABC，AC＝3，AB＝5，∴由勾股定理得：BC＝4，∵△BCG∽△DFH，∴＝，已知DF＝8，设AG＝x，则BG＝5﹣x，∴＝，∴DH＝10﹣2x，∵△BCG∽△DFH，∴∠B＝∠FDH，∠BGC＝∠CHF，∴∠AGC＝∠DHE，∵∠A+∠B＝90°，∠EDH+∠FDH＝90°，∴∠A＝∠EDH，∴△AGC∽DHE，∴＝，又DE＝4，∴＝，解得：x＝3，经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意．∴AG＝3．故答案为：3．6.(2020杨浦二模) 定义：对于函数y ＝f (x )，如果当a ≤x ≤b 时，m ≤y ≤n ，且满足n ﹣m ＝k (b ﹣a )(k 是常数)，那么称此函数为“k 级函数”．如：正比例函数y ＝﹣3x ，当1≤x ≤3时，﹣9≤y ≤﹣3，则﹣3﹣(﹣9)＝k (3﹣1)，求得k ＝3，所以函数y ＝﹣3x 为“3级函数”．如果一次函数y ＝2x ﹣1(1≤x ≤5)为“k 级函数”，那么k 的值是．【分析】根据一次函数y ＝2x ﹣1(1≤x ≤5)为“k 级函数”解答即可．【解答】解：因为一次函数y ＝2x ﹣1(1≤x ≤5)为“k 级函数”，可得：k ＝2，故答案为：2．7.定义：如果二次函数2111y a x b x c =++(10a ≠，1a 、1b 、1c 是常数)与2222y a x b x c =++(20a ≠，2a 、2b 、2c 是常数)满足120a a +=，12b b =，120c c +=，那么称这两个函数互为“旋转函数”．若函数2423y x mx =-+-与22y x nx n =-+互为“旋转函数”，则()2017m n +=________．【难度】★★ 【答案】-1．【解析】由“旋转函数”的定义得42320⎧=-⎪⎨⎪-+=⎩m nn ，解得：32=-⎧⎨=⎩m n ，所以()2017m n +=(-1)2017=-1．【总结】本题考查“旋转函数”的定义．8.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若Rt ABC ∆是“好玩三角形”，则tan A =_______．【难度】★★【解析】由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此斜边上的中线不满足；故只能是直角边上的中线等于此直角边的长，如图所示，设BD =2x ，CD =x ，则=BC ，在Rt ABC 中，AC =2x，=BC ．当∠A为较小锐角时，tan A =当∠A为较大锐角时，tan A =．【总结】本题考查“好玩三角形”的定义，注意分类讨论．9.我们把四边形两条对角线中点的连线段称为“奇异中位线”．现有两个全等三角形，边长分别为3cm 、4cm 、5cm ．将这两个三角形相等的边重合拼成凸四边形，如果凸四边形的“奇异中位线”的长不为0，那么“奇异中位线”的长是______cm ．【难度】★★【答案】710．【解析】如图，将两个全等的直角ABC 与DEF 的斜边AC 与DF 重合，拼成凸四边形ABCE ，AC 与BE 交于点O ，M 为AC 的中点．∵△ABC ≌△DEF ，易证AO ⊥BE ．在Rt AOB 中，AO =AB •cos ∠BAO =95，因为1522==AM AC ，所以5972510=-=-=OM AM OA ．即奇异中位线的长是710．【总结】本题考查了“奇异中位线”的定义，注意根据题目要求画出合适的图形．10.如果一个二次函数的二次项系数为1，那么这个函数可以表示为2y x px q =++，我们将[p ，q ]称为这个函数的特征数．例如二次函数242y x x =-+的特征数是[4-，2]．请根据以上的信息探究下面的问题：如果一个二次函数的特征数是[2，3]，将这个函数的图像先DCBA向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么此时得到的图像所对应的函数的特征数为______．【难度】★★ 【答案】[6，8]．【解析】特征数是[2，3]的二次函数为223=++y x x ，即2(1)2=++y x ，将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到的二次函数为2(3)1=+-y x ，即268=++y x x ，所以特征数为[6，8]．【总结】本题考查了“特征数”的定义及二次函数图像的平移．11.如图1，点P 是以r 为半径的圆O 外一点，点'P 在线段OP 上，若满足2'OP OP r =，则称点'P 是点P 关于圆O 的反演点．如图2，在Rt ABO ∆中，90B ∠=︒，AB = 2，BO = 4，圆O 的半径为2，如果点'A 、'B 分别是点A 、B 关于圆O 的反演点，那么''A B 的长是______．【难度】★★★【答案】5．【解析】由反演点的定义，可知：2'=OA OA r ，2'=OB OB r ，则'=OA OA 'OB OB ，即''=OA OB OB OA ，又∠=∠O O ，可证''OA B ∽OBA ， ∴'''=OB A B OA AB ，即225''=A B ，解得：''A B =5．【总结】本题考查了“反演点”的定义，以及相似三角形的判定与性质．12.正方形111A B C O ，2221A B C C ，3332A B C C ，…，按如图所示的方式放置．点1A ，2A ，3A ，…和点1C ，2C ，3C ，…，分别在直线y kx b =+(0k >)和x 轴上，已知点1B (1，1)，2B (3，2)，OPP'BOA图1 图2则点6B 的坐标是__________，点n B 的坐标是__________．【难度】★★★【答案】(63，32)，1(212)nn--，．【解析】由1A (0，1)、2A (1，2)，可求得直线解析式为1=+y x ．可求得3A (3，4)、3B (7，4)，4A (7，8)、 4B (15，8)，5A (15，16)、5B (31，16)， 6A (31，32)、6B (63，32)， ……，按照此规律可得n B 1(212)n n --，．【总结】本题考查了一次函数与几何图形背景下找出点坐标的规律．13.对于平面直角坐标系 xOy 中的点P (a ，b )，若点'P 的坐标为(ba k+，ka b +)(其中k 为常数，且0k ≠)，则称点'P 为点P 的“k 属派生点”．例如：P (1，4)的“2属派生点”为'P (412+，214⨯+)，即'P (3，6)．若点P 的“k 属派生点”'P 的坐标为(3，3)，请写出一个符合条件的点P 的坐标：____________．【难度】★★★ 【答案】(2，1)．【解析】由题意得33⎧+⎪=⎨⎪+=⎩b a k ka b ，整理得：33+=⎧⎨+=⎩ka b k ka b ，所以1=k ，只要满足3+=a b 即可，可取点P (2，1)．x yO【总结】本题考查了“派生点”的定义，关键是求出k 的值，答案不唯一．14.如图，正方形ABCD 的边长为1，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，…，如此下去，第n 个正方形的边长为__________．【难度】★★★ 【答案】12-n ．【解析】第一个正方形的边长为1，第二个正方形的边长为2，第三个正方形的边长为2，依次规律，第n 个正方形的边长为12-n ．【总结】本题考查了几何图形背景下线段长度上存在的规律．A BC D E FGH。

上海市2021年中考数学真题试卷(Word版+答案+解析)

上海市2021年中考数学试卷一、单选题（共6题；共12分）1.下列实数中，有理数是（）A. √12B. √13C. √14D. √152.下列单项式中， a 2b 3 的同类项是（）A. a 3b 2B. 2a 2b 3C. a 2bD. ab 33.将抛物线 y =ax 2+bx +c(a ≠0) 向下平移两个单位，以下说法错误的是（）A. 开口方向不变B. 对称轴不变C. y 随x 的变化情况不变D. 与y 轴的交点不变4.商店准备一种包装袋来包装大米，经市场调查以后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（）A. 2kg /包B. 3kg /包C. 4kg /包D. 5kg /包5.如图，已知平行四边形ABCD 中， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，E 为 AB 中点，求 12a +b ⃗ = （）A. EC⃗⃗⃗⃗⃗ B. CE ⃗⃗⃗⃗⃗ C. ED ⃗⃗⃗⃗⃗ D. DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 6.如图，已知长方形 ABCD 中， AB =4,AD =3 ，圆B 的半径为1，圆A 与圆B 内切，则点 C,D 与圆A 的位置关系是（）A. 点C在圆A外，点D在圆A内B. 点C在圆A外，点D在圆A外C. 点C在圆A上，点D在圆A内D. 点C在圆A内，点D在圆A外二、填空题（共12题；共12分）7.计算：x7÷x2=________．8.已知f(x)=6x，那么f(√3)=________．9.已知√x+4=3，则x=________．10.不等式2x−12<0的解集是________．11.70°的余角是________．12.若一元二次方程2x2−3x+c=0无解，则c的取值范围为________．13.有数据1,2,3,5,8,13,21,34，从这些数据中取一个数据，得到偶数的概率为________．14.已知函数y=kx经过二、四象限，且函数不经过(−1,1)，请写出一个符合条件的函数解析式________．15.某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本为5元/千克，现以8元/千克卖出，赚________元．16.如图，已知S△ABDS△BCD =12，则S△BOCS△BCD=________．17.六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积________．18.定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点P,OP=2，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为________．三、解答题（共7题；共60分）19.计算：912+|1−√2|−2−1×√820.解方程组：{x+y=3x2−4y2=021.已知在△ABD中，AC⊥BD,BC=8,CD=4，cos∠ABC=45，BF为AD边上的中线．（1）求AC的长；（2）求tan∠FBD的值．22.现在5G手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部5G手机，三个月生产情况如下图．（1）求三月份共生产了多少部手机?（2）5G手机速度很快，比4G下载速度每秒多95MB，下载一部1000MB的电影，5G比4G要快190秒，求5G手机的下载速度．23.已知：在圆O内，弦AD与弦BC交于点G,AD=CB,M,N分别是CB和AD的中点，联结MN,OG．（1）求证：OG⊥MN；（2）联结AC,AM,CN，当CN//OG时，求证：四边形ACNM为矩形．24.已知抛物线y=ax2+c(a≠0)过点P(3,0),Q(1,4)．（1）求抛物线的解析式；（2）点A在直线PQ上且在第一象限内，过A作AB⊥x轴于B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角ABC．①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；②若C落在抛物线上，求C的坐标．25.如图，在梯形ABCD中，AD//BC,∠ABC=90°,AD=CD,O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于E．（1）当点E在边CD上时，①求证：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求AD的值；BC（2）若DE=2,OE=3，求CD的长．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】有理数及其分类【解析】【解答】解：A、√12=√22∵√2是无理数，故√12是无理数B、√13=√33∵√3是无理数，故√13是无理数C、√14=12为有理数D、√15=√55∵√5是无理数，故√15是无理数故答案为：C【分析】先将各项二次根式化为最简二次根式，然后根据整数和分数统称有理数，有限小数和无限循环小数都可以化为分数；无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率π都是无理数；据此判断即可.2.【答案】B【考点】同类项【解析】【解答】∵a的指数是3，b的指数是2，与a2b3中a的指数是2，b的指数是3不一致，∴a3b2不是a2b3的同类项，不符合题意；∵a的指数是2，b的指数是3，与a2b3中a的指数是2，b的指数是3一致，∴2a2b3是a2b3的同类项，符合题意；∵a的指数是2，b的指数是1，与a2b3中a的指数是2，b的指数是3不一致，∴a2b不是a2b3的同类项，不符合题意；∵a的指数是1，b的指数是3，与a2b3中a的指数是2，b的指数是3不一致，∴ab3不是a2b3的同类项，不符合题意；故答案为：B【分析】所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，据此逐一判断即可.3.【答案】D【考点】二次函数图象的几何变换【解析】【解答】将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y随x的变化情况不变；与y轴的交点改变故答案为：D．【分析】由于抛物线上下平移后形状不变，开口方向不变、对称轴不变、从而可得增减性不变，但与y 轴的交点改变，据此判断即可.4.【答案】A【考点】条形统计图【解析】【解答】由图可知，选择1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的人数最多，∴选择在1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的包装最合适．故答案为：A．【分析】最合适的包装即是顾客购买最多的包装，据此判断即可.5.【答案】A【考点】平面向量【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，E为AB中点，∴12a+b⃗=12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ =EB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ =EC⃗⃗⃗⃗⃗故答案为：A．【分析】根据平行四边形的性质及线段的中点，可得12a+b⃗=12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ =EB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ =EC⃗⃗⃗⃗⃗ ，据此判断即可.6.【答案】C【考点】点与圆的位置关系【解析】【解答】∵圆A与圆B内切，AB=4，圆B的半径为1∴圆A的半径为5∵AD=3<5∴点D在圆A内在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=√42+32=5∴点C在圆A上故答案为：C【分析】根据两圆内切，可得圆A的半径为5，由点与圆的位置关系可得点D在圆A内，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC=5，利用点与圆的位置关系可得点C在圆A上，据此判断即可.二、填空题7.【答案】x5【考点】同底数幂的除法【解析】【解答】∵x7÷x2=x5,故答案为: x5．【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此计算即可.8.【答案】2√3【考点】代数式求值【解析】【解答】解：∵f(x)=6x，∴f(√3)==2√3，√3故答案为：2√3．【分析】将x=√3代入，求出函数值即可.9.【答案】5【考点】无理方程【解析】【解答】解：√x+4=3，两边同平方，得x+4=9，解得：x=5，经检验，x=5是方程的解，∴x=5，故答案是：5．【分析】将方程两边同平方，化为一元一次方程，求解并检验即可.10.【答案】x<6【考点】解一元一次不等式【解析】【解答】2x−12<02x<12x<6故答案为：x<6．【分析】利用移项、系数化为1即可求出解集.11.【答案】20°【考点】余角、补角及其性质【解析】【解答】70°的余角是90°- 70°= 20°故答案为：20°．【分析】互余的两个角的和等于90°，据此解答即可.12.【答案】c>98【考点】一元二次方程根的判别式及应用【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程2x2−3x+c=0无解，∵a=2，b=−3，c=c，∴△=b2−4ac=(−3)2−4×2c<0，，解得c>98∴c的取值范围是c>9．8故答案为：c>9．8【分析】由关于x的一元二次方程2x2−3x+c=0无解，可得△＜0，据此解答即可.13.【答案】38【考点】概率公式【解析】【解答】根据概率公式，得偶数的概率为 38 ，故答案为： 38 ．【分析】直接利用概率公式计算即可.14.【答案】 y =−2x （ k <0 且 k ≠−1 即可）【考点】正比例函数的图象和性质【解析】【解答】解：∵正比例函数 y =kx 经过二、四象限，∴k<0，当 y =kx 经过 (−1,1) 时，k=-1，由题意函数不经过 (−1,1) ，说明k≠-1，故可以写的函数解析式为： y =−2x (本题答案不唯一，只要 k <0 且 k ≠−1 即可)．【分析】正比例函数经过二、四象限，可得k<0，又不经过 (−1,1) ，可得k≠-1，，据此求解即可（答案不唯一）.15.【答案】 33k 5【考点】一次函数的实际应用【解析】【解答】设卖出的苹果数量与售价之间的关系式为 y =mx +n(5≤x ≤10) ，将（5，4k ），（10，k ）代入关系式：{5m +n =4k 10m +n =k ，解得 {m =−35k n =7k∴ y =−35kx +7k(5≤x ≤10)令 x =8 ，则 y =115k ∴利润= (8−5)×115k =335k【分析】利用待定系数法求出卖出的苹果数量与售价之间的关系式，再求出当售价为8元/千克时卖出的苹果数量，最后利用利润=（售价-进价）×销售量，计算即得.16.【答案】 23【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：作AE ⊥BC ，CF ⊥BD∵ S △ABDS △BCD =12 ∴△ABD 和△BCD 等高，高均为AE∴S△ABDS△BCD =12AD·AE12BC·AE=ADBC=12∵AD∥BC∴△AOD∽△COB∴ODOB =ADBC=12∵△BOC和△DOC等高，高均为CF∴S△BOCS△DOC =12OB·CF12OD·CF=OBOD=21∴S△BOCS△BCD =23故答案为：23【分析】作AE⊥BC，CF⊥BD，可得S△ABDS△BCD =12AD·AE12BC·AE=ADBC=12，利用平行线可证△AOD∽△COB可得ODOB =ADBC=12，从而求出S△BOCS△DOC=12OB·CF12OD·CF=OBOD=21，继而得出结论.17.【答案】3√32．【考点】正多边形的性质【解析】【解答】解：如图所示，连接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE，在正六边形ABCDEF中，∵直角三角板的最短边为1，∴正六边形ABCDEF为1，∴△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，∵∠ABC=∠CDE =∠EFA =120°，AB=BC= CD=DE= EF=FA=1，∴∠BAG=∠BCG =∠DCE=∠DEC=∠FAE =∠FEA=30°，∴BG=DI= FH= 12，∴由勾股定理得：AG =CG = CI = EI = EH = AH = √32，∴AC =AE = CE = √3，∴由勾股定理得：AI= 32，∴S= 3×12×√3×12+12×√3×32=3√32，故答案为：3√32．【分析】如图所示，连接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE，利用正六边形的性质可得△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，从而求出∠BAG=∠BCG=∠DCE=∠DEC=∠FAE =∠FEA=30︒，继而得出BG=DI= FH= 12，AC =AE = CE = √3，AI= 32，由中间正六边形的面积=3△ABC的面积+△ACE的面积，利用三角形的面积公式计算即可.18.【答案】2−√2≤d≤1【考点】旋转的性质，四边形-动点问题【解析】【解答】解：如图1，设AD的中点为E，连接OA，OE，则AE=OE=1，∠AEO=90°，OA=√2．∴点O与正方形ABCD边上的所有点的连线中，OE最小，等于1，OA最大，等于√2．∵OP=2，∴点P与正方形ABCD边上的所有点的连线中，如图2所示，当点E落在OP上时，最大值PE=PO-EO=2-1=1；如图3所示，当点A落在OP上时，最小值PA=PO−AO=2−√2．∴当正方形ABCD绕中心O旋转时，点P到正方形的距离d的取值范围是2−√2≤d≤1．故答案为：2−√2≤d≤1【分析】由旋转及正方形的性质可得，当点E落在OP上时，最大值为PE的长，当点A落在OP上时，最小值为PA的长，据此分别求出最大值与最小值，即得结论.三、解答题19.【答案】解：912+|1−√2|−2−1×√8，= √9−(1−√2)−12×2√2，= 3+√2−1−√2，=2．【考点】实数的运算【解析】【分析】利用算术平方根、负整数指数幂、绝对值的性质分别化简，再合并即可.20.【答案】解：由题意：{x+y=3⋯(1)x2−4y2=0⋯(2)，由方程(1)得到：x=3−y，再代入方程(2)中：得到： (3−y)2−4y 2=0 ，进一步整理为： 3−y =2y 或 3−y =−2y ，解得 y 1=1 ， y 2=−3 ，再回代方程(1)中，解得对应的 x 1=2 ， x 2=6 ，故方程组的解为： {x =2y =1 和 {x =6y =−3 ．【考点】解二元一次方程组【解析】【分析】利用代入消元法解方程组即可. 21.【答案】（1）∵ AC ⊥BD ， cos ∠ABC =45 ∴ cos ∠ABC =BCAB =45 ∴AB=10∴ AC = √AB 2−BC 2=6 ；（2）过点F 作FG ⊥BD ，∵ BF 为 AD 边上的中线． ∴F 是AD 中点 ∵FG ⊥BD ， AC ⊥BD ∴ FG //AC∴FG 是△ACD 的中位线 ∴FG= 12AC = 3 CG= 12CD =2∴在Rt △BFG 中， tan ∠FBD = FGBG =38+2=310 ．【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1）利用 cos ∠ABC =BCAB =45可求出AB 的长，再利用勾股定理求出AC 的长即可；（2）过点F 作FG ⊥BD ，由AC ⊥BD 可得FG ∥AC ，可得FG 是△ACD 的中位线，从而可得= 3， =2 ，在Rt △BFG 中，由tan ∠FBD .22.【答案】（1）3月份的百分比= 1−30%−25%=45%三月份共生产的手机数= 80×45%=36（万部）答：三月份共生产了36万部手机．（2）设5G手机的下载速度为x MB/秒，则4G下载速度为(x−95)MB/秒，由题意可知：1000x−95−1000x=190解得：x=100检验：当x=100时，x⋅(x−95)≠0∴x=100是原分式方程的解．答：5G手机的下载速度为100 MB/秒．【考点】分式方程的实际应用，扇形统计图【解析】【分析】（1）由扇形统计图求出三月份所占百分比，再乘以总数即得结论；（2）设5G手机的下载速度为x MB/秒，则4G下载速度为(x−95)MB/秒，根据“下载一部1000MB的电影，5G比4G要快190秒”列出方程，求解并检验即可.23.【答案】（1）证明：连结OM,ON，∵M、N分别是CB和AD的中点，∴OM，ON为弦心距，∴OM⊥BC，ON⊥AD，∴∠GMO=∠GNO=90°，在⊙O中，AB=CD，∴OM=ON，在Rt△OMG和Rt△ONG中，{OM=ONOG=OG，∴RtΔGOM≌RtΔGON(HL)，∴MG=NG，∠MGO=∠NGO，∴OG⊥MN;（2）设OG 交MN 于E ， ∵RtΔGOM ≌RtΔGON(HL) ， ∴ MG =NG ，∴ ∠GMN =∠GNM ，即 ∠CMN =∠ANM ， ∵CM =12CB =12AD =AN ，在△CMN 和△ANM 中 {CM =AN∠CMN =∠ANM MN =NM ，∴△CMN ≌△ANM ，∴AM =CN,∠AMN =∠CNM ， ∵CN ∥OG ，∴∠CNM =∠GEM =90° ， ∴∠AMN =∠CNM =90° ，∴∠AMN +∠CNM =90°+90°=180° ， ∴AM ∥CN ，∴ACNM 是平行四边形， ∵∠AMN =90° ， ∴四边形ACNM 是矩形．【考点】矩形的判定，圆的综合题【解析】【分析】（1）连结OM,ON ，证明RtΔGOM ≌RtΔGON(HL) ，可得MG=NG ， ∠MGO=∠NGO ， MG =NG ，∠MGO =∠NGO ，24.【答案】（1）将 P(3,0)、Q(1,4) 两点分别代入 y =ax 2+c ，得 {9a +c =0,a +c =4,解得 a =−12,c =92 ．所以抛物线的解析式是 y =−12x 2+92 ．（2）①如图2，抛物线的对称轴是y 轴，当点A 与点 Q(1,4) 重合时， AB =4 ，作 CH ⊥AB 于H ．∵ △ABC 是等腰直角三角形，∴ △CBH 和 △CAH 也是等腰直角三角形， ∴ CH =AH =BH =2 ，∴点C 到抛物线的对称轴的距离等于1．②如图3，设直线PQ 的解析式为y=kx+b ，由 P(3,0)、Q(1,4) ，得 {3k +b =0,k +b =4,解得 {k =−2,b =6,∴直线 PQ 的解析式为 y =−2x +6 ，设 A(m,−2m +6) ， ∴ AB =−2m +6 ，所以 CH =BH =AH =−m +3 ．所以 y C =−m +3,x C =−(−m +3−m)=2m −3 ．将点 C(2m −3,−m +3) 代入 y =−12x 2+92 ，得 −m +3=−12(2m −3)2+92 ．整理，得 2m 2−7m +3=0 ．因式分解，得 (2m −1)(m −3)=0 ．解得 m =12 ，或 m =3 （与点B 重合，舍去）．当 m =12 时， 2m −3=1−3=−2,−m +3=−12+3=52 ．所以点C 的坐标是 (−2,52) ．【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数-动态几何问题【解析】【分析】（1）将P 、Q 两点坐标代入抛物线解析式中，求出a 、c 的值即可；（2）① 作 CH ⊥AB 于H ．抛物线的对称轴是y 轴，当点A 与点 Q(1,4) 重合时， AB =4 ，可得出 △CBH 和 △CAH 也是等腰直角三角形，从而得出CH =AH =BH =2 ，继而得出点C 到抛物线的对称轴的距离等于1；②先求出直线 PQ 的解析式为 y =−2x +6 ，设A(m,−2m +6) ，可求出点 C(2m −3,−m +3) ，将点C 坐标代入y =−12x 2+92中，可求出m 值，即得点C 坐标.25.【答案】（1）①由 AD =CD ，得 ∠1=∠2 ．由 AD//BC ，得 ∠1=∠3 ．因为 BO 是 Rt △ABC 斜边上的中线，所以 OB =OC ．所以 ∠3=∠4 ．所以 ∠1=∠2=∠3=∠4 ．所以 △DAC ∽△OBC ．②若BE⊥CD，那么在Rt△BCE中，由∠2=∠3=∠4．可得∠2=∠3=∠4=30°．作DH⊥BC于H．设AD=CD=2m，那么BH=AD=2m．在Rt△DCH中，∠DCH=60°,DC=2m，所以CH=m．所以BC=BH+CH=3m．所以ADBC =2m3m=23．（2）①如图5，当点E在AD上时，由AD//BC,O是AC的中点，可得OB=OE，所以四边形ABCE是平行四边形．又因为∠ABC=90°，所以四边形ABCE是矩形，设AD=CD=x，已知DE=2，所以AE=x−2．已知OE=3，所以AC=6．在Rt△ACE和Rt△DCE中，根据CE2=CE2，列方程62−(x−2)2=x2−22．解得x=1+√19，或x=1−√19（舍去负值）．②如图6，当点E在CD上时，设AD=CD=x，已知DE=2，所以CE=x−2．设OB=OC=m，已知OE=3，那么EB=m+3．一方面，由△DAC∽△OBC，得DCOC =ACBC，所以xm=2OCBC，所以OCBC=x2m，另一方面，由∠2=∠4，∠BEC是公共角，得△EOC∽△ECB．所以EOEC =ECEB=OCCB，所以3x−2=x−2m+3=OCCB．等量代换，得3x−2=x−2m+3=x2m．由3x−2=x2m，得m=x2−2x6．将m=x2−2x6代入3x−2=x−2m+3，整理，得x2−6x−10=0．解得x=3+√19，或x=3−√19（舍去负值）．【考点】相似三角形的判定与性质，四边形的综合，四边形-动点问题【解析】【分析】（1）①由等腰三角形的性质得出∠1=∠2，由平行线的性质得出∠1=∠3，利用直角三角形的性质得出∠3=∠4，即得∠1=∠2=∠3=∠4，根据两角分别相等可证△DAC∽△OBC；② 在Rt△BCE中，得出∠2=∠3=∠4=30°，作DH⊥BC于H．设AD=CD=2m，那么BH=AD=2m，从而求出CH=m，继而得出BC=BH+CH=3m，据此即可求出结论；（2）分两种情况：① 当点E在AD上时，证明四边形ABCE是矩形，设AD=CD=x，在Rt△ACE和Rt△DCE中，根据CE2=CE2建立方程，求出x值即可；② 当点E在CD上时，设AD=CD=x，设OB=OC=m，由△DAC∽△OBC=ACBC ，据此可得xm=2OCBC，证明△EOC∽△ECB，可得EOEC =ECEB=OCCB，据此可得3x−2=x−2m+3=OCCB，从而得出方程，求出x值即可.。

2021年上海市中考数学考点必杀500题专练13(二次函数压轴题)(30题)(原卷版)

2021中考考点必杀500题专练13（二次函数压轴题）（30道）1．（2021·上海九年级二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x mx n =-++经过点(5,0)A ，顶点为点B ，对称轴为直线3x =，且对称轴与x 轴交于点C ．直线y kx b =+，经过点A ，与线段BC 交于点E ．（1）求抛物线2y x mx n =-++的表达式；（2）联结BO 、EO ．当BOE △的面积为3时，求直线y kx b =+的表达式；（3）在（2）的条件下，设点D 为y 轴上的一点，联结BD 、AD ，当=BD EO 时，求DAO ∠的余切值．2．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0A -、()3,0B 、()0,3C ，抛物线2y ax bx c =++经过A 、B 两点．（1）当该抛物线经过点C 时，求该抛物线的表达式；（2）在（1）题的条件下，点P 为该抛物线上一点，且位于第三象限，当PBC ACB ∠=∠时，求点P 的坐标；（3）如果抛物线2y ax bx c =++的顶点D 位于BOC 内，求a 的取值范围．3．（2021·上海金山区·九年级一模）在平面直角坐标系xoy 中，直线324y x =-+与直线132y x =-相交于点A ，抛物线21(0)y ax bx a =+-≠经过点A ．（1）求点A 的坐标；（2）若抛物线21y ax bx =+-向上平移两个单位后，经过点()1,2-，求抛物线21y ax bx =+-的表达式；（3）若抛物线2y a x b x c =+'+'()0a '<与21y ax bx =+-关于x 轴对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P '与点P ，当3OPP S ∆'=时，求抛物线21y ax bx =+-的表达式．4．（2021·上海徐汇区·九年级一模）已知二次函数224(0)y ax ax a a =-++<的大致图像如图所示，这个函数图像的顶点为点 D ．（1）求该函数图像的开口方向、对称轴及点D 的坐标；（2）设该函数图像与y 轴正半轴交于点C ，与x 轴正半轴交于点B ，图像的对称轴与x 轴交于点A ，如果DC BC ⊥，1tan 3DBC ∠=，求该二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，设点M 在第一象限该函数的图像上，且点M 的横坐标为(1)t t >，如果 ACM ∆的面积是258，求点M 的坐标．5．（2021·上海九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，如果抛物线2y ax bx c =++上存在一点A ，使点A 关于坐标原点O 的对称点A '也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A 叫做这条抛物线的回归点．（1）已知点M 在抛物线224y x x =-++上，且点M 的横坐标为2，试判断抛物线224y x x =-++是否为回归抛物线，并说明理由；（2）已知点C 为回归抛物线22y x x c =--+的顶点，如果点C 是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．连接CO 并延长，交该抛物线于点E ．点F 是射线CD 上一点，如果CFE DEC ∠=∠，求点F 的坐标．6．（2021·上海九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴正半轴交于点()4,0A ，与y 轴交于点()0,2B ，点C 在该抛物线上且在第一象限．()1求该抛物线的表达式；()2将该抛物线向下平移m 个单位，使得点C 落在线段AB 上的点D 处，当13AD BD =时，求m 的值； ()3联结BC ，当2CBA BAO ∠=∠时，求点C 的坐标．7．（2021·上海九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy 中（如图）．已知点()1,2A -，点()1,6B ，点()1,4C ．如果抛物线()230y ax bx a =++≠恰好经过这三个点之中的两个点．（1）试推断抛物线23y ax bx =++经过点A 、B 、C 之中的哪两个点？简述理由；（2）求常数a 与b 的值：（3）将抛物线23y ax bx =++先沿与y 轴平行的方向向下平移2个单位长度，再与沿x 轴平行的方向向右平移0t t 个单位长度，如果所得到的新抛物线经过点()1,4C ．设这个新抛物线的顶点是D ．试探究ABD △的形状．8．（2021·上海九年级专题练习）我们已经知道二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线．研究二次函数的图像与性质，我们主要关注抛物线的对称轴、抛物线的开口方向、抛物线的最高点（或最低点）的坐标、抛物线与坐标轴的交点坐标、抛物线的上升或下降情况（沿x 轴的正方向看）．已知一个二次函数()20y ax bx c a =++≠的大致图像如图所示．（1）你可以获得该二次函数的哪些信息？（写出四条信息即可）（2）依据目前的信息，你可以求出这个二次函数的解析式吗？如果可以，请求出这个二次函数的解析式；如果不可以，请补充一个条件，并求出这个二次函数的解析式．9．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知对称轴为直线1x =-的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为()1,0．（1）求点B 的坐标及抛物线的表达式；（2）记抛物线的顶点为P ，对称轴与线段BC 的交点为Q ，将线段PQ 绕点Q ，按顺时针方向旋转120︒，请判断旋转后点P 的对应点P '是否还在抛物线上，并说明理由；（3）在x 轴上是否存在点M ，使MOC △与BCP 相似？若不存在，请说明理由；若存在请直接写出点M 的坐标（不必书写求解过程）．10．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如图，平面直角坐标系内直线4y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点C 是线段OB 的中点．（1）求直线AC 的表达式：（2）若抛物线2y ax bx c =++经过点C ，且其顶点位于线段OA 上（不含端点O 、A ）．①用含b 的代数式表示a ，并写出1b的取值范围； ②设该抛物线与直线4y x =+在第一象限内的交点为点D ，试问：DBC △与DAC △能否相似？如果能，请求此时抛物线的表达式：如果不能，请说明由．11．（2021·上海浦东新区·九年级一模）二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像经过点A(2，4)、B(5，0)和O(0，0)．（1）求二次函数的解析式；（2）联结AO ，过点B 作BC⊥AO 于点C ，与该二次函数图像的对称轴交于点P ，联结AP ，求⊥BAP 的余切值；（3）在（2）的条件下，点M 在经过点A 且与x 轴垂直的直线上，当AMO 与ABP 相似时，求点M 的坐标．12．（2021·上海静安区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1(0)2y x m m =-+>与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ．抛物线24y ax bx =++（a ≠0）经过点A ，且与y 轴相交于点C ，⊥OCA =⊥OAB ．（1）求直线AB 的表达式；（2）如果点D 在线段AB 的延长线上，且AD =AC ．求经过点D 的抛物线24y ax bx =++的表达式；（3）如果抛物线24y ax bx =++的对称轴与线段AB 、AC 分别相交于点E 、F ，且EF =1，求此抛物线的顶点坐标．13．（2021·上海宝山区·九年级一模）已知抛物线()20y ax bx a =+≠经过 ()4,0A ，()1,3B -两点，抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，点 D 与点B 关于抛物线的对称轴对称，联结BC 、BD ．（1）求该抛物线的表达式以及对称轴；（2）点E 在线段BC 上，当CED OBD =∠∠时，求点 E 的坐标；（3）点M 在对称轴上，点N 在抛物线上，当以点O 、A 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，求这个平行四边形的面积．14．（2021·上海九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()4,0A -和点()2,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式及点C 的坐标：（2）如果点D 的坐标为()8,0-，联结AC 、DC ，求ACD ∠的正切值；（3）在（2）的条件下，点P 为抛物线上一点，当OCD CAP ∠=∠时，求点P 的坐标．15．（2021·上海普陀区·九年级一模）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线21y ax bx =++与y 轴交于点A ，顶点B 的坐标为(2,1)-．（1）直接写出点A 的坐标，并求抛物线的表达式；（2）设点C 在x 轴上，且90CAB ∠=︒，直线AC 与抛物线的另一个交点为点D．①求点C 、D 的坐标；②将抛物线21y ax bx =++沿着射线BD 的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段BD 上；点A 的对应点为点P ．设线段AB 与x 轴的交点为点Q ，如果ADP △与CBQ △相似，求点P 的坐标．16．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax bx =+-经过点()2,0A 和(1,1)B --与y 轴交于点C ．（1）求这个抛物线的表达式；（2）如果点P 是抛物线位于第二象限上一点，PC 交x 轴于点D ，23PD DC =．①求P 点坐标；②点Q 在x 轴上，如果QCA PCB ∠=∠，求点Q 的坐标．17．（2021·上海杨浦区·九年级一模）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()24y x m =--+与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C 、D （点C 在点D 左侧），顶点A 在第一象限，异于顶点A 的点()1,P n 在该抛物线上．（1）如果点P 与点C 重合，求线段AP 的长；（2）如果抛物线经过原点，点Q 是抛物线上一点，tan 3OPQ ∠=，求点Q 的坐标；（3）如果直线PB 与x 轴的负半轴相交，求m 的取值范围．18．（2021·上海九年级其他模拟）抛物线21y=x +x+m 4的顶点在直线y=x+3上，过点F （－2，2）的直线交该抛物线于点M 、N 两点（点M 在点N 的左边），MA⊥x 轴于点A ，NB⊥x 轴于点B ．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m 的代数式表示），再求m 的值；（2）设点N 的横坐标为a ，试用含a 的代数式表示点N 的纵坐标，并说明NF ＝NB ；（3）若射线NM 交x 轴于点P ，且PA×PB ＝1009，求点M 的坐标．19．（2020·上海浦东新区·九年级三模）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A （−3,0）和点B ，与y 轴相交于点C （0,3），抛物线的顶点为点D ．（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）联结AD 、AC 、CD ，求⊥DAC 的正切值；（3）如果点P 是原抛物线上的一点，且⊥PAB =⊥DAC ，将原抛物线向右平移m 个单位（m >0），使平移后新抛物线经过点P ，求平移距离．20．（2020·上海宝山区·九年级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若⊥ACE的面积的最大值为54，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，当以点A、D、P、Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P的坐标．21．（2020·上海普陀区·九年级二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）经过点A，其顶点为C，直线y＝1与y轴交于点B，与抛物线交于点D（在其对称轴右侧），联结BC、CD．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点P是y轴的负半轴上的一点，如果⊥PBC与⊥BCD相似，且相似比不为1，求点P的坐标；（3）将⊥CBD绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E（点E在对称轴的右侧），求点E的坐标．22．（2020·上海虹口区·九年级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A(﹣1，0)和点B(3，0)，该抛物线对称轴上的点P在x轴上方，线段PB绕着点P逆时针旋转90°至PC（点B对应点C），点C恰好落在抛物线上．（1）求抛物线的表达式并写出抛物线的对称轴；（2）求点P的坐标；（3）点Q在抛物线上，联结AC，如果⊥QAC＝⊥ABC，求点Q的坐标．23．（2020·上海青浦区·九年级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣4ax+3的图象与x 轴正半轴交于点A、B，与y轴相交于点C，顶点为D，且tan⊥CAO＝3．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是对称轴右侧抛物线上的点，联结CP，交对称轴于点F，当S⊥CDF：S⊥FDP＝2：3时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将⊥PCD沿直线MN翻折，当点P恰好与点O重合时，折痕MN交x轴于点M，交y轴于点N，求OMON的值．（﹣3，0）和点B（3，2），与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）点P是抛物线在第一象限内一点，联结AP，如果点C关于直线AP的对称点D恰好落在x轴上，求直线AP的截距；（3）在（2）小题的条件下，如果点E是y轴正半轴上一点，点F是直线AP上一点．当⊥EAO与⊥EAF全等时，求点E的纵坐标．25．（2020·上海奉贤区·）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）．直线y＝1 2x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；（2）将抛物线y＝x2+bx向右平移，使平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式；（3）将抛物线y＝x2+bx向下平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，交线段BC于点P、Q，（点P在点Q 右侧），平移后抛物线的顶点为M，如果DP⊥x轴，求⊥MCP的正弦值．的正半轴分别交于A 、B 两点，且OA ＝OB ，抛物线的顶点为M ，联结AB 、AM ．（1）求这条抛物线的表达式和点M 的坐标；（2）求sin⊥BAM 的值；（3）如果Q 是线段OB 上一点，满足⊥MAQ ＝45°，求点Q 的坐标．27．（2020·上海嘉定区·九年级二模）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知经过点A （﹣3，0）的抛物线y ＝ax 2+2ax ﹣3与y 轴交于点C ，点B 与点A 关于该抛物线的对称轴对称，D 为该抛物线的顶点．（1）直接写出该抛物线的对称轴以及点B 的坐标、点C 的坐标、点D 的坐标；（2）联结AD 、DC 、CB ，求四边形ABCD 的面积；（3）联结AC ．如果点E 在该抛物线上，过点E 作x 轴的垂线，垂足为H ，线段EH 交线段AC 于点F ．当EF ＝2FH 时，求点E 的坐标．28．（2020·上海长宁区·九年级二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x mx n =++经过点()2,2A -，对称轴是直线1x =，顶点为点B ，抛物线与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的表达式和点B 的坐标；（2）将上述抛物线向下平移1个单位，平移后的抛物线与x 轴正半轴交于点D ，求BCD ∆的面积；（3）如果点P 在原抛物线上，且在对称轴的右侧，联结BP 交线段OA 于点Q ，15BQ PQ =，求点P 的坐标．29．（2020·上海崇明区·九年级二模）已知抛物线24y ax bx =+-经过点(1,0),(4,0)A B -，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线上一点，且在第四象限内，连接AC BC CD BD 、、、．（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；（2）当4BCD AOC S S ∆∆=时，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如果点E 是x 轴上一点，点F 是抛物线上一点，当以点A D E F 、、、为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点E 的坐标．30．（2020·上海浦东新区·九年级二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点(0,3)C ，对称轴是直线1x =．（1）求抛物线的表达式；（2）直线MN 平行于x 轴，与抛物线交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），且34MN AB =，点C 关于直线MN 的对称点为E ，求线段OE 的长；（3）点P 是该抛物线上一点，且在第一象限内，联结CP 、EP ，EP 交线段BC 于点F ，当:1:2CPF CEF S S =△△时，求点P 的坐标．。

决胜2021年上海中考数学压轴题全揭秘精解专题25 上海中考预测卷(2)

绝密★启用前上海市2021年初中毕业统一学业考试数学预测试题二考生注意： 1.本试卷共25题。

2.试卷满分150分，考试时间100分钟。

3.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效。

4.除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤。

一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.方程230x -+=根的情况（） A. 有两个不相等的实数根 B. 有一个实数根； C. 无实数根D. 有两个相等的实数根2．若m n >，下列不等式不一定成立的是( ) A ．33m n +>+B ．33m n -<-C ．33m n> D ．22m n >3.在平面直角坐标系中，反比例函数(0)ky k x=≠图像在每个象限内，y 随着x 的增大而增大，那么它的图像的两个分支分别在（） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限D. 第三、四象限4．学校举行图书节义卖活动，将所售款项捐给其他贫困学生．在这次义卖活动中，某班级售书情况如表：下列说法正确的是( )A ．该班级所售图书的总收入是226元B．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，中位数是4C．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，众数是15D．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，方差是25.顺次联结四边形ABCD各边中点所形成的四边形是矩形，那么四边形ABCD是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 等腰梯形6．已知，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，CD⊥AB，且CD＝1．若以点A为圆心，√3为半径作⊙A，以点B为圆心，1为半径作⊙B，则⊙A与⊙B的位置关系是（）A．内切B．外切C．相交D．外离二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．若2a b=+，则代数式222a ab b-+的值为．8.化简：113a a-=______．9．若一个数的平方等于5，则这个数等于．10.0=的解是_____________.11．晓芳抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为．12．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为．13.在一张边长为4cm的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为1cm的圆形阴影区域，则针头扎在阴影区域内的概率为__________；14．董永社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图(A．小于5天；.5B天；.6C天；.7D天），则扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是．15.已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC = 90°，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，如果AD︰BC = 2︰3，那么DB︰AC =______．16．如图，在ABC中，90C∠=︒，30A∠=︒，BD是ABC∠的平分线，如果AC x=，那么CD =（用x表示）．17．如图，在ABC∆中，30B∠=︒，2AC=，3cos5C=．则AB边的长为．18.在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是____．三．解答题（共7小题，满分78分）19.（本题满分10分）计算：1327﹣(12)﹣2+|3．20.（本题满分10分）解不等式组：1076713x xxx>+⎧⎪+⎨-<⎪⎩21.(本题满分10分)在平面直角坐标系xoy 中（如图），已知一次函数的图像平行于直线12y x =，且经过点A （2，3），与x 轴交于点B ．（1）求这个一次函数的解析式；（2）设点C 在y 轴上，当AC ＝BC 时，求点C 的坐标．22．（本题满分10分）两栋居民楼之间的距离30CD m =，楼AC 和BD 均为10层，每层楼高为3m ．上午某时刻，太阳光线GB 与水平面的夹角为30︒，此刻楼BD 的影子会遮挡到楼AC 的第几层？（参考数1.7≈ 1.4)≈23.已知：如图，AB 、AC 是⊙O 的两条弦，且AB ＝AC ，D 是AO 延长线上一点，联结BD 并延长交⊙O 于点E ，联结CD 并延长交⊙O 于点F. （1）求证：BD ＝CD ：（2）如果AB 2＝AO·AD ，求证：四边形ABDC 是菱形.24.如图6，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2230y ax ax a a =--<与x 轴交于A B、两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线:l y kx b =+与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且4CD AC =.（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k b 、用含a 的式子表示）（2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若ACE ∆的面积的最大值为54，求a 的值；（3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，当以点A D P Q 、、、为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P 的坐标.25.已知：如图，在菱形ABCD 中，2AC =，60B ∠=︒．点E 为边BC 上的一个动点（与点B 、C 不重合），60EAF ∠=︒，AF 与边CD 相交于点F ，联结EF 交对角线AC 于点G ．设CE x =，EG y =．（1）求证：AEF 是等边三角形；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）点O 是线段AC 的中点，联结EO ，当EG EO 时，求x 的值．绝密★启用前上海市2021年初中毕业统一学业考试数学预测试题二考生注意： 1.本试卷共25题。

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2021中考考点必杀500题专练12（几何压轴题）（30道）1．（2021·上海九年级二模）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，8BC =，点P 在边BC 上（点P 与端点B 、C 不重合），以P 为圆心，PB 为半径作圆，圆P 与射线BD 的另一个交点为点E ，直线CE 与射线AD 交于点G ．点M 为线段BE 的中点，联结PM ．设,==BP x BM y ．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（2）联结AP ，当//AP CE 时，求x 的值；（3）如果射线EC 与圆P 的另一个公共点为点F ，当CPF 为直角三角形时，求CPF 的面积．【答案】（1）582⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭y x x ；（2）4；（3）6 【分析】（1）勾股定理求出BD 长，利用三角函数求解析式，根据点P 和点G 的位置确定该函数的定义域； (2) 设4=EH k ，则8,8,==-=BH k PH k x PE x ，根据勾股定理列方程即可；(3)根据哪个角是直角分类讨论，利用勾股定理或相似三角形的性质列方程，求出直角边长即可．【详解】解：(1)由勾股定理，BD == ∵点M 为线段BE 的中点， ∵PM ∵BE ，Rt BMP 中，cos=∠=BM CBD BP ，解得5y x =，点P 与端点C 不重合，所以8x <，当直线CE 恰好经过A 点时，BE=12BD=BM =52x =，该函数的定义域为：582x ≤<．（2）过点E 作EH BC ⊥于点H ，若CE //AP ，可知=AB EHBP HC设4=EH k ，则8,8,==-=BH k PH k x PE x由勾股定理，可得222(4)(8)=+-x k k x ，解得5x k =所以44588=-k k k ，解得=k （负根舍去）所以54===-BP x k（3）①若90PFC ∠=︒，由垂径定理，可知E 、F 重合，不符合题意； ②90PCF ∠=︒时，此时E 与D 重合，2224(8)x x =+-，解得5x = 所以13,4,3462====⨯⨯=CPFCP CF CD S③90CPF ∠=︒时，过点E 作EQ BC ⊥，交BC 延长线于点Q43,,,855======-PB PE PF x EQ x PQ x PC x 由//PF EQ ，可得54==CP PF CQ EQ ，所以59=CP PQ 代入数据，53895-=⨯x x ，解得16,6262==⨯⨯=PCFx S 综上，PCF 的面积为6．【点睛】本题考查了解直角三角形、相似三角形、圆的有关性质，解题关键是熟练综合运用所学知识，进行推理计算，注意：分类讨论思想的运用．2．（2021·上海九年级专题练习）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1中，12A O ∠=∠．已知：如图2，AC 是⊙O 的一条弦，点D 在⊙O 上（与A 、C 不重合），联结DC 交射线AO 于点E ，联结OD ，⊙O 的半径为5，3tan 4OAC ∠=．（1）求弦AC 的长．（2）当点E 在线段OA 上时，若DOE ∆与AEC ∆相似，求DCA ∠的正切值．（3）当1OE =时，求点A 与点D 之间的距离（直接写出答案）．【答案】（1）8；（2）1tan 3DCA ∠=；（3）当1OE =时，AD 的长是【分析】（1）如图1，作OH AC ⊥垂足为点H ，OH 过圆心，由垂径定理得：12AH CH AC ==，运用勾股定理和3tan 4OAC ∠=可求解出结果；（2）由相似和一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半可得到DOE A ∠=∠，//OD AC ，通过相似比可求出AE 的长，作EG AC ⊥垂足为G ，得到//GE OH ，再运用相似比求出EG 和CG 的长，即求出最终结果；（3）如图5，当点E 在线段OA 上时，延长AO 交∵O 于M ，通过3tan 4OAC ∠=得到AG 和EG ，再通过勾股定理求出CE 的长，通过MDECAE 求出DE 的长，最后在运用勾股定理运算即可；如图6，当E 在AO 延长线上时，EG AC ⊥，连接DM ，AD ，运用同样的方法可求出第二个结果．【详解】（1）解：如图3，作OH AC ⊥垂足为点H ，OH 过圆心，由垂径定理得：12AH CH AC ==， ∵在t R OAH ∆中3tan 4OH OAC AH ∠==，设3,4OH x AH x ==， ∵在t R OAH ∆中，可得：222OH AH OA +=，由∵O 的半径为5可得：()()222345x x +=，解得：1x =±，（1x =-舍去）∵3,4OH AH ==， ∵28AC AH ==．(2)∵DEO AEC ∠=∠，∵当DOE ∆与AEC ∆相似时可得：DOE A ∠=∠或者DOE ACD ∠=∠；由定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．可知：12ACD DOE ∠=∠， ∵ACD DOE ∠≠∠∵当DOE ∆与AEC ∆相似时不存在DOE ACD ∠=∠情况． ∵当DOE ∆与AEC ∆相似时，DOE A ∠=∠， ∵//OD AC ，∵OD OEAC AE=； ∵5,8OD OA AC ===，得558AE AE -=，∵4013AE =；）作EG AC ⊥垂足为G ，可得：90AGE AHO ∠=∠=，∵//GE OH ，∵AE EG AGAO OH AH==即4013534EG AG ==， ∵2413EG =，3213AG =，327281313CG =-=，∵在t R CEG ∆中，24113tan 72313EG DCA CG ∠===．（3）如图5，当点E 在线段OA 上时，延长AO 交∵O 于M ，连接DM ，AD ，EG AC ⊥， OE=1，∴AE=4，ME=6，又3tan 4OAC ∠==EG AG，同（1）中的计算方法，AG=165，125EG =，∴1624855CG =-=，∴CE ==又DME ECA MDE EAC ∠=∠∠=∠，，MDECAE ∴，MD MEAC CE∴=，∴85MD =，∴MD=AD ∴===如图6，当E 在AO 延长线上时，EG AC ⊥，连接DM ，AD ，3tan 4OAC ∠==EG AG， OE=1，AE=6，ME=4，同理可得，AG=245，185EG =，2416855CG ∴=-=，5EC ∴==，同理DMEACE ，ME DMCE AC∴=，85DM，29DM ∴=，29AD ∴===，∴当1OE =时，AD 的长是【点睛】本题考查圆的综合运用，难度比较大，涉及圆的基本性质，相似三角形，勾股定理，锐角三角函数等知识，需要有较强的数形结合能力，根据条件添加适当的辅助线是和解决本题的关键．3．（2021·上海青浦区·九年级一模）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =，点D 为边AC 的中点（如图），点P 、Q 分别是射线BC 、BA 上的动点，且BQ BP =，联结PQ 、QD 、DP ．（1）求证：PQ AB ⊥；（2）如果点P 在线段BC 上，当PQD △是直角三角形时，求BP 的长；（3）将PQD △沿直线QP 翻折，点D 的对应点为点'D ，如果点'D 位于ABC 内，请直接写出BP 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2；（3BP <<【分析】（1）证明∵BPQ∵∵BAC 即可；（2）由∵PQD<90︒，只需要讨论两类情况，当90DPQ ∠=︒时，利用tan3AC B BC ===，求出∵B=30，30DPC ∠=︒，计算tan 30CDCP ︒===，根据BP=BC -CP 求值；当90PDQ ∠=︒时，过Q作QE∵AC 交AC 于E ，则∵QED=∵PDQ=90C ∠=︒，证明∵EQD∵∵CDP ，得到QE EDCD CP=，设BP t =，过点Q 作QF∵BC 于F ，则四边形CEQF 是矩形，求出1344t QE F t t C +===，1CD =，CP t =，1DE CE CD =-=-，代入比例式求出t 的值；（3）只需考虑BP 的极限情况：①当'D 正好在BC 上时，如图3，设BP=m ，由'30DD C B ∠=∠=︒求出'CD =，'DP D P =，列得()'2CP D P CP DP m m +=+=+=计算求值即可；②另外一个极限情况时，如图4，当PQ 经过点D 时，求出PC=tan 60CD =︒BP = 【详解】解：（1）在ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，BC =∵4AB ==，∵BC AB ==，∵2BQ BP =，∵BQ BP =， ∵BQ BCBP AB=， ∵QBP CBA ∠=∠，BPQBAC ∴，∵90BQP BCA ∠=∠=︒，PQ AB ∴⊥；（2）90PQD ∠<︒，所以只需要讨论两类情况，当90DPQ ∠=︒时，如图1，在Rt∵ABC中，tan AC B BC ===∵∵B=30，∵9060QPB B ∠=︒-∠=︒，30DPC ∴∠=︒，∵2AC =，点D 为边AC 的中点， ∵CD=1，∵tan 30CDCP ︒===，BP BC CP ∴=-=当90PDQ ∠=︒时，如图2，过Q 作QE∵AC 交AC 于E ，则∵QED=∵PDQ=90C ∠=︒， ∵∵EQD+∵EDQ=∵EDQ+∵CDP=90︒，EQD CDP ∴，QE EDCD CP∴=，设BP t =，过点Q 作QF∵BC 于F ，则四边形CEQF 是矩形， ∵∵B=30，∵BQP=90︒， ∵PQ=12t ， ∵60QPB ∠=︒， ∵cos 6014PF PQ t =⋅︒=，sin 60QF PQ =⋅︒=，∵1344t QE F t t C +===，1CD =，CP t =，14DE CE CD t =-=-，134t -∴=6t ∴=或6t =（舍去），综上，BP（3）只需考虑BP 的极限情况：①当'D 正好在BC 上时，如图3，设BP=m ，'DD PQ ⊥，'30DD C B ∴∠=∠=︒，'CD ∴=30CDP ∠=︒，又'DP D P =，()'2CP D P CP DP m m ∴+=+=+=m ∴=；②另外一个极限情况时，如图4，当PQ 经过点D 时，∵60P ∠=︒，90DCP ∠=︒，CD=1，∵PC=tan 60CD =︒∵BP =综上：33BP <<．．【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的性质，矩形的判定及性质，熟记各定理是解题的关键．4．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知圆O 的直径4AB =，点P 为弧AB 上一点，联结PA PO 、，点C 为劣弧AP 上一点(点C 不与点A 、P 重合），联结BC 交PA PO 、于点D E 、()1如图，当78cos CBO ∠=时，求BC 的长；()2当点C 为劣弧AP 的中点，且EDP ∆与AOP ∆相似时，求ABC ∠的度数；()3当2AD DP =，且BEO ∆为直角三角形时．求四边形AOED 的面积．【答案】（1）72；（2）18°；（3）53 【分析】（1）方法一：作OG BC ⊥，利用垂径定理和余弦即可求得；方法二：连接AC ，根据直径所对的圆周角等于90°可得∵ACB=90°，利用余弦解直角三角形即可；（2）先根据已知条件确定两个相似三角形的对应角，得出P PED PAO OEB ∠=∠=∠=∠，设ABC α∠=，利用等腰三角形等边对等角和弧与圆心角的关系，圆周角定理分别表示∵AOP 和∵OEB ，利用三角形外角的性质即可求得α即ABC ∠；（3）分当90EOB ∠=和当90OEB ∠=时两种情况讨论，画出对应图形，利用相似三角形和解直角三角形的知识求解即可．【详解】解析：方法一：作OG BC ⊥， ∵BC=2BG,7cos 4BG BO CBO =⋅∠=，722BC BG ∴==；方法二：连接AC ，∵AB 为直径，90ACB ∴∠=7cos 2BC AB CBO ∴=⋅∠=；（2）∵AO=OP ，∵∵PAO=∵P ， ∵P P ∠=∠，EDP ∆与AOP ∆相似，,DPE OPA ∴∆∆P PED PAO OEB ∴∠=∠=∠=∠， C 是AP 中点，CO ∴平分AOP ∠，CO BO =，设,ABC α∠=2,4AOC AOP αα∴∠=∠=，18049022PAO OEB αα-∴∠==-=∠， AOP OEB ABC ∴∠=∠+∠，即4902a a a =-+，18a ABC ∴=∠=；()3 I ．当90EOB ∠=时，作DH AB ⊥∵DH//OP ，∵∵ADH∵∵APO ， ∵23AH DH AD AD AO OP AP AD DP ====+， 23AH AO ∴=， ∵AB=4，∵OA=OB=2，428,,333AH HO BH ∴===， 2,AO OP ==43AH DH ∴==， ∵DH//OP ，∵∵BOE∵∵BHD ， 28433EO OB EO DH HB ∴===， 1EO ∴=，AHD AOED HOED S S S ∆∴=+四边形梯形21414251232333⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； II ．当90OEB ∠=时连接,AC由()1得//AC DP ，∵∵ACD∵∵PED ，∵ACB∵∵OEB ，2AD DP =， ∵2CD AC AD DE PE DP===， 2AC EP ∴=，又,AO BO = ∵=2CB AC AB BE OE BO==， 2,AC EO ∴=2,30AC OP ABC ∴==∠=，60,EOB CAO ∴∠=∠=∵AO=OP ，∵∵PAO=∵APO ，∵PAO+∵APO=∵EOB=60°，∵30CAD AP O O PA ∠=∠==∠，ABC OEB ACD AOED S S S S ∆∆∆∴=--四边形111222AC BC OE BE CD AC =⋅-⋅-⋅ 4,AB =2,AC BC BE ∴===1OE =，CD =111212222AOED S ∴=⨯⨯⨯=四边形综上所述，四边形AOED 的面积为53 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质等．（1）中能借助定理构造直角三角形是解题关键；（2）能借助相似三角形以及圆周角定理表示相关角是解题关键；（3）中注意分类讨论和正确构造图形．5．（2021·上海九年级专题练习）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，过点A 作射线//AM BC ，点D 、E 是射线AM 上的两点（点D 不与点A 重合，点E 在点D 右侧），连接BD 、BE 分别交边AC 于点F 、G ，DBE C ∠=∠．（1）当1AD =时，求FB 的长（2）设AD x =，FG y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结DG 并延长交边BC 于点H ，如果DBH △是等腰三角形，请直接写出AD 的长．【答案】（1）FB =（2）()243604520x y x x +=<<+；（3）94AD =或32或78．【分析】29)(944x x ++ 【详解】（1）在Rt∵ABD 中，AD=1，AB=3，==，∵//AM BC ，∵∵ADF∵∵CBF ， ∵F AD CB DF B ==14， ∵BF=4DF ，∵FB =（2）∵∵ADF∵∵CBF ， ∵4DF BF AF AD x CF CB ===，，∵BF=4x +，DF=4x+，在Rt∵ABC 中，AB=3，BC=4，=5， ∵AF=54x x+， ∵AM∵BC ，∵∵CAD=∵C ，∵DBE C ∠=∠，∵∵CAD=∵DBE ，∵∵AFD=∵BFG ，∵∵ADF∵∵BGF ， ∵F GBF A DF F =， ∵AF FG BF DF ⋅=⋅，∵FG y =，∵5444x y x x x⋅=+++， ∵()243604520x y x x +=<<+；（3）∵∵ADF∵∵BGF ， ∵D GBG A DF F =，∵42054BG x x=++，∵BG = ∵AM∵BC ，∵∵DBE=∵C ，∵DEB=∵CBG ，∵∵BDE∵∵CGB ，∵BE CG BC BD ⋅=⋅，∵4xBE =-，∵GE=BE - ∵AM∵BC ，∵∵DEG∵∵HBG ，∵DE BG BH EG ⋅=⋅， ∵BH=29)(944x x ++，分三种情况：①当BD=BH 时，29()494x x =++78x =； ②当BD=DH 时，则BH=2AD=2x ， ∵29)24(94x x x ++=，解得x=32；③当BH=DH 时，过H 作HP∵BD 于P ，此时BP=12BD =， ∵∵ABD+∵PBH=∵ABD+∵ADB=90︒，∵∵ADB=∵PBH ，∵∵BAD=∵BPH=90︒,∵∵ABD∵∵PHB ，∵BP BD BH AD ⋅=⋅， ∵229)92(449x x x =+++，解得x=94，综上，线段AD 的长为94或32或78．【点睛】此题考查勾股定理，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，分情况讨论问题进行解答，（3）多次证明三角形相似，目的是求出线段BH 的长度，再根据等腰三角形的性质进行解答，如用（2）的思路进行求解BH 的长度，则无法进行求值，只能是通过其他方法求BH ，这是此题的难点．6．（2021·上海）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．【答案】（1）1tan 3DAB ∠=；（2）()2402y x x =-+<≤；（3）-4、8-3．【分析】（1））过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，利用勾股定理解得AD 、AB 的长，再结合等积法，解得DH 、AH 的长即可解题；（2）根据相似三角形对应边成比例的性质，表示()444x EH x -=+，再证明AFE BDE 由AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+得到与x 的关系；（3）根据相似三角形对应边成比例的性质，结合（2）中y 关于x 的函数解析式联立方程组，继而解得x 、y 的值即可解题．【详解】（1）过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB中，AD =AB ∴==142ADB SDB AC ∴=⋅= 12ADB S AB DH =⋅DH ∴=AH == 1tan 3DH DAB AH ∴∠==；（2）过E 作EH∵CB 于H∵EDB ADC ∠=∠，90C EHD ∠=∠=︒ ∵ACD EHD ．∵AC EH CD DH = 即44EHx x EH=--． ∵()444x EH x -=+ ．∵EH∵CB ，90ACB ∠=︒，4AC BC ==∵)44x EB x -==+ ，AB =∵)44x AE x -=+∵EF AD ⊥，90C ∠=︒ ∵AFG ADC ∠=∠ ． ∵EDB ADC ∠=∠ ∵AFG EDB ∠=∠． ∵45FAE B ∠=∠=︒ ∵AFEBDE ．∵AF AE DB BE =即)4444x yxx --=-+整理得，()2402y x x =-+<≤；（3）在Rt∵MDB 中，DB=4-x, 所以MD=MB=(4).2x - 在Rt∵ADM 中，AM=AB 一MB=)(4).22x x -=+ 所以tan∵DAB=44DM xAM x-=⋅+ 按照点F 的位置，分两种情况讨论∵CDF 与∵AGE 相似: ①点F 在线段AC 上，此时y=4-2x. 如图，如果∵FDC=∵DAB ，由tan∵FDC=tan∵DAB,得44y x x x-=⋅+ 结合y=4-2x ，整理，得x2+8x+16=0. 解得-4 或--4 （舍去）,如果∵CFD=∵DAB ，由tan∵CFD=tan∵DAB ，得4.4x x y x-=+ 结合y=4- -2x,整理，得x 2-16x+16=0.解得8x =-8+②点F 在线段AC 的延长线上，此时y=2x -4如图如果∵FDC=∵DAB,由44y x x x-=+结合y=2x -4，整理，得23160.x -=解得或（舍去）如果∵CFD=∵DAB, 44x xy x-=+与y=2x -4 整理，得238160.x x -+= 此方程无解.综上，CD 的值为-4、8- 【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的性质，涉及解二元一次方程组等知识，解题关键是根据题意利用相似三角形性质构造方程．7．（2021·上海九年级专题练习）如图，四边形ABCD 中，4AB AD ==，3CB CD ==，90ABC ADC ∠=∠=︒，点M 、N 是边AB 、AD 上的动点，且12MCN BCD ∠=∠，CM 、CN 与对角线BD 分别交于点P 、Q ．（1）求sin MCN ∠的值：（2）当DN DC =时，求CNM ∠的度数；（3）试问：在点M 、N 的运动过程中，线段比PQMN的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N 相度的位置．【答案】（1）45；（2）45°；（3）不会发生变化，35．【分析】（1）连接AC,利用垂直平分线性质，构造Rt∵ABC ，由正弦三角函数即可求得；（2）证明 ∵BCG∵∵DCN ，得到角相等，再由角相等，得∵GMC∵∵NMC ，由DN DC =解答即可；（3）由D 、C 、N 、P 四点共圆，得到∵CPD=∵CND=∵MNC ，再得∵CPQ∵∵CNM ，由此解答即可．【详解】解：（1）连接AC∵4AB AD ==，3CB CD == ∵AC 垂直平分BD ∵∵ACB=∵ACD=12∵BCD=∵MCN 在Rt∵ABC 中，AB=4，AC=35==∵sin MCN ∠=sin∵ACB=45AB AC = （2）延长AB 至G 点，使BG=DN ，连接CG ， ∵CB=CD ∵CBG=∵CBN=90° ∵∵BCG∵∵DCN∵∵G=∵CND ，CN=CG ，∵BCG=∵DCN∵∵MCN=12∵BCD ∵∵MCB+∵NCD=12∵BCD∵∵GCM=∵GCB+∵GCM=12∵BCD=∵MCN∵CM=CM ， ∵G=∵CND, ∵∵GMC∵∵NMC ∵∵G=∵MNC=∵DNC 当DN=NC 时 ∵DNC=∵DCN=45° ∵∵DNC=∵CNM=45°（3）连接NP , ∵∵ADC=∵ADO+∵CDO=90° ∵ADO+∵CDO=90° ∵∵ADO=∵COD=12∵BCD=∵MCN ∵∵NDP=∵NCP∵D 、C 、N 、P 四点共圆， ∵∵NPC+∵NDC=180° ∵∵NDC=90° ∵∵NPC=90° ∵∵CPD=∵CND=∵MNC ∵∵CPQ∵∵CNM ∵PQ CPMN CN= 在Rt∵CPN 中，CPCN =cos∵MCN=cos∵ACB=35∵不会发生变化35PQ MN =【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形全等性质与判断，三角形相似等知识点，解题的关键是掌握性质与判定．8．（2021·上海九年级专题练习）已知⊙MAN 是锐角，点B 、C 在边AM 上，点D 在边AN 上，⊙EBD =⊙MAN ，且CE ⊙BD ，sin⊙MAN =35， AB =5，AC =9．（1）如图1，当CE 与边AN 相交于点F 时，求证：DF ·CE =BC ·BE ；（2）当点E 在边AN 上时，求AD 的长；（3）当点E 在⊙MAN 外部时，设AD =x ，⊙BCE 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域．【答案】（1）证明见解析；（2）AD=4±（3）224825x y x x =-+．定义域为：44x <<．【分析】（1）根据CE∵BD ，得出∵CEB=∵DBE ，∵DBA=∵BCE 结合题干证明出∵ABD∵∵ECB ，进而得到AD EBAB EC＝，再等量代换即可得到DF·CE=BC·BE ．（2）过点B 作BH∵AN ，垂足为H ．根据条件先证明出∵CEB∵∵CAE ，得到2CE =CB CA ⋅，代入求出CE ，再根据BD ABCE AC=求出BD ，利用三角函数求出BH ，根据勾股定理即可求出AD ．（3）过点B 作BH∵AN ，垂足为H ．BH=4，AH=3，DH=4x -根据∵ECB∵∵ABD 得到22EBC ADB S BC S BD △△＝，代入化简为224825xy x x =-+即可求解．【详解】解：（1）∵CE∵BD ， ∵∵CEB=∵DBE ，∵DBA=∵BCE ． ∵∵A=∵DBE ， ∵∵A=∵BEC ． ∵∵ABD∵∵ECB ， ∵AD EBAB EC＝． ∵AD DFAB BC=， ∵EB DFEC BC=， ∵DF·CE=BC·BE ．（2）过点B 作BH∵AN ，垂足为H ．∵CE∵BD ， ∵∵CEB=∵EBD=∵A ，又∵∵BCE=∵ECA ， ∵∵CEB∵∵CAE ， ∵CE CACB CE=， ∵2CE =CB CA ⋅． ∵AB=5，AC=9，∵BC=4，∵24936 CE==⨯，∵CE=6．∵BD AB CE AC=，∵561093AB CEBD==AC⋅⨯=．在Rt∵ABH中，3sin535BH AB A=⋅=⨯=，4．==．AD=4．（3）过点B作BH∵AN，垂足为H．BH=4，AH=3，DH=4x-．2222224)3825BD=DH+BH x x x=-+=-+（．∵∵ECB∵∵ABD，∵22EBCADBS BCS BD△△＝．∵1322ABDS AD BH x=⋅△＝，∵21638252yx xx=-+，∵224825xyx x=-+．定义域为4433x-<<+．【点睛】此题属于平面几何的综合应用，主要利用三角形相似，找到相似比，根据相似比求值，计算量较大，有一定难度．9．（2021·上海九年级专题练习）四边形ABCD是菱形，⊙B≤90°，点E为边BC上一点，联结AE，过点E作EF⊙AE，EF与边CD交于点F，且EC=3CF．（1）如图1，当⊙B=90°时，求ABES与ECFS的比值；（2）如图2，当点E 是边BC 的中点时，求cos B 的值；（3）如图3，联结AF ，当⊙AFE=⊙B 且CF=2时，求菱形的边长．【答案】（1）94；（2）15；（3）17. 【分析】（1）先证明：,BEA CFE ∽可得：BE ABCF CE=，结合：3,EC CF =可得：3,AB BE =再设,,CF a BE b == 可得3,AB BC b a ==+而3AB b =，建立方程：33,b a b +=可得：3,2b a = 再利用相似三角形的性质可得答案．（2）延长,AE DC 相交于G ，过F 作FHAD ⊥于,H 连接AF ，先证明：,ABE GCE ≌可得：,,AB CG AE GE == 证明：AF FG =，设,CF a = 再设DH x =，利用22222,AF AH FH DF DH -==-求解x ，可得cos ,D 从而可得答案；（3）如图，过E 作EG DC ⊥交DC 的延长线于G ，延长CG 至H ,使,CG HG = 证明：6EH EC ==，设,DF x = ,HG GC y == 证明：,AFE B D ECH H ∠=∠=∠=∠=∠可得：cos ,6EF ycoc AFE H AF ∠==∠=再证明：,FEH AFD ∽利用相似三角形的性质列方程组，解方程组可得答案．【详解】解：（1）四边形ABCD 是菱形，90B ∠=︒，∴ 四边形ABCD 是正方形，90B C ∴∠=∠=︒， 90BAE BEA ∴∠+∠=︒，,EF AE ⊥90BEA CEF ∴∠+∠=︒，,BAE CEF ∴∠=∠,BEA CFE ∴∽BE ABCF CE ∴=， ,BE CF AB CE∴= 3,EC CF = 3,AB BE ∴=设,,CF a BE b ==3,CE a ∴=3,AB BC b a ∴==+而33,AB BE b ==33,b a b ∴+=3,2b a ∴=9,2AB a ∴=22992.34ABE CEFaS AB SCE a ⎛⎫ ⎪⎛⎫∴===⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭（2）延长,AE DC 相交于G ，过F 作FHAD ⊥于,H 连接AF ，菱形ABCD ，//,AB CD ∴,BAE G ∴∠=∠ E 为BC 的中点，,BE CE ∴=,AEB CEG ∠=∠()ABE GCE AAS ∴≌,,,AB CG AE GE ∴==,AE EF ⊥,AF FG ∴=设,CF a = 则3,CE BE a == 6AB BC DC CG AD a =====，75,FG AF a DF a ∴===，设,DH x =22222,AF AH FH DF DH ∴-==-()()()2222765,a a x a x ∴--=- ,x a ∴=,DH a ∴=1cos ,55DH a D DF a ∴=== 由菱形ABCD 可得：,B D ∠=∠1cos .5B ∴= （3）如图，过E 作EG DC ⊥交DC 的延长线于G ，延长CG 至H ,使,CG HG =,,EC EH H ECH ∴=∠=∠23,CF CE CF ==，6CE EH ∴==，设,DF x = ,HG GC y ==则2,DC AD x ==+,6HG y coc H EH ∴∠== 菱形ABCD ，,//,B D AB CD ∴∠=∠,B ECH ∴∠=∠,AFE B ∠=∠,AFE B D ECH H ∴∠=∠=∠=∠=∠cos ,6EF y coc AFE H AF ∴∠==∠= ,AFH AFE EFH D DAF ∠=∠+∠=∠+∠,EFH DAF ∴∠=∠,FEH AFD ∴∽,EH HF EF DF ADAF ∴== 622,26y y x x +∴==+ 361012xy xy y =⎧∴⎨=+⎩，解得：15,2.4x y =⎧⎨=⎩经检验：152.4x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解，217,CD x ∴=+=即菱形ABCD 的边长为：17.【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，菱形，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解分式方程组，掌握以上知识是解题的关键．10．（2021·上海九年级专题练习）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点D 为斜边AB 的中点，ED AB ⊥，交边BC 于点E ，点P 为射线AC 上的动点，点Q 为边BC 上的动点，且运动过程中始终保持PD QD ⊥．（1）求证：ADP EDQ △△；（2）设AP x =，BQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接PQ ，交线段ED 于点F ，当PDF 为等腰三角形时，求线段AP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）253250443y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭；（3）256或53 【分析】（1）根据ED AB ⊥，PD QD ⊥得A DEQ ∠=∠，ADP EDQ ∠=∠，即可得ADP EDQ △△．（2）先根据相似三角形的性质、中点性质以及锐角三角函数的概念得出tan EQ ED ED B AP AD BD===，求出34EQ x =，再根据BQ BE EQ =-，列出函数关系式，化简即可．（3）先证PDF BDQ △△，再分3种情况讨论，分别求出AP 的长．【详解】解：（1） PD QD ⊥，ED AB ⊥∵A DEQ ∠=∠，ADP EDQ ∠=∠，∵ADP EDQ △△．（2）ADP EDQ △△， ∵EQ ED AP AD= 又点D 为斜边AB 的中点， ∵AD BD = ，EQ ED ED AP AD BD== 又ED AB ⊥在Rt BDE 中tan =ED ED EQ B BD AD AP ==，又6tan =8AC BC DE B BD ==，由勾股定理得：BC =10 D 为AB 中点，∵BD =5， DE =154，由勾股定理得：BE =254 AP x =，可得34EQ x =， BQ BE EQ =-，253250443y x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭．（3）tan tan DQ ED ED FPD B DP AD BD∠====， ∵FPD B ∠=∠，又∵PDF BDQ ∠=∠，∵PDF BDQ △△， ∵PDF 为等腰三角形时，BDQ △亦为等腰三角形．若DQ BQ =，12cos BD B BQ=，542253544x =-，解得256x ．若BD BQ =，253544x -=，解得53x =． ③若DQ BD =，2180B DQB BDQ B BDQ ︒∠+∠+∠=∠+∠<，此种情况舍去．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，三角函数，正确和熟练应用相似三角形的性质得到各线段之间的数量关系是解决本题的关键．11．（2021·上海嘉定区·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点E 在CD 边上，1tan 2EAD ∠=．点F 是线段AE 上一点，连接BF ，CF ．（1）如果3tan 4CBF ∠=，求线段AF 的长；（2）如果12CF BC =． ①求证：CFE DAE ∠=∠；②求线段EF 的长．【答案】（1）5；（2）①证明见解析；【分析】（1）如图：作FG AB ⊥，设AG k =、FG=2k,然后用k 表示出BG ，在根据AG+BG=AB 求出K 即可完成解答；（2）①作CG EF ⊥，先用矩形的性质和解三角形的相关知识求得EG 、CG 、FG ，最后说明1tan tan 2CFE DAE ∠==∠即可证明； ②直接运用线段的和差计算即可．【详解】解：（1）如图：作FG AB ⊥，设AG k =， ∵1tan 2EAD ∠=∵1tan 2AG GFA FG ∠==,即22FG AG k ==， ∵3tan 4CBF ∠= ∵4tan 3ABF ∠=， ∵43FG BG =，即3342BG FG k == ∵AG+BG=AB∵362k k+=．∵125k=，∵AF====（2）作CG EF⊥，①∵矩形ABCD∵BC=AD=8,CD=AB=6∵12CF BC==4∵1 tan2DEEADAD∠==∵182DE=即DE=4, tan2FED∠=∵CE=CD-DE=6-4=2,∵∵CEG=∵DEA∵tan∵CEG=tan∵DEA=2∵tan∵CEG=2=CG EG设EG=m,则CG=2mCE=,2=，解得∵EG=CG=∵FG===∵1tan tan2CFE DAE∠==∠∵CFE DAE ∠=∠；②EF FG EG =-==．【点睛】本题属于三角函数的综合题，主要考查了解三角形、正切以及勾股定理等内容，灵活运用三角函数解直角三角形成为解答本题的关键．12．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 在边AB 上（点E 与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ．设AE x =，DH y =．（1）求证：ADE CDF ∽△△，并求EFD ∠的正切值；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接BG ，当BGE △与DEH △相似时，求x 的值．【答案】（1）证明见解析；12；（2）222(02)21x y x x +=<<+；（3）x =x =【分析】（1）根据垂直关系得到ADE CDF ∠=∠，根据AA 即可证明ADE CDF ∽△△，得到12DE AD DF CD ==，再根据正切的定义即可求解tan EFD ∠；（2）先证明FCH FBE △∽△，得到FC CH FB BE =，代入得到22212x y x x-=+-，故可求解；（3）根据题意分BEG DHE △∽△和EGB HDE △∽△，分别列出比例式求出x 的值即可求解．【详解】解：（1）∵90ADE CDE ︒∠+∠=，90CDF CDE ︒∠+∠=∵ADE CDF ∠=∠在Rt EAD 和Rt FCD 中90ADE CDF EAD FCD ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩90EAD FCD ︒∠=∠=∵FAD FCD △∽△∵2AB DC ==，1AD =， ∵12DE AD DF CD == ∵1tan 2DE EFD DF ∠== （2）由（1）可知ADE CDF ∽△△ ∵12EA DE AD FC DF CD === ∵22FC EA x ==∵AB //CD∵FCH FBE △∽△， ∵FC CH FB BE= ∵22212x y x x -=+- ∵222(02)21x y x x +=<<+，（3）∵AE x =，DH y =，过点E 作EM∵CD 于M 点，∵四边形AEMD 为矩形∵MH=DH -DM=DH -AE=y -x ，∵2BE x =-，DE =EH =∵AB //CD∵AEG CHG △∽△ ∵EG AE HG CH= ∵EG AE EH AE CH=+ ∵AE EG EH AE CH =⋅+ ∵BEG DHE ∠=∠，若BEG DHE △∽△， ∵BE EG DH HE= ∵BE AE DH AE CH =+ 即22x x y x y-=+- 化简得2240x y +-= ∵22221x y x +=+ ∵222212240x x x +⨯-++= 化简得22508x x +=-解得x =x =若EGB HDE △∽△ ∵BE EG EH HD= ∵2AE BE HD HE AE CH⋅=⋅+ 即2(2)1()2x x y y x x y ⎡⎤-=⋅+-⎣⎦+- ∵22221x y x +=+代入化简得22637200x x ++= ∵=372-4×26×20=-711＜0，综上，x =x =BGE △与DEH △相似．【点睛】本题考查了矩形的性质、函数关系式、正切的定义、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．13．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知在等腰ABC 中，AB AC ==，tan 2ABC ∠=，BF AC ⊥，垂足为F ，点D 是边AB 上一点（不与A ，B 重合）（1）求边BC 的长；（2）如图2，延长DF 交BC 的延长线于点G ，如果CG 4=，求线段AD 的长；（3）过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，DE 交BF 于点Q ，连接DF ，如果DQF △和ABC 相似，求线段BD 的长．【答案】（1）10；（2（3．（1）如图作AH BC ⊥交BC 于点H ，设BH =x ，根据正切可求出AH =2x ，再根据勾股定理解出x 即可．（2）作//DE BC 交AC 于点E ，利用三角形面积公式可求出BF 的长，再利用勾股定理可求出CF ，从而得到AF ．再利用ADE ABC 和DEF GCF 结合边的等量关系得到两个关于未知边的方程组，解出方程组即可．（3）根据题意可证明C DQF ∠=∠，所以分两种情况讨论①当DQ=DF 时，如图，作DP BF ⊥交BF 于点P ，BE x =，再反复利用正切函数结合勾股定理求出x 的值，最后再利用正切函数即可求出BD 的长②当DF=QF 时，如图，作FO DQ ⊥ 交DQ 于点O ，同理设BE x =，解出x 的值，最后再利用正切函数即可求出BD 的长．【详解】（1）如图作AH BC ⊥交BC 于点H ，设BH =x ，根据题意，tan 2AH ABC BH∠==， ∵AH =2x ，在Rt ABH 中，222AB AH BH =+，∵222(2)x x =+解得x =5．∵BH = 5．又∵ABC 是等腰三角形，即H 点为BC 中点，∵BC =2BH =10．（2）根据题意可知1122ABC S AH BC BF AC =⨯⨯=⨯⨯，即1010BF ⨯=⨯∵BF=∵CF===，AF AC CF=-==．作//DE BC交AC于点E，∵ADE ABC，得到：DE AEBC AC=，即10DE=．DEF GCF，得到：DE EFCG CF=．又∵EF AF AE AE=-=∵4DE=由104DEDE⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3DE=，AE=．∵//DE BC，ABC是等腰三角形，∵ADE也是等腰三角形，∵AD AE==（3）∵90BQE QBE∠+∠=︒，90C QBE∠+∠=︒，∵BQE C∠=∠，又∵BQE DQF ∠=∠，∵C DQF ∠=∠当DQ=DF 时，如图，作DP BF ⊥交BF 于点P ，设BE x =，∵tan tan tan tan 2ABC C BQE DQP ∠=∠=∠=∠=, ∵2x QE =，∵2BQ x ===，∵QF BF BQ =-=，∵124QP PF QF x ===， ∵tan 2DQP ∠=,∵5104DQ x ==-， ∵531010424x DE DQ QE x x =+=-+=-， ∵tan 2DE ABC BE ∠==，即31042x x-=，解得x =4011，经检验是原方程的解，即4011BE =．∵11BD ==．当DF=QF 时，如图，作FO DQ ⊥ 交DQ 于点O ，设BE x =，同理2x QE =，2BQ x =，2QF x =， ∵ tan tan 2OQF BQE ∠=∠=,∵142OQ x ==-， ∵28DQ OQ x ==-， ∵8822x x DE DQ QE x =+=-+=+，同理∵tan 2DE ABC BE ∠==，即822x x+=，解得165x =，经检验是原方程的解，165BE =．∵BD == ．【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正切函数，边的等量关系等知识，作出每一个问的辅助线是解答本题的关键，综合性较强，较难．需特别注意最后问的分情况讨论． 14．（2020·上海九年级二模）如图，在O 中，半径O 长为1，弦//BC OA ，射线BO ，射线CA 交于点D ，以点D 为圆心，CD 为半径的D 交BC 延长线于点E ．（1）若85BC =，求O 与D 公共弦的长；（2）当ODA 为等腰三角形时，求BC 的长；（3）设BC x =，CE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．【答案】（1）4825CM =；（2）BC =（3）22(12)1x x y x x -=<<-．【分析】（1）设CM 是两圆的公共弦，CM 交BD 于N ，交OA 于K ，BD 交O 于G ，连接OC 、CG 交OA 于H ，由题意易得OA CG ⊥，CH HG =，进而可证KON KCH ∠=∠，1425OH BC ==，最后根据勾股定理及相似三角形的性质可求解；（2）当OAD △是等腰三角形时，观察图形可知，只有OA AD =，则有AOD ADO COA ∠=∠=∠，设AC x =，则有2OC CA CD =⋅，进而求出x ，最后求解即可；（3）作DN CE ⊥于N ，根据题意可证AOC CDE B ∠=∠=∠，进而有BE BD =，则可得BG BC GD CN =，最后进行求解即可．【详解】解：（1）如图1中，设CM 是两圆的公共弦，CM 交BD 于N ，交OA 于K ，BD 交O 于G ，连接OC 、CG 交OA 于H ，∵BG 是直径，∵90BCG ∠=︒，∵//BC OA ，∵90OHG BCG ︒∠=∠=，∵OA CG ⊥，∵CH HG =，∵CM BD ⊥，∵90ONK CHK ︒∠=∠=，∵OKN CKH ∠=∠，∵KON KCH ∠=∠，∵OG OB =，CH HG =， ∵1425OH BC ==， ∵1OC =，∵35CH HG ===， ∵OGH CGN ∠=∠，GCN GOH ∠=∠，∵GCN GOH ∽△△， ∵CN CG OH OG=， ∵65415CN =， ∵2425CN =， ∵48225CM CN ==．（2）如图2中，当OAD △是等腰三角形时，观察图形可知，只有OA AD =，∵AOD ADO COA ∠=∠=∠，∵OCA OCD ∠=∠，∵OCA DCO ∽△△，设AC x =，则有2OC CA CD =⋅，∵1(1)x x =+，∵12x -=或12--（舍弃），∵CD CA AD =+ ∵//OA BC ，∵AOD B ODA ∠=∠=∠，∵BC CD ==；（3）如图3中，作DN CE ⊥于N ，∵DC DE =，∵DCE E ∠=∠，∵//BC OA ，∵OAC DCE OCA ∠=∠=∠，∵AOC CDE B ∠=∠=∠，∵E BDE ∠=∠，∵BE BD =，∵CG BE ⊥，DN BE ⊥，∵//CG DN ， ∵BG BC GD CN=， ∵22x y DG =， ∵y DG x=， ∵BD BE =， ∵2y x y x+=+， ∵22(12)1x x y x x -=<<-．【点睛】本题主要考查圆的综合运用及相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．15．（2020·上海浦东新区·九年级三模）已知：如图，在Rt⊙ABC 中，⊙ACB =90°，BC =3，AC =4．D 是边AB 的中点，点E 为边AC 上的一个动点（与点A 、C 不重合），过点E 作EF ⊙AB ，交边BC 于点F ．联结DE 、DF ，设CE =x ．（1）当x =1时，求⊙DEF 的面积；（2）如果点D 关于EF 的对称点为D’，点D’ 恰好落在边AC 上时，求x 的值；（3）以点A 为圆心，AE 长为半径的圆与以点F 为圆心，EF 长为半径的圆相交，另一个交点H 恰好落在线段DE 上，求x 的值．【答案】(1)9;8DEF S ∆=(2)39;16x = (3)64.41x = 【分析】（1）过点E 作EM AB ⊥，由EF∵AB 得EM 为∵DEF 边EF 上的高，通过计算求出EF 、EM 即可求出∵DEF 面积；（2）过点E 作EN AB ⊥，垂足为点N ，设DD '与EF 相交于点Q ，根据对称性知DD EF '⊥，12QD DD '=，分别在Rt∵AD D’和Rt∵AEN 中解直角三角形即可解得x 值；（3）AF 与DE 相交于点G ，在Rt∵CEF 中，用x 表示出AF ，利用EF∵AB 得AG AD FG EF =，用x 表示出AG ，再用两圆相交的性质知AF∵DE ，进而证得AGE ACF ~即AG AE AC AF =，代入数值即可得关于x 的方程，解之即可解得x 值．【详解】解：（1）如图1，过点E 作EM AB ⊥，垂足为点M .在Rt ACB 中，90ACB ∠=，3BC =，4AC =，5AB ∴=，3sin 5A ∠=. 1CE =，4AC =，3AE ∴=.在Rt AME 中，90AME ∠=，3sin 5A ∠=，3AE =，95EM ∴=. //EF AB ，CE EF CA AB ∴=. 又1CE =，54EF ∴=. EF 11599M 22458D S EF E ∴=⋅=⨯⨯=.。