数学素养与数学文化 (教师版)
数学文化素养话题之十一：等号和不等号
智汇咨询台文静：在小学阶段会用到很多关系符号，比如一年级会学到的“＞”“=”“＜”。
关于这些符号，有哪些相关的历史呢？刘劲苓：其实，像“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”“≈”这些符号，都是在某个原形符号的基础上改造的，不难看出，“=”是这些符号的原形。
文静：相等是数学中最重要的关系之一。
据我了解，等号的产生与方程有关，数学学科在萌芽时期就有方程的存在，因而也就随之出现了表示相等关系的符号。
刘劲苓：是的。
古巴比伦、古埃及以及后来的阿拉伯都曾创造出各种不同的等号，但更多的民族是用文字来表示两个量相等的。
例如，我国古代，人们在用算筹摆方程时，等号一般是省略不写的，需要记录时就用汉字“得”或“等于”表示，因此没有产生等号。
简洁符号的产生是历史发展的必然，在漫长的岁月里，人们使用过各种符号来表示相等（如15世纪，德国人缪勒用破折号表示等号）。
1557年，英国牛津大学教授雷科德在一篇代数论文《智慧的磨刀石》（又译为《砺智石》）中首次使用“=”表示相等，除此之外，还系统地采用了运算符号“＋”“－”。
他通过在破折号上平行地添加一条与破折号等长的线来表示相等，并在文章中写道：“为避免枯燥地重复is equal to（等于）这个词，就像我经常在自己的工作中实际用到的那样，我就放两条平行线。
”雷科德曾经这样解释他的想法：“平行或孪生线是间隔一直相等的线。
没有一个地方比其他地方相隔更近，倘若它们在一端比另一端更近，那就不再平行了。
”这种想法不仅让他选择平行线作为相等的符号，而且还让他把两条线段的左右两端对齐。
从此，这个看似简单却又十分形象的符号加入了数学符号的大家庭。
但是，等号并没有马上就被普遍采用，反而推广的速度十分缓慢。
直到17世纪后半叶，等号才逐渐被人们接受并广泛地使用。
文静：的确，法国数学家韦达在1591年曾使用过记号“=”，但他并未用这组平行短线表示“相等”，而是表示两个量的差别。
和许多数学家一样，韦达起初也是用文字表示相等的，后来，他采用符号“∽”表示相等，但是这个符号并没有被后人普遍采用。
学习数学史 欣赏数学美——基于新课程数学教师提升“数学文化”素养的策略管见
Teachinginnovation 教学创新Cutting Edge Education 教育前沿 223学习数学史 欣赏数学美——基于新课程数学教师提升“数学文化”素养的策略管见文/段尔超摘要：《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出教师要注重在数学教学中数学文化的渗透，不断引导学生认识和感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。
数学拥有璀璨而漫长的历史，站在历史的角度学习数学文化，教师将更能领悟会数学文化的本质；站在审美的角度学习数学文化，教师将更能感悟数学的文化价值、欣赏数学的美学价值。
关键词：数学史；数学文化；高中数学《普通高中数学课程标准（2003年版》中首次提出了高中数学教学要体现数学的文化价值的课程基本理念。
《普通高中数学课程标准(2017年版)》中进一步强调：数学教育承载着落实立德树人根本任务、发展素质教育的功能。
要引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界；培育学生的科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养；要注重在数学教学中数学文化的渗透，不断引导学生认识和感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。
并且首次在数学课程标准中提出了数学文化的概念：数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展；还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动。
由以上可以看到高中数学教育理念的新变化：高中数学教学将越来越注重数学文化的渗透，并且把数学文化的考查纳入考试范畴，因此要不断加强引导学生崇尚数学的理性精神，认识和感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和美学价值。
以此发挥和落实数学课独特的育人功能，改变目前教师只为考试教，学生只为考试学的现状，从而落实立德树人的根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养。
显然，这样的数学教育要求，对数学教师特别是高中数学教师的自身专业素质提出了很高的要求。
挖掘数学文化提高学生数学素养的研究
挖掘数学文化提高学生数学素养的研究一、数学文化的挖掘数学文化是指在人类社会历史中逐渐形成、与社会文化相互映射的数学内涵。
其具体内容涵盖了数学思想、数学史、数学故事、数学艺术等方面。
挖掘数学文化的方法主要有以下几种：1.探究数学思想。
数学思想是数学的灵魂，体现了数学发展的内在规律和价值取向。
通过深入探究数学思想，可以帮助学生理解数学概念、解决数学难题，并领略数学美的魅力。
2.研究数学史。
数学史是数学发展的重要组成部分，反映了数学发展的历程和特点。
通过研究数学史，可以深入了解数学的本质、数学发展的道路、数学家的成长历程等，从而激发学生对数学的兴趣和热情。
3.传授数学故事。
数学故事可以通过讲述数学家的故事、数学问题的故事、数学方法的故事等方式进行传授。
这不仅可以增强学生对数学的记忆和理解，还可以培养学生探究和解决问题的能力。
4.赏析数学艺术。
数学艺术是数学与人文艺术的结合体，通过色彩、形式、空间等方面的艺术表现，提高人们对数学美的感受和认识。
通过赏析数学艺术，可以激发学生的创造性思维，提高他们的审美水平。
挖掘数学文化可以使学生更好地理解数学、喜爱数学、掌握数学、创造数学。
其应用于以下几个方面：1.提高学生数学思维能力。
数学思想是数学思维的核心，通过挖掘数学文化，可以帮助学生培养数学思维能力，促进其数学创新和发展。
2.增强学生数学兴趣和热情。
数学文化是一种生动、丰富的学科文化，通过挖掘数学文化，可以激发学生对数学的兴趣和热情，从而激发学生学习数学的积极性。
3.促进学生数学素养的提高。
数学文化是数学素养的重要组成部分，通过挖掘数学文化，可以有效提高学生的数学素养，使学生更好地理解数学、掌握数学、应用数学。
4.丰富数学教学内容。
数学教学内容单调，缺乏趣味性和生动性。
通过挖掘数学文化，可以丰富数学教学内容，帮助学生更好地掌握和运用数学知识。
1.讲述发明故事。
教师可以介绍一些著名数学家的故事，如牛顿、欧拉、高斯等，让学生了解数学家们的思维方式、工作习惯和人格魅力。
数学文化与大学生数学素养的培养
２ ０ ０ ３年 ， 教育部颁布的《 普通高中数学课程标准》 （ 实验） （ 以下简称《 新课标》 ） 中指出， “ 数学是人类的
一
种文化 ， 它的内容 、 思想 、 方法和语言是现代文明的重要组成部分” ， 同时 ， 《 新课标》 在“ 数学探究 、 数学建
模、 数 学文 化 ” 部 分 中强调 ： “ 通 过高 中阶段数 学文 化 的学 习 ， 学生 将 体会 数学 的科学 价 值 、 应 用 价值 、 人 文价 值， 开 阔视 野 ……领 会到 数学 的美 学价值 ， 从 而提 高 自身文 化 素养 和创 新 意识 ” ＿ １ Ｊ ． 从《 新 课标 》中多次 提 到 数 学文 化这 一概 念 可 以看 出 ， 数 学 文化 已经 被官 方认 可并 使用 ， 在教 育教 学 中体现数 学 的文化 价值 这一要求 体 现 了数学 文化 从理 论 到实践 的重 要转 变 ， 同时 ， 数学 文化 在基 础教 育 、 素质教 育 中的重要 地位 也 日渐 凸显 ．
河南工程 学院学报 （ 自然科 学版 ）
要 认识 数学 文化 ， 先要认识 文化 ． 文化 一词 涵义 非常 宽泛 ， 西方 有 观 点认 为 ， “ 文化 可 以概括 为构 成 特殊
群体 生 活方式 的价值 观 、 习惯 、 信 念 和惯 例 的联合 体 ” ． 国 内有 观 点认 为 ， “ 一切 非 自然 的 即 由人 类创 造 的物 质产 品或精 神产 品都具 有文 化 的属 性 ” ． 《 现代 汉语词 典 》 解释为， “ 文化 是 指人 类 创造 的物 质 财 富和 精 神财 富 的总 和 ， 特指 精神财 富 ， 如 文学 、 艺术 等” ． 一 般来 说 ， 文 化有狭 义 和广 义两 种涵 义 ， 狭义 的文化 一般 指 知 识， 通 常说 一个人 有文 化 ， 就 是说他 知识 丰 富 ； 广义 的文化则 指人 类物 质财 富和精 神财 富的积淀 ， 是一 种上层 建筑 ， 有 相对 的稳定性 ｊ ， 比如 中国古典 文化 、 古 巴比伦文 化 、 中原 文化 等 都属 于广 义 的文化 范 畴． 从 文 化 的
数学文化的内涵、作用和修养
五、黄金分割点与优选法
中国数学家 华罗庚
• 假设在区间【0,1】上有一个单峰函数，我们要求 其达到极大值的点。可以通过在区间上不断取点 进行比较后得到。
• 在区间上取两个点的原则是：这两个点应该关于 区间的中点对称配置，同时，其中的任何一个点 应同时是缩小区间中的一个这样的点。
“文化”的涵义
• 当个人在对作为名词的文字（产物）不断 理解的过程中，使其承载的道理融入人的 思想，演化成个人的精神内涵，这就有了 文而化之的作用，统称：文化。
“数学文化”的内涵：
• 是指个人在对数学知识的不断理解过程中， 使其所承载的数学的思想、方法、观点、 精神等观念上的东西，融入人的头脑，演 化成个人的数学素养，我们把这种过程和 结果统称为数学文化 。
——德国哲学家康 德
一、什么是类比
• 先看具体例子，再给定义。
问题1.1 一个固定的正四面体内任一点到4个面的距离之和是 否为一个定值？
P
·
类比问题1.1的平面几何问题： 证明正三角形中任一点到三边的距离之和是一定值。
A
B
n
pl
m
C
• 问题1.2 ：有函数不知其式，在 处取值a，在 处取值b，在 处取值c，问函数的解析式是什么？
“学养教师”的数学文化修养：
• 对于数学教学，学养教师要关心的是一种探本寻 源，追查来龙去脉，以高角度观看全局的尝试。 正是在这番探本寻源的工夫中欣赏到数学文化的 魅力，亲身体会数学经验。固然，自己有了全局 观后，教师还得按学生特性设计和布置教学内容， 让学生经历及欣赏到这种数学经验。
数学教师的“数学文化”课程资源开发素质
数学教师的 “ 数学文化 ” 课程 资源开发素质
李红梅
（ 文理 学院 数 学与财 经 系， １ 州 ６பைடு நூலகம்０ ） ９７ １ ｌ ９） ｌ达 ３００
【 摘
要】 数学文化” ‘ ‘ 教育对数 学教 师的课程资源开发素质提 出了新 的要求。数 学教 师的“ 学文 数
化” 课程 资 源开发素质 包括 “ 学文化 ” 程 资源开发 的意识 、 力及途 径等 。 数 课 能 【 关键词】 数学教师； 学文化； 数 课程资源开发 ； 素质
数学 教材 的内容非 常有 限 ， 远远 不能满 足数 学文 化教
育 的要 求 。为 了更 好 的 进行 “ 学 文 化 ” 数 教育 ， 数学 教 师 应具备 开发 和利 用数 学 文化 课 程 资源 的能 力 。课 程 资 源 是指 “ 广泛蕴 藏于学 生生 活 、 校 、 会 、 学 社 自然 中 的所 有有 利于课 程实施 ， 于达到课 程标 准和 实现教 育 目的的 教 有利 育资源 ” …数 学课程 资源 是指 依 据数 学课 程标 准所 开 发 。 的各种 教学材料 以及数 学课程 可 以利 用 的各 种 教学 资源 、 工具 和场所 ， 主要包括 各种 实践活 动材料 、 录像 带 、 多媒 体 光盘 、 算 机 软 件及 网络 、 书馆 以及 报 刊 杂志 、 计 图 电视 广 播、 少年官 、 物馆等 。 社会积 累的文 化是 数学文 化教 育 博 课程的主要来源， 而数学文化教育课程则是人类文化传播 的一 种有效手 段。为 了开发数 学文化 课程 资源 ， 学教 师 数 首先 要具备课 程资源 开 发 意识 ； 次 ， 学教 师 应能 理 性 其 数 开发课 程资 源 ； 次 ， 再 数学 教 师 应具 备 寻 找课 程 资源 有 效 开发 途径 的能力 。诚 如美 国课程 专 家泰 勒 所说 ： 只有 通 “ 过 利用每一 种经验可 能会产 生 的多重结 果 ， 才有 可能使 教 学 更有效 。 ［ ” ］
数学核心素养
数学核心素养一、XXX：数学核心素养包括“真、善、美”三个维度。
通俗地说，数学的核心素养有“真、善、美”三个维度：1)理解理性数学文明的文化价值，体会数学真理的严谨性、精确性；2)具备用数学思想方法分析和解决实际问题的基本能力；3)能够欣赏数学智慧之美，喜欢数学，热爱数学。
不妨就一个人文学科的学者（例如从事新闻、出版、法律、外语、中文、历史等专业）来说，他们的数学素养也许就是在高中学段形成的（到大学不学数学了）。
对他们来说，在数学能力上要求不可过高，但是却必须具备现代的数学文化修养，能够欣赏数学美，理解数学文明，以便在记者采访、外语翻译、小说创作、历史考察等的职业生涯中，能够应对许多与数学文化有关的常识性问题，并与他人进行基本的数学交流与探究。
二、义务教育数学核心素养反映数学本质与数学思想数学核心素养可以理解为学生研究数学应当达成的有特定意义的综合性能力，核心素养不是指具体的知识与技能，也不是一般意义上的数学能力。
核心素养基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能。
核心素养反映数学本质与数学思想，是在数学研究过程中形成的，具有综合性、整体性和持久性。
数学核心素养与数学课程的目标和内容直接相关，对于理解数学学科本质，设计数学教学，以及开展数学评价等有着重要的意义和价值。
一般以为，“素养与知识（或认知）、能力（或技能）、态度（或心意）等概念的不同在于，它强调知识、能力、态度的统整，超出了长期以来知识与能力二元对峙的思维方式，凸显了情感、态度、价值观的重要，强调了人的反省思考及行动与研究。
”“数学素养是指当前或未来的生活中为满足个人成为一个会关怀、会思考的百姓的需要而具备的认识，并了解数学在自然、社会生活中的地位和能力，做出数学判断的能力，和参与数学活动的能力。
”可见，数学素养是人们通过数学研究建立起来的认识、了解和处理周围事物时所具备的品格，通常是在人们与周围环境产生相互作用时所表现出来的思考方式息争决问题的策略。
数学文化素养与数学教育
思维 方式 ，以求 真 、求 善 、求 美 为 中心 的 理性 精 神 。 得 和 技能 训练 的过 程 ，还 是 一 个义 化 传 递 的过 程 ，
数学 文化 素 养 的 灵 魂 ，不 是 能 力 ，而 是 以 求 真 、求 是 一 个 陶冶人 性 、建构 情 感 与精 神 世 界 、促 进 牛 命
２０ｌ１年第 ５期
理 解 数 学 文 化 素 养 ，遵 循 字 面 内涵 表 述 组 合 仅 要使 学 生 理 解 运 用 数 学 概 念 方 法 ，组 织 止 确 的
意 义就是 最 实 际 、最 便 利 的途 径 。数 学 在 这 里 当 逻 辑推 理 ，进行 准确 有 效 的计 算 和 估 算 ，而 且 要 会
摘要 ：数 学文化素养是指数 学科 学的研 究 能力、知 识水平 以及数 学科 学体现 出来 的以数 与形 为对 象，以概
念 、判断、推理和计 算为主要 思维方式 ，以求真 、求善、求美为 中心的理性精神。数学文化素养是 当代 必备基 本素
质之一 ，加强数学文化素养教育正在成 为 当今数 学教 育的主流。
个 整体 ；而 素 养 肯 定 是 ｝扫能 力 要 素 和 精 神 要 素 相 应 的数学 问题 ，会 选 择 有 效 的解 决 疗 法 、 具 和
组合 而成 的 。所 谓 的 数 学 文 化 素 养 ，即 数 学 科 学 策 略 ；会用 数 学 的 符 号 和 语 言 进 行 正 确 的 表 达 和
善 、求 美为 中心 的理 性 精 神 ，其 核 心 内容 是 对 人 类 个体 总体 生成 的过 程 。如 果 我 们 把 数 学 教 育看 作
为确定 的数 学 科 学 ；文 化 是 包 括 人 类 的 价 值 观 念 检 索 阅读 相 应 的 数 学 书 刊 文 献 ，会 组 织 、解 释 、选
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高考微点四 数学素养与数学文化牢记“大师经典”，避免卡壳1.数列、算法中的数学文化(1)抽象数列模型；(2)算法中数学文化，关键在于读懂程序框图. 2.几何与三角中的数学文化(1)熟悉传统文化经典；(2)感恩数学文化先贤. 3.概率统计与推理证明中融合的数学文化.提升“数学核心素养”，快速抢分1.直观想象、数学运算2.数学抽象、逻辑推理3.数学建模、数据分析高效微点训练，完美升级1.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树，该株茶树恰好种在圭田内的概率为( ) A.215 B.25 C.415D.15解析 由题意可得邪田的面积S ＝12×(10＋20)×10＝150，圭田的面积S 1＝12×8×5＝20，则所求的概率p ＝S 1S ＝20150＝215. 答案 A2.我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是( ) A.3步 B.6步 C.4步D.8步解析 由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17， 设其内切圆半径为r ，则有12×(8＋15＋17)r ＝12×8×15(等积法). 解得r ＝3，故其直径为6步. 答案 B3.(2019·郑州模拟)数列{F n }：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记数列{F n }的前n 项和为S n ，则下列结论正确的是( ) A.S 2 019＝F 2 021－1 B.S 2 019＝F 2 021＋2 C.S 2 019＝F 2 020－1D.S 2 019＝F 2 020＋2解析 根据题意有F n ＝F n －1＋F n －2(n ≥3)，所以S 3＝F 1＋F 2＋F 3＝1＋F 1＋F 2＋F 3－1＝F 3＋F 2＋F 3－1＝F 4＋F 3－1＝F 5－1， S 4＝F 4＋S 3＝F 4＋F 5－1＝F 6－1， S 5＝F 5＋S 4＝F 5＋F 6－1＝F 7－1，…， 所以S 2 019＝F 2 021－1. 答案 A4.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为2，记过圆锥轴的平面ABCD 为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD )，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则双曲线Γ的离心率为( )A.233B. 2C. 3D.2解析 设与平面α平行的平面为β，以AC ，BD 的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x 轴，在平面β内与x 轴垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.根据题意可设双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0).由题意可得双曲线Γ的渐近线方程为y ＝±33x ，即b a ＝33，所以离心率e ＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝233. 答案 A5.《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”反映这个命题本质的式子是( )A.1＋12＋122＋…＋12n ＝2－12nB.1＋12＋122＋…＋12n ＋…<2 C.12＋122＋…＋12n ＝1 D.12＋122＋…＋12n ＋…<1解析 抽象出等比数列求和，且无穷项之和小于1，则12＋122＋123＋…＋12n ＋…<1. 答案 D6.(2019·石家庄调研)宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n 等于( )A.2B.3C.4D.5解析 当n ＝1时，a ＝152，b ＝4，满足进行循环的条件， 当n ＝2时，a ＝454，b ＝8，满足进行循环的条件， 当n ＝3时，a ＝1358，b ＝16，满足进行循环的条件，当n ＝4时，a ＝40516，b ＝32，不满足进行循环的条件，退出循环. 故输出的n 值为4. 答案 C7.《张邱建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为( ) A.12 B.1629 C.1631D.815解析 依题意设每天多织d 尺，依题意得S 30＝30×5＋30×292d ＝390，解得d ＝1629.答案 B8.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( ) A.134石 B.169石 C.338石D.1 365石解析 由系统抽样的含义，该批米内夹谷约为28254×1 534≈169(石). 答案 B9.(2019·百校联盟TOP20联考)中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他活动的民间艺术，在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分.在如图所示的古代正八边形窗花矢量图片中，AB BC ＝22，则向正八边形窗花矢量图片中任投一点，落在正方形DEFG 中的概率为( )A.22－12B.22－14C.2－12D.2－14解析 设AB ＝1，则BC ＝2，根据对称性可知，落在正方形DEFG 中的概率为12＋1）2－12×2×2＝2－12.答案 C10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为( ) A.128π平方尺 B.138π平方尺 C.140π平方尺D.142π平方尺解析 由题意构造一个长方体，其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺， 则这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球， 所以这个四棱锥的外接球的半径R ＝72＋52＋822＝1382(尺)，所以这个四棱锥的外接球的表面积为4πr 2＝138π(平方尺). 答案 B11.(2019·西安模拟)数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343，12 521等，两位数的回文数有11，22，33，…，99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是( ) A.19B.49C.110 D.910解析三位数的回文数为ABA，A共有1到9共9种可能，即1B1，2B2，3B3，…，B共有0到9共10种可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，…，共有9×10＝90(个).其中偶数为A是偶数，共4种可能，即2B2，4B4，6B6，8B8，B共有0到9共10种可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，…，共有4×10＝40(个)，∴三位数的回文数中，偶数的概率p＝4090＝49.答案 B12.(2019·成都诊断)图(1)为陕西历史博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细工的典范之作.该杯型几何体的主体部分可近似看作是双曲线C：x2 3－y29＝1的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形MABQ绕y轴旋转一周得到的几何体，如图(2).N，P分别为C的渐近线与y＝4，y＝－2的交点，曲边五边形MNOPQ绕y轴旋转一周得到的几何体的体积可由祖暅原理(祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是，如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等)求得.据此，可求得该金杯的容积是________(杯壁厚度忽略不计).解析由题意得双曲线C的渐近线方程为y＝±3x.令y＝m(－2≤m≤4)，如图，记直线y＝m与y轴、渐近线、双曲线C的右支的交点分别为D，E，F，线段EF绕y轴旋转一周得一圆环.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m y ＝3x ，得x ＝3m 3， ∴|DE |2＝m 23.由⎩⎨⎧x 23－y 29＝1，y ＝m得x 2＝3＋m 23，∴|DF |2＝3＋m 23，∴|DF |2－|DE |2＝3， ∴所得圆环的面积为3π.由祖暅原理知曲边五边形MNOPQ 旋转一周所得几何体的体积等于底面积为3π，高为6的圆柱的体积，即18π.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4y ＝3x ，得x ＝433，∴|AN |＝433. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2y ＝－3x ，得x ＝233，∴|BP |＝233. ∴Rt △OAN 绕y 轴旋转一周所得圆锥的体积为13π×⎝⎛⎭⎪⎫4332×4＝64π9， Rt △OBP 绕y 轴旋转一周所得圆锥的体积为13π×⎝⎛⎭⎪⎫2332×2＝8π9. 故金杯的容积为64π9＋8π9＋18π＝26π. 答案 26π13.(2019·重庆调研)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长l 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136l 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈7264l 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为________.解析 设圆锥的底面半径为r ，则 V ＝13πr 2h ≈7264l 2h ＝7264(2πr )2h ，得π≈227. 答案 22714.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1p ，当x ＝q p （p ，q 为整数，q p 为既约真分数），0，当x ＝0，1或[0，1]上的无理数.若f (x )是定义在R 上且最小正周期为1的函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝R (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫173＋f (lg 20)＝________.解析 由函数的最小正周期为1可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫173＋f (lg 20)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋23＋f (lg 2＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋f (lg 2)＝13＋0＝13.答案 1315.刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”.所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O ，圆O 的半径为2，现随机向圆O 内投放a 粒豆子，其中有b 粒豆子落在正十二边形内(a ，b ∈N *，b <a )，则圆周率的近似值为________.解析 依题意可得360°12＝30°，则正十二边形的面积为12×12×2×2×sin 30°＝12.又圆的半径为2，所以圆的面积为4π，现向圆内随机投放a 粒豆子，有b 粒豆子落在正十二边形内，根据几何概型可得124π＝b a ，则π＝3a b . 答案 3ab16.(2019·广州调研)中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规则，本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手中的一位有机会夺冠，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测，爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊.比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是________.解析若甲是冠军，则爸爸，妈妈的猜想都正确，不合题意.若乙是冠军，则三人猜想都是错误的，与已知矛盾.若丙是冠军，则只有爸爸猜想正确，符合题意.若丁(或戊)是冠军，则妈妈与孩子的猜想均正确，不合题意.因此，冠军只能是丙.答案丙。