全等几何模型讲解精编版
专题03 全等三角形的六种模型全梳理(解析版)-2024年常考压轴题攻略(8年级上册人教版)
专题03全等三角形的六种模型全梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。
类型一、倍长中线模型目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。
将分散的条件集中到一个三角形中。
如图1，ABC 中，若86AB AC ==，，求BC 边上的中线小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图连接BE ．请根据小明的方法思考：（1）如图2，由已知和作图能得到ADC EDB ≌△△A ．SSS B ．SAS C ．AAS D ．ASA（2）如图2，AD 长的取值范围是．（2）根据全等三角形的性质得到6AC BE ==，由三角形三边关系得到AB BE AE AB BE -<<+，即可求出17AD <<；（3）延长AD 到点M ，使AD DM =，连接BM ，证明ADC MDB △△≌，得到BM AC CAD M =∠=∠，，由AE EF =得到CAD AFE ∠=∠，进而推出BF BM =，即可证明AC BF =．【详解】解：（1）如图2，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ．∵AD 为BC 的中线，∴BD CD =，又∵AD DE ADC BDE =∠=∠，，∴()SAS ADC EDB ≌△△，故答案为：B ；（2）解：∵ADC EDB ≌△△，∴6AC BE ==，在ABE 中，AB BE AE AB BE -<<+，∴86286AD -<<+，∴17AD <<，故答案为：C ；（3）证明：延长AD 到点M ，使AD DM =，连接BM ，∵AD 是ABC 中线，∴CD BD =，∵在ADC △和MDB △中，DC DB ADC MDB AD HD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ADC MDB ≌△△，∴BM AC CAD M =∠=∠，，∵AE EF =，(1)如图1，求证：12BF AD =；(2)将DCE △绕C 点旋转到如图2所示的位置，连接,AE BD ，过C 点作CM ⊥①探究AE 和BD 的关系，并说明理由；②连接FC ，求证：F ，C ，M 三点共线．【答案】(1)见解析(2)①,AE BD AE BD =⊥，理由见解析②见解析【分析】（1）证明≌ACD BCE V V ，得到AD BE =，再根据点F 为BE 中点，即可得证；则：AGB CBD BHG ∠=∠+∠=∠∵CBD EAC ∠=∠，∴90BHG ACB ∠=∠=︒，∴AE BD ⊥，综上：,AE BD AE BD =⊥；②延长CF 至点P ，使PF CF =∵F 为BE 中点，∴BF FE =，∴()SAS BFP EFC ≌，∴,BP CE BPF ECF =∠=∠，∴CE BP ，∴180CBP BCE ∠+∠=︒，∵360180BCE ACD ACB DCE ∠+∠=︒-∠-∠=︒，∴CBP ACD ∠=∠，又,CE CD BP AC BC ===，∴()SAS PBC DCA ≌，∴BCP CAD ∠=∠，延长FC 交AD 于点N ，则：18090BCP ACN ACB ∠+∠=︒-∠=︒，∴90CAD ACN ∠+∠=︒，∴90ANC ∠=︒，∴CN AD ⊥，∵CM AD ⊥，∴点,M N 重合，即：F ，C ，M 三点共线．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质．熟练掌握手拉手全等模型，倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键．【变式训练1】如图，ABC 中，BD DC AC ==，E 是DC 的中点，求证：2AB AE =．【答案】见解析【分析】利用中线加倍证DEF CEA △≌△（SAS ），可得DF AC BD ==，FDE C ∠=∠，由DC AC =，可得ADC CAD ∠=∠进而可证ADF ADB ∠=∠.，再证ADB ADF △≌△（SAS ）即可．【详解】证明：延长AE 到F ，使EF AE =，连结DF ，∵E 是DC 中点，∴DE CE =，∴在DEF 和CEA 中，DE CE DEF CEA EF EA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DEF CEA △≌△（SAS ），∴DF AC BD ==，FDE C ∠=∠，∵DC AC =，∴ADC CAD ∠=∠，又∵ADB C CAD ∠=∠+∠，ADF FDE ADC ∠=∠+∠，∴ADF ADB ∠=∠，在ADB 和ADF △中，AD AD ADB ADF DB DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADB ADF △≌△（SAS ），∴2AB AF AE ==．【点睛】本题考查中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，掌握中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质是解题关键．【变式训练2】（1）如图1，已知ABC 中，AD 是中线，求证：2AB AC AD +>；（2）如图2，在ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，求证：AB AC AD AE +>+；（3）如图3，在ABC 中，D ，E 在边BC 上，且BD CE =．求证：AB AC AD AE +>+．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）利用“倍长中线”法，延长AD ，然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可；（2）取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB =CQ ，AD =EQ ，然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论；（3）同（2）处理方式一样，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ，结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论．【详解】证：（1）如图所示，延长AD 至P 点，使得AD =PD ，连接CP ，∵AD 是△ABC 的中线，∴D 为BC 的中点，BD =CD ，在△ABD 与△PCD 中，BD CD ADB PDC AD PD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△PCD (SAS )，∴AB =CP ，在△APC 中，由三边关系可得AC +PC ＞AP ，∴2AB AC AD +>；（2）如图所示，取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，∵H 为DE 中点，D 、E 为BC 三等分点，∴DH =EH ，BD =DE =CE ，∴DH =CH ，在△ABH 和△QCH 中，BH CH BHA CHQ AH QH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABH ≌△QCH (SAS )，同理可得：△ADH ≌△QEH ，∴AB =CQ ，AD =EQ ，此时，延长AE ，交CQ 于K 点，∵AC +CQ =AC +CK +QK ，AC +CK ＞AK ，∴AC +CQ ＞AK +QK ，又∵AK +QK =AE +EK +QK ，EK +QK ＞QE ，∴AK +QK ＞AE +QE ，∴AC +CQ ＞AK +QK ＞AE +QE ，∵AB =CQ ，AD =EQ ，∴AB AC AD AE +>+；（3）如图所示，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ，∵M 为DE 中点，∴DM =EM ，∵BD =CE ，∴BM =CM ，在△ABM 和△NCM 中，BM CM BMA CMN AM NM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABM ≌△NCM (SAS )，同理可证△ADM ≌△NEM ，∴AB =NC ，AD =NE ，此时，延长AE ，交CN 于T 点，∵AC +CN =AC +CT +NT ，AC +CT ＞AT ，∴AC +CN ＞AT +NT ，又∵AT +NT =AE +ET +NT ，ET +NT ＞NE ，∴AT +NT ＞AE +NE ，∴AC +CN ＞AT +NT ＞AE +NE ，∵AB =NC ，AD =NE ，∴AB AC AD AE +>+．【点睛】本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想，以及熟练运用三角形的三边关系是解题关键．【答案】（1）1.5 6.5AE <<；（2）见解析；（3）BE DF EF +＝，理由见解析【分析】（1）如图①：将ACD △绕着点D 逆时针旋转180 得到EBD △可得BDE ≅ 得出5BE AC ==，然后根据三角形的三边关系求出AE 的取值范围，进而求得AD 范围；（2）如图②：FDC △绕着点D 旋转180︒得到NDB 可得BND CFD ≅ ，得出BN∴1.5 6.5AD ＜＜；故答案为1.5 6.5AD ＜＜；（2）证明：如图②：FDC △绕着点D 旋转180︒得到NDB∴BND CFD ≅ （SAS ），∴BN CF =，DN DF=∵DE DF⊥∴EN EF =，在BNE 中，由三角形的三边关系得：BE BN EN +＞，∴BE CF EF +＞；（3）BE DF EF +＝，理由如下：如图③，将DCF 绕着点C 按逆时针方向旋转100︒∴△DCF ≌△BCH ，∴100CH CF DCB FCH ∠∠=︒＝，＝∴HBC D DF BH∠∠=＝，∵180ABC D ∠+∠︒＝∴180HBC ABC ∠+∠︒＝，∴点A 、B 、H 三点共线∵100FCH ∠=︒，50FCE ∠=︒，∴50ECH ∠=︒∴FCE ECH ∠∠＝，在HCE 和FCE △中，===CF CH ECF ECH CE CE ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴HCE FCE ≌ （SAS ）∴EH EF ＝，∵BE BH EH DF BH+=＝，∴BE DF EF +＝．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理、旋转的性质等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键.类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）(1)求证：CD BC DE=+；(2)若75B∠=︒，求E∠的度数．【答案】(1)见解析(2)105︒【分析】（1）在CD上截取CF∵CA平分BCD∠，∴BCA FCA∠=∠．在BCAV和FCA△中，⎧⎪∠⎨⎪⎩，∠=︒BAC60【答案】（1）5.8；（2）4.3【分析】（1）由已知条件和辅助线的作法，证得△ACD≌△ECD，得到由于∠A＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代换得到∠B＝∠EDB形，得出AC ＝CE ＝3.6，DE ＝BE ＝2.2，相加可得BC 的长；（2）在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，得到△DEB ≌△DBC （SAS ），在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，得到△BDE ≌△FDE ，即可推出结论．【详解】解：（1）如图2，在BC 边上取点E ，使EC ＝AC ，连接DE ．在△ACD 与△ECD 中，AC CE ACD ECD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△ECD （SAS ），∴AD ＝DE ，∠A ＝∠DEC ，∵∠A ＝2∠B ，∴∠DEC ＝2∠B ，∴∠B ＝∠EDB ，∴△BDE 是等腰三角形；∴BE ＝DE ＝AD ＝2.2，AC ＝EC ＝3.6，∴BC 的长为5.8；（2）∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°，∴∠ABC ＝∠C ＝80°，∵BD 平分∠B ，∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC ＝60°，在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，在△DEB 和△DBC 中，12BE BC BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEB ≌△DBC （SAS ），∴∠BED ＝∠C ＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，同理可得△BDE ≌△FDE ，∴∠5＝∠1＝40°，BE ＝EF ＝2，∵∠A ＝20°，∴∠6＝20°，∴AF ＝EF ＝2，∵BD ＝DF ＝2.3，∴AD ＝BD +BC ＝4.3．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟悉这些定理是解决本题的关键．类型三、一线三等角模型应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。
6、全等模型汇总--陆老师
全等模型汇总编辑：陆老师2023.10.15【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线.【常见模型】【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.【常见模型】【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件. 【常见模型】【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.【常见模型】【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直。
【常见模型】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。
【模型图示】公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。
对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。
共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。
寻找共顶点旋转模型的步骤如下： （1）寻找公共的顶点（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。
两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形 *常见结论：连接BD 、AE 交于点F ，连接CF ，则有以下结论： （1）BCD ACE ≅△△ （2）AE BD = （3）AFB DFE ∠=∠ （4）FC BFE ∠平分【常见模型】（等腰）（等边）（等腰直角）一、等边三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
全等几何模型讲解
常见得几何模型一、旋转主要分四大类：绕点、空翻、弦图.半角。
这四类旋转得分类似于平行四边形.矩形、菱形、正方形得分类。
1、绕点型（手拉手模型） ⑴自旋转：例题讲解:1. 如图所示,P 就就是等边三角形ABC 内得一个点,PA 二2,PB=,PCS 求Z\ABC 得边长。
=>A图(l-1-b) 4图（1・图(1-2)卩图(2・l ・图(Nl ・b) aA2、如图Q就就是等边三角形ABC内一点，已知:ZA0B=115° ,ZBOC=12 5°，则以线段OA、OB. 0C为边构成三角形得乞角度数就就是多少？3、如图,P就就是正方形ABCD内一点，且满足PA:PD:PC=1 ：2:3,则ZAPD二______ 、4、如图（2—1 ）： P就就是正方形A BCD内一点，点P到正方形得三个顶点A、B、C得距离分别为PA=LPB=2.PC = 3a求此正方形A BCD面积。
（2）共旋转（典型得手拉手模型）模型变形:等边三角形共顶点例题讲解：1、已知A ABC为等边三角形，点D为直线BC上得一动点(点D不与B,C重合)，以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F逆时针排列)，使ZDAF=6 0。
,连接CF、(1)如图1,当点D在边BC上时，求证:①BD=CF ,②AC=CF+C D、(2)如图2,当点D在边BC得延长线上且其她条件不变时，结论AC=CF+CD就就是否成立?若不成立,请写出AC、CF、CD之间存在得数量关系，并说明理由；(3)如图3,当点D在边BC得延长线上且其她条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在得数量关系。
B BCD D B CE图1 图2 團32、(13北京中考)在ZkABC中，AB二AC,ZBAC=()，将线段BC绕点B逆时针旋转60 0得到线段BD“⑴如图匕直接写岀ZABD得大小(用含得式子表示)；(2 )如图2,ZBCE=15O° Z ZABE=60°，判断△ ABE得形状并加以证明:⑶在(2 )得条件下，连结DE,若ZDEC= 4 5°，求得值。
(完整版)全等三角形经典模型总结
全等三角形相关模型总结一、角平分线模型(一）角平分线的性质模型辅助线：过点G作GE⊥射线ACA、例题1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB 的距离是cm.2、如图，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC.B、模型巩固1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180°.（二）角平分线＋垂线，等腰三角形必呈现A、例题辅助线：延长ED交射线OB于F 辅助线：过点E作EF∥射线OB 例1、如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F .求证：1()2BE AC AB=-.例2、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB＝AD，作CM⊥AD交AD的延长线于M. 求证：1()2AM AB AC=+.（三）角分线，分两边，对称全等要记全两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B，使OB＝OA，从而使△OAC≌△OBC .A、例题1、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC 交AC于Q，求证：AB＋BP＝BQ＋AQ .2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由.B、模型巩固1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）.求证：AB－AC＞PB－PC .2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，求证：AD＋BD＝BC .3、如图，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，求证：AC＋CD＝AB .二、等腰直角三角形模型（一）旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等：操作过程：（1）将△ABD逆时针旋转90°，得△ACM ≌△ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角形.（2）辅助线作法：过点C作MC⊥BC，使CM＝BD，连结AM.（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：操作过程：连结AD.（1）使BF＝AE（或AF＝CE），导出△BDF ≌△ADE.（2）使∠EDF＋∠BAC＝180°，导出△BDF ≌△ADE.A、例题1、如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点M、N在斜边BC上滑动，且∠MAN＝45°，试探究BM、MN、CN之间的数量关系.2、两个全等的含有30°，60°角的直角三角板ADE和ABC，按如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC.试判断△EMC的形状，并证明你的结论.B、模型巩固1、已知，如图所示，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN＝CM.（1）试判断△OMN的形状，并证明你的结论.（2）当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？2、在正方形ABCD中，BE＝3，EF＝5，DF＝4，求∠BAE＋∠DCF为多少度.（三）构造等腰直角三角形（1）利用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）；（2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.（四）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：A、例题应用1、如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P为三角形ABC内部一点，满足PB＝PC，AP＝AC，求证：∠BCP＝15°.三、三垂直模型（弦图模型）A、例题已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC中点，AF⊥BD于点E，交BC于F，连接DF .求证：∠ADB＝∠CDF .变式1、已知：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM于E，交BC于F，连接NF .求证：（1）∠AMB＝∠CNF；（2）BM＝AF＋FN .变式2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将BM和FN分别延长交于点P，求证：（1）PM＝PN；（2）PB＝PF＋AF .四、手拉手模型1、△ABE和△ACF均为等边三角形结论：（1）△ABF≌△AEC .（2）∠BOE＝∠BAE＝60°.（3）OA平分∠EOF .（四点共圆证）拓展：△ABC和△CDE均为等边三角形结论：（1）AD＝BE；（2）∠ACB＝∠AOB；（3）△PCQ为等边三角形；（4）PQ∥AE；（5）AP＝BQ；（6）CO平分∠AOE；（四点共圆证）（7）OA＝OB＋OC；（8）OE＝OC＋OD .（（7），（8）需构造等边三角形证明）例、如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费尔马点．若点M为△ABC的费尔马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以△ABC 的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M 即为△ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．2、△ABD 和△ACE 均为等腰直角三角形结论：（1）BE ＝CD ；（2）BE ⊥CD .3、四边形ABEF 和四边形ACHD 均为正方形结论：（1）BD ＝CF ；（2）BD ⊥CF .变式1、四边形ABEF 和四边形ACHD 均为正方形，AS ⊥BC 交FD 于T ，求证：（1）T 为FD 中点；（2）ABC ADF SS .变式2、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，T为FD中点，TA交BC于S，求证：AS⊥BC .4、如图，以△ABC的边AB、AC为边构造正多边形时，总有：360 12180n︒∠=∠=︒-五、半角模型条件：1,+=1802αββθβ=︒且，两边相等.思路：1、旋转辅助线：①延长CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FB=DN，连AF②将△ADN绕点A顺时针旋转90°得△ABF，注意：旋转需证F、B、M三点共线结论：（1）MN＝BM＋DN；（2）=2CMNC AB；（3）AM、AN分别平分∠BMN、∠MND .2、翻折（对称）辅助线：①作AP⊥MN交MN于点P②将△ADN、△ABM分别沿AN、AM翻折，但一定要证明M、P、N三点共线 .A、例题例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN＝BM＋DN，求证：（1）∠MAN＝45°；C AB；（2）=2CMN（3）AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM .变式：在正方形ABCD中，已知∠MAN＝45°，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动，AH⊥MN，垂足为H，（1）试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系；（2）求证：AB＝AH例2、在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AB＝AD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且满足EF＝BE＋DF，求证：12EAF BAD ∠=∠.变式：在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠D＝90°，AB＝AD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且12EAF BAD∠=∠，求证：EF＝BE＋DF .。
2022年中考数学几何模型之全等三角形的五种模型(讲+练)(解析版)
专题06 全等三角形的五种模型全等三角形的模型种类多，其中有关中点的模型与垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不再重复。
模型一、截长补短模型①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。
如图所示，在BF 上截取BM=DF ，易证△BMC△△DFC （SAS ），则MC=FC=FG ，△BCM=△DCF ， 可得△MCF 为等腰直角三角形，又可证△CFE=45°，△CFG=90°，△CFG=△MCF ，FG△CM ，可得四边形CGFM 为平行四边形，则CG=MF ，于是BF=BM+MF=DF+CG.②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。
如图所示，延长GC 至N ，使CN=DF ，易证△CDF△△BCN （SAS ）， 可得CF=FG=BN ，△DFC=△BNC=135°，又知△FGC=45°，可证BN△FG ，于是四边形BFGN 为平行四边形，得BF=NG ， 所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.例1.如图，△ABC 中，△B =2△A ，△ACB 的平分线CD 交AB 于点D ，已知AC =16，BC =9，则BD 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】.B 【详解】解：如图，在CA 上截取,CN CB = 连接,DN CD 平分,ACB ∠ ,BCD NCD ∴∠=∠,CD CD = (),CBD CND SAS ∴≌ ,,,BD ND B CND CB CN ∴=∠=∠=9,16,BC AC == 9,7,CN AN AC CN ∴==-=,CND NDA A ∠=∠+∠ ,B NDA A ∴∠=∠+∠2,B A ∠=∠ ,A NDA ∴∠=∠,ND NA ∴= 7.BD AN ∴== 故选：.B【变式训练1】如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，△ABC ＝60°，线段AC 与AD 关于直线AP 对称，E 是线段BD 与直线AP 的交点．（1）若△DAE ＝15°，求证：△ABD 是等腰直角三角形；（2）连CE ，求证：BE ＝AE +CE ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】证明：（1）△在△ABC 中，AB ＝BC ，△ABC ＝60°，△△ABC 是等边三角形， △AC ＝AB ＝BC ，△BAC ＝△ABC ＝△ACB ＝60°，△线段AC 与AD 关于直线AP 对称，△△CAE ＝△DAE ＝15°，AD ＝AC ，△△BAE ＝△BAC +△CAE ＝75°，△△BAD ＝90°，△AB ＝AC ＝AD ，△△ABD 是等腰直角三角形； （2）在BE 上取点F ，使BF ＝CE ，连接AF ，△线段AC 与AD 关于直线AP 对称，△△ACE ＝△ADE ，AD ＝AC ，△AD ＝AC ＝AB ，△△ADB ＝△ABD=∠ACE ，在△ABF 与△ACE 中，AC AB ACE ABF CE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABF △△ACE （SAS ），△AF ＝AE ，△AD ＝AB ，△△D ＝△ABD ，又△CAE ＝△DAE ， △()()111806022AEB D DAE D ABD DAC BAC ∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒-∠=︒， △在△AFE 中，AF ＝AE ，△AEF ＝60°，△△AFE 是等边三角形，△AF ＝FE ，△BE ＝BF +FE ＝CE +AE ．【变式训练2】如图，在△ABC 中，△ACB=△ABC=40o ，BD 是△ABC 的角平分线，延长BD 至点E ，使得DE=DA ，则△ECA=________．【答案】40°【详解】解：在BC 上截取BF=AB ，连接DF ，△ACB=△ABC=40°，BD 是△ABC 的角平分线，∴△A=100°，△ABD=△DBC=20°，∴△ADB=60°，△BDC=120°，BD=BD ，∴△ABD△△FBD ，DE=DA ，∴ DF=AD=DE ，△BDF=△FDC=△EDC=60°，△A=△DFB=100°，DC=DC ，∴△DEC△△DFC ，∴1006040DCB DCE DFC FDC ∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒；故答案为40°．【变式训练3】已知四边形ABCD 是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A 点重合，将此三角板绕A 点旋转时，两边分别交直线BC ，CD 于M ，N ．(1)如图1，当M ，N 分别在边BC ，CD 上时，求证：BM +DN =MN(2)如图2，当M ，N 分别在边BC ，CD 的延长线上时，请直接写出线段BM ，DN ，MN 之间的数量关系(3)如图3，直线AN 与BC 交于P 点，MN =10，CN =6，MC =8，求CP 的长．【答案】（1）见解析；（2）BM DN MN -=；（3）3【详解】（1）证明：如图，延长CB 到G 使BG DN =，连接AG ，△四边形ABCD 是正方形，△AB AD =，90ABG ADN BAD ∠=∠=∠=︒，在ABG 与ADN △中，AB ADABG ADN BG DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AGB AND SAS ∴△≌△，AG AN ∴=，GAB DAN ∠=∠，45MAN ∠=︒，90BAD ∠=︒，△45DAN BAM BAD MAN ∠+∠=∠-∠=︒，45GAM GAB BAM DAN BAM ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，GAM NAM ∴∠=∠，在AMN 与AMG 中，AM AMGAM NAM AN AG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMN AMG SAS ∴△≌△，MN GM ∴=，又△BM GB GM +=，BG DN =，BM DN MN ∴+=；（2）BM DN MN -=，理由如下：如图，在BM 上取一点G ，使得BG DN =，连接AG ，△四边形ABCD 是正方形，△AB AD =，90ABG ADN BAD ∠=∠=∠=︒，在ABG 与ADN △中，AB AD ABG ADN GB DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AGB AND SAS ∴△≌△，AG AN ∴=，GAB DAN ∠=∠，△GAB GAD DAN GAD ∠+∠=∠+∠，△90GAN BAD ∠=∠=︒， 又45MAN ∠=︒，45GAM GAN MAN MAN ∴∠=∠-∠=︒=∠，在AMN 与AMG 中，AM AM GAM NAM AN AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMN AMG SAS ∴△≌△，MN GM ∴=，又△BM BG GM -=，BG DN =，△BM DN MN -=，故答案为：BM DN MN -=；（3）如图，在DN 上取一点G ，使得DG BM =，连接AG ，△四边形ABCD 是正方形，△AB AD BC CD ===，90ABM ADG BAD ∠=∠=∠=︒，//AB CD ，在ABM 与ADG 中，AB AD ABM ADG BM DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABM ADG SAS ∴△≌△，AM AG ∴=，MAB GAD ∠=∠，△MAB BAG GAD BAG ∠+∠=∠+∠，△90MAG BAD ∠=∠=︒，又45MAN ∠=︒，45GAN MAG MAN MAN ∴∠=∠-∠=︒=∠，在AMN 与AGN 中，AM AG MAN GAN AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AMN AGN SAS ∴△≌△，10MN GN ∴==，设DG BM x ==，△6CN =，8MC =，△1064DC DG GN CN x x =+-=+-=+，8BC MC BM x =-=-，△DC BC =，△48x x +=-，解得：2x =，△6AB BC CD CN ====，△//AB CD ，△BAP CNP ∠=∠，在ABP △与NCP 中，APB NPC BAP CNP AB CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABP NCP AAS ∴△≌△，132CP BP BC ∴===，△CP 的长为3．模型二、平移全等模型例.如图，在△ABC 和△DEF 中，B ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB // DE ，AB = DE ，△A = △D ．（1）求证：ABC DEF ≌；（2）若BF = 11，EC = 5，求BE 的长．【答案】（1）见解析；（2）BE =3．【详解】（1）证明：△AB△DE ，△△ABC ＝△DEF ，在△ABC 和△DEF 中A D AB DE ABC DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△ABC△△DEF （ASA ）； （2）解：△△ABC△△DEF ，△BC ＝EF ，△BC －EC ＝EF －EC ，即BE ＝CF ，△BF ＝11，EC ＝5，△BF －EC ＝6．△BE ＋CF ＝6．△BE ＝3．【变式训练1】如图，AB//CD ，AB=CD 点E 、F 在BC 上，且BF=CE ．（1）求证：△ABE△△DCF （2）求证:AE//DF ．【答案】（1）见详解；（2）见详解【详解】证明：（1）△AB △CD ，△B C ∠=∠，△BF =CE ，△CF EF BE EF +=+，△BE CF =，△AB =CD ，△ABE DCF △≌△（SAS ）；（2）由（1）可得：ABE DCF △≌△，△DFC AEB ∠=∠，△180,180DFC EFD AEF AEB ∠+∠=︒∠+∠=︒，△EFD AEF ∠=∠，△//AE DF ．【变式训练2】如图，已知点C 是AB 的中点，CD △BE ，且CD BE =．（1）求证：△ACD△△CBE ．（2）若87,32A D ∠=︒∠=︒，求△B 的度数．【答案】（1）见解析；（2）61【分析】（1）根据SAS 证明△ACD△△CBE ；（2）根据三角形内角和定理求得△ACD ，再根据三角形全等的性质得到△B=△ACD ．【详解】（1）△C 是AB 的中点，△AC ＝CB ，△CD//BE ，△ACD CBE ∠=∠，在△ACD 和△CBE 中，AC CB ACD CBE CD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ACD CBE ∆≅∆；（2）△8732A D ︒︒∠=∠=，，△180180873261ACD A D ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=，又△ACD CBE ∆≅∆，△61B ACD ︒∠=∠=．模型三、对称全等模型例.如图，已知△C ＝△F ＝90°，AC ＝DF ，AE ＝DB ，BC 与EF 交于点O ，（1）求证：Rt△ABC△Rt△DEF ；（2）若△A ＝51°，求△BOF 的度数．【答案】（1）见解析；（2）78°【详解】（1）证明：△AE ＝DB ，△AE ＋EB ＝DB ＋EB ，即AB ＝DE ．又△△C＝△F＝90°，AC＝DF，△Rt△ABC△Rt△DEF．（2）△△C＝90°，△A＝51°，△△ABC＝△C－△A＝90°－51°＝39°．由（1）知Rt△ABC△Rt△DEF，△△ABC＝△DEF．△△DEF＝39°．△△BOF＝△ABC＋△BEF＝39°＋39°＝78°．【变式训练1】如图，EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E＝∠F＝90º，∠B ＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】B【解析】∵∠E＝∠F＝90º，∠B＝∠C，AE＝AF，∴△ABE≌△ACF，∴BE＝CF，∵∠BAE＝∠CAF，∠BAE－∠BAC＝∠CAF－∠BAC，∴∠1＝∠2，∴△ABE≌△ACF，∴∠B＝∠C，AB＝AC，又∵∠BAC＝∠CAB，∴△ACN≌△ABM，④CD＝DN不能证明成立，∴共有3个结论正确．【变式训练2】如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF交于D，则以下结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③【解答】D【解析】∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠AEB＝∠AFC＝90°，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ABE≌△ACF（第一个正确），∴AE＝AF，∴BF＝CE，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠BDF＝∠CDE，∴△BDF≌△CDE（第二个正确），∴DF＝DE，连接AD，∵AE＝AF，DE＝DF，AD＝AD，∴△AED≌△AFD，∴∠FAD ＝∠EAD ，即点D 在∠BAC 的平分线上（第三个正确）.模型四、旋转全等模型例.如图，△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，△BAC =△DAE ，且点B ，D ，E 在同一条直线上，若△CAE +△ACE +△ADE =130°，则△ADE 的度数为（ ）A ．50°B ．65°C ．70°D ．75°【答案】B【详解】BAC DAE ∠=∠BAC DAC DAE DAC ∴∠-∠=∠-∠BAD CAE ∴∠=∠,AB AC AD AE == ∴在BAD 和CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BAD ≌CAE （ SAS ） ABD ACE ∴∠=∠130CAE ACE ADE ∠+∠+∠=︒130ABD BAD ADE ∴∠+∠+∠=︒ADE ABD BAD ∠=∠+∠2130ADE ∴∠=︒65ADE ∴∠=︒故选：B ．【变式训练1】如图，将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转60°得到正方形AB ′C ′D ′，线段CD ，B ′C ′交于点E ，若DE ＝1，则正方形的边长等于_____．【答案】2+【详解】解：连接AC 、AE ，延长C ′B ′交AC 于点F ，过点F 作GF △DC 于G ， 由题意得，AD =AB ′,△D =△AB ′E ，△B ′AB =60°,△CAB =△GCB ′=45°，△△DAB ′=30°，△CAB ′=15°在RT △ADE 与RT △AB ′E 中AD AB AE AE ='⎧⎨=⎩，△RT △ADE △RT △AB ′E （HL ）， △△DAE =△B′AE =12△DAB ′=15°，DE=EB ′=1，△△B′AE=△CAB ′在△AB′E 和△AB′F 中==B AE CAB AB AB EB A FB A ∠'=∠'⎧⎪''⎨⎪∠'∠'⎩ ，△△AB′E △△AB′F （ASA ），△EB′=BF=1 △△DEB ′=360°-△D -△EB A '-∠DAB′=150°，△△GEF =30°在RT △EGF 中，EG =EF ×cos △GEFDF =EF ×sin △GEF =2×12=1 在△CGF 中，△GCF =45°，△CG=GF =1，△DC =DE+EG+GC所以正方形的边长为【变式训练1】如图，,,,AC BC DC EC AC BC DC EC ⊥⊥==， 求证：（1）ACE BCD ∆≅∆；（2）AE BD ⊥．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】证明：()1AC BC ⊥，DC EC ⊥，90ACB DCE ∴∠=∠=︒， ACB ACD DCE ACD ∴∠+∠=∠+∠，∴∠=∠DCB ECA ，在DCB ∆和ECA ∆中，AC BC DCB ECA CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DCB ECA SAS ∴∆≅∆；()2如图，设AC 交BD 于N ，AE 交BD 于O ，∆≅∆DCB ECA ，A B ∴∠=∠，∠=∠AND BNC ，90∠+∠=︒B BNC ， 90∴∠+∠=︒A AND ，90∴∠=︒AON ，AE BD ∴⊥．【变式训练2】如图，AB AC =，AE AD =，CAB EAD α∠=∠=．（1）求证：AEC ADB ≅△△；（2）若90α=︒，试判断BD 与CE的数量及位置关系并证明；（3）若CAB EAD α∠=∠=，求CFA ∠的度数．【答案】（1）见详解；（2）BD=CE ，BD△CE ；（3）902α︒-【详解】（1）△△CAB=△EAD△△CAB+△BAE=△EAD+△BAE ，△ △CAE=△BAD ，△AB=AC ，AE=AD 在△AEC 和△ADB 中AB AC CAE BAD AE AD =⎧⎪⎨⎪⎩∠=∠=△ △AEC△△ADB （SAS ） （2）CE=BD 且CE△BD ，证明如下：将直线CE 与AB 的交点记为点O ，由（1）可知△AEC△△ADB ，△ CE=BD ， △ACE=△ABD ，△△BOF=△AOC ，△α=90°，△ △BFO=△CAB=△α=90°，△ CE△BD ．（3）过A 分别做AM△CE ，AN△BD 由（1）知△AEC△△ADB ，△两个三角形面积相等故AM·CE=AN·BD△AM=AN△AF 平分△DFC由（2）可知△BFC=△BAC=α△△DFC=180°-α△△CFA=12△DFC=902α︒- 【变式训练3】如图①，在△ABC 中，△A ＝90°，AB ＝AC1，BC ＝2D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD ＝AE ＝1，DE．现将△ADE 绕点A 顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）．如图②，连接CE 、BD 、CD ．（1）如图②，求证：CE ＝BD ；（2）利用备用图进行探究，在旋转的过程中CE 所在的直线能否垂直平分BD？如果能，请猜想α的度数，画出图形，并将你的猜想作为条件，给出证明；如果不能，请说明理由； （3）在旋转的过程中，当△BCD 的面积最大时，α＝ °．（直接写出答案即可）【答案】（1）证明见解析；（2）能，α=90°；（3）135α=︒．【详解】（1）证明：如图2中，根据题意：AB AC =，AD AE =，90CAB EAD ∠=∠=︒， 90CAE BAE BAD BAE ∠+∠=∠+∠=︒，CAE BAD ∴∠=∠，在ACE ∆和ABD ∆中，AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACE ABD SAS ∴∆≅∆，CE BD ∴=；（2）能，若CE 所在直线垂直平分BD ，则CD =BC ，△AB ＝AC＋1，BC ＝2，AD ＝AE ＝1，DE△1122AC AD CD BC +=+=== △AC +AD =CD ，即A 、C 、D 在同一条直线上，此时α=90°，如下图，CE 的延长线与BD 交于F ，与（1）同理可得()ACE ABD SAS ∆≅∆，ACE ABD ∴∠=∠，90ACE AEC ∠+∠=︒，且AEC FEB ∠=∠，90ABD FEB ∴∠+∠=︒，90EFB ∴∠=︒，CF BD ∴⊥，BC CD =，CF ∴是线段BD 的垂直平分线；（3）解：BCD ∆中，边BC 的长是定值，则BC 边上的高取最大值时BCD ∆的面积有最大值， ∴当点D 在线段BC 的垂直平分线上时，BCD ∆的面积取得最大值，如图中：1AB AC ==，1AD AE ==，90CAB EAD ∠=∠=︒，DG BC ⊥于G ，12AG BC ∴==45GAB ∠=︒，1DG AG AD ∴=+==，18045135DAB ∠=︒-︒=︒， BCD ∴∆的面积的最大值为：1122BC DG ⋅==135α=︒． 模型五、手拉手全等模型例.如图，B ，，三点在一条直线上，和均为等边三角形，与交于点，与交于点．（1）求证：；（2）若把绕点任意旋转一个角度，（1）中的结论还成立C E ABC ∆DCE ∆BD AC M AE CDN AE BD =DCE ∆C吗？请说明理由．【答案】（1）见解析（2）成立，理由见解析．【详解】解：（1）证明：如图1中，与都是等边三角形，，，，，，，即．在和中，，(SAS)．．即AE=BD ，（2）成立；理由如下：如图2中，、均为等边三角形， ，，，，即，在和中，，，．【变式训练1】如图，△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，△AOB ＝△COD ＝90°，AC 、BD 交于点M ．(1) 如图1，求证：AC=BD ，判断AC 与BD 的位置关系并说明理由；(2) 如图2，△AOB ＝△COD ＝60°时，△AMD 的度数为___________.【答案】(1)答案见解析；（2）120.ABC ∆DCE∆AC BC ∴=CD CE =60ACB DCE ∠=∠=︒180ACB ACD DCE ∠+∠+∠=60ACD ∴∠=︒ACB ACD ACD DCE ∠+∠=∠+∠BCD ACE ∠=∠BCD ∆ACE ∆BC AC BCD ACE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BCD ACE ∴∆≅∆BD AE ∴=AE BD =ABC ∆DCE ∆BC AC ∴=CD CE =60BCA DCE ∠=∠=︒BCA ACD DCE ACD ∴∠+∠=∠+∠BCD ACE ∠=∠ACE ∆BCD ∆AC BC BCD ACE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACE BCD SAS ∴∆≅∆AE BD ∴=【详解】()190AOB COD ∠∠＝＝，.AOB AOD COD AOD ∠+∠∠+∠＝ 即：.BOD AOC ∠∠＝,,OA OB OC OD ＝＝易证.BOD AOC ≌.OBD OAC ∴∠=∠ AC=BD△,AMD ABM BAM ∠=∠+∠.BAM BAO OAC ∠=∠+∠△.AMD ABM BAO OBD OBA BAO ∠=∠+∠+∠=∠+∠△90.AOB ∠= △90.OBA BAO ∠+∠=90.AMD ∴∠= △AC△BD（2）同理可得. .AMD OBA BAO ∠=∠+∠60.AOB ∠= 120.OBA BAO ∠+∠= 120.AMD ∴∠= 故答案为： 120.【变式训练2】如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板△COD 和△AOB 如图①摆放，连结AC ，BD ．（1）如图①，猜想线段AC 与BD 存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；（2）将图①中的△COD 绕点O 顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC ，BD ，其他条件不变，线段AC 与BD 存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由．（3）将图①中的△COD 绕点O 逆时针旋转一定的角度（如图③），连结AC ，BD ，其他条件不变，线段AC 与BD 存在怎样的关系？请直接写出结论．【答案】（1）AC=BD ，AC△BD ，证明见解析；（2）存在，AC=BD ，AC△BD ，证明见解析；（3）AC=BD ，AC△BD【详解】（1）AC=BD ，AC△BD ， 证明：延长BD 交AC 于点E ．△△COD 和△AOB 均为等腰直角三角形，△OC=OD ，OA=OB ，△COA=△BOD=90º，△△AOC△△BOD （SAS ），△AC=BD ，△△OAC=△OBD ，△△ADE=△BDO ，△△AED=△BOD=90º，△AC△BD ；（2）存在，证明：延长BD 交AC 于点F ，交AO 于点G ．△△COD 和△AOB 均为等腰直角三角形，△OC=OD ，OA=OB ，△DOC=BOA=90º，△△AOC=△DOC －△DOA ，△BOD=△BOA －△DOA ，△△AOC=△BOD ，△△AOC△△BOD （SAS ），△AC=BD ，△OAC=△OBD ，△△AGF=△BGO ，△△AFG=△BOG=90º，△AC△BD ；（3）AC=BD ，AC△BD ．证明：BD 交AC 于点H ，AO 于M ，△△COD 和△AOB 均为等腰直角三角形，△OC=OD ，OA=OB ，△DOC=BOA=90º，△△AOC=△DOC+△DOA ，△BOD=△BOA+△DOA ，△△AOC=△BOD ，△△AOC△△BOD （SAS ），△AC=BD ，△OAC=△OBD ，△△AMH=△BMO ，△△AHM=△BOH=90º，△AC△BD ．【变式训练3】已知：如图1，在和中，，，．（1）证明．（2）如图2，连接和，，与分别交于点和，，求的度数．（3）在（2）的条件下，若，请直接写出的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）△ACE =62°；（3）△CBA =6°．【详解】解：（1）△△CAE =△DAB ，△△CAE +△CAD =△DAB +△CAD ，即△CAB =△EAD ，在△ABC 和△ADE 中，△△ABC△△ADE （AAS ），ABC ∆ADE ∆C E ∠=∠CAE DAB ∠=∠BC DE =ABC ADE ∆∆≌CE BD DE AD BC M N 56DMB ∠=︒ACE ∠CN EM =CBA∠C E CAB EAD BC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（2）△△ABC△△ADE ，△△CBA=△EDA ,AC=AE ，在△MND 和△ANB 中，△△EDA +△MND+△DMB =，△CBA +△ANB +△DAB =，又△ △MND=△ANB ，△ △DAB=△DMB=，△△CAE =△DAB=，△AC=AE ，△△ACE =△AEC=，△△ACE =， （3）△CBA=，如图所示，连接AM ，,CN=EM,CA=EA,(SAS), AM=AN,,=即,由(2)可得：,=, △CAE =△DAB==-= .课后训练1.如图，已知AB AD =，BC DE =，且10CAD ∠=︒，25B D ∠=∠=︒，120EAB ∠=︒，则EGF ∠的度数为（ ）A ．120︒B ．135︒C ．115︒D ．125︒【答案】C 【详解】在△ABC 和△ADE 中AB AD B D BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ △ABC △△ADE （SAS ）△△BAC =△DAE 180︒180︒56︒56︒1(18056)622︒︒︒-=62︒6︒NCA MEA ∠=∠∴NCA MEA ≅∴EAM CAN ∠=∠∴EAM CAM ∠-∠CAN CAM ∠-∠EAC MAN ∠=∠=56EAC MAN ︒∠=∠∴ANM ∠1(18056)622︒︒︒-=56︒∴CBA ANM DAB ∠=∠-∠62︒56︒6︒△△EAB =△BAC +△DAE +△CAD =120°△△BAC =△DAE ()112010552=⨯︒-︒=︒ △△BAF =△BAC +△CAD =65°△在△AFB 中，△AFB =180°-△B -△BAF =90°△△GFD =90°在△FGD 中，△EGF =△D +△GFD =115°故选：C2.如图，△ABC 中，E 在BC 上，D 在BA 上，过E 作EF△AB 于F ，△B ＝△1+△2，AB ＝CD ，BF ＝43，则AD 的长为________．【详解】在FA 上取一点T ，使得FT =BF ，连接ET ，在CB 上取一点K ，使得CK =ET ，连接DK ． △EB =ET ，△△B =△ETB ，△△ETB =△1+△AET ，△B =△1+△2，△△AET =△2，△AE =CD ，ET =CK ，△△AET △△DCK (SAS )，△DK =AT ，△ATE =△DKC ，△△ETB =△DKB ，△△B =△DKB ，△DB =DK ，△BD =AT ，△AD =BT ，△BT =2BF =83，△AD =83，故答案为：83．3.如图，2A C ，BD 平分ABC ∠，10BC =，6AB =，则AD =_____．【答案】4【详解】解：（1）在BC 上截取BE ＝BA ，如图，△BD 平分△ABC ，△△ABD ＝△EBD ，在△ABD 和△BED 中，BE BA ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABD △△EBD （SAS ），△DE ＝AD ，△BED ＝△A ，又△△A ＝2△C ，△△BED ＝△C +△EDC ＝2△C ，△△EDC ＝△C ，△ED ＝EC ，△EC ＝AD ，△BC ＝BE +EC ＝AB +AD ，△BC ＝10，AB ＝6，△AD ＝10﹣6＝4；故答案为：4．4.如图，正方形ABCD ，将边CD 绕点D 顺逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段DE ，连接AE ，CE ，过点A 作AF △CE 交线段CE 的延长线于点F ，连接BF ．（1）当AE ＝AB 时，求α的度数；（2）求证：△AEF ＝45°；（3）求证：AE △FB ．【答案】（1）α＝30°；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【详解】解：(1) 在正方形ABCD 中，AB ＝AD ＝DC ，由旋转可知，DC ＝DE ，△AE ＝AB △AE ＝AD ＝DE△△AED 是等边三角形，△∠ADE ＝60°，△△ADC ＝90°，△α＝△ADC －∠ADE ＝90°－60°＝30°．（2）证明：在△CDE 中，DC ＝DE ，△△DCE ＝△DEC ＝180=9022αα－－， 在△ADE 中，AD ＝ED ，△ADE ＝90°－α，△△DAE ＝△DEA ＝()18090=4522αα－－＋ △△AEC ＝△DEC ＋△DEA ＝90+45+22αα－＝135°．△△AEF ＝45°，（3）证明：过点B 作BG //CF 与AF 的延长线交于点G ，过点B 作BH //GF 与CF 交于点H ， 则四边形BGFH 是平行四边形，△AF △CE ，△平行四边形BGFH 是矩形，△△AFP ＝△ABC ＝90°，△APF ＝△BPC ，△△GAB ＝BCP ，在△ABG 和△CBH 中，GAB HCB BGA BHC AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABG △△CBH (AAS )，△BG ＝BH ，△矩形BGFH 是正方形，△△HFB ＝45°，由（2）可知：△AEF ＝45°，△△HFB ＝△AEF ＝45°，△AE△F B ．5.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且AE＝AD，∠EAD＝∠BAC．（1）求证：∠ABD＝∠ACD；（2）若∠ACB＝65º，求∠BDC的度数．【答案】（1）见解析；（2）50º【解析】（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD，∴∠BAC－∠EAC＝∠EAD－∠EAC，即∠BAE ＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD，∴∠ABD＝∠ACD；（2）∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，∴∠BOC＝∠ABD＋∠BAC，∠BOC＝∠ACD ＋∠BDC，∴∠ABD＋∠BAC＝∠ACD＋∠BDC，∵∠ABD＝∠ACD，∴∠BAC＝∠BDC，∵∠ACB＝65º，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝65º ，∴∠BAC＝180º－∠ABC－∠ACB＝180º－65º－65º＝50º ，∴∠BDC＝∠BAC＝50º．6.如图①，在△ABC中，△BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC 的外部作△CED，使△CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．（1）求证：EF=AE；（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF、AE的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）AF=，见解析．【详解】解：（1）如图，四边形ABFD是平行四边形，∴AB=DF，AB=AC，∴AC=DF，DE=EC∴AE=EF；（2）AF=，证明：连接EF，设DF交BC于K，四边形ABFD是平行四边形，∴AB//DF∴△DKE=△ABC=45°，∴△EKF=180°-△DKE=135°△ADE=180°-△EDC=180°-45°=135°，∴△EKF=△ADE，△DKC=△C，∴DK=DC ，DF=AB=AC，∴KF=AD在△EKF和△EDA中，EK DKEKF ADEKF AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EKF△△EDA（SAS）∴EF=EA, △KEF=△AED，∴△FEA=△BED=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，AF=．7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB ＝CP＋CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．【解答】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）证明，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA＋∠ACG＝∠CAG＋45°＝∠CBE＋45°，∠PGC＝∠GCB＋∠CBE＝∠CBE＋45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG＋PG，BG＝CF，∴PB＝CF＋CP；（3）如图，过E作EM⊥AG，交AG于M，＝AG•EM，∵S由（2）得△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x＋x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM，∴M是AG的中点，∴AE＝EG，∴BE＝BG＋EG＝6＋，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝，∴AC＝AE＋EC．8.如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，点D，E分别为AB，BC上一点，BD＝BE，连接DE，DC，AC＝CD．（1）如图1，若AC＝3，DE＝2，求EC的长；（2）如图2，连接AE交DC于点F，点M为EC上一点，连接AM交DC于点N，若AE ＝AM，求证：2DE＝MC；（3）在（2）的条件下，若∠ACB＝45°，直接写出线段AD，MC，AC的等量关系．【解答】（1（2）见解析；（3【解析】（1）如图，过点C作CG⊥AB于G，∵AC＝CD，∴AG＝DG，设DG＝a，∵BD＝BE，∠ABC＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD＝DE，∴BG＝BD＋DG＋a，在Rt△BGC中，∠BCG＝90°－∠ABC＝30°，∴BC＝2BG，CG＝BG＝6＋a，在Rt△DGC中，CD＝AC＝3，根据勾股定理得，CG2＋DG2＝CD2，∴（6＋a）2＋a2＝90，∴（舍），∴BC＝EC＋BE＝EC＋BD，∴EC＋BD＝2（BD＋DG），∴EC＝BD＋2DG；（2）如图在MC上取一点P，使MP＝DE，连接AP，∵△BDE是等边三角形，∴∠BED＝60°，BE＝DE，∴∠DEC＝120°，BE＝PM，∵AE＝AM，∴∠AEM＝∠AME，∴∠AEB＝∠AMP，∴△ABE≌△APM（SAS），∴∠APM＝∠ABC＝60°，∴∠APC＝120°＝∠DEC，如图，过点M作AC的平行线交AP的延长线于Q，∴∠MPQ＝∠APC＝120°＝∠DEC，∵AC＝CD，∴∠ADC＝∠DAC，∴∠CDE＝180°－∠BDE－∠ADC＝180°－60°－∠DAC＝120°－∠DAC，在△ABC中，∠ACB＝180°－∠ABC－∠DAC＝120°－∠DAC＝∠CDE，∵MQ∥AC，∴∠PMQ＝∠ACB，∴∠PMQ＝∠EDC，∴△MPQ≌△DEC（ASA），∴MQ＝CD，∵AC＝MQ，∴△APC≌△QPM（AAS），∴CP＝MP，∴CM＝MP＋CP＝2DE；（3）如图，在MC上取一点P，使PM＝DE，由（2）知，MC＝2CP＝2DE，由（2）知，△ABE≌△APM，∴AB＝AP，∵∠ABC＝60°，∴△ABP是等边三角形，∴BP＝AB，∵BE＝BD，∴PE＝AD，∴BC＝BE＋PE＋CP＝DE＋PE＋DE＝2DE＋AD＝MC＋AD，过点A作AH⊥BC于H，设BH＝m，在Rt△ABH，在Rt△ACH中，∠ACB＝45°，∴∠CAH＝90°－∠ACB＝45°＝∠ACB，∴CH＝AH，∵MC＋AD＝BC＝BH＋CH＝，∴MC＋AD＝AC．。
(完整版)全等正方体常见的几何模型
(完整版)全等正方体常见的几何模型全等正方体常见的几何模型
全等正方体是指具有相同边长和相同角度的正方体。
它是一种非常常见的几何模型，广泛应用于数学、工程和制造领域。
下面介绍几种常见的全等正方体模型。
1. 立方体：立方体是最基本的全等正方体模型。
它具有六个相等的正方形面和八个相等的顶点，每个角度都为90度。
立方体常用于几何学教学、建筑设计和游戏开发等领域。
2. 魔方：魔方，也称为魔方立方体或鲁比克方块，是一种三维拼图游戏。
它由27个小正方体组成，每个面上有一个大正方体。
魔方的六个面都是全等并且可以自由旋转，目标是将魔方还原成六个完整的单色面。
3. 雪花立方体：雪花立方体是指一种全等正方体模型，其六个面上各有一个凹入，使得整个模型形状类似于雪花的外观。
雪花立方体常用于装饰和艺术领域，为空间增添独特的美感。
4. 六面体骰子：六面体骰子，也称作骰子或者色子，是一种常用的博弈工具。
每个面上分别标有1至6个点数，六个面都是全等的正方形。
骰子常用于各种棋类游戏和赌博等活动。
5. 三维液晶显示器：三维液晶显示器是一种先进的显示技术，其中的像素采用全等正方体结构排列。
这种显示器可以呈现更加真实和立体的图像，广泛应用于电视、电脑和虚拟现实等领域。
以上是几种常见的全等正方体模型，它们在不同领域发挥着重要的作用。
全等正方体的几何特性和结构使得它们成为设计和制造中不可或缺的元素。
专题02 全等模型-一线三等角(K字)模型(解析版)
专题02全等模型--一线三等角（K 字）模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K 字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K 型图）模型（同侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠+CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE⇒≅ 例1．（2023·江苏·八年级假期作业）探究：如图①，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD m ⊥于点D ，CE m ⊥于点E ，求证：ABD CAE ≌ ．应用：如图②，在ABC 中，AB AC =，,,D A E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ∠=∠=∠．求出,DE BD 和CE 的关系．拓展：如图①中，若10DE =，梯形BCED 的面积______．【答案】探究：证明过程见详解；应用：DE BD CE =+，理由见详解；拓展：50【分析】探究：90BAC ∠=︒，AB AC =，可知ABC 是等腰直角三角形，BD m ⊥，CE m ⊥，可知90BDA AEC ∠=∠=︒，可求出BAD ACE ∠=∠，根据角角边即可求证；应用：AB AC =，,,D A E 三点都在(1)如图①，若AB AC ⊥，则BD 与AE 的数量关系为___________，CE 与AD 的数量关系为(2)如图②，判断并说明线段BD ，CE 与DE 的数量关系；(3)如图③，若只保持7BDA AEC BD EF cm ∠=∠==，，点A 在线段DE 上以2cm/s 的速度由点例3．（2022·陕西七年级期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6．【分析】(1)∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，据同角的余角相等，可得∠ACB＝∠D，由已知条件可证△ABC≌△CED，运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于E ．(1)当115BDA ∠=︒时，EDC ∠=_____︒，BAD ∠=_____︒，AED =∠_____︒；点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变_____（填“大”或“小”）；(2)当DC 等于多少时，ABD DCE ≌△△，请说明理由；(3)在点D 的运动过程中，ADE V 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出BDA ∠的度数，若不可以，请说明理由．【答案】(1)25，25，65，小(2)当2DC =时，ABD DCE ≌△△，理由见解析；(3)当BDA ∠的度数为110︒或80︒时，ADE V 的形状是等腰三角形．【分析】（1）先求出ADC ∠的度数，即可求出EDC ∠的度数，再利用三角形的外角性质即可求出AED ∠的度数，根据点D 从B 向C 运动时，BAD ∠逐渐增大，而B ∠不变化，180B BAD BDA ∠+∠+∠=︒，即可得到答案；（2）根据全等三角形的判定条件求解即可；（3）先证明当ADE V 时等腰三角形，只存在AD ED =或AE DE =两种情况，然后分这两种情况讨论求解即可；【详解】（1）解：∵115BDA ∠=︒，∴18011565ADC ∠=︒-︒=︒，∵40ADE ∠=︒，∴25EDC ADC ADE ∠︒=∠-∠=，∵ADC ADE EDC B BAD ∠=∠+∠=∠+∠，∴25BAD EDC ∠=∠=︒，∴65AED EDC C ︒∠=∠+∠=；∵点D 从B 向C 运动时，BAD ∠逐渐增大，而B ∠不变化，180B BAD BDA ∠+∠+∠=︒，∴点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变小，故答案为：25，25，65，小；（2）解：当2DC =时，ABD DCE ≌△△，理由：∵40B C ∠=∠=︒，∴140DEC EDC ∠+∠=︒，又∵40ADE ∠=︒，∴140ADB EDC ∠+∠=︒，∴ADB DEC ∠=∠，又∵2AB AC ==，∴()AAS ABD DCE ≌△△；（3）解：当BDA ∠的度数为110°或80°时，ADE V 的形状是等腰三角形，理由：∵40C ADE ∠=∠=︒，AED C EDC ∠=∠+∠，∴AED ADE ∠>∠，∴当ADE V 时等腰三角形，只存在AD ED =或AE DE =两种情况，模型2.一线三等角（K 型图）模型（异侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
专题13 全等三角形重难点模型(五大模型)(解析版)
专题13全等三角形重难点模型（五大模型）模型一：一线三等角型模型二：手拉手模型模型三：半角模型模型四：对角互补模型模型五：平行+线段中点构造全等模型【典例分析】【模型一：一线三等角型】如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。
结论：Rt△BDC≌Rt△CEA模型二一线三等角全等模型如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。
结论：△BEC≌△CDA图一图二应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。
【典例1】如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）．（1）当a＝2时，则C点的坐标为；（2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．【解答】解：（1）如图1中，过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEB＝∠AOB．∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠BAO+∠CBE，∴∠BCE＝∠ABO，在△BCE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS），∵A（﹣1，0），B（0，2），∴AO＝BE＝1，OB＝CE＝2，∴OE＝1+2＝3，∴C（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）；（2）动点A在运动的过程中，c+d的值不变．理由：过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEA＝∠AOB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠ABO+∠CBE，∴∠BCE＝∠ABO，在△BCE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS），∵B（﹣1，0），A（0，a），∴BO＝AE＝1，AO＝CE＝a，∴OE＝1+a，∴C（﹣a，1+a），又∵点C的坐标为（c，d），∴c+d＝﹣a+1+a＝1，即c+d的值不变．【变式1】点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如图一，若点B坐标为（0，﹣3），连接AC、OD．①求证：AC＝OD；②求D点坐标．（2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度．【解答】（1）①证明：∵△OBC和△ABD是等腰直角三角形，∴OB＝CB，BD＝AB，∠ABD＝∠OBC＝90°，∴∠ABD+ABO＝∠OBC+∠A∠O，∴∠OBD＝∠CBA，∴△OBD≌△CBA（SAS），∴AC＝OD；②如图一、∵A（4，0），B（0，﹣3），∴OA＝4，OB＝3，过点D作DF⊥y轴于F，∴∠BOA＝∠DFB＝90°，∴∠ABO+∠OAB＝90°，∵∠ABD＝90°，∴∠ABO+∠FBD＝90°，∴∠OAB＝∠FBD，∵AB＝BD，∴△AOB≌△BFD（AAS），∴DF＝OB＝3，BF＝OA＝4，∴OF＝OB+BF＝7，∴D（3，﹣7）；（2）如图二、过点D作DF⊥y轴于F，则∠DFB＝90°＝∠CBF，同（1）②的方法得，△AOB≌△BFD（AAS），∴DF＝OB，BF＝OA＝4，∵OB＝BC，∴BC＝DF，∵∠DEF＝∠CEB，∴△DEF≌△CEB（AAS），∴BE＝EF，∴BF＝BE+EF＝2BE＝4，∴BE＝2．【典例2】（1）猜想：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出；（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由．【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（2）结论DE＝BD+CE成立，理由如下：∵∠BAD+∠CAE＝180°﹣∠BAC，∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠ADB，∠ADB＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，在△BAD和△ACE中，，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA+AE＝BD+CE；（3）△DFE为等边三角形，理由如下：由（2）得，△BAD≌△ACE，∴BD＝AE，∠ABD＝∠CAE，∴∠ABD+∠FBA＝∠CAE+FAC，即∠FBD＝∠FAE，在△FBD和△FAE中，，∴△FBD≌△FAE（SAS），∴FD＝FE，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，∴△DFE为等边三角形．【变式2】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE ＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，CE与AD 的数量关系为；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD，∴∠CAE＝∠ABD，∵∠BDA＝∠AEC，BA＝CA，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，故答案为：BD＝AE，CE＝AD；（2）DE＝BD+CE，由（1）同理可得△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，CE＝AD，∴DE＝BD+CE；（3）存在，当△DAB≌△ECA时，∴AD＝CE＝2cm，BD＝AE＝7cm，∴t＝1，此时x＝2；当△DAB≌△EAC时，∴AD＝AE＝4.5cm，DB＝EC＝7cm，∴t＝，x＝7÷＝，综上：t＝1，x＝2或t＝，x＝．【模型二：手拉手模型】应用：①利用手拉手模型证明三角形全等，便于解决对应的几何问题；②作辅助线构造手拉手模型，难度比较大。
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常见的几何模型一、旋转主要分四大类：绕点、空翻、弦图、半角。
这四类旋转的分类似于平行四边形、矩形、菱形、正方形的分类。
1.绕点型（手拉手模型）（1）自旋转：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧，造中心对称遇中点旋全等遇等腰旋顶角，造旋转，造等腰直角旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法0000018090906060例题讲解：1. 如图所示，P是等边三角形ABC内的一个点，PA=2，PB=3 2，PC=4，求△ABC的边长。
CABP2. 如图，O是等边三角形ABC内一点，已知：∠AOB=115°，∠BOC=125°，则以线段OA、OB、OC为边构成三角形的各角度数是多少3.如图，P是正方形ABCD内一点，且满足PA：PD：PC=1：2：3，则∠APD= .4.如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。
求此正方形ABCD面积。
AB CO（2）共旋转（典型的手拉手模型）模型变形：等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形共顶点等腰三角形例题讲解：1. 已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B,C 重合），以AD 为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF. (1) 如图1，当点D 在边BC 上时，求证：① BD=CF ‚ ②AC=CF+CD.(2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD 是否成立若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系。
2.（13北京中考）在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α（︒<<︒600α），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得 到线段BD 。
（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE ，若∠DEC=45°，求α的值。
2.半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
例题：1.在等腰直角△ABCD 的斜边上取两点M,N,使得45=︒∠MCN ,记AM=m,MN=x,BN=n ， 求证以m ，x ，n 为边长的三角形为直角三角形。
m xnBCAMN2.如图，正方形ABCD 的边长为1，AB,AD 上各存在一点P 、 Q ，若△APQ 的周长为2， 求PCQ ∠的度数。
Q P3.E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H 为 垂足，求证：AH AB =．4. 已知，正方形ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ，AH ⊥MN 于点H ．CH FED BA（1）如图①，当∠MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：AH=AB；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）5.已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1)，易证BM+DN=MN．(1)当∠MAN绕点A 旋转到BM≠DN时(如图2)，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系写出猜想，并加以证明．(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系请直接写出你的猜想．6.(14房山2模). 边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上(如图1)，现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，AB边交DF于点M，BC边交DG于点N.（1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时(如图2)，求正方形ABCD旋转的度数；的周长为p，在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有变化请（3）如图3，设MBN证明你的结论.7. (2011石景山一模)已知：如图，正方形ABCD 中，AC ，BD 为对角线，将∠BAC 绕顶点A 逆时针旋转α°（0＜α＜45），旋转后角的两边分别交BD 于点P 、点Q ，交BC ，CD 于点E 、点F ，连接EF ，EQ ． （1）在∠BAC 的旋转过程中，∠AEQ 的大小是否改变若不变写出它的度数；若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）； （2）探究△APQ 与△AEF 的面积的数量关系，写出结论并加以证明．8．已知在ABC △中，90=∠ACB ，26==CB CA ，AB CD ⊥于D ，点E 在直线CD 上，CD DE 21=，点F 在线段AB 上，M 是DB 的中点，直线AE 与直线CF 交于N 点. （1）如图1，若点E 在线段CD 上，请分别写出线段AE 和CM 之间的位置关系和数量关系：___________，___________；（2）在（1）的条件下，当点F 在线段AD 上，且2AF FD =时，求证：45=∠CNE ； （3）当点E 在线段CD 的延长线上时，在线段AB 上是否存在点F ，使得45=∠CNE ．若存在，请直接写出AF 的长度；若不存在，请说明理由．M'AB CDEF MNDCBA9.(2014平谷一模24)（1）如图1，点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，∠EAF =45°，连接EF ，则EF 、BE 、FD 之间的数量关系是：EF =BE +FD ．连结BD ，交AE 、AF 于点M 、N ，且MN 、BM 、DN 满足222DN BM MN +=，请证明这个等量关系；（2）在△ABC 中， AB =AC ，点D 、E 分别为BC 边上的两点．①如图2，当∠BAC =60°，∠DAE =30°时，BD 、DE 、EC 应满足的等量关系是②如图3，当∠BAC =α，(0°<α<90°)，∠DAE =α21时，BD 、DE 、EC 应满足的等量关系是___________．【参考：1cos sin 22=+αα】 注意：2222AM BM DM =+A B CD EF 图1B CDE 图2AB DE 图3AMN(1) 在正方形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°，∠ABM =∠ADN=45°．把△ABM 绕点A 逆时针旋转90°得到M AD '∆． 连结M N '．则，，AM AM BM M D =='',︒=∠='∠45ABM M AD ，BAM M DA ∠='∠．∵∠EAF =45°，∴∠BAM +∠DAN =45°,∠DAM′+∠DAF =45°, ︒=∠=∠45'MAN AN M ． ∴N AM '∆≌AMN ∆． ∴N M '=MN ．在N DM '∆中，︒=∠+∠=∠90''ADM ADN DN M , 222''DM DN N M +=∴222BM DN MN +=（2）① 222EC EC BD BD DE +⋅+=；② 222cos 2EC EC BD BD DE +⋅⋅+=αNM FED CBA3.空翻模型例题： 1.如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系N E B M A DGNEB M A D【解析】 猜测DM MN =.过点M 作MG BD ∥交AD 于点G ，AG AM =，∴GD MB =又∵120ADM DMA +∠=∠，120DMA NMB +=∠∠ ∴ADM NMB =∠∠，而120DGM MBN ==∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．2.如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线 交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系N CDE B M A NCDEB M A【解析】 猜测DM MN =.在AD 上截取AG AM =，∴DG MB =，∴45AGM =∠∴135DGM MBN ==︒∠∠，∴ADM NMB =∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．3.【探究发现】如图１，ABC ∆是等边三角形，60AEF ︒∠=，EF 交等边三角形外角平分线CF 所在的直线于点F ．当点E 是BC 的中点时，有AE =EF 成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE 、EF 的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E 是直线BC 上（B ,C 除外）任意一点时(其它条件不变)，结论AE =EF 仍然成立．假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E 是线段BC 上的任意一点”；“点Ｅ是线段BC 延长线上的任意一点”；“ 点Ｅ是线段BC 反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图1中画出图形，并进行证明．【拓展应用】当点E 在线段BC 的延长线上时，若CE = BC ，在备用图2中画出图形，并运用上述结论求出:ABC AEF S S ∆∆的值．4.弦图模型外弦图 内弦图 总统图 例题：1.两个全等的30°，60°三角板ADE,BAC,如右下图所示摆放，E 、A 、C 在一条直线上，连接BD,取BD 的 中点M ，连接ME ，MC ． （1）求证：△EDM ≌△CAM ；（2）求证：△EMC 为等腰直角三角形．2.如图△ABC 中，已知∠A=90°，AB=AC,BBFAB(1)D为AC中点，AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,求证：∠ADB=∠CDF(2)若D，M为AC上的三等分点，如图2，连BD，过A作AE⊥BD于点E，交BC于点F，连MF，判断∠ADB与∠CMF的大小关系并证明．3.(14朝阳二模)已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上的一点，直线AE、CD相交于点P，且∠APD=45°，求证BD=CE．二、对称全等模型下图依次是450、300、、150及有一个角是300直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。