Matlab 数值分析 Gauss_Seidel高斯赛德尔迭代法
matlab高斯赛德尔迭代法
标题：深入探讨MATLAB中的高斯-赛德尔迭代法一、概述MATLAB是一种强大的数学计算软件，被广泛应用于科学、工程和金融等领域。
在数值分析中，迭代法是解决非线性方程组和矩阵方程组的重要方法之一。
高斯-赛德尔迭代法是其中的一种，其在求解线性方程组时具有较好的收敛性和效率。
本文将深入探讨MATLAB中高斯-赛德尔迭代法的原理和实现方法。
二、高斯-赛德尔迭代法原理高斯-赛德尔迭代法是一种求解线性方程组的迭代法。
给定线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，b为常数向量，迭代法的基本思想是通过不断逼近方程组的解x。
高斯-赛德尔迭代法的迭代公式如下：\[ x^{(k+1)} = D^{-1} (b - (L+U)x^{(k)}) \]其中，D、L和U分别为系数矩阵A的对角线、严格下三角部分和严格上三角部分。
迭代法的初始值可以任意选择，通常选取一个与解接近的初值，然后通过迭代逼近真实解。
三、MATLAB中高斯-赛德尔迭代法的实现MATLAB提供了丰富的数值计算函数和工具箱，使得高斯-赛德尔迭代法的实现变得非常简单。
下面我们将介绍如何在MATLAB中使用高斯-赛德尔迭代法求解线性方程组。
1. 设置参数在使用高斯-赛德尔迭代法之前，我们首先需要设置一些参数，如系数矩阵A、常数向量b、迭代步数等。
在MATLAB中可以通过定义变量来实现这些参数的设置。
2. 编写迭代函数接下来，我们需要编写高斯-赛德尔迭代法的迭代函数。
通过编写一个MATLAB函数来实现迭代公式的计算和迭代过程的控制。
3. 调用函数求解完成迭代函数的编写后，我们就可以通过调用该函数来求解线性方程组。
在MATLAB中，可以使用循环语句控制迭代步数，并在每一步更新迭代值，直到满足收敛条件为止。
四、案例分析为了更好地理解高斯-赛德尔迭代法在MATLAB中的应用，我们以一个具体的案例来进行分析和实践。
假设我们需要求解以下线性方程组：\[ \begin{cases} 4x_1 - x_2 + x_3 = 8 \\ -x_1 + 4x_2 - x_3 = 9 \\2x_1 - x_2 + 5x_3 = 7 \end{cases} \]我们可以通过MATLAB编写高斯-赛德尔迭代法的函数，并调用该函数来求解以上线性方程组。
二维gauss-seidel迭代法matlab代码
二维Gauss-Seidel迭代法是解线性方程组的一种常用方法，通过迭代求解，能够快速且精确地得到方程组的解。
在MATLAB中，可以使用简洁的代码实现二维Gauss-Seidel迭代法，下面我们将介绍该方法的原理以及在MATLAB中的具体实现。
一、Gauss-Seidel迭代法原理1. Gauss-Seidel迭代法是一种逐次逼近的方法，通过不断迭代更新方程组中的未知数，最终得到方程组的解。
其基本思想是利用已知的未知数值不断逼近更精确的解。
2. 对于线性方程组Ax=b，可以将其表示为x(k+1)=Tx(k)+c的形式，其中T为迭代矩阵，c为常量向量，x为未知数向量。
Gauss-Seidel 迭代法通过不断更新x(k)的值，逐步逼近方程组的解。
3. 迭代矩阵T和常量向量c的具体计算方式为：首先将系数矩阵A分解为下三角矩阵L、对角矩阵D和上三角矩阵U，然后得到T=-L*(D^-1)*U，c=L*(D^-1)*b。
4. 通过不断迭代更新x(k)的值，直到满足一定的精度要求或者迭代次数达到设定值，即可得到方程组的解。
二、MATLAB实现二维Gauss-Seidel迭代法在MATLAB中，可以很方便地实现二维Gauss-Seidel迭代法，以下是具体的实现代码：```matlabfunction [x, k] = gauss_seidel(A, b, x0, tol, max_iter)A为系数矩阵，b为常量向量，x0为初始解向量，tol为精度要求，max_iter为最大迭代次数返回x为方程组的解，k为实际迭代次数n = length(b);x = x0;k = 0;err = tol + 1;L = tril(A, -1); 下三角矩阵U = triu(A, 1); 上三角矩阵D = diag(diag(A)); 对角矩阵T = -L*(D\U);c = L*(D\b);while err > tol k < max_iterx_old = x;x = T*x + c;err = norm(x - x_old, inf);k = k + 1;endend```三、代码说明1. 函数gauss_seidel接受系数矩阵A、常量向量b、初始解向量x0、精度要求tol和最大迭代次数max_iter作为输入参数，返回方程组的解x和实际迭代次数k。
#数值分析Matlab作业
数值分析编程作业2012年12月第二章14.考虑梯形电阻电路的设计，电路如下：电路中的各个电流{i1,i2,…,i8}须满足下列线性方程组：121232343454565676787822/252025202520252025202520250i i V R i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i -=-+-=-+-=-+-=-+-=-+-=-+-=-+=这是一个三对角方程组。
设V=220V ，R=27Ω，运用追赶法，求各段电路的电流量。
Matlab 程序如下：function chase () %追赶法求梯形电路中各段的电流量 a=input('请输入下主对角线向量a='); b=input('请输入主对角线向量b='); c=input('请输入上主对角线向量c='); d=input('请输入右端向量d='); n=input('请输入系数矩阵维数n='); u(1)=b(1); for i=2:nl(i)=a(i)/u(i-1); u(i)=b(i)-c(i-1)*l(i); endy(1)=d(1); for i=2:ny(i)=d(i)-l(i)*y(i-1); endx(n)=y(n)/u(n); i=n-1; while i>0x(i)=(y(i)-c(i)*x(i+1))/u(i); i=i-1;end x输入如下: >> chase请输入下主对角线向量a=[0,-2,-2,-2,-2,-2,-2,-2]; 请输入主对角线向量b=[2,5,5,5,5,5,5,5];请输入上主对角线向量c=[-2,-2,-2,-2,-2,-2,-2,0]; 请输入方程组右端向量d=[220/27,0,0,0,0,0,0,0]; 请输入系数矩阵阶数n=8 运行结果如下：x = 8.1478 4.0737 2.0365 1.0175 0.5073 0.2506 0.1194 0.0477第三章14.试分别用(1)Jacobi 迭代法；(2)Gauss-Seidel 迭代法解线性方程组1234510123412191232721735143231211743511512x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 迭代初始向量(0)(0,0,0,0,0)T x =。
研究生数值分析12高斯 赛德尔Gauss Seidel迭代法
上式左端为将系数矩阵 A 的对角线及对角线
以下元素同乘以 λ 后所得新矩阵的行列式。
例9 用高斯-赛德尔迭代法解方程组
???1?02xx11??
2x2 ? 10 x2
x3 ? ? x3
3 ?
15
??? x1 ? 2x2 ? 5x3 ? 10
解：相应的高斯 -赛德尔迭代公式为
? ? ?
x (k?1) 1
高斯-赛德尔迭代公式如下：
??x1(k?1) ?
?
1 a11
(?a12x2(k)
?
a13x3(k)
?L
?
a1n
x (k) n
?
b1)
??x2(k?1) ?
?
1 a11
(?a21x1(k?1)
?
a23x3(k)
?L
?
a2n
x (k) n
?
b2
)
??L L
?
??xi(k?1) ??L L
?
1 aii
(?ai1x1(k?1)
i ?1
i? j
则方程组 AX=b有唯一解，且对任意初始向量 X(0)
雅可比迭代法与高斯 -赛德尔迭代法都收敛。
定理5 若方程组 AX=b 的系数矩阵 A ? [aij ]n?n 为对称正定矩阵。则对任意初始向量 X (0) 高斯 -赛德尔迭代法 都收敛。
只要方程组 AX=b 的系数矩阵 A? [aij ]n?n 满足 定理4或定理 5的条件，就可以十分方便地判断相 应迭代过程的收敛性。
??0.2 0.4 0 ??
BJ ? ? 0.6 ? 1 雅可比迭代过程必收敛；
高斯 -赛德尔迭代矩阵
?0 BG ? ??0
gauss-seidel迭代法例题matlab代码
【题目】：Gauss-Seidel迭代法及Matlab代码实例【内容】：1. Gauss-Seidel迭代法介绍Gauss-Seidel迭代法是一种用于解线性方程组的数值方法，基于逐次逼近的思想，通过不断迭代逼近线性方程组的解。
该方法通常用于求解大型稀疏线性方程组，其收敛速度相对较快。
2. 迭代公式推导假设有如下线性方程组：$$Ax=b$$其中A为系数矩阵，b为常数向量，x为未知向量。
Gauss-Seidel迭代法的迭代公式为：$$x^{(k+1)}=(D+L)^{-1}(b- Ux^{(k)})$$其中，D为A的对角矩阵，L为A的严格下三角矩阵，U为A的严格上三角矩阵，k为迭代次数。
3. Matlab代码实现下面给出Gauss-Seidel迭代法的Matlab代码实例：```matlabfunction [x, k] = gaussSeidel(A, b, x0, tol, maxIter)A: 系数矩阵b: 常数向量x0: 初始解向量tol: 容差maxIter: 最大迭代次数x: 解向量k: 迭代次数n = length(b);x = x0;k = 0;while k < maxIterx_old = x;for i = 1:nx(i) = (b(i) - A(i,1:i-1)*x(1:i-1) - A(i,i+1:n)*x_old(i+1:n)) / A(i,i); endif norm(x - x_old, inf) < tolreturnendk = k + 1;enddisp('迭代次数达到最大值，未达到容差要求'); end```4. 应用实例假设有如下线性方程组：$$\begin{cases}2x_1 - x_2 + x_3 = 5\\-x_1 + 2x_2 - x_3 = -2\\x_1 - x_2 + 2x_3 = 6\end{cases}$$系数矩阵A为：$$\begin{bmatrix}2 -1 1\\-1 2 -1\\1 -1 2\end{bmatrix}$$常数向量b为：$$\begin{bmatrix}5\\-2\\6\end{bmatrix}$$取初始解向量x0为：$$\begin{bmatrix}0\\0\\\end{bmatrix}$$容差tol为1e-6，最大迭代次数maxIter为100。
基于matlab平台的三种迭代法求解矩阵方程
数值分析第二次作业学院：电子工程学院基于matlab平台的三种迭代法求解矩阵方程组求解系数矩阵由16阶Hilbert方程组构成的线性方程组的解，其中右端项为[2877/851,3491/1431,816/409,2035/1187,2155/1423,538/395,1587/1279,573/502,947 /895,1669/1691,1589/1717,414/475,337/409,905/1158,1272/1711,173/244].要求：1）Gauss_Sedel迭代法；2）最速下降法；3）共轭梯度法；4）将结果进行分析对比。
解：根据题目要求，编写了对应算法的matlab程序，求解结果如下：（求解精度为10e-4，最大迭代次数1000）1、方程的解：如下图1所示图1 三种方法求解的结果对比图2 Gause_Sedel算法收敛特性图3 最速下降法收敛特性图3 共轭梯度法收敛特性从图中可以看到，在相同的最大迭代次数和预设求解精度条件下，共轭梯度算法仅需要4次迭代便可求出方程组的解，耗时0.000454秒，而且求出解的精度最高；Gauss_Sedel方法需要465次迭代，耗时0.006779秒，求解精度最差；最速下降法需要398次迭代，耗时0.007595秒，求解精度与共轭梯度算法差不多，因此两者求出的解也几乎相同。
从中可以得出结论，共轭梯度算法无论从求解精度还是求解速度上都优于其他两种，最速下降法在求解精度上几乎与共轭梯度算法持平，但求解速度更慢。
Gauss_Sedel方法在求解精度和速度两方面都最差。
具体的解为:Gauss_Sedel迭代法:(共需465次迭代，求解精度达到9.97e-5) X=[0.995328360833192 1.01431732497804 1.052861239300110.934006974137998 0.931493373808838 0.9665081384030661.00661848511341 1.03799789809258 1.051806903036541.06215849948572 1.04857676431223 1.028561990411131.01999170162638 0.971831831519515 0.9525261666348130.916996019179182].最速下降法:(共需398次迭代，求解精度达到9.94e-5)X=[0.998835379744322 1.01507463472900 0.9825890937201850.980191460759243 0.991245169713628 1.003780222253291.01350884374478 1.01928337905816 1.020859096651941.01930314197028 1.01444777381651 1.007040589892970.998384452250809 0.987399404644377 0.9757678149709120.963209150871750].共轭梯度法:(共需4次迭代，求解精度达到3.98e-5)X=[0.996472751179456 1.02707840189049 0.9776233734098530.973206695321590 0.986133032967607 1.001289025642341.01322158496914 1.02047386502293 1.023009050605651.02163015083975 1.01678089454399 1.009203108638740.999772406055155 0.988443827498859 0.9760941924969490.962844741655005].Matlab程序主程序:clc;clear;%% 本程序用于计算第二次数值分析作业，关于希尔伯特矩阵方程的解，用三种方法，分析并比较，也可推广至任意n维的矩阵方程%%A=hilb(16); %生成希尔伯特系数矩阵b=[2877/851;3491/1431;816/409;2035/1187;2155/1423;538/395;1587/1279;573/502;947/895;166 9/1691;1589/1717;414/475;337/409;905/1158;1272/1711;173/244]; %右端向量M=1000; %最大迭代次数err=1.0e-4; %求解精度[x,n,xx,cc,jingdu]=yakebi_diedai(A,b,err,M); % 雅克比算法求解tic;[x1,n1,xx1,cc1,jingdu1]=gauss_seidel(A,b,err,M); % gauss_seidel算法求解toc;tic;[x2,n2,xx2,jingdu2]=zuisuxiajiangfa(A,b,err,M); % 最速下降法求解toc;tic;[x3,flag,jingdu3,n3]=bicg(A,b,err); % matlab内置双共轭梯度算法求解toc;tic;[x4,xx4,n4,jingdu4]=con_grad(A,b,err,M); % 教材共轭梯度算法求解toc;%% 计算相应结果，用于作图%%num=[1:16]';jie=[num,x1,x2,x4]; % 三者的解对比% 三者的收敛情况对比num1=[1:n1]';fit1=[num1,jingdu1'];num2=[1:n2]';fit2=[num2,jingdu2'];num4=[1:n4]';fit4=[num4,jingdu4'];子函数1(Gause_Sedel算法):function [x,n,xx,cc,jingdu] = gauss_seidel(A,b,err,M)% 利用迭代方法求解矩阵方程这里是高斯赛尔得迭代方法% A 为系数矩阵b 为右端向量err为精度大小返回求解所得向量x及迭代次数% M 为最大迭代次数cc 迭代矩阵普半径jingdu 求解过程的精度n 所需迭代次数xx 存储求解过程中每次迭代产生的解for ii=1:length(b)if A(ii,ii)==0x='error';break;endendD=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=(D-L)\U;cc=vrho(B); %迭代矩阵普半径FG=(D-L)\b;x0=zeros(length(b),1);x=B*x0+FG;k=0;xx(:,1)=x;while norm(A*x-b)>errx0=x;x=B*x0+FG;k=k+1;xx(:,k+1)=x;if k>=Mdisp('迭代次数太多可能不收敛！');break;endjingdu(k)=norm(A*x-b);endend子函数2(最速下降算法):function [x,n,xx,jingdu]=zuisuxiajiangfa(A,b,eps,M)% 利用迭代方法求解矩阵方程这里是最速下降迭代方法% A 为系数矩阵b 为右端向量err为精度大小返回求解所得向量x及迭代次数% % M 为最大迭代次数jingdu 求解过程的精度n 所需迭代次数xx 存储求解过程中每次迭代产生的解x0=zeros(length(b),1);r0=b-A*x0;t0=r0'*r0/(r0'*A*r0);x=x0+t0*r0;r=b-A*x;xx(:,1)=x;k=0;while norm(r)>epsr=r;x=x;t=r'*r/(r'*A*r);x=x+t*r;r=b-A*x;k=k+1;xx(:,k+1)=x;if k>=Mdisp('迭代次数太多可能不收敛！');break;endn=k;jingdu(k)=norm(r);endend子函31(共轭梯度法):function [x,xx,n,jingdu]=con_grad(A,b,eps,M)% 利用迭代方法求解矩阵方程这里是共轭梯度迭代方法% A 为系数矩阵b 为右端向量err为精度大小返回求解所得向量x及迭代次数% M 为最大迭代次数jingdu 求解过程的精度n 所需迭代次数xx 存储求解过程中每次迭代产生的解x0=zeros(length(b),1);r0=b-A*x0;p0=r0;% t0=r0'*r0/(r0'*A*r0);% x=x0+t0*r0;% xx(:,1)=x;k=0;x=x0;r=r0;p=p0;while norm(r)>epsx=x;r=r;p=p;afa=r'*r/(p'*A*p);x1=x+afa*p;r1=r-afa*A*p;beta=r1'*r1/(r'*r);p1=r1+beta*p;x=x1;r=r1;p=p1;k=k+1;xx(:,k)=x;if k>=Mdisp('迭代次数太多可能不收敛！');break;endn=k;jingdu(k)=norm(r);endend。
gauss-seidel迭代法收敛判断matlab
Gauss-Seidel迭代法是解线性方程组的一种常用方法，它通过不断迭代更新解向量，逐步逼近方程组的精确解。
在实际应用中，我们往往需要判断迭代法是否收敛，以保证计算结果的准确性和可靠性。
本文将以matlab为例，介绍如何利用数值计算软件对Gauss-Seidel迭代法的收敛性进行判断，并对其进行详细分析和讨论。
一、Gauss-Seidel迭代法简介Gauss-Seidel迭代法是一种逐次迭代的线性代数方法，用于求解线性方程组Ax=b的解向量x。
它的迭代更新公式为：xn+1i=1/aii(bi-∑(j=1,j≠i)n aijxj)其中，i=1,2,...,n；n为方程组的阶数；aii为系数矩阵A的第i行第i 列元素；bi是方程组右端的常数；xj为解向量x的第j个分量；∑(j=1,j≠i)n aijxj为除去第i个分量的求和。
通过不断迭代更新解向量的各个分量，最终可以逼近线性方程组的解。
二、Gauss-Seidel迭代法的收敛性判断针对Gauss-Seidel迭代法的收敛性判断，我们可以利用数值计算软件matlab进行分析。
在matlab中，可以使用以下命令进行Gauss-Seidel迭代法的计算：function[x,k]=GaussSeidel(A,b,x0,tol,maxk)n=length(b);x=x0;for k=1:maxkx0=x;for i=1:nx(i)=1/A(i,i)*(b(i)-A(i,:)*x+x(i));endif norm(x-x0,inf)<tolreturn;endenderror('达到最大迭代次数，方法未收敛');end在上述matlab代码中，A为系数矩阵，b为右端常数向量，x0为初始解向量，tol为迭代精度，maxk为最大迭代次数。
在函数中，我们设定了最大迭代次数以及迭代精度的条件，当满足这些条件时，算法将停止迭代。
三、Gauss-Seidel迭代法的收敛性分析Gauss-Seidel迭代法的收敛性与系数矩阵A的性质有关。
matlab中的迭代算法
matlab中的迭代算法迭代算法在matlab中的应用迭代算法是一种通过多次重复计算来逼近解的方法，它在matlab中得到了广泛的应用。
在本文中，我们将介绍一些常见的迭代算法，并探讨它们在matlab中的实现和应用。
1. 二分法二分法是一种简单而直观的迭代算法，它通过将问题的解空间一分为二，并根据中间点的取值来确定解所在的子空间。
在matlab中，可以使用while循环来实现二分法。
首先，需要指定解空间的上下界，然后通过计算中间点的值来判断解所在的子空间，并更新解空间的上下界。
重复这个过程，直到解的精度满足要求为止。
2. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种用于求解方程的迭代算法，它利用函数的局部线性近似来逼近方程的解。
在matlab中，可以使用while循环来实现牛顿迭代法。
首先，需要给定一个初始点，然后根据函数的一阶和二阶导数来计算下一个点的值。
重复这个过程，直到解的精度满足要求为止。
3. 高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是一种用于求解线性方程组的迭代算法，它通过不断更新近似解来逼近方程的解。
在matlab中，可以使用while循环和矩阵运算来实现高斯-赛德尔迭代法。
首先，需要给定一个初始解向量，然后根据方程组的系数矩阵和常数向量来计算下一个解向量的值。
重复这个过程，直到解的精度满足要求为止。
4. 迭代法求特征值迭代法也可以用于求解矩阵的特征值和特征向量。
在matlab中，可以使用while循环和矩阵运算来实现迭代法求特征值。
首先，需要给定一个初始特征向量，然后根据矩阵的幂来计算下一个特征向量的值。
重复这个过程，直到特征向量的变化小于某个阈值为止。
5. 迭代法求最优化问题除了求解方程和矩阵相关的问题，迭代算法还可以用于求解最优化问题。
在matlab中，可以使用while循环和梯度计算来实现迭代法求最优化问题。
首先，需要给定一个初始解向量，然后根据目标函数的梯度来计算下一个解向量的值。
重复这个过程，直到解的精度满足要求为止。