河北省定州中学高一数学(人教版)必修三学案：2.2.2用样本数字特征估计总体数字特征
数学学案
——用样本的数字特征估量总体的数字特征
教学目标：1、会依据数据以及频率分布正方图求样本的众数、中位数、平均数；
2、把握标准差、方差的定义和特征并会求标准差与方差；
3、会应用统计这些数字特征解决简洁的统计实际问题。
学问点梳理：
1、众数、中位数、平均数的概念：
（1）众数：_______________________________________________；
（2）中位数：______________________________________________；
（3）平均数：_______________________________________________；
2、频率分布正方图中估量众数、中位数、平均数：
（1）众数：_______________________________________________；
（2）中位数：______________________________________________；
（3）平均数：_______________________________________________；
3、标准差、方差的求法：
（1）标准差：______________________________________________
（2）方差：________________________________________________
说明：标准差（方差）用来衡量样本数据的离散程度，标准差（方差）越大，数据的离散程度越大；标准差（方差）越小，数据的离散程度越小，说明越密集，越稳定。
典型例题：
类型一众数、中位数、平均数的概念
例1、某校课外活动小组对该市做空气含尘量调查，下面是一天中每隔两小时测得的数据（单位：g/m3）:0.03,0.04,0.03,0.02,0.04,0.01,0.03,0.03,0.04,0.05,0.01,0.03.
（1）求出这组数据的众数与中位数；
（2）若国标（国家环保总局的标准）是平均值不得超过0.025 g/m3，则这一天该城市的空气是否符合国标。
评析：明确众数、中位数、平均数的概念及计算方法。
类型二、由频率分布直方图求样本的众数、中位数、平均数
例2、某中学进行电脑学问竞赛，先将参赛同学的成果进行整理
后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中
从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、
0.40、0.15、0.10、0.05.
求（1）成果的众数与中位数；
（2）平均成果。
类型三数据的计算与分析
例1、对甲、乙的学习成果进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：
问：甲、乙谁的平均成果最好？谁的各门功课进展较平衡？
评析：平均数反映了数据的集中趋势，而方差反映了数据的离散程度，这是分析实际问题的两组关键数据。
课堂小结
1．用样本的数字特征估量总体的数字特征分两类：
a)用样本平均数估量总体平均数。
b)用样本标准差估量总体标准差。
样本容量越大，估量就越精确。
2．平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平。
3．标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度。
随堂训练
1、下列说法中，正确的是（）
（1）数据4、6、6、7、9、4的众数是4。
（2）平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势。
（3）平均数是频率分布直方图的“重心”。
（4）频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数。
A．（1）（2）（3） B.（2）（3） C.（2）（4） D.（1）（3）（4）、
2、在只有4种结果且被分成4组的频率分布直方图中，最高小矩形所对应的结果所对的数字特征是（）
A 中位数
B 众数
C 平均数
D 标准差
3、一个样本数据按从小到大的挨次排列为13,14,19，x，23,27,28,31，其中位数为22，则x=_______.
4、在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：
9.48.49.49.99.69.49.7去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为________。
5、数据
123
,,,...,
n
a a a a的方差为2
σ，则数据
123
2,2,2,...,2
n
a a a a的方差为__________。
6、已知样本9,10,11,,x y的平均数是10，标准差是2，则xy=.。
人教课标版高中数学必修3《用样本的数字特征估计总体的数字特征》参考学案
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征课前预习学案一、预习目标：通过预习，初步理解众数、中位数、平均数、标准差、方差的概念。
二、预习内容：1、知识回顾：作频率分布直方图分几个步骤？各步骤需要注意哪些问题？2、众数、中位数、平均数的概念众数:______________________________________________________________ 中位数:_____________________________________________________________ 平均数:______________________________________________________________ 3.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系：众数在样本数据的频率分布直方图中，就是_______________________________ 中位数左边和右边的直方图的________应该相等，由此可估计中位数的值。
平均数是直方图的___________.4.标准差、方差标准差s=___________________________________________________________ 方差s2=___________________________________________________________ 三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标：1. 能说出样本数据标准差的意义和作用，会计算数据的标准差2. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释；3. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
二、学习内容1.众数、中位数、平均数思考1：分别利用原始数据和频率分布直方图求出众数、中位数、平均数，观察所得的数据，你发现了什么问题？为什么会这样呢？思考2：你能说说这几个数据在描述样本信息时有什么特点吗？由此你有什么样的体会？练一练：假如你是一名交通部门的工作人员，你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额，其中一条新公路的建设投资为2000万元人民币，另外25个项目的投资是20～100万元。
人教版高中数学必修三(教案)2.2.2 用样本的数字特征估计总体数字特征(二)
第四课时2.2.2 用样本的数字特征估计总体数字特征(二)教学要求：正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释. 会用样本的数字特征估计总体的数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识.教学重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。
教学难点：能应用相关知识解决简单的实际问题。
教学过程：一、复习准备：1. 提问：如何通过频率分布直方图估计数字特征（中位数、众数、平均数）？2. 在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述样本数据，试比较两个运动员的水平？（平均数公式：12n x x x x n ++⋅⋅⋅+=；或1122m m x f x f x f x n++⋅⋅⋅+=.） 3. 讨论：判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？ → 引入课题（标准差、方差）二、讲授新课：1、教学标准差与方差：① 讨论：频率分布直方图能否反映数据的离散程度？（极差反映了数据的变化的幅度. → 去掉最高分、最低分的统计策略）② 定义标准差：样本数据到平均数的平均距离，也是我们统计中经常用到的量.“平均距离”，用s 表示，12||||||n x x x x x x s n -+-+⋅⋅⋅-=，其中x 为样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数. 由于含有绝对值，运算不方便，用s =.意义：标准差用来表示稳定性，标准差越大，数据的离散程度就越大，也就越不稳定. 同时，[2,2]x s x s -+几乎包含了所有样本数据. ③ 练习：计算复习题2中所给数据的标准差. （笔算、计算器算） ④习惯用标准差的平方2s ——方差来表示数据的分散程度，即222212()()()n x x x x x x s n -+-+⋅⋅⋅+-=. 两者都是描述一组数据围绕平均数波动的大小，实际应用中比较广泛的是标准差.⑤ 练习：计算复习题2中所给数据的方差. （笔算）； 教材P67页 例1,比较平均数与标准差.2、教学例题：① 出示例2：教材P68页 . （学生用计算器计算——老师分析——总结方法）方法点拔：在应用平均数与方差解决实际问题时，先比较平均数，再看方差（或标准差）② 练习：P70第2、3题.3. 小结：处理样本数据特征进而估计总体的数据特征，我们主要从平均数与方差（或标准差）两个方向去分析. 先比较平均数，再看方差（或标准差）.三、巩固练习：1. 练习：教材 P73第7题.2. 作业：教材 P73第6题.。
人教版高中数学必修三导学案 用样本的数字特征估计总体的特征
2．2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征1．问题导航(1)什么是众数、中位数、平均数、方差、标准差？ (2)如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数？ (3)方差与标准差的联系与区别是什么？ 2．例题导读通过对例1的学习，理解标准差的意义；通过对例2的学习，学会在实际生活中，如何用平均数与标准差来进行估计．1．众数、中位数、平均数 (1)众数、中位数、平均数的概念①众数：在一组数据中，出现次数最多的数据(即频率分布最大值所对应的样本数据)叫这组数据的众数．若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样，则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数．②中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫这组数据的中位数．③平均数：指样本数据的算术平均数． 即x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )．(2)众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系众数众数是最高矩形的中点所对应的数据，表示样本数据的中心值中位数①在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等，由此可以估计中位数的值，但是有偏差；②表示样本数据所占频率的等分线平均数①平均数等于每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和；②平均数是频率分布直方图的重心，是频率分布直方图的平衡点2.标准差与方差(1)标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，计算时通常用公式s＝1n[（x1－x）2＋（x2－x）2＋…＋（x n－x）2]．显然，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．(2)方差：标准差s的平方s2，即s2＝1n[(x1－x)2＋…＋(x n－x)2]叫做这组数据的方差，同标准差一样，方差也是用来测量样本数据的分散程度的特征数．1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)(1)数据5，4，4，3，5，2的众数为4；()(2)数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半；()(3)方差与标准差具有相同的单位；()(4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．()解析：(1)中的众数应为4和5；(2)正确；(3)二者单位不一致；(4)正确，平均数也应减去该常数，方差不变．答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是()A．平均数>中位数>众数B．平均数<中位数<众数C．中位数<众数<平均数D．众数＝中位数＝平均数解析：选D.平均数、中位数、众数皆为50，故选D.3．已知五个数据3，5，7，4，6，则该样本的标准差为________． 解析：∵x ＝15×(3＋5＋7＋4＋6)＝5，∴s ＝15×[（3－5）2＋…＋（6－5）2]＝ 2. 答案： 24．标准差、方差的意义是什么？解：标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．1．样本众数通常用来表示分类变量的中心值，容易计算，但是它只能表达样本数据中的很少一部分信息，通常用于描述分类变量的中心位置．2．中位数不受少数几个极端数据(即排序靠前或排序靠后的数据)的影响，容易计算，它仅利用了数据中排在中间数据的信息．当样本数据质量比较差，即存在一些错误数据(如数据的录入错误、测量错误等)时，应该用抗极端数据强的中位数表示数据的中心值，可以利用计算机模拟样本，向学生展示错误数据对样本中位数的影响程度．3．平均数受样本中的每一个数据的影响，“越离群”的数据，对平均数的影响也越大．与众数和中位数相比，平均数代表了数据更多的信息．当样本数据质量比较差时，使用平均数描述数据的中心位置可能与实际情况产生较大的误差．可以利用计算机模拟样本，向学生展示错误数据对样本平均数的影响程度．在体育、文艺等各种比赛的评分中，使用的是平均数．计分过程中采用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法，就是为了防止个别裁判的人为因素而给出过高或过低的分数对选手的得分造成较大的影响，从而降低误差，尽量保证公平性．4．如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息，帮助我们作出决策．5．使用者常根据自己的利益去选取使用中位数或平均数来描述数据的中心位置，从而产生一些误导作用．中位数、平均数的综合应用下面是某快餐店所有工作人员一周的收入表：老板大厨二厨采购员杂工服务生会计3 000元450元350元400元320元320元410元(1)计算所有人员的周平均收入；(2)这个平均收入能反映打工人员的周收入的一般水平吗？为什么？(3)去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的周收入的水平吗？[解](1)周平均收入x1＝17(3 000＋450＋350＋400＋320＋320＋410)＝750(元)．(2)这个平均收入不能反映打工人员的周收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员．(3)去掉老板的收入后的周平均收入x2＝16(450＋350＋400＋320＋320＋410)＝375(元)，这能代表打工人员的周收入水平．方法归纳平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受几个极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征．扫一扫进入91导学网(91daoxue.)极差、众数、中位数、平均数的作用和求法1．(1)10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有()A．a>b>c B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>a解析：选D.总和为147，a＝14.7；样本数据17分布最广，即频率最大，为众数，c＝17；从小到大排列，中间一位，或中间二位的平均数，即b＝15.(2)某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩(满分100分)统计如下表：班级平均分众数中位数标准差甲班79708719.8乙班797079 5.2①请你对下面的一段话给予简要分析：甲班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均分是79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！”②请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议．解：①由中位数可知，85分排在第25名之后，从名次上讲，85分不算是上游．但也不能单以名次来判断学习成绩的好坏，小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握较好．②甲班学生成绩的中位数为87分，说明高于或等于87分的学生占一半以上，而平均分为79分，标准差很大，说明低分也多，两极分化严重，建议对学习有困难的同学多给一些帮助；乙班学生成绩的中位数是79，平均数为79，说明平均水平与甲班相同，而标准差较小说明乙班分数大多数都集中在79分左右，高分人数和低分人数都较少，建议培养高分学生，提高平均水平．用频率分布表或直方图求数字特征已知一组数据：125121123125127129125128130129 126124125127126122124125126128(1)填写下面的频率分布表：分组频数频率[120.5，122.5)[122.5，124.5)[124.5，126.5)[126.5，128.5)[128.5，130.5]合计(2)作出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数．(链接教材P76例1)[解](1)分组频数频率[120.5，122.5)20.1[122.5，124.5)30.15[124.5，126.5)80.4[126.5，128.5)40.2[128.5，130.5]30.15合计201(2)频率分布直方图如图：(3)在[124.5，126.5)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为125.5，事实上，众数的精确值为125.又∵前两个小矩形的频率和为0.25.∴设第三个小矩形底边的一部分长为x.则x×0.2＝0.25，得x＝1.25.∴中位数为124.5＋1.25＝125.75.事实上中位数为125.5.使用“组中值”求平均数：x＝121.5×0.1＋123.5×0.15＋125.5×0.4＋127.5×0.2＋129.5×0.15＝125.8，平均数的精确值为x＝125.75.方法归纳利用频率分布直方图求数字特征：①众数是最高的矩形的底边的中点．②中位数左右两侧直方图的面积相等．③平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标．④利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致．但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数．2．(1)(2015·福建检测)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m0，平均值为x，则()A ．m e ＝m 0＝xB ．m e ＝m 0<xC ．m e <m 0<xD ．m 0<m e <x解析：选D.由题意得m 0＝5，m e ＝5＋62＝5.5，x ＝2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×1030＝17930，显然x >m e >m 0，故选D. (2)某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.求：①高一参赛学生的成绩的众数、中位数； ②高一参赛学生的平均成绩．解：①用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得众数为65，又∵第一个小矩形的面积为0.3，∴设第二个小矩形底边的一部分长为x ，则x ×0.04＝0.2，得x ＝5，∴中位数为60＋5＝65.②依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67， ∴平均成绩约为67分．标准差、方差的应用甲、乙两机床同时加工直径为100 mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．(链接教材P77例2)[解](1) x甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，s2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s2甲>s2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定．[互动探究]在本例中，若甲机床所加工的6个零件的数据全都加10，那么所得新数据的平均数及方差分别是多少？解：甲的数据为99＋10，100＋10，98＋10，100＋10，100＋10，103＋10，平均数为100＋10＝110，方差仍为16[(109－110)2＋(110－110)2＋(108－110)2＋(110－110)2＋(110－110)2＋(113－110)2]＝73.方法归纳在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策，在平均值相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性．3．(2014·高考陕西卷)某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为x －和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A.x －，s 2＋1002B.x －＋100，s 2＋1002 C.x －，s 2 D.x －＋100，s 2解析：选D.x 1＋x 2＋…＋x 1010＝x －，y i ＝x i ＋100，所以y 1，y 2，…，y 10的均值为x －＋100，方差不变，故选D.数学思想分类讨论思想在解决统计问题中的应用某班4个小组的人数为10，10，x ，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数．[解] 该组数据的平均数为14(x ＋28)，中位数一定是其中两个数的平均数，由于x 不知是多少，所以要分几种情况讨论．(1)当x ≤8时，原数据按从小到大的顺序排列为x ，8，10，10，其中位数为12×(10＋8)＝9.若14(x＋28)＝9，则x ＝8，此时中位数为9.(2)当8<x ≤10时，原数据按从小到大的顺序排列为8，x ，10，10，其中位数为12(x ＋10)．若14(x＋28)＝12(x ＋10)，则x ＝8，而8不在8<x ≤10的范围内，所以舍去．(3)当x >10时，原数据按从小到大的顺序排列为8，10，10，x ，其中位数为12×(10＋10)＝10.若14(x ＋28)＝10，则x ＝12，此时中位数为10. 综上所述，这组数据的中位数为9或10. [感悟提高]在解决问题时，由于条件的变化，问题的结果有多种情况，不能用同一标准或同一种方法解决，这就需要对条件进行分类讨论．当在数据中有未知数x求其中位数时，因x的取值不同，所以数据由大到小(或由小到大)的排列顺序不同，故中位数也不同，这就是本题分类讨论的原因．1．一组数据的方差一定是()A．正数B．负数C．任意实数D．非负数解析：选D.方差可为0和正数．2．(2015·长沙四校联考)为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是()A．中位数为83 B．众数为85C．平均数为85 D．方差为19解析：选C.易知该同学的6次数学测试成绩的中位数为84，众数为83，平均数为85，方差为19.7.3．某班50名学生右眼视力的检查结果如表所示：视力0.10.20.30.40.50.60.70.8 1.0 1.2 1.5人数11343446810 6 则该班学生右眼视力的众数为________，中位数为________．解析：中间位置的数据0.8为中位数，出现次数最多的数据1.2是众数．答案：1.20.84．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中抽取8件产品，对其使用寿命(单位：年)进行追踪调查的结果如下：甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12.三个厂家广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数．甲：________，乙：________，丙：________．解析：甲的众数为8，乙的平均数为8，丙的中位数为8.答案：众数平均数中位数[A.基础达标]1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是() A．85、85、85B．87、85、86C．87、85、85 D．87、85、90解析：选C.从小到大列出所有数学成绩：75，80，85，85，85，85，90，90，95，100，观察知众数和中位数均为85，计算得平均数为87.2．(2015·合肥检测)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析：选C.由题意可知，甲的成绩为4，5，6，7，8，乙的成绩为5，5，5，6，9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6，5，B错；甲、乙的成绩的方差分别为12＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，15×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2 5×[(4－6)，C对；甲、乙的成绩的极差均为4，D错．＋(9－6)2]＝1253．十八届三中全会指出要改革分配制度，要逐步改变收入不平衡的现象．已知数据x1，x2，x3，…，x n是上海普通职工n(n≥3，n∈N*)个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入x n＋1，则这n＋1个数据中，下列说法正确的是() A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变解析：选B.插入大的极端值，平均数增加，中位数可能不变，方差也因为数据更加分散而变大．4．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，甲、乙两人这几场比赛得分的平均数分别为x甲，x乙；标准差分别是s甲，s乙，则有()A．x甲＞x乙，s甲＞s乙B．x甲＞x乙，s甲＜s乙C．x甲＜x乙，s甲＞s乙D．x甲＜x乙，s甲＜s乙解析：选C.观察茎叶图可大致比较出平均数与标准差的大小关系．5．(2013·高考山东卷)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：87794010x 9 1则7个剩余分数的方差为( ) A.1169 B.367 C ．36D.677解析：选B.根据茎叶图，去掉1个最低分87，1个最高分99， 则17[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x )＋91]＝91， ∴x ＝4.∴s 2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝367.6．已知样本9，10，11，x ，y 的平均数是10，标准差是2，则xy ＝________． 解析：由平均数是10，得x ＋y ＝20，由标准差是2，得15[（9－10）2＋（10－10）2＋（11－10）2＋（x －10）2＋（y －10）2]＝2， ∴(x －10)2＋(y －10)2＝8，∴xy ＝96. 答案：967．甲、乙两人在相同的条件下练习射击，每人打5发子弹，命中的环数如下： 甲：6，8，9，9，8； 乙：10，7，7，7，9.则两人的射击成绩较稳定的是________． 解析：由题意求平均数可得 x甲＝x 乙＝8，s 2甲＝1.2，s 2乙＝1.6，s 2甲<s 2乙，∴甲稳定．答案：甲8．(2013·高考辽宁卷)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．解析：设5个班级中参加的人数分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则由题意知x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 55＝7，(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2＋(x 5－7)2＝20，五个整数的平方和为20，则必为0＋1＋1＋9＋9＝20，由|x－7|＝3可得x＝10或x＝4.由|x－7|＝1可得x＝8或x＝6，由上可知参加的人数分别为4，6，7，8，10，故最大值为10.答案：109．随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图．(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差．解：(1)乙班的平均身高较高．(可由茎叶图判断或计算得出)(2)因为甲班的平均身高为x＝12＝11010(158＋162＋…＋182)＝170(cm)，所以甲班的样本方差s[2×92＋2×(－2)2＋12＋(－7)2＋(－8)2＋122＋(－12)2＋02)]＝57.2.10．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125) 值分组频数62638228(1)作出这些数据的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？解：(1)(2)质量指标值的样本平均数为x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．[B.能力提升]1．下列说法：①一组数据不可能有两个众数；②一组数据的方差必须是正数；③将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后，方差恒不变；④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率，其中错误的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选C.一组数据的众数不一定唯一，即①不对；一组数据的方差必须是非负数，即②不对；根据方差的定义知③正确；根据频率分布直方图的概念知④正确．2．某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s1，则s与s1的大小关系为() A．s＝s1B．s＜s1C．s＞s1D．不能确定解析：选C.由已知，两次统计所得的旅游人数总数没有变，即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的，设为x，则s＝115[（15－x）2＋（23－x）2＋（x2－x）2＋…＋（x15－x）2]，s1＝115[（20－x）2＋（18－x）2＋（x2－x）2＋…＋（x15－x）2].若比较s与s1的大小，只需比较(15－x)2＋(23－x)2与(20－x)2＋(18－x)2的大小即可．而(15－x)2＋(23－x)2＝754－76x＋2x2，(20－x)2＋(18－x)2＝724－76x＋2x2，所以(15－x)2＋(23－x)2＞(20－x)2＋(18－x)2.从而s＞s1.3．甲、乙两同学在高考前各做5次立定跳远测试，测得甲的成绩如下(单位：米)：2.20，2.30，2.30，2.40，2.30.若甲、乙两人的平均成绩相同，乙的成绩的方差是0.005，那么甲、乙两人成绩较稳定的是________．解析：求得甲的平均成绩为2.30，甲的成绩的方差是0.004.由已知得甲、乙平均成绩相同，但甲的成绩的方差比乙的小，所以甲的成绩较稳定．答案：甲4．如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有________．解析：去掉一个最高分和一个最低分后，甲选手叶上的数字之和是20，乙选手叶上的数字之和是25，故a 2＞a 1.答案：a 2＞a 15．(2013·高考安徽卷)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图：(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x 1，x 2，估计x 1－x 2 的值． 解：(1)设甲校高三年级学生总人数为n . 由题意知30n＝0.05，解得n ＝600.样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为1－530＝56.(2)设甲、乙两校样本平均数分别为x 1′，x 2′. 根据样本茎叶图可知30(x 1′－x 2′)＝30x 1′－30x 2′＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92 ＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.因此x 1′－x 2′＝0.5.故x 1－x 2的估计值为0.5分． 6.(选做题)在每年的春节后，某市政府都会发动公务员参与到植树绿化活动中去．林业管理部门在植树前，为了保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗，量出它们的高度如下(单位：厘米)，甲：37，21，31，20，29，19，32，23，25，33；乙：10，30，47，27，46，14，26，10，44，46.(1)画出两组数据的茎叶图，并根据茎叶图对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出两个统计结论；(2)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x，将这10株树苗的高度依次输入，按程序框(如图)进行运算，问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义．解：(1)茎叶图：统计结论：(任意两个即可)①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；②甲种树苗比乙种树苗长得整齐；③甲种树苗的中位数为27，乙种树苗的中位数为28.5；④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，乙种树苗的高度分布比较分散．(2)x＝27，S＝35，S表示10株甲种树苗高度的方差．。
新人教版高中数学必修三 2.2.2：用样本的数字特征估计总体的数字特征 学案
高中二年级（上）数学必修3第二章：统计——2.2.2：用样本的数字特征估计总体的数字特征一：知识点讲解（一）：众数、中位数、平均数众数、中位数、平均数的定义✧ 众数：一组数据中重复出现次数 的数。
✧ 中位数：把一组数据按 的顺序排列，处在 位置（或中间两个数的 ）的数叫做这组数据的中位数。
✧ 平均数：如果n 个数1x 、2x 、……、n x ，那么()n x x x nx +++=211叫做这n 个数的平均数。
三种数字特征与频率分布直方图的关系✧ 众数：众数是最高长方形的底边中点所对应的数据。
✧ 中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等，由此可以估计中位数的值，但是有偏差。
表示样本数据所占频率的等分点。
✧ 平均数：平均数等于每个小矩形的面积乘该小矩形底边中点的横坐标之和。
平均数是频率分布直方图的“重心”，是频率分布直方图的平衡点。
（二）：标准差、方差标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示。
假设样本数据是1x 、2x 、……、n x ，x 表示这组数据的平均数，计算标准差的步骤如下：1) 求样本数据的平均数x ；2) 求每个样本数据与样本平均数的差x x i -（i ＝1、2、……、n ）； 3) 求()2x x i -（i ＝1、2、……、n ）； 4) 求()()()[]222211x x x x x x nn -++-+- ； 5) 求()()()[]222211x x x x x x ns n -++-+-=，即为标准差。
方差：标准差的平方2s 叫做方差。
()()()[]2222121x x x x x x ns n -++-+-= ，其中，i x （i ＝1、2、……、n ）是 ，n 是 ，x 是 。
例1：判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。
1) ( )平均数、众数和中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势。
2) ( )一组数据的众数可以是一个或几个，中位数也具有相同的结论。
【学习实践】高中数学必修三导学案2.2.2用样本的数字特征估计总体数字特征(2)
高中数学必修三导学案2.2.2用样本的数字特征估计总体数字特征（2）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址2.2.2用样本的数字特征估计总体数字特征（2）【学习目标】．通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差．2．进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的数字特征估计总体的基本数字特征.【新知自学】知识回顾：众数、中位数、平均数新知梳理：.标准差考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是.标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示．样本数据的标准差的算法：（1）算出样本数据的平均数.（2）算出每个样本数据与样本数据平均数的差：.（3）算出（2）中的平方.（4）算出（3）中n个平方数的平均数，即为样本方差.（5）算出（4）中平均数的算术平方根，即为样本标准差.其计算公式为：显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小．【感悟】现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，如何求得总体的平均数和标准差呢？2.方差从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方（即方差）来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差。
对点练习：．可以描述总体稳定性的统计量是（）．样本平均数样本中位数（c）样本方差样本最大值2．已知容量为40的样本方差，那么s等于（）．4（c）3．与总体单位不一致的量是（）．sB（c）【合作探究】典例精析例题1.在一次射击选拔赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，每次命中的环数如下：甲：787954974乙：978768677（1）甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？（2）使用标准差判断哪位运动员的成绩更加稳定？变式训练1.甲乙两人在同样的条件下练习射击，每人5发子弹，命中环数如下：甲：6，8，9，9，8；乙：10，7，7，7，9，则两人射击成绩的稳定程度是（）A.甲比乙稳定B.乙比甲稳定c.甲乙稳定程度相同D.无法比较例题2.对自行车运动员甲乙两人在相同条件下进行了6次测试，测试成绩的茎叶图如图所示乙728957833468分别求出甲乙的中位数和平均数；试用方差判断选谁参加该项比赛更合适。
高一数学人教A版必修3教案2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(2课时)
一、课标要求：1、本章的课标要求包括算法的含义、程序框图、基本算法语句，通过阅读中国古代教学中的算法案例，体会中国古代数学世界数学发展的贡献。
2、算法就是解决问题的步骤，算法也是数学及其应用的重要组成部分，是计算机科学的基础，利用计算机解决问需要算法，在日常生活中做任何事情也都有算法，当然我们更关心的是计算机的算法，计算机可以解决多类信息处理问题，但人们必须事先用计算机熟悉的语言，也就是计算能够理解的语言（即程序设计语言）来详细描述解决问题的步骤，即首先设计程序，对稍复杂一些的问题，直接写出解决该问题的程序是困难的，因此，我们要首先研究解决问题的算法，再把算法转化为程序，所以算法设计是使用计算机解决具体问题的一个极为重要的环节。
3、通过对解决具体问题的过程与步骤的分析（如二元一次方程组的求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。
理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。
理解并掌握几种基本的算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。
进一步体会算法的基本思想。
4、本章的重点是体会算法的思想，了解算法的含义，通过模仿、操作、探索，经过通过设计程序框图解决问题的过程。
点是在具体问题的解决过程中，理解三种基本逻辑结构，经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本的算法语句。
二、编写意图与特色：算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。
随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。
需要特别指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。
在本模块中，学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力。
人教版高中数学必修三(教案)2.2.2 用样本的数字特征估计总体数字特征(一)
第三课时2.2.2 用样本的数字特征估计总体数字特征(一) 教学要求：正确理解样本数据分布直方图的意义和作用，从样本频率分布直方图中提取基本的数字特征（如众数、中位数、平均数），并做出合理的解释. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识.教学重点：从样本频率分布直方图中提取基本的数字特征（如众数、中位数、平均数）.教学难点：对比初中所学众数、中位数、平均数的概念.教学过程：一、复习准备：1. 提问：作样本频率分布直方图的基本步骤是怎样的？2. 讨论：如何通过样本的频率分布直方图分析出一些规律？（给出一个图，试着分析）3. 已知数据：10,11,12,12,13,13,13,14,15，根据初中所学的知识，试求中位数、众数、平均数.复习：初中学习的中位数、众数、平均数概念？（样本众数：样本观测值中出现次数最多的数；样本中位数：将一组数据从按大小依次排列，处在最中间的一个数据；平均数.）讨论：如何通过样本的数字特征来了解总体的数字特征？引入：这节课学习如何通过频率分布直方图分析数字特征（中位数、众数、平均数）.二、讲授新课：1、教学众数、中位数、平均数的估计：①讨论：结合教材月平均用水量的频率分布直方图，如何估计众数？（注意哪段范围的数最多）②估计众数：频率分布直方图面积最大的方条的横轴中点数字. （最高矩形的中点）③思考：从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t，翻回到课本第56页看看原来抽样的数据，有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定义，2.25怎么会是众数呢？为什么？（结论：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差。
）④讨论：结合教材月平均用水量的频率分布直方图，如何估计中位数？（注意中位数分离标准）⑤估计中位数：中位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等.原因：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数。
人教版高中数学数学必修三2.2.2+用样本的数字特征估计总体的数字特征+教案
第一学期高一教案主备人：使用人：时间：生小组讨论并精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
高一数学(人教版)必修3导学案：2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征(无答案) (1)
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征【学习目标】通过实例理解样本的方差、标准差的意义和作用，并学会计算方差、标准差。
【创设情境】在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕ 甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，9，10，7，4； 乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6， 7，7.观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？【概念形成】1、 众数概念：2、 中位数概念：3、样本的元素为1,2,,n x x x ，则样本的平均数x =样本方差2s = 标准差s= 【概念深化】1、我们学过的样本的数字特征有 、 、 、 、 等。
2、平均数描述数据的 ，标准差是样本数据到平均数的一种平均 ，因此一般用s 表示。
方差、标准差都是描述数据对平均数的 程度。
显然，标准差较大，数据的离散程度 ；标准差较小，数据的离散程度 。
3、从标准差定义和公式都可以得出：0s ≥。
当0s =时，意味着4、样本1,2,,n x x x 的平均数x 、方差2s 、标准差s ，那么（1）数据n ax ax ax ,,,21 的平均数是 方差 标准差 （2）数据b x ,,b x ,b x n 21+++ 的平均数是 方差 标准差 （3）数据b ax b ax b ax n +++,,,21 的平均数是 方差 标准差 【例题选讲】例1列式计算下列三组样本数据的平均数、方差、标准差，并说明三组数据的离散程度。
(1) ５，５，５，５，５，５，５，５，５ (2) ４，４，４，５，５，５，６，６，６ (3) ３，３，４，４，５，６，６，７，７例2计算【创设情境】中的两组数据的平均数、方差、标准差，并用用数据说明问题。
【巩固提高】1：某工厂人员及周工资构成如下表（2）这个问题中，平均数能客观反映该工厂的工资水平吗？为什么？2．从A、B两种棉花中各抽10株，测得它们的株高如下：(CM)A、 25 41 40 37 22 14 19 39 21 42B、 27 16 44 27 44 16 40 16 40 40(1) 哪种棉花的苗长得高？(2) 哪种棉花的苗长得整齐？【课后作业】1．已知10个数据：1203 1201 1194 1200 1204 1201 1199 1204 1195 1199它们的平均数是 （ ） A 1300 B 1200 C 1100 D 14002．若M 个数的平均数是X, N 个数的平均数是Y,则这M+N 个数的平均数是( ) A2Y X + B N M Y X ++ C N M NY MX ++ D YX NYMX ++ 3．若821k ,,k ,k 的方差为3，则)3k (2,),3k (2),3k (2821--- 的方差为________. 4．一次歌手大奖赛，七位评委为歌手打出分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 （ ） A ．484.0,4.9 B ．016.0,4.9 C ．04.0,5.9 D ．016.0,5.9 5．如果两组数12,,n x x x 和12,,n y y y 的样本平均数分别是x 和y ，试求数1122,,n n x y x y x y +++的平均数是多少？6.7.问谁射击的情况比较稳定？8、为了解中学生的身体发育情况，对某一中学同年龄的50名男生的身高进行测量，结果如下（单位：cm ）：175 168 170 176 167 181 162 173 171 177 179 172 165 157 172 173 166 177 169 181 160 163 166 177 175 174 173 174 171 171 158 170 165 175 165 174 169 163 166 166 174 172 166 172 167 172 175 161 173 167 （1）列出样本的频率分布表，画出频率分布直方图； （2）计算样本的平均数和标准差；（3）由样本数据估计总体中有多少数据落入区域),(s x s x +-。
高一数学人教b版必修3学案：2.2.2 用样本的数字特征估计
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征自主学习学习目标1．能根据实际问题的需要合理选择样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、众数等)，并做出合理解释．2．会用样本的基本数字特征估计总体的数字特征． 3．进一步体会样本估计总体的思想，解决一些实际问题． 自学导引1．设样本数据为x 1，x 2，…，x n ，则样本数据的平均数为x ＝x 1＋x 2＋…＋x nn，它描述了数据的数值____________，定量地反映数据的集中趋势所处的水平．在频率分布直方图中，平均数是直方图的________．2．数据的离散程度可以用________、________或________来描述，样本方差描述了一组数据围绕________波动的大小．一般地设样本元素为x 1，x 2，…，x n 样本平均数为x ，则方差s 2＝________________________，标准差s ＝________________________________.对点讲练知识点一 平均数的计算例1 某班在一次数学竞赛中有10名同学参加(满分150分)．成绩分别如下： 118,119,120,122,117， 125,117,120,125,117.问10名参赛学生的平均成绩是多少？点评 在一般情况下，要计算一组数据的平均数可使用平均数计算公式；当数据较大，且大部分数据在某一常数左右波动时，方法二可以减少运算量，所以此法比较简便．变式迁移1 若x 1，x 2，…，x n 和y 1，y 2，…，y n 的平均数分别是x 和y ，试求出下列几组数据的平均数．(1)3x 1,3x 2，…，3x n ；(2)x 1－y 1，x 2－y 2，…，x n －y n ； (3)2x 1＋m,2x 2＋m ，…，2x n ＋m .知识点二方差、标准差的计算例2甲机床加工直径为100 mm的零件，现从产品中随机抽出6件进行测量，测得如下数据(单位：mm)：99,100,98,100,100,103.计算上述数据的方差和标准差(标准差结果精确到0.1)．点评首先计算出平均数，然后根据数据的特点，可以直接利用公式求出方差和标准差，或对公式进行合理变形(如s2＝1n[(x21＋x22＋…＋x2n)－n x2])，从而使运算更简便．变式迁移2乙机床加工直径为100 mm的零件，现从产品中随机抽出6件进行测量，测得如下数据(单位：mm)：99,100,102,99,100,100.(1)计算上述数据的方差和标准差(标准差精确到0.1)．(2)据计算结果与例题中甲机床比较，说明哪一台机床加工这种零件更符合要求．知识点三用样本的数字特征估计总体的数字特征例3从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：(单位：cm)甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40问：(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？点评特别要注意本题两问中说法的不同，这就意味着计算方式不一样．平均数和方差是样本的两个重要数字特征，方差越大，表明数据越分散；相反地，方差越小，数据越集中．变式迁移3甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7； 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.(1)分别计算以上两组数据的平均数； (2)分别求出两组数据的方差；(3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击情况．(1)平均数与每一个样本的数据有关，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质．也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息．但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．(2)标准差反映了各个样本数据聚集于样本平均数周围的程度．标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数的周围越集中；反之，表明各个样本数据在样本平均数的周围越分散.课时作业一、选择题1．期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M ，如果把M 当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N ，那么M ∶N 为( )A.4041 B ．1 C.4140D ．2 2．与原始数据单位不一致的样本数据是( ) A ．众数 B ．中位数 C ．标准差 D ．方差3．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( ) A ．92,2 B ．92,2.8 C ．93,2 D ．93,2.84．某中学人数相等的甲、乙两班学生参加同一次数学测试，两班平均分和方差分别为x甲＝82分，x 乙＝82分，s 2甲＝245，s 2乙＝190，那么成绩较为整齐的是( )A ．甲班B ．乙班C ．两班一样齐D ．无法确定5．下图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A．84,4.84 B．84,1.6C．85,1.6 D．85,4二、填空题6．一个样本按从小到大的顺序排列为10,12,13，x,17,19,21,24，其中位数为16，则x＝______.7．如果数据x1，x2，x3，…，x n的平均数为10，方差为2，则数据7x1－2,7x2－2,7x3－2，…，7x n－2的平均数为________，方差为________．8．甲、乙、丙、丁四名射击手在选拔赛中的平均环数x及其标准差s如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是________．甲乙丙丁x7887s 2.5 2.5 2.8 3三、解答题9．某校团委为响应顺义区倡导的“我与奥运同行，人人爱护环境”的号召，举办了英语口语竞赛．甲、乙两个小组成绩如下：甲组：76908486818786乙组：82848589809476(1)分别求出甲、乙两个小组的平均分、标准差(精确到0.01)；(2)说明哪个小组成绩比较稳定？10．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换，已知某校使用的100天数151～180181～210211～240241～270灯管数1111820天数271～300301～330331～360361～390灯管数25167 2(1)(2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？2．2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征自学导引1．平均水平 平衡点2．极差 方差 标准差 平均数 (x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2n(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2n对点讲练例1 解 方法一 利用平均数的公式计算x ＝110×(118＋119＋120＋…＋125＋117)＝110×1 200＝120. 方法二 建立新数据，再利用平均数简化公式计算．取a ＝120，将上面各数据同时减去120，得到一组新数据：－2，－1,0,2，－3,5，－3,0,5，－3.x ′＝110×(－2－1＋0＋2－3＋5－3＋0＋5－3)＝0，∴x ＝x ′＋a ＝0＋120＝120.答 该班10名参赛学生的平均成绩是120分．变式迁移1 解 (1)1n×(3x 1＋3x 2＋…＋3x n )＝3×1n ×(x 1＋x 2＋…＋x n )＝3x ；(2)1n ×[(x 1－y 1)＋(x 2－y 2)＋…＋(x n －y n )] ＝1n ×(x 1＋x 2＋…＋x n )－1n ×(y 1＋y 2＋…＋y n ) ＝x －y ； (3)1n ×[(2x 1＋m)＋(2x 2＋m)＋…＋(2x n ＋m)] ＝1n ×(2x 1＋2x 2＋…＋2x n )＋1n ×nm ＝2×1n ×(x 1＋x 2＋…＋x n )＋m＝2x ＋m. 例2 解 ①x 甲＝100＋16×(－1＋0－2＋0＋0＋3) ＝100(mm )． ②计算x i －x 甲(i ＝1,2，…，6)得数据分别为－1,0，－2,0,0,3. ③计算(x i －x甲)2(i ＝1,2，…，6)得数据分别为1,0,4,0,0,9.④计算方差s 2甲＝16×(1＋0＋4＋0＋0＋9)＝73(mm 2)．⑤计算标准差s 甲＝ 73≈1.5(mm )．所以这组数据的方差为73，标准差约为1.5.变式迁移2 解 (1)x 乙＝100＋16×(－1＋0＋2－1＋0＋0)＝100(mm )．∵x i －x 乙(i ＝1,2，……，6)所得数据分别为－1,0,2，－1,0,0. ∴(x i －x乙)2(i ＝1,2，…，6)所得数据分别为1,0,4,1，0,0.所以s 2乙＝16×(1＋0＋4＋1＋0＋0)＝1(mm )2， s 乙＝1(mm )．(2)由上述计算结果可知，x甲＝x 乙，s 甲>s 乙．∴乙机床加工这种零件更符合要求．例3 解 (1)x 甲＝110×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝110×300＝30(cm )，x乙＝110×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40) ＝110×310＝31 (cm )． ∴x甲<x 乙． (2)s 2甲＝110×[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2] ＝110×(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144) ＝110×1 042＝104.2 (cm 2)， s 2乙＝110×[(2×272＋3×162＋3×402＋2×442)－10×312]＝110×1 288＝128.8 (cm 2)． ∴s 2甲<s 2乙.答 乙种玉米的苗长得高，甲种玉米的苗长得整齐．变式迁移3 解 (1)x 甲＝110×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)，x 乙＝110×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)．(2)由方差公式s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，得s 2甲＝3.0(环2)，s 2乙＝1.2(环2)．(3)x甲＝x 乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当；s 2甲>s 2乙，说明甲战士射击情况波动大，因此乙战士比甲战士射击情况稳定． 课时作业1．B [N ＝40M ＋M41＝M ，∴M ∶N ＝1.]2．D3．B [去掉最高分95和最低分89后，剩余数据的平均数为x ＝90＋90＋93＋94＋935＝92，方差为s 2＝15[(92－90)2＋(92－90)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝15(4＋4＋1＋4＋1)＝2.8.]4．B5．C [去掉最高分93，最低分79，平均分为15×(84＋84＋86＋84＋87)＝85，方差s 2＝15×[(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(87－85)2]＝85＝1.6.]6．15 7．68 98解析 平均数＝7×10－2＝68，方差＝72×2＝98. 8．乙解析 平均数反映平均水平大小，标准差表明稳定性．标准差越小，稳定性越好．9．解 (1)x 甲＝17×(76＋90＋84＋86＋81＋87＋86)≈84.29，x 乙＝17×(82＋84＋85＋89＋80＋94＋76)≈84.29，s 甲＝ 17×[(762＋902＋842＋862＋812＋872＋862)－7×84.292]≈4.15， s 乙＝ 17×[(822＋842＋852＋892＋802＋942＋762)－7×84.292] ≈5.40.(2)∵s 甲<s 乙，∴甲小组的成绩比较稳定．10．解 (1)各组中值分别为165,195,225,255,285,315,345,375，由此可算得平均数约为165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×7%＋375×2%＝267.9≈268(天)．(2)将组中值对于此平均数求方差： 1100×[1×(165－268)2＋11×(195－268)2＋18×(225－268)2＋20×(255－268)2＋25×(285－268)2＋16×(315－268)2＋7×(345－268)2＋2×(375－268)2]＝2 128.60(天2)故标准差为 2 128.60≈46(天)．答 估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天，故可在222天到314天左右统一更换较合适．。