抛物线知识点全面总结及经典例题
抛物线 标准方程、几何性质、经典大题归纳总结
一、 第一讲: 抛物线标准方程 二、 考点、热点回顾一、定义: 在平面内,及一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.即：的轨迹是抛物线。
则点若M MNMF,1 三、 (定点F 叫做抛物线的焦点, 定直线l 叫做抛物线的准线。
)标准方程:设定点F 到定直线l 的距离为p(p 为已知数且大于0).取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴, x 轴及l 交于K, 以线段KF 的垂直平分线为y 轴, 建立直角坐标系抛物线上的点M(x, y)到l的距离为d, 抛物线是集合p={M||MF|=d}.化简后得: y2=2px(p＞0).由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况, 抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：二、典型例题(2)例1.(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x, 求它的焦点坐标和准线方程；已知抛物线的焦点坐标是F(0, -2), 求它的标准方程．方程是x2=-8y.例2.根据下列所给条件, 写出抛物线的标准方程:(1)焦点是F(3, 0)；(3)焦点到准线的距离是2.答案是：(1)y2=12x；(2)y2=-x；(3)y2=4x, y2=-4x, x2=4y, x2=-4y．三、课堂练习1.抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是________答案：2解析: 解析: 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0), 准线x＝－1.∴焦点到准线的距离为2.2.分别求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上.答案：解析: 解: (1)设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0), 则将点(－3,2)代入方程得2p＝或2p＝, 故抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.(2)①令x＝0, 由方程x－2y－4＝0, 得y＝－2.∴抛物线的焦点为F(0, －2).设抛物线方程为x2＝－2py(p>0), 则由＝2, 得2p＝8. ∴所求抛物线方程为x2＝－8y.②令y＝0，由方程x－2y－4＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为F(4,0).设抛物线方程为y2＝2px(p>0), 则由＝4, 得2p＝16.∴所求抛物线方程为y2＝16x.综上, 所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.3.已知抛物线的顶点在原点, 对称轴是x轴, 抛物线上的点M(-3, m)到焦点的距离等于5, 求抛物线的方程和m的值解法一: 由焦半径关系, 设抛物线方程为y2=-2px(p＞0), 则准线方因为抛物线上的点M(-3, m)到焦点的距离|MF|及到准线的距离得p=4.因此, 所求抛物线方程为y2=-8x.又点M(-3, m)在此抛物线上, 故m2=-8(-3)．解法二: 由题设列两个方程, 可求得p和m. 由学生演板. 由题意在抛物线上且|MF|=5, 故四、课后作业1.分别求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上.答案：解析: (1)设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0), 则将点(－3,2)代入方程得2p＝或2p＝, 故抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.(2)①令x＝0, 由方程x－2y－4＝0, 得y＝－2.∴抛物线的焦点为F(0, －2).设抛物线方程为x2＝－2py(p>0), 则由＝2, 得2p＝8. ∴所求抛物线方程为x2＝－8y.②令y＝0，由方程x－2y－4＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为F(4,0).设抛物线方程为y2＝2px(p>0), 则由＝4, 得2p＝16.∴所求抛物线方程为y2＝16x.综上, 所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.2.若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M, 其横坐标为－9, 它到焦点的距离为10, 求抛物线方程和M点的坐标.解析: 解: 由抛物线的定义, 设焦点F(－, 0). 则准线为x＝.设M到准线的距离为|MN|,则|MN|＝|MF|＝10, 即－(－9)＝10, ∴p＝2. 故抛物线方程为y2＝－4x.将M(－9，y)，代入抛物线方程得y＝±6. 故M(－9,6)或M(－9，－6)．3.已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上, 点A(2, )在抛物线内. 若抛物线上一动点P到A.F两点距离之和的最小值为4, 求抛物线C的方程.解析: 解: 设抛物线方程为y2＝2px(p＞0), 其准线为x＝－, 过P点作抛物线准线的垂线, 垂足为H(图略), 由定义知, |PH|＝|PF|.∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PH|, 故当H、P、A三点共线时, |PA|＋|PF|最小. ∴|PA|＋|PF|的最小值为＋2＝4, p＝4, 即抛物线C的方程为y2＝8x.4.动圆M经过点A(3,0)且及直线l: x＝－3相切, 求动圆圆心M的轨迹方程.解：设圆M及直线l相切于点N. ∵|MA|＝|MN|, ∴圆心M到定点A(3,0)和定直线x＝－3的距离相等．根据抛物线的定义, M在以A为焦点, l为准线的抛物线上．∵＝3，∴p＝6. ∴圆心M的轨迹方程为y2＝12x.第二讲: 抛物线简单几何性质一、考点、热点回顾定义: 在平面内,及一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.补充：1.通径: 通过焦点且垂直对称轴的直线, 及抛物线相交于两点, 连接这两点的线段叫做抛物线的通径。
抛物线知识点总结及练习
抛物线知识点总结及练习一、抛物线的定义：平面上给予一直线L 及L 外一定点F ，则平面上所有到直线L 的距离恰等于到定点F 的距离之所有动点P 所形成的图形就称为抛物线，其中L 称为准线，F 称为焦点。
二、名词的认识：(一)对称轴﹕通过焦点F 且与准线L 垂直之直线M ，又简称为轴。
(二)顶 点﹕抛物线与对称轴的交点V 。
(三)焦 距﹕焦点F 与顶点V 的距离VF 。
(四)弦﹕抛物线上任取相异两点A 、B 的连线段。
(五)焦弦﹕过焦点F 的弦AC 。
(六)正焦弦﹕垂直于对称轴的焦弦MN 。
(注) 正焦弦长 MN 是焦距 FV 的 4 倍.三、抛物线的标准式：2y ax bx c =++ 配方 2()y a x h k =-+四、抛物线方程式：标准式焦点准线图形24y cx = F (,0)c :L x c =-0c >0c <24x cy = F (0,)c:L y c =-0c >0c <观念延伸：平移后的抛物线之方程式与其图形则会变成？标准式图形2y k c x h-=-()4()c<c>02-=-x h c y k()4()c<c>0例1：右图是一张科学家所记录的草图。
草图描绘着一颗绕着太阳运行之彗星的轨迹，其中的A、B、C、D、E 五点是科学家观察到彗星所在的位置。
经过仔细的计算，这颗彗星所运行的轨迹是一条抛物线，太阳位于其焦点且其准线是一条水平线。
则根据这张草图，彗星在被观察到的五点A、B、C、D、E与太阳之距离的大小顺序为何？【练习题】右图为一抛物线的部分图形， A、B、C、D、E个点中有一为其焦点。
试判断何点是其焦点？例2：求满足下列各条件的抛物线方程式：(1)焦点 F (2,0)，准线:2L x =- (2)焦点 F (0,3)-，准线:3L y =.【练习题】求满足下列各条件的抛物线方程式：(1) 焦点 F (1,0)-，准线:1L x = (2) 焦点 F (0,4)，准线:4L y =-例3：求抛物线216y x =-的顶点、焦点、准线与正焦弦长。
抛物线及其性质知识点大全和经典例题及解析
抛物线及其性质【考纲说明】1、掌握抛物线的简单几何性质，能运用性质解决与抛物线有关问题。
2、通过类比，找出抛物线与椭圆，双曲线的性质之间的区别与联系。
【知识梳理】1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.开口方向 右左上下 标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>22(0)x py p =->焦 点位 置 X 正X 负Y 正Y 负焦 点坐 标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准 线方 程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范 围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈0,y x R ≥∈0,y x R ≤∈对 称轴 X 轴X 轴Y 轴Y 轴顶 点坐 标 （0,0）离心率 1e =通 径 2p焦半径11(,)A x y 12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦点弦长AB12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦长AB以AB 为直径的圆必与准线l 相切3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：(1)范围 因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||． 弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。
抛物线知识点汇总及考点例题
抛物线姓名：___________ 班级：________________ 得分：________________知识点回顾：1、定义：把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做 ，点F 叫做抛物线的 ,直线l 叫做抛物线的 。
2、椭圆的简单几何性质3、抛物线焦点弦性质直线过抛物线px y 22=的焦点与抛物线交于()()2211,,,y x B y x A 两点（1）221221,4p y y p x x -== （2）)(sin 2221的倾斜角为直线AB p p x x AB αα=++= （3）PFB FA 211=+ （4）以弦AB 为直径的圆与准线相切 考点一: 定义和标准方程[例1]设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点．(1) 求点P 到点A (－1,1) 的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2) 若B (3,2)，求 |PB |＋|PF | 的最小值．练习1：已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M （－3，m ）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．归纳:运用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”。
考点二: 抛物线性质[例2] (2013·四川高考)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是_____________.练习1：抛物线214y x =-的焦点坐标是（ ）． A 1016⎛⎫ ⎪⎝⎭， B 1016⎛⎫-⎪⎝⎭， C (01)-，D (10)-， 练习2：抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是 （ ）A （1，1）B ．（） C ． D ．（2，4）归纳（1）关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．（2）技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解． 考点三: 抛物线与直线[例3] (2012·福建高考)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py ( p >0)上． (1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．2x y =042=--y x 41,21)49,23(练习1：已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时， ＝4 . (1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．课后练习：一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1、如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为（ ）A ．（1, 0）B ．（2, 0）C ．（3, 0）D ．（－1, 0）2、圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ）A ．x 2+ y 2-x -2 y -=0 B ．x 2+ y 2+x -2 y +1=0 C ．x 2+ y 2-x -2 y +1=0D ．x 2+ y 2-x -2 y +=0 3、一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（ ）A ．mB ． 2mC ．4.5mD ．9m4、平面内过点A （-2，0），且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是（ ）A ． y 2=－2xB ． y 2=－4xC ．y 2=－8xD ．y 2=－16x5、抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（-5，m ）到焦点距离是6，则抛物线的方程是 （ ） A ． y 2=-2x B ． y 2=-4x C ． y 2=2x D ． y 2=-4x 或y 2=-36x6、过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|=（ ） A ．8B ．10C ．6D ．47、把与抛物线y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量a 平移，所得的曲线的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．8、过点M （2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有 （ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条9、过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则等于（ ） A ．2aB ．C ．4aD ．414166)3,2(-=)2(4)3(2--=-x y )2(4)3(2+-=-x y )2(4)3(2--=+x y )2(4)3(2+-=+x y qp 11+a21a4二、解答题10、过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1>0，k 2>0，证明： ·<2p 2； (2)若点M 到直线l 的距离的最小值为755，求抛物线E 的方程．11、(2013·广东高考)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．12、已知直线y ＝－2上有一个动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于x 轴，动点P 在l 1上，且满足OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 2是曲线C 的一条切线，当点(0,2)到直线l 2的距离最短时，求直线l 2的方程．。
圆锥曲线方程-抛物线(知识点、典型例题、考点、练习)
抛物线 典例剖析知识点一 抛物线概念的应用已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．解将x=3代入抛物线方程 y 2=2x ，得y=〒6.6>2，∴点A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ： x=21的距离为d ，由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d ， 当PA ⊥l 时，|PA|+d 最小， 最小值为27，即|PA|+|PF|的最小值为27， 此时P 点纵坐标为2，代入y 2=2x ，得x=2， ∴点P 坐标为(2,2)．知识点二 求抛物线的标准方程求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上．分析 设出抛物线的标准形式，依据条件求出p 的值．解 (1)设抛物线标准方程为y 2＝－2px 或x 2＝2py (p >0)，则将点(－3,2)代入方程得2p ＝43，或2p ＝92，故抛物线的标准方程为y 2＝－43x ，或x 2＝92y .(2)①令x ＝0，由方程x －2y －4＝0，得y ＝－2. ∴抛物线的焦点为F (0，－2)．设抛物线方程为x 2＝－2py ，则由p2＝2，得2p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝－8y .②令y ＝0，由x －2y －4＝0，得x ＝4. ∴抛物线的焦点为F (4,0)．设抛物线方程为y 2＝2px ，由p2＝4，得2p ＝16.∴所求抛物线方程为y 2＝16x .知识点三 抛物线在实际中的应用汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm ，灯深10 cm ，那么灯泡与反射镜的顶点(即截得抛物线顶点)距离是多少？分析 确定抛物线方程，求出抛物线的焦点到其顶点的距离解 取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x 轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy ，如图所示．因灯口直径|AB|=24.灯深|OP|=10， 所以点A 的坐标是(10,12)．设抛物线的方程为y 2=2px(p>0)．由点A(10,12)在抛物线上，得122=2p ×10， ∴p=7.2.抛物线的焦点F 的坐标为(3.6,0)．因此灯泡与反射镜顶点的距离是3.6 cm.知识点四 抛物线几何性质的简单应用抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程．分析 先确定抛物线方程的形式，再依条件求待定参数．解 椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，得抛物线的对称轴为x 轴．设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)， 又抛物线的焦点到顶点的距离为3，则有|a4|＝3，∴|a |＝12，即a ＝±12.故所求抛物线方程为y 2＝12x ，或y 2＝－12x .知识点五 直线与抛物线已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．解 焦点F (p2，0)，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ，则|AB |＝2p <52p ，不合题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.韦达定理得，y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2.∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋1k 2)·(y 1－y 2)2＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p (1＋1k 2)＝52p .解得k ＝±2.∴AB 所在直线方程为y ＝2(x －p 2)，或y ＝－2(x －p 2)．知识点六 抛物线的焦点弦问题AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，M 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，MN ⊥l ，N 为垂足．求证：(1)AN ⊥BN ； (2)FN ⊥AB ；(3)若MN 交抛物线于Q ，则Q 平分MN .证明 (1)作AC ⊥l ，垂足为C ，作BD ⊥l ，垂足为D ，在直角梯形ABDC 中， ∵|AF|=|AC|，|BF|=|BD|， ∴|MN|=21(|AC|+|BD|) =21(|AF|+|BF|) =21|AB|， 由平面几何知识可知△ANB 是直角三角形，即AN ⊥BN. (2)∵|AM|=|NM|， ∴∠MAN=∠MNA ， ∵AC ∥MN ，∴∠CAN=∠MNA ，∴∠MAN=∠CAN.在△ACN 和△AFN 中，|AN|=|AN|，|AC|=|AF|， 且∠CAN=∠FAN ，∴△ACN ≌△AFN ， ∴∠NFA=∠NCA=90°， 即FN ⊥AB.(3)在Rt △MNF 中，连结QF ， 由抛物线的定义及(2)的结论得 |QN|=|QF|⇒∠QNF=∠QFN ，且∠QFN=90°-∠QFM ，∠QMF=90°-∠QNF ， ∴∠QFM=∠QMF ，∴|QF|=|QM|， ∴|QN|=|QM|，即Q 平分MN.知识点七 抛物线的综合问题过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为θ的直线交抛物线于A 、B 两点，设△AOB 的面积为S (O 为原点)．(1)用θ、p 表示S ；(2)求S 的最小值；当最小值为4时，求抛物线的方程．解 (1)设直线y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，代入y 2＝2px ， 得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫y k ＋p 2，即y 2－2pk y －p 2＝0，∴y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2.∴|AB |＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝ k 2＋1k 2·4p 2k2＋4p 2＝(1＋1k 2)2p ＝(1＋1tan 2θ)2p＝2p sin 2θ.① 当直线AB ⊥x 轴时，①也成立．∴S ＝12|OF ||AF |sin θ＋12|OF ||BF |sin(π－θ)＝12|OF ||AB |sin θ ＝12·p 22p sin 2θsin θ＝p 22sin θ. (2)当θ＝90°时，S min ＝12p 2.若S min ＝4，则12p 2＝4.∴p ＝2 2.∴此时抛物线的方程为y 2＝42x .考题赏析1．(辽宁高考)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172 B ．3 C. 5 D.92解析 如图所示，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－12的距离d 等于点P 到焦点的距离|PF |.因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点(0,2)的距离与点P到点F 的距离之和，其最小值为点M (0,2)到点F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为4＋14＝172.答案 A2．(全国Ⅰ高考)已知抛物线y ＝ax 2－1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________．解析 ∵y ＝ax 2－1，∴y ＋1＝ax 2.令y ＋1＝y ′，x ＝x ′，则y ′＝ax ′2，∴x ′2＝2×12ay ′，∴x ′2＝1a y ′的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，即y ＋1＝14a ， ∴y ＝ax 2－1的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a －1. 又y ＝ax 2－1的焦点是原点，∴14a ＝1，∴a ＝14.∴y ＝14x 2－1.令x ＝0，得y ＝－1，令y ＝0，得x ＝±2.故y ＝14x 2－1与两坐标轴的三个交点为(0，－1)，(2,0)，(－2,0)，∴围成三角形面积为S ＝12×4×1＝2.答案 23．(全国Ⅱ高考)已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M (2,2)，则△ABF 的面积等于________．解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2. ∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1.∴直线AB 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x . 将其代入y 2＝4x ，得A (0,0)、B (4,4)．∴|AB |＝4 2.又F (1,0)到y ＝x 的距离为22，∴S △ABF ＝12×22×42＝2.答案 21．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是( ) A.|a |4 B.|a |2C ．|a |D ．－a2答案 B解析 因为y 2＝ax ，所以p ＝|a |2，即该抛物线的焦点到其准线的距离为|a |2，故选B.2．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点的距离是a (a >p2)，则点M 的横坐标是( )A ．a ＋p 2B ．a －p2C ．a ＋pD ．a －p 答案 B解析 由抛物线的定义知：点M 到焦点的距离a 等于点M 到抛物线的准线x ＝－p2的距离，所以点M 的横坐标即点M 到y 轴的距离为a －p2.3．已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x 轴上，其上点P (－3，m )到焦点F 的距离为5，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x 答案 B解析 点P (－3，m )在抛物线上，焦点在x 轴上，所以抛物线的标准方程可设为y 2＝－2px (p >0)．由抛物线定义知|PF |＝3＋p2＝5.所以p ＝4，所以抛物线的标准方程是y 2＝－8x .应选B.4．抛物线y 2＝ax 的焦点与双曲线x 23－y 2＝1的左焦点重合，则这条抛物线的方程是( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝－42xD ．y 2＝－8x 答案 D解析 因为x 23－y 2＝1的左焦点为(－2,0)，所以抛物线开口向左，所以a <0，且p ＝|a |2＝4，所以a ＝－8，所以抛物线方程为y 2＝－8x ，故选D.5．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交抛物线C 于A 、B 两点．设|F A |>|FB |，则|F A |与|FB |的比值等于________．答案 3＋2 2解析 ∵y 2＝4x 的焦点坐标为 F (1,0)，准线方程为x ＝－1，∴过F 且斜率为1的直线方程为y = x - 1.将其代入y 2= 4x 得 x 2 - 6x + 1=0.∴x 1, 2 =62± = 3〒22.∵|FA|>|FB|，∴x A =3+22，x B =3-22.又|FA|= x +1，|FB|= x B +1，∴|FA||FB|== 3+22. 答案 －36. 过抛物线y 2 = 4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则· 的值是________．. 解析 当直线过焦点且垂直于x 轴时，直线方程为x ＝1，代入y 2＝4x ，y 1,2＝±2.A 、B 点的坐标分别为(1,2)，(1，－2)．∴·OB →＝1－4＝－3.当直线过焦点不垂直x 轴时，则直线的方程可设为y ＝k (x －1)，设A ，B 坐标分别为(x 1，y 1)(x 2，y 2)．则y 21·y 22＝16x 1x 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，得k 2x 2－(2k ＋4)x ＋k 2＝0， ·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1－4＝－3. 7．已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，若动圆C 与圆A 相外切，且与直线l 相切，求动圆圆心C 的轨迹方程．解 设圆心C 到直线l 的距离为d ，则由题意知|CA |＝d ＋1从而可知圆心C 到点(－2,0)的距离和到定直线x ＝2的距离相等．所以动圆圆心C 的轨迹是抛物线，其焦点为(－2,0)，准线为x ＝2，故设动圆圆心C 的轨迹方程为y 2＝－2px (p >0)，由p2＝2，得p ＝4.因此动圆圆心C 的轨迹方程为y 2＝－8x .8．已知点M (－2,4)及焦点为F 的抛物线y ＝18x 2，在此抛物线上求一点P 使|PM |＋|PF |的值最小．分析 先根据已知条件画出图形，由定义知，抛物线上的点P 到焦点F 的距离等于P 到准线l 的距离d ，所以求|PM |＋|PF |的最小值问题可转化为求|PM |＋d 的最小值问题，让点P 在抛物线上运动，容易发现当点P 运动到过点M 且与x 轴垂直的直线与抛物线的交点处时，|PM |＋d 最小．解 如图，设MN ⊥x 轴，与准线交于N ，与抛物线交于点P ，在抛物线上任取一点P ′，连P ′M ，P ′F ，作P ′N 垂直于准线，垂足为N ′.由抛物线的定义，|PN|=|PF|，|P ′N ′|=|P ′F||P ′M|+|P ′N ′|=|P ′M|+|P ′F| |PN|+|PM|=|PM|+|PF|∵|P ′M|+|P ′N ′|≥|PN|+|PM| ∴|P ′M|+|P ′F|≥|PM|+|PF|这就是说，当P ′与P 重合时，|PM|+|PF|的值最小解方程组22,1,8x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩得P(-2，12)． 9．已知抛物线y 2＝2x ，过点Q (2,1)作一条直线交抛物线于A 、B 两点，试求弦AB 中点的轨迹方程．解 设弦AB 的中点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝2x 1，y 22＝2x 2， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2，又y 1＋y 2＝2y ，∴y 1－y 2x 1－x 2＝1y，即k AB ＝1y .又k MQ ＝y －1x －2，由题意知k MQ ＝k AB .∴y －1x －2＝1y，整理， 得y 2－x －y ＋2＝0.所以，弦AB 中点的轨迹方程为y 2－x －y ＋2＝0.10．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．解 如右图所示，依题意设抛物线方程为y 2=2px(p>0)，则直线方程为y=-x+12p. 设直线交抛物线于A(x 1，y 1)， B(x 2，y 2)，则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD| =x 1+2P + x 2 + 2P ， 即x 1+x 2 +p=8.①又A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，将其代入①得p ＝2. ∴所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p >0)时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . 故抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .讲练学案部分2．4.1 抛物线及其标准方程.对点讲练知识点一 求抛物线的标准方程分别求出满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(3，－4)．(2)焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上． 解 (1)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)或x 2＝－2p 1y (p 1＞0)，把点(3，－4)的坐标分别代入得(－4)2＝2p ×3,32＝－2p 1×(－4)即2p ＝163，2p 1＝94∴所求抛物线的方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(2)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15 ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－60x 或x 2＝－20y .【反思感悟】 求抛物线方程应首先确定焦点的位置，进而确定方程的形式，然后利用已知条件求p 的值．求满足下列条件的抛物线的方程．(1)以坐标轴为对称轴，且过点A (2,3)；(2)以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为52.解 (1)由题意，方程可设为y 2＝mx 或x 2＝ny ， 将点A (2,3)的坐标代入，得32＝m ·2或22＝n ·3，∴m ＝92或n ＝43.∴所求的抛物线方程为y 2＝92x 或x 2＝43y .(2)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52.∴所求抛物线方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .知识点二 抛物线定义的应用已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．解 设抛物线的方程为y 2＝－2px (p ＞0)，则准线方程为x ＝p2.∵点M (－3，m )是抛物线上的点，根据抛物线定义，M 点到焦点的距离等于M 点到准线的距离∴|－3|＋p2＝5 ∴p ＝4.∴抛物线方程为y 2＝－8x .又点M (－3，m )在抛物线上故m 2＝－8×(－3) ∴m ＝±2 6.【反思感悟】 涉及抛物线上一点与焦点的距离问题要注意用定义转化为该点到准线的距离，可简化计算．若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．双曲线的一支D ．抛物线答案 D解析 设动圆的圆心为M ，半径为r ，动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1相外切，则M 到定点(2,0)的距离为r ＋1，动圆与直线x ＝－1相切，则点M 到定直线x ＝－1的距离为r ，所以M 到定点(2,0)和到定直线x ＝－2的距离相等，由抛物线定义知，答案选D.知识点三 抛物线知识在实际中的应用喷灌的喷头装在直立管柱OA 的顶点A 处，喷出水流的最高点B 高5 m ，且与OA 所在的直线相距4 m ，水流落在以O 为圆心，半径为9 m 的圆上，则管柱OA 的长是多少？解 如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x 2= -2py(p>0)，点C(5， -5)在抛物线上，所以25= -2p ·(-5),2p=5，所以抛物线的方程为x 2= -5y ，点A(-4，y 0)在抛物线上，所以16= -5y 0，y 0 = -165，所以OA 的长为5 - 165=1.8 (m)．∴管柱OA 的长是1.8 m.【反思感悟】 根据题意，建立直角坐标系，用待定系数法求出抛物线方程，再利用抛物线方程解决实际问题．抛物线型拱桥顶距离水面2米，水面宽4米，当水下降1米后，水面宽________米．答案 2 6解析 可设抛物线方程为x 2＝－2py ，则点(－2，－2)在抛物线上，则有：4＝4p . ∴p ＝1，抛物线方程为x 2＝－2y ，当y ＝－3时，x ＝±6. ∴水面宽为2 6. 课堂小结：1.四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向.2.焦点在y 轴上的抛物线的标准方程x 2=2py 通常又可以写成y=ax 2,这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y=ax 2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式.3.经过抛物线的焦点的弦称为抛物线的焦点弦，它有以下特性：设焦点弦AB 的端点坐标分别为A （x 1 , y 1）,B(x 2,y 2)，则y 1y 2= - p 2, x 1x 2 = 24p ，|AB|= x 1 + x 2 + p.课时作业一、选择题1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝±8x 答案 D解析 由题意知抛物线的焦点为双曲线x 24－y 22＝1的顶点，即(－2,0)、(2,0)，所以抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .2．抛物线y ＝mx 2(m <0)的焦点坐标是( )A ．(0，m 4)B ．(0，14m )C ．(0，－m 4)D ．(0，－14m)答案 B解析 由于抛物线方程可化为x 2＝1my (m <0)，所以抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，且2p ＝－1m ，所以p 2＝－14m ，所以抛物线的焦点坐标是(0，14m)，答案选B.3．过点M (2,4)作与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线l 有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条 答案 C解析 容易发现点M (2,4)在抛物线y 2＝8x 上，这样l 过M 点且与x 轴平行时，l 与抛物线有一个公共点，或者l 在M 点上与抛物线相切，故选C.4．已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上不同的两点，则y 1·y 2＝－p 2是直线P 1P 2通过抛物线焦点的( )A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 设直线P 1P 2的斜率为k ，在x 轴上的截距为x 0，则P 1P 2的方程为y ＝k (x －x 0)， x ＝1ky ＋x 0(k ＝0时只有一个交点不合题意)， 所以y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫1k y ＋x 0，即y 2－2pky －2px 0＝0. 当直线P 1P 2过焦点时，x 0＝p2，则y 1y 2＝－p 2.当y 1y 2＝－p 2时，即－2px 0＝－p 2，则x 0＝p2，直线过焦点．当斜率不存在时也可验证是充要条件．5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4 答案 B解析 方法一 由已知得抛物线焦点为(1,0)，过焦点的直线设为y ＝k (x －1)(由x 1＋x 2＝6知，此直线不平行于y 轴，因而k 存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2(k 2＋2)k 2＝6，x 1·x 2＝1得k ＝±1.所以|AB |2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝2(x 1－x 2)2＝64，故|AB |＝8.方法二 由焦半径公式|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.二、填空题6．抛物线2y 2＋5x ＝0的焦点坐标为____________，准线方程为______________．答案 ⎝⎛⎭⎫－58，0 x ＝58解析 化抛物线2y 2＋5x ＝0为标准方程y 2＝－52x,2p ＝52，p 2＝58，所以焦点坐标为(－58，0)，准线方程为x ＝58.7．设点M ⎝⎛⎭⎫3，103与抛物线y 2＝2x 上的点P 之间的距离为d 1，P 到抛物线准线l 的距离为d 2，则当d 1＋d 2取最小值时，P 点坐标为____________．答案 (2,2)解析 当P 点是M 与焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0连线与抛物线交点时，d 1＋d 2最小，MF 的方程为y ＝43x －23，与抛物线y 2＝2x 联立得P (2,2)． 三、解答题8．过点Q (4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，若弦恰被Q 平分，求AB 所在直线方程． 解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因点Q (4,1)为A ，B 的中点则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8y 1＋y 2＝2将A 、B 两点坐标代入y 2＝8x .则有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝8x 1 ①y 22＝8x 2 ②①－②得：(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝8(x 1－x 2)，由y 1＋y 2＝2，则有y 1－y 2x 1－x 2＝4，∴k AB ＝4.∴所求直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0.9．一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上有一宽4米、高6米的矩形大木箱，问能否安全通过？解建立坐标系如图，设抛物线方程为 x 2= -2py ，则点(26， -6.5)在抛物线上， ∴262= -2p ·(-6.5)，∴p=52，抛物线的方程为x 2= -104y ，当y=-0.5时，x=〒213，则有413>4， 所以木箱能安全通过．10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点． 求证：(1)x 1x 2为定值；(2)1|F A |＋1|FB |为定值． 证明 (1)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，当AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2 (k ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2y 2＝2px消去y ， 得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0.由根与系数的关系得x 1x 2＝p 24(定值)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2＝p2，x 1x 2＝p24也成立．(2)由抛物线的定义知，|F A |＝x 1＋p 2，|FB |＝x 2＋p2.又由(1)得x 1x 2＝p24，所以1|F A |＋1|FB |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2＝x 1＋x 2＋pp 2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋p 24 ＝x 1＋x 2＋p p 2(x 1＋x 2)＋p 22＝x 1＋x 2＋p p 2(x 1＋x 2＋p )＝2p(定值)． 2．4.2 抛物线的简单几何性质.对点讲练知识点一 由性质求方程已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．解 设所求抛物线方程为y 2＝2px (p >0)或y 2＝－2px (p >0)，设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(y 1>0，y 2<0)，则|y 1|＋|y 2|＝23，即y 1－y 2＝23，由对称性知，y 2＝－y 1，代入上式得y 1＝3，把y 1＝3代入x 2＋y 2＝4得x ＝±1.所以点(1，3)在抛物线y 2＝2px 上，点(－1，3)在抛物线y 2＝－2px 上，所以3＝2p 或3＝－2p ×(－1)．所以p ＝32，所以所求抛物线方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x .【反思感悟】 (1)由已知的几何条件求抛物线方程，常用待定系数法．(2)由于抛物线是轴对称图形，所以与对称轴垂直的弦一定被对称轴平分．已知抛物线的焦点在x 轴上，直线y ＝2x ＋1被抛物线截得的线段长为15，求此抛物线的标准方程．解 ∵抛物线的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为y 2＝2px由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2pxy ＝2x ＋1得4x 2＋(4－2p )x ＋1＝0.∴|x 1－x 2|＝(4－2p )2－164＝p 2－4p2.∴1＋22|x 1－x 2|＝52p 2－4p .∴52p 2－4p ＝15.∴p ＝6或p ＝－2. ∴抛物线的方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x .知识点二 与抛物线有关的证明问题过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴．证明如图所示，以抛物线的对称轴为x 轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系． 设抛物线的方程为y 2=2px ，①点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0，则直线OA 的方程为 y ＝2py 0x (y 0≠0)，②抛物线的准线方程是x ＝－p2.③联立②③，可得点D 的纵坐标为y ＝－p 2y 0④因为点F 的坐标是⎝⎛⎭⎫p 2，0，当AB ⊥x 轴时，|y 0|＝p 此时，|OA |＝|OD |，∴DB ∥x 轴当AB 与x 轴不垂直时，即y 20≠p 2时，直线AF 的方程为y ＝2py 0y 20－p 2⎝⎛⎭⎫x －p 2，⑤ 联立①⑤，可得点B 的纵坐标为y ＝－p 2y 0.⑥由④⑥可知，DB ∥x 轴．【反思感悟】 因抛物线方程的独特形式，较之椭圆与双曲线，它上面的点便于用一个变量表示出来，如y 2＝2px 上任一点，可表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22p ，y ，注意恰当运用．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，Q 是抛物线上除顶点外的任意一点，直线QO 交准线于P 点，过Q 且平行于抛物线对称轴的直线交准线于R 点，求证：PF ⊥RF .证明如图所示，设点Q ⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0，则R.（-2p，y 0 ） 直线OQ 的方程为y=02y p x ， 当x=-2p 时，解得y=-02y p，∴P ＝2,20p p y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又F （2p ，0），∴RF →＝⎝⎛⎭⎫p ，p 2y 0，RF →＝(p ，－y 0) ∴RF →·RF →＝0，∴PF ⊥RF .知识点三 直线与抛物线的交点问题已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k .k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解 由题意，设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)y 2＝4x ，可得：ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.① (1)当k ＝0时，由方程①得y ＝1.把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14.这时，直线l 与抛物线只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1. (2)当k ≠0时，方程①的判别式为 Δ＝－16(2k 2＋k －1)． 1°由Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1，或k ＝12.于是，当k ＝－1，或k ＝12时，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解．这时，直线l 与抛物线只有一个公共点．2°由Δ>0，即2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12.于是，当－1<k <12，且k ≠0时，方程①有两个解，从而方程组有两个解．这时，直线l与抛物线有两个公共点．3°由Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k <－1，或k >12.于是，当k <－1，或k >12时，方程①没有实数解，从而方程组(*)没有解．这时，直线l与抛物线没有公共点．综上，我们可得当k ＝－1，或k ＝12，或k ＝0时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1<k <12，且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k <－1，或k >12时，直线l 与抛物线没有公共点．【反思感悟】 当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，抛物线和直线相交，只有一个交点．解决直线与抛物线位置关系问题时，不要忽视这一点，否则容易漏解．直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C 分别相切、相交、相离？解 将l 和C 的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1， ①y 2＝4x ， ②①式代入②式，并整理，得 k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.当k ≠0时，是一元二次方程， ∴Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )．(1)当Δ＝0时，即k ＝1时，l 与C 相切． (2)当Δ>0时，即k <1时，l 与C 相交． (3)当Δ<0时，即k >1时，l 与C 相离．当k ＝0时，直线l ：y ＝1与曲线C ：y 2＝4x 相交．综上所述，当k ＝0或k <1时，l 与C 相交，当k ＝1时，l 与C 相切，当k >1时，l 与C 相离．课堂小结：1.在已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x 轴,求抛物线的标准方程时,为避免讨论张口的方向可设抛物线的方程为y 2=2ax (a ≠0).此时,不论a>0或a<0,焦点坐标都是（2a,0）,准线方程都为x=-2a . 2.抛物线y 2= 2px (p>0)上任一点的坐标可用一个量y 1表示为21(1),2y y p;x 2 = 2py (p>0)上任一点坐标可设为（x 1 , 212x p）.3.直线与抛物线的位置关系设直线l ：y=kx+m ，抛物线：y 2=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x 的方程：ax 2+bx+c=0,(1)若a ≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点.（2）若a=0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.一、选择题1．P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p ≠0)上任一点，则P 到焦点的距离是( )A ．|x 0－p 2|B ．|x 0＋p2|C ．|x 0－p |D ．|x 0＋p | 答案 B解析 当p >0时，由抛物线定义得点P (x 0，y 0)到焦点的距离为x 0＋p2，当p <0时由抛物线定义知P (x 0，y 0)到焦点的距离为－p 2－x 0，综上得所求距离为|x 0＋p2|，故选B.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为4，则|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4 答案 A解析 设A 、B 两点的横坐标分别为x A 、x B ，则有x A ＋x B ＝8，|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋p 2＋x B ＋p2＝8＋p ＝8＋2＝10.3．抛物线y 2＝2px 与直线ax ＋y －4＝0的一个交点是(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离为( )A.32 3B.25 5C.710 5D.172 答案 B解析 由已知得抛物线方程为y 2＝4x ，直线方程为2x ＋y －4＝0，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是F (1,0)，到直线2x ＋y －4＝0的距离d ＝|2＋0－4|22＋1＝255.4．若抛物线y 2＝2px (p >0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点的距离的关系是( )A ．成等差数列B ．既成等差数列又成等比数列C ．成等比数列D ．既不成等比数列也不成等差数列 答案 A解析 设三点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，y 23＝2px 3，因为2y 22＝y 21＋y 23， 所以x 1＋x 3＝2x 2，即|P 1F |－p 2＋|P 3F |－p2＝2⎝⎛⎭⎫|P 2F |－p 2， 所以|P 1F |＋|P 3F |＝2|P 2F |. 二、填空题5．抛物线的顶点在原点，准线垂直于x 轴，且焦点到顶点的距离为4，则其方程为______________________．答案 y 2＝16x 或y 2＝－16x解析 焦点到顶点的距离即p2＝4，p ＝8.6．抛物线y ＝x 2上的点到直线2x －y －4＝0的距离最短的点的坐标是____________． 答案 (1,1)解析 设点A (x ，y )是符合题设条件的点，则由点到直线的距离公式，得d ＝55|2x －y －4|＝55|2x －x 2－4| ＝55|－(x －1)2－3|≥355. 当且仅当x ＝1时，d 取得最小值，故所求点为(1,1)．7．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是____________．答案 [－1,1]解析 Q 点坐标为(－2,0)，直线l 的斜率不存在时，不满足题意，所以可设直线l 的斜率为k ，方程为y ＝k (x ＋2)．当k ＝0时满足．当k ≠0时，x ＝1ky －2，代入y 2＝8x ，得y 2－8k y ＋16＝0.Δ＝64k2－64≥0，k 2≤1，即－1≤k ≤1(k ≠0)．综上，－1≤k ≤1.三、解答题8．过点(－3,2)的直线与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，求此直线方程． 解 显然，直线存在斜率k ， 设其方程为y －2＝k (x ＋3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x ＋3)y 2＝4x 消去x ，整理得ky 2－4y ＋8＋12k ＝0①(1)当k ＝0时，方程①化为－4y ＋8＝0，即y ＝2， 此时过(－3,2)的直线方程为y ＝2，满足条件． (2)当k ≠0时，方程①应有两个相等实根． 由⎩⎪⎨⎪⎧ k ≠0Δ＝0即⎩⎪⎨⎪⎧k ≠016－4k (8＋12k )＝0，得k ＝13或k ＝－1.∴直线方程为y －2＝13(x ＋3)或y －2＝－(x ＋3)，即x －3y ＋9＝0或x ＋y ＋1＝0.故所求直线有三条，其方程分别为： y ＝2，x －3y ＋9＝0或x ＋y ＋1＝0.9．A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，满足OA ⊥OB ，其中O 为抛物线顶点．求证： (1)A ，B 两点的纵坐标乘积为定值； (2)直线AB 恒过一定点． 证明(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1≠0，x 2≠0，则y 12=2px 1， y 22=2px 2. ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2 + y 1y 2=0.∴y 12y 22、= 4p 2 x 1x 2 = 24p -y 1y 2.∴y 1y 2 =24p -为定值， x 1x 2=-y 1y 2=4p 2也为定值．∴A 、B 两点的纵坐标乘积为定值．(2)若AB ⊥x 轴，则易知直线AB 方程为x = 2p ， 过点(2p,0)；若AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，y 1+y 2≠0.由y 12-y 22=2p(x 1-x 2)，得1212122y y px x y y -++=. ∴直线AB 的方程是y= 122py y + (x -x 1)+y 1，即y = 211121222px px y y y y y ++-+。
抛物线知识点总结及例题讲解复习过程
二次函数【知识梳理】1.定义：一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 都是常数，,那么的二次函数是x y2.二次函数c bx ax y ++=2()0≠a 配方得：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 44,22-=-=3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①的符号决定抛物线的开口方向： (1)当时，开口向上；顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，当ab x 2-= ,y 值最小，最小值为a b ac 442-(2)当时，开口向下；顶点是抛物线的最高点，在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，当abx 2-= ,y 值最大，最大值为a b ac 442-(3)a 相等，抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于y 轴（或重合）的直线记作.特别地，y 轴记作直线.4.顶点决定抛物线的位置:几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.5.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：ab ac a b x a c bx ax y 44)2(222-++=++=， ∴顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线abx 2-=.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为k h x a y +-=2)(的形式，得到顶点为),(k h ，对称轴是直线.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.6.抛物线的作用中，c b a c bx ax y ,,2++=（1）决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的完全一样.（2）和共同决定抛物线对称轴的位置:由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=，故： ①时，对称轴为轴 ②ab>0（即、同号）时，对称轴在轴左侧 ③0<ab（即、异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当y x 时，0=c =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，）： ①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则0<ab. 7.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对y x ,的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标21,x x ，通常选用交点式：))((21x x x x a y --=. 8.直线与抛物线的交点 （1）轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为),0(c . （2）与轴平行的直线与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(,).（3）抛物线与轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与轴的两个交点的横坐标21,x x ，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的 判别式判定：①有两个交点抛物线与轴相交；②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；③没有交点抛物线与轴相离.（4）平行于轴的直线与抛物线的交点：同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.（5）一次函数)0(≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 的图像G 的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点;②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与轴两交点为)0,(),0,(21x B x A ，由于21,x x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x -=∙-=+2121,经典例题：【例1】二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，那么abc 、ac b 42-、b a +2、c b a +-24这四个代数式中，值为正的有（ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个21世纪教育网解析：∵abx 2=＜1 ∴b a +2＞0答案：A评注：由抛物线开口方向判定a 的符号，由对称轴的位置判定b 的符号，由抛物线与y 轴交点位置判定c 的符号。
抛物线知识点归纳总结与经典习题
抛物线经典结论和例题1. 直线与抛物线的位置关系直线,抛物线* •廿,J"7 = fc+i才二2砂，消y得：+2（妬-p）x+护二0（1）当k=0时，直线I与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k #0 时，A>0，直线I与抛物线相交，两个不同交点；Y0 ,直线丨与抛物线相切，一个切点；A<0，直线I与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？（不一定）2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线I : y = kx • b 抛物线-■' ''-- :，（P一0）①联立方程法：y =kx +b 2 2 2丿2= k x +2（kb — p）x+b =0y =2px设交点坐标为A（x i, yj , B（X2, y2），则有：'0 ,以及X i，X2,X i X2，还可进一步求出% y2二b kx2 b 二k（x「x2） 2b ，2 2%丫2=(kx 「b)(kx 2 b)二 k X 1X 2 kb(x 〔 x ?) b在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如二卫，即 kAB=JX i -X 2y i y2y o y o y o同理，对于抛物线X 2=2py(p =0)，若直线丨与抛物线相交于 A 、M(xO,y O )是弦AB 的中点，则有隔二需瓷讦(注意能用这个公式的条件：1)直线与抛物线有两个不同的交点 斜率存在，且不等于零)一、抛物线的定义及其应用 例1、设P 是抛物线y2 = 4x 上的一个动点.⑴求点P 到点A(- 1,1)的距离与点P 到直线x = — 1的距离之和的最小值; ⑵a.相交弦AB 的弦长AB ==i k 2(论 x 2)2—4x^2 = i k 2yi - y 2 -「k!、® y 2)2—4y i y 2二 i Wb. 中点 M (x o , y o ), x oX i X 2 y i y 2丁，yo =W②点差法:设交点坐标为A(x i ，yj ， B(X 2,y 2)，代入抛物线方程，得y 22=2px 2将两式相减，可得(yi -y 2)(y i y 2)=2p(Xi -X 2)所以庶-池a. 在涉及斜率问题时，k AB2p y i y 2b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为M (X o , y °)，B 两点，点，2)直线的若B(3,2),求|PB|+ |PF|的最小值.例2、设M(xO, y0)为抛物线C: x2二8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则yO的取值范围是()A. (0,2)B. [0,2]C. (2,+^) D . [2, +^)二、抛物线的标准方程和几何性质例3、抛物线y2= 2px(p>0)的焦点为F,准线为I,经过F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK丄l,垂足为K,若|BC匸2|BF| , 且|AF| 4 ，贝U △AKF的面积是()A. 4B. 3C. 4 ；3D. 8例4、过抛物线y2= 2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B,交其准线I 于点C,若|BC| = 2|BF|,且|AF| = 3则此抛物线的方程为()3 9A. y2=尹B. y2= 9xC. y2= D . y2= 3x三、抛物线的综合问题例5、已知过抛物线y2= 2px(p>0)的焦点,斜率为2：2的直线交抛物线于A(X1, y", Bg y2)(X1<X2)两点,且|AB匸9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标T T T原点，C为抛物线上一点,若OC二OA+ XOB,求硝值.例6、已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1) 求动点P的轨迹C的方程；(2) 过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l i，12,设l i与轨迹C相交于点A,B, 12与轨迹C相交于点D , E,求AD •岸B的最小值例7、已知点M(1, y)在抛物线C：y2= 2px(p>0) 上, M点到抛物线C的焦点F1的距离为2,直线I: y = —-x+ b与抛物线C交于A, B两点.2(1)求抛物线C的方程；⑵若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程•练习题1.已知抛物线x2= ay的焦点恰好为双曲线y2—x2^2的上焦点，则a等于()A. 1B. 4C. 8D. 162.抛物线-4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是()1715715A.—B.—C.D.161616163. (2011辽宁高考)已知F是拋物线y2= x的焦点，A, B是该拋物线上的两点,7.设抛物线y 2= 8x 的焦点为F ,准线为I , P 为抛物线上一点,PA 丄I ,10.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y 轴，抛物线上一点Q(-3, m)到焦 点的距离是5,则抛物线的方程为 _________ .11 .已知抛物线y 2= 4x 与直线2x +y -4 = 0相交于A 、B 两点，抛物线的焦点|AF|+ |BF| = 3, 则线段AB 的中点到y 轴的距离为4. 5. 3 A- 4B. 15 c.— 47 D- 4已知抛物线 A .相离y 2二2px ,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是B. 相交C. 相切 D .不确定已知F 为抛物线y 2 = 8x 的焦点,过F 且斜率为1的直线交抛物线于 点，则||FA| - |FB||的值等于B. 8C .D . 166.在y = 2x 2上有一点P ,它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小 ,则点P 的坐标是A . (-2,1)B . (1,2)C . (2,1)D . (- 1,2)A 为垂足.如果直线AF 的斜率为-「3, 那么|PF 匸A. 4 .'3B . 8168.抛物线的顶点在原点，准线方程为 x = — 2,抛物线的方程 (A . y2= — 8xB . y2=8xC . y2 = — 4xD . y2= 4x9以抛物线x 2= 16y 的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为为 F ,那么 I F A | + | FB | = ____________ .12.过抛物线y2= 4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1 , y1), B(x2, y2)两点, 若x1 + x2 = 6,那么|AB|等于 _________ 13 .根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2— 9y 2= 144的左顶点； ⑵过点P(2, — 4).14.已知点A(— 1,0), B(1,— 1),抛物线C : y 2= 4x , O 为坐标原点,过点A 的动直线I 交抛物线C 于M , P 两点，直线MB 交抛物线C 于另一点Q.若向量解析一、抛物线的定义及其应用OM 与OP 的夹角为一，求厶POM 的面积.4例1、⑴如图，易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是x =— 1.由抛物线的定义知：点P 到直线x 二一1的距离等于点P 到焦点F 的距离. 于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A(— 1,1)的距离与点P 到 F(1,0)的距离之和最小.显然，连结AF 交曲线于P 点，则所求的最小值为|AF|, 即为丐.(2)如图，自点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P1，则|P1Q| = |P1F|.则有 |PB| + |PF| >|P1B| + |P1Q|= |BQ| = 4.即|PB|+ |PF|的最小值为 4.例2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p ，即p = 4，根据已 知只要|FM|>4即 可•根据抛物线定|FM| = y0 + 2由y0 + 2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是 (2，+^). 二、抛物线的标准方程和几何性质例3、设点A(X 1，y 1)，其中y 1>0.由点B 作抛物线的准线的垂线，垂足为•则|BF|=|BB 1|；又|CB|= 2|FB|，因此有 |CB|= 2|BB|, cosZCBB 1 =1 n n p；,/CBB 1 = j.即直线AB 与x 轴的夹角为［.又|AF| = |AK| = X 1 +； = 4，因此因此△ AKF 的面积等于! |AK|y 1=：M X 2 ；3 = 4 '3.例4 .分别过点A 、B 作AA 1、BB 1垂直于I ，且垂足分别为B 1，由已知条件 |BC| = 2|BF|得 |BC| = 2|BB 1|，A/BCBi = 30。
抛物线知识点全面总结及经典例题
x（p>0）
2
y p 2
y≤0 x∈R
y轴
例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点 在坐标原点，并且经过点M2（2２， ），求
它的标准方程。
变式:顶点在坐标原点，对称轴为坐标 轴，并且经过点M（２，2 2 ），抛物 线的标准方程。
例2：已知抛物线的方程为y2=4x,直线 l 经过点P(-2,1),斜率为k.当k为何值 时,直线与抛物线:只有一个公共点;有
1 FA
|
|
1 FB
|
是否为定值？
y
A ( x1, y1 )
这一结论非常奇妙, 变中有不变,动中有不动.
F
O
x
B ( x2, y2 )
例9、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个
顶点在抛物线 y2 2 px( p 0)上，求这个三角形的边长。
解：如图，设正三角形OAB的顶点A、
y
A (x1,y1)
（2）已知抛物线的方程是 y 6x2，求它的焦点坐标和准
线方程；
(3)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2)，求它的标准方程．
解：（1）因为焦点在x轴的正半轴上，p=3，所以焦点坐
标是
(3 2
,
0)
，准线方程是
x
3 2
.
（2）因为抛物线的标准方程 x2 1 y，焦点在y轴的正
半轴上，p 是y 1
X1=X2. 由此可得|y1|=|y2|,，即线段AB关于x轴对称。
(x2,y2)
B
因为x轴垂直于AB，且 AOX 30，所以 y1 tan 30 3
x1
y12 2p
,
x1
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一般地，我们把顶点在原点、焦点F 在坐标
轴上的抛物线的方程叫做抛物线的标准方程.
但是，一条抛物线，由于它在坐标平面内的位
置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还
有其它形式.
精品课件
填表：抛物线标准方程的四种不同形式
图形
y
oF x ly
l
Fo
x
y
F
o
x
l
y
ol
F
x
标准方程
y2=2px (p>0)
y2=－2px (p>0)
x2=2py (p>0)
x2=－2py (p>0)
焦点坐标
(
P 2
,0)
(－
P 2
, 0)
(0,
P 2
)
(0,
－
P 2
)
精品课件
准线方程
x =－
P 2
x=
P 2
y =－
P 2
y=
P 2
３、例题讲解：
例1 (1)已知抛物线的标准方程是 y 2 6 x ，求它的焦 点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的方程是 y 6 x 2，求它的焦点坐标和准
那么,当e=1时，它又是精品什课件么曲线 ？
电脑演示
点M 随着K 运动的过程中, 始终有 | MF || MK |,即点 M 到定点F的距离与它到 定 直 线 l的 距 离 相 等.
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定义:
平面内与一个定点F和一条定直线l(l l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫
做抛物线。
N
定点F叫做抛物线的焦点。
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2.4.2 抛物线的简单几何性质
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一、抛物线的几何性质
y P(x,y)
1、范围
由抛物线y2 =2px（p>0）
而 2pxy2 0
oF ( p ,0) x
2
p0
x0
所以抛物线的范围为 x 0
抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱
也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限
延伸。
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线方程； (3)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2)，求它的标准方程
． 解：（1）因为焦点在x轴的正半轴上，p=3，所以焦点坐
标是 ( 3
2
,0
)
，准线方程是 x
3 2
.
（2）因为抛物线的标准方程 x 2 1 y，焦点在y轴的正
半轴上，p 是y 1
1 12
，所以焦点坐标是 (
0
6 ,1 24
定直线l 叫做抛物线的准线。
M· ·F
即: 若︳︳M MNF︳︳1,则点M的轨迹是抛物线
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1.平面上到定点 A(1,1) 和到定直线 l : x 2 y 3
距离相等的点的轨迹为( A )
(A)直线 (B)抛物线 (C)双曲线 (D)椭圆
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求标准方程
想 一 想
如何建立直角 坐标系？
赵州桥
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复习回顾：
我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何 特征都：可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条
定直线距离的比是常数e的点的轨迹.
(其中定点不在定直线上)
(1)当0<e<1时,是椭圆; (2) 当e＞1时，是双曲线;
l M
·F
l M
F·
l
·M
·F
0＜e ＜1
e＞1
e=1
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l
· N M ·F
过F做直线FK垂直于直线l，垂足为K。以直线KF为x
轴，线段KF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直
角坐标系xOy。
y
设︱KF︱= p
则F（
p 2
，0），l：x = -
p 2
设动点M的坐标为（x，y），
由定义可知，
l
· N M ·x
Ko F
(xp)2y2 xp
2
2
化简得 y2 = 2px（p＞0）
当y=0时,x=0, 因此 抛物线的顶点就是 坐标原点（0，0）。
y P(x,y)
oF ( p ,0) x
2
注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有
两个顶点不同。
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4、离心率
抛物线上的点 与焦点的距离和它到准 线的距离 之比，叫做 抛物线的离心率，由抛 物线的定义，可知e=1。
2、对称性
( x , y ) 关于x轴 ( x , y ) 对称 由于点( x , y ) 也满
足y2 = 2px ，故抛物线 y2 = 2px
(p>0)关于x轴对称.
y P(x,y)
o
F
(
p
,0
)
x
2
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３、顶点
定义：抛物线和它的对称轴的交点称为抛物线
的顶点。
由y2 = 2px （p>0）
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例2 (1)抛物线 y2 2 px上一点M到焦点的距离是 a ( a p ) ,则点M到准线的距离是____a____,
点M的2 横坐标是_a__2p__.
(2)抛物线 y 2 12 x 上与焦点的距离等于9的点的
坐标是__(6_,__6__2_) ___；
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练习3
如图,M点是抛物线 y 2 4 x 上一点,F是抛物线
)
.
，准线方程是
24
（3）因为焦点在y轴的负半轴上，并且 p 2 ，p=4,所以
所求抛物线的标准方程是 x精2品课件8 y． 2
练习1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y2 20x; (2)y 2x2; (3)2y25x0; (4)x216y0.
(5,0),x5 (0, 1), y 1
的焦点, 以Fx为始边,FM为终边的角xFM60o,求
FM .
y
M
4
OF
x
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例3.点M与点F(4,0)的距离比它到直线 l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.
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二 次 函 数 y a x 2a 0 的 图 像 为 什 么 是 抛 物 线 ?
指 出 它 的 焦 点 坐 标 ,准 线 方 程 .
8
8
(5 , 0), x 5
8
8
(0,4),y4
练习2 根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)焦.x 2 4 y (3)焦点到准线的距离是2.
y 2 4 x ,y 2 4 x ,x 2 4 y ,x 2 4 y
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本题小结: ①求抛物线的焦点时一定要先把抛 物线化为标准形式； ②先定位，后定量。
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方程 y2 = 2px（p＞0）叫做
抛物线的标准方程。
其 中 焦 点 F 2 p ,0 ,准 线 方 程 为 x 2 p ,开 口 向 右
其中 p 为正常数，它的几何意义是:
焦点到准线的距
离
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对“标准”的理解y2 = 2px（p＞0）
· l
N
M
·F
y
· N
M
· K o F x
2.4.1 抛物线及其标准方程
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知识回顾
我们在哪些地方见过或研究过抛物线？ 1、初中时我们学过二次函数，它的图象是抛物线； 2、物理中研究的平抛运动和斜抛运动的轨迹
是抛物线或抛物线的一部分，如投篮时篮球的运动轨 迹；
3、实际生活中如探照灯的轴截面、桥梁的拱形、 喷泉的纵截面都是抛物线。
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