广东深圳中学高中数学必修一导学案13对数函数的应用

13．对数函数的应用

姚亮 学习目标

1．进一步熟悉对数函数与指数函数关系，进一步熟悉对数函数概念、性质． 2．能运用对数函数有关知识解决含有对数符号的函数有关问题． 3．渗透应用意识，初步建立函数思想在方程、不等式中的应用． 一、夯实基础 基础梳理 基础达标

1．已知指函数x y a =图象经过()m n ，点，则对数函数()log a y ax =一定经过点（ ）． A ．()n m ，

B ．()m n ，

C ．()1m n +，

D ．()1n m +，

2．若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图所示，其中a b ，为常数，则函数()x g x a b =+的大致图象是（ ）．

D.

C.

B.

A.

3．（2011年天津）已知2log 3.4

5a =，4log 3.6

5

b =，3log 0.3

12c ??

= ?

??

则（ ）．

A ．a b c >>

B ．b a c >>

C ．a c b >>

D ．c a b >>

4．函数()12

log 3y x a =-的定义域是23??

+∞ ???，，则a =__________．

5．（2010年湖北）放射性元素由于不断有原子放射微粒子而变成其他元素，其含量不断减

少，这种现象称为衰变，假设在放射性同位素绝137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位年）满足函数关系：()30

02t M t M =，其中0M 为0t =时铯137的含量，已知30t =时，铯137含量的变化率是10ln 2-（太贝克/年），则()60M =（ ）． A ．5太贝克 B ．75ln 2太贝克 C ．150ln2太贝克 D ．150太贝克 二、学习指引 自主探究

1．下列是关于指数成长函数、指数衰退函数的实际问题，试着解决它们，并体会对数运算在解决这两类问题中的作和．

（1）某细菌的生长过程为一指数成长函数()Q t ，就是说t 分钟后细菌的数量为()0kt Q t Q e =（0Q 、k 为常数），且一开始的数量为1000只，而在20分钟后变为3000只，求一小时后细菌的数量．

（2）任何放射性物质都有所谓的半衰期，亦即数量减半所需经过的时间，一般而言，若一

放射性物质的数量为()0kt Q t Q e =（0Q 、k 为常数），则半衰期即为()01

2

Q Q t =的解．已知

一化石存有碳14，而碳14的半衰期为5730年，部经过多少时间，碳14的存量变为原来的

15

？ 2．函数()()()log 00a f x g x a a =>≠，与()y g x =的单调性有何关系？ （1）试根据下列条件，用“单调增函数”、“单调减函数”填空：

（2）如果()()ln f x g x =的单调增区间为()a b ，，那么()y g x =应满足哪些条件？

有一种说法，()0g x >恒成立，则()()log a f x g x =的值域为R 对吗？请举例研究． （2）当()g x 应满足什么条件时，()()log a f x g x =的定义域为R ？ （3）当()g x 应满足什么条件时，()()log a f x g x =的值域为R ? 4．拓展思维：

请解答下面两个问题，并谈谈有何收获．

（1）解关于x 的不等式()2log 61x x +<+，()0x ∈+∞，；

（2）已知关于x 的方程3log x a =，讨论a 的值来确定方程根的个数． （3）函数()3log f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，写出a 、b 的关系．

案例分析

1．求函数()()

()2log 01a f x x x a a =->≠，的值域和单调区间．

【解析】（1）由20x x ->得01x <<，所以函数()f x 的定义域是()01，． 因为2

2

1110244x x x ?

?<-=--+≤ ??

?．

所以，当01a <<时，()21log log 4a a x x -≥，()f x 的值域为1log 4a ??

+∞????

，．

当1a >时，()21log log 4a a

x x -≤，()f x 的值域为1log 4a ?

?-∞ ??

?

，． （2）令2t x x =-，则log a y t =，

当01a <<时，函数log a y t =在()0+∞，为减函数，2t x x =-在102?

? ??

?，上是增函数，在

112??????，上是减函数，故所给函数在102?? ???，上是减函数，在112??

????，上是增函数； 当1a >时，函数log a y t =在()0+∞，为增函数，2t x x =-在102?? ???，上是增函数，在112??

?

???

，上是减函数，故所给函数在102?? ???，上是增函数，在112??

????

，上是减函数．

2．函数()()

2lg 1f x x ax =++．

（1）若函数()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围； （2）若函数()f x 的值域为R ，求a 的取值范围． 【解析】（1）由已知()

2lg 1y x ax =++的定义域为R ， ∴无论x 取任何实数都有210x ax ++>成立，

240a ∴?=-<，22a ∴-<<．

（2）由已知()

2lg 1y x ax =++的值域为R ，设21t x ax =++， t ∴应取遍全体正实数，y 才能取遍全体实数，

240a ∴?=-≥时，t 的值域()0?+∞，，

2a ∴≤或2a ≥．

3．解决下列问题：

（1）若21a b a >>>，试比较log log log b

b a b

a b a

??的大小； （2）若●，且x ，y ，z 都是正数，试比较2x ， 3y ，5z 的大小． 【解析】（1）由21a b a ><>，得1b a a <

<，1b

b a a

∴>>>且log 1a b >，故

log log 1log a

b b

a b a

<<<■． （2）令2351x y z ===，由于x y z ，，都是正数，则1t >，lg lg 2t x =

，lg lg3t y =，lg lg5

t

z =，()lg lg9lg82lg 3lg 230lg 2lg3lg 2lg3

t t t x y ?-∴-=

-=>?，23x y ∴>：

同理可得：250x z -<，25x z ∴<，325y x z ∴<<． 说明：第（1）题利用对数函数单调性比较大小；

第（2）题注意指数式与对数式的互●． 三、能力提升 能力闯关

1．下列函数中，在()02，上为增函数的是（ ） A ． ()12

log 1t x =+

B ．2log y =

C ．2

1log y x

=

D ．)2

45y x x =-+

2．已知0a b c <<<，且lg lg lg a c b >>，则下列结论一定正确的是（ ）． A ．()()10a b c -->

B ．1ac >

C ．1ac <

D ．1ac =

3．若关于x 的方程1log 1m

x m

=-在区间()01，上有解，则实数m 的取值范围是__________．

拓展迁移

1．（1）已知函数()()log 200a y ax a a =->≠，在[]01，

上是减函数，求a 的取值范围．

（2）若函数()

22log y x ax a =---在区间(1-∞，上是增函数，求a 的取值范围． 2．求下列函数的值域： （1）()

2ln 3y x =-； （2）()22log 2log 4x y x =?， 148x ??

∈????

，． 挑战极限

1．已知函数()1101lg 1101x x

x

f x x --=+++．

（1）求函数的定义域；

（2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；

（3）在函数()f x 图象上是否存在两个不同的点A 、B ，使直线AB 垂直y 轴，若存在，求

A 、

B 两点坐标；若不存在，说明理由．

课程小结

1．我们经常会借助于对数函数的图象解决与对数函数相关的不等式问题、方程根的两个数问题．

2．我们经常会遇到形如()log a y f x =的函数，此函数由log a y t =与()t f x =两个函数复合而成，在研究单调性时，要注意底数a 的影响．另外，要特别注意()0f x >．13．对数

函数的应用

基础达标

1．D 【解析】因为指数函数x y a =图象经过(),m n 点，所以函数log a y x =经过点()n m ，

，从而函数()log 1log a a y ax x ==+经过点(),1n m +．

2．B 【解析】由已知函数()()log a f x x b =+的图象可得01a <<，01b <<，则()x g x a b =+的图象由x y a =的图象沿y 轴向上平移b 个单位而得到． 3．C 【解析】33

log 0.3

10log 3

15

5C ??== ?

??

．易得21log 3.42<<，40log 3.61<<，3

10

1log 23

<<． 又2231010log 3.4log log 33>>，23410

log 3.4log log 3.63

∴>>，32410

log log 3.4log 3.63555∴>>，即

a c

b >>．

4．2．【解析】由30x a ->得3a x >，因此，函数()1log 32y x a =-的定义域是,3a ??

+∞ ???

，

所以

2

33a =，2a =． 5．D ． 自主探究 1．【解析】（1）依题意()01000Q =，所以01000Q =，亦即()1000kt Q t e =． 又()203000Q =，故203000100k e =，解得20ln3k =，()

203k e =即ln 3

20

k =

． 而一小时后的数量为()()()3

3

602060100010001000327000k k Q e e ==?=?=（只）．

（2）由()0157302Q Q =，得ln 20.0001215730k =≈．所求为0015kt Q Q e -=的解，亦即ln5t k

=

为