高中数学抛物线及其性质知识点大全
高一抛物线知识点
高一抛物线知识点抛物线是数学中的一个重要概念，也是高中数学中的一个重点内容。
本文将为您介绍高一抛物线的基本概念、性质以及一些常见应用。
一、基本概念抛物线是由平面上一个动点P和一个定点F（称为焦点）确定的，动点P到焦点F的距离等于动点P到一条定直线（称为准线）的距离。
抛物线的准线和焦点之间的距离称为准线焦距。
二、性质1.对称性：抛物线关于准线具有对称性，即准线上任意一点与焦点F到对称点的距离相等。
2.焦距性质：设焦点为F，准线为l，焦点到准线的垂直距离为p，则经过焦点F的直线与抛物线交于两个点P和P'，使得FP=FP'，且焦点F到直线l的距离等于焦距p。
3.切线性质：在抛物线上任意一点P处，直线PF的斜率等于该点切线的斜率。
4.顶点性质：抛物线的顶点为抛物线与准线的交点，顶点坐标为（h，k），其中h为顶点横坐标，k为顶点纵坐标。
三、常见应用1.抛物线在物理中的应用：抛物线的运动特性使其在物理学中有广泛应用。
例如，抛物线可以用来描述自由落体运动、炮弹的抛射轨迹等。
在研究这些问题时，我们可以利用抛物线的方程来计算物体的轨迹和运动参数。
2.抛物线在光学中的应用：抛物面镜是利用抛物线的性质设计而成的镜面，其反射光线能够集中在焦点上，因此抛物面镜常用于车灯、太阳能、卫星天线等设备的设计中。
3.抛物线在工程中的应用：抛物线的特性使其在工程设计中有很多应用。
例如，喷泉的喷水装置、喇叭的声音扩散、天桥的设计等都利用了抛物线的形状使其更加美观和实用。
总结：高一阶段学习抛物线的基本概念和性质，这些知识点为今后深入学习数学和应用数学打下了基础。
通过学习抛物线，我们能够更好地理解和应用数学知识，将其运用到日常生活和实际工程中。
以上是关于高一抛物线知识点的简要介绍，希望对您的学习有所帮助。
在学习过程中，通过做大量的练习题和实际应用实践，能够更好地掌握和应用抛物线的相关知识。
祝您学业进步！。
高三抛物线相关知识点
高三抛物线相关知识点抛物线是数学中一个重要的曲线形状，其具有许多独特的性质和应用。
在高三数学学习中，学生们将接触到抛物线的相关知识点，了解其定义、属性、方程和应用。
本文将介绍高三抛物线相关知识点，让我们一起来了解吧！一、抛物线的定义与性质抛物线是由到一个定点（焦点）距离等于到一条定直线（准线）距离的点的轨迹所组成的曲线。
抛物线以准线为对称轴，焦点为焦点，开口朝上或朝下。
具有以下性质：1. 焦点与准线的距离相等：抛物线上的任意一点到焦点的距离与该点到准线的距离相等。
2. 准线：离焦点等距离的直线，与抛物线具有最小二乘法。
3. 对称性：抛物线以准线为对称轴对称。
4. 顶点：抛物线的最高点或最低点，称为顶点。
二、抛物线方程与图像1. 标准形式：抛物线的标准形式方程为 y = ax² + bx + c。
其中，a、b、c为常数，a≠0。
通过调整a的正负值可以控制抛物线的开口方向。
2. 顶点形式：抛物线的顶点形式方程为 y = a(x - h)² + k。
其中，(h, k)为顶点坐标。
3. 焦点与准线定位：根据抛物线方程可以推导得出，焦点的坐标为 (h, k + 1/(4a))，准线的方程为 y = k - 1/(4a)。
4. 抛物线的图像：根据方程可画出抛物线的图像，根据方程的参数可以控制抛物线的开口大小、坐标等特性。
三、抛物线的应用抛物线作为一种特殊的曲线，在许多领域都有重要的应用，如物理、工程、经济等。
以下是一些常见的应用示例：1. 发射抛物线：抛物线作为物体抛射运动的轨迹，被广泛应用于发射器的设计和计算中。
2. 镜面反射：抛物线是一种反射光线的轨迹，因此在凹面镜和抛物面反射器设计中得到广泛应用。
3. 确定最佳路径：在工程和建筑设计中，抛物线可以用于确定最佳的曲线路径，以便节省材料和能源。
4. 天体运动：抛物线是天体运动中的一种常见形状，例如行星轨道和天体落体运动等。
5. 经济学模型：在经济学中，抛物线可以用于建模和预测市场趋势和销售走势。
高二抛物线的知识点
高二抛物线的知识点抛物线是高二数学中的重要知识点，它在实际生活中的应用非常广泛。
本文将介绍抛物线的定义、性质、标准方程以及它的几个重要应用。
一、抛物线的定义和性质抛物线是指平面上到定点与定直线距离相等的点的轨迹。
其中，定点叫做焦点，定直线叫做准线，焦点和准线之间的垂线称为准线上的高。
1. 抛物线的定义根据抛物线的定义可知，任意一点P到焦点F和准线l的距离相等，即PF = Pl。
这个性质决定了抛物线的形状。
2. 抛物线的性质（1）对称性：抛物线关于准线对称。
（2）焦点和准线的关系：焦点到准线的距离等于焦距的一半。
（3）顶点坐标：抛物线的顶点坐标为（h，k），其中h和k分别为抛物线的平移量。
二、抛物线的标准方程抛物线的标准方程为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，a不等于0。
标准方程的a决定了抛物线的开口方向，当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
通过顶点坐标（h，k）可以确定抛物线的平移量，进而得到抛物线的顶点形式方程。
三、抛物线的重要应用抛物线在现实生活中有着广泛的应用，下面我们将介绍几个常见的应用场景。
1. 抛物线在物理运动中的应用抛物线是自然界中许多物体运动的轨迹，比如抛物线运动、射击运动等。
例如，抛物线运动是指一个物体在受到水平初速度和竖直初速度的同时，受重力影响进行的运动，这类运动可以描述为抛物线的轨迹。
2. 抛物线在建筑设计中的应用抛物线的对称性和稳定性使得它在建筑设计中得到广泛应用。
例如，拱门的形状就是一个抛物线，它能够在一定程度上分散力量，达到结构稳定的目的。
3. 抛物线在天文学中的应用抛物线在天文学中也有重要的应用，比如描述行星、卫星和彗星的运动轨迹。
例如，行星绕太阳运动的轨迹可以近似为一个抛物线。
总结：抛物线是高二数学中的重要知识点，它的定义、性质、标准方程以及几个重要应用都是我们需要了解的内容。
通过掌握抛物线的知识，可以更好地理解和应用于实际问题中。
抛物线和性质知识点大全
抛物线和性质知识点大全抛物线是一种二次函数图像，具有以下性质：1. 抛物线的对称轴与其开口方向垂直，对称轴方程可以通过将抛物线标准式中的$x$ 替换为 $-c$ 求出，其中 $c$ 是抛物线的横坐标的中心值。
对称轴上的任何一点都是抛物线的最高点或最低点。
2. 抛物线的焦点是一个特殊的点，它与抛物线的开口方向和大小有关。
焦点是抛物线上所有的反射光线汇聚成的点。
计算焦点可以利用以下公式：$F=\left(\frac{1}{4a},\frac{c}{4a}\right)$，其中 $a$ 是抛物线开口处的系数，$c$ 是对称轴的水平位置。
3. 抛物线上的任何一点到对称轴的距离都等于该点到焦点的距离，这是由于抛物线的定义所决定的。
这个性质可以用来找到抛物线上的点到对称轴的距离，以及在给定焦点和直线上的点的情况下，找到抛物线方程。
5. 抛物线的 $x$ 与 $y$ 轴的交点称为抛物线的零点。
因为抛物线是一个二次函数，所以它最多有两个零点。
6. 抛物线在对称轴两侧的图像是对称的，图像的形状类似于 "U"。
7. 抛物线的开口方向可以使用其系数的正负来确定。
如果系数为正，则抛物线向上开口；如果系数为负，则抛物线向下开口。
8. 当 $a>0$ 时，抛物线开口向上，最低点（即顶点）为全局最小值，并且当 $x$ 的值趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值也趋近于正无穷大。
当 $a<0$ 时，抛物线开口向下，最高点（即顶点）为全局最大值，并且当 $x$ 的值趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值也趋近于负无穷大。
9. 抛物线的导数是一个一次函数，其斜率在顶点处为零。
10. 任意两个点之间的抛物线弧长可以通过积分抛物线导数的平方再开平方根的方法求出。
高中抛物线知识点总结
高中抛物线知识点总结高中抛物线知识点总结抛物线是一条二次函数，它的图像呈现出一个弧形，常见于物理、数学和工工科中。
在高中学习中，抛物线是一个重要的数学概念之一，在数学、物理和工程学中都有广泛的应用。
在此本文将为您介绍抛物线的基本概念、性质以及解题方法等知识点。
1. 抛物线的基本概念抛物线的定义是由一个不在同一平面的点P和一条确定的直线l，绕P旋转一周所形成的曲线叫做抛物线。
其中点P叫做焦点，直线l叫做准线。
抛物线的标准方程是 y = ax^2 + bx +c ，其中a,b,c是常数，a 不等于0。
当 a > 0 时，抛物线开口向上，当a < 0 时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的性质（1）对称性抛物线的图像具有对称性，也就是有轴对称线。
这条对称线称为抛物线的轴线，它通过焦点和准线的垂线交点。
（2）焦点、准线和顶点的关系对于对称轴y = k，横坐标为h的点P(x,y), 有以下关系式成立：（i）焦点坐标为 F(h,k+p)，其中p=1/(4a)（ii）准线的方程为 y = k-p（iii）顶点坐标为 V(h,k)（3）焦距的意义焦距是从焦点到准线的距离，它的值等于 1/(4a)。
焦距的意义在物理学中有广泛应用，例如椭圆轨道和双曲线轨道等。
（4）最值和拐点抛物线最值和拐点是求解抛物线的重要问题：（i）当抛物线开口向上时，最小值就是它的顶点V(h,k)，最大值不存在。
（ii）当抛物线咕咕向下时，最大值就是它的顶点V(h,k)，最小值不存在。
（iii）抛物线拐点存在的条件为 a 不等于 0。
求抛物线的拐点（x,y)，只需要将一阶导数为0的得到解析式，然后代入求y坐标值。
3. 抛物线的应用抛物线在日常生活和工程学中有着广泛的应用，其中的一个典型实例是进行投掷运动的物理解析。
在投射问题中，抛物线成为空气中物体运动的轨迹，其中重力在垂直方向上作用，空气阻力在垂直方向上不作用。
抛物线还有一些其他的应用，包括：（1）建筑物的设计，例如拱形门廊和地理石的建筑设计。
高三抛物线知识点归纳总结
高三抛物线知识点归纳总结抛物线是数学中的一种曲线，它在高三数学课程中占据着重要的地位。
掌握抛物线的相关知识，对于高三学生来说至关重要。
本文将对高三抛物线的知识点进行归纳总结，以帮助学生更好地理解和应用这一概念。
一、抛物线的基本定义和性质抛物线是一条平面曲线，其定义为到一个定点距离与到一条直线距离相等的点的轨迹。
抛物线具有以下基本性质：1. 对称性：抛物线关于其对称轴对称。
2. 定点和定线：抛物线上的每个点到焦点的距离与到直线（准线）的距离相等。
3. 焦距和准线：焦距是定点到准线的距离，准线是焦点垂直平分切线的直线。
4. 弧长和面积：抛物线的弧长和面积计算可以通过积分得到。
二、抛物线的标准方程和一般方程抛物线的标准方程是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。
通过标准方程我们可以了解抛物线的开口方向、顶点坐标以及对称轴的方程。
一般方程是经过对标准方程的平移、旋转、伸缩等变换得到的，形式为 Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0。
通过一般方程可以确定抛物线的具体形状和位置。
三、抛物线的性质和应用1. 高考重点：掌握抛物线的性质对于应对高考数学考试非常重要。
在高考中，抛物线相关的题目通常包括求焦点、顶点、对称轴、切线等问题，也可能涉及到与其他图形的求交点等问题。
2. 物理应用：抛物线在物理学中有广泛的应用，描述了自由落体、抛体运动等过程。
理解抛物线的性质和应用可以帮助我们更好地理解和解决与自由落体和抛体运动相关的物理问题。
3. 工程应用：抛物线的形状具有美学上的优点，因此在建筑和设计中经常被应用。
例如，拱桥的形状和抛物线非常相似，这是因为抛物线形状具有均匀分散应力的特点，是一种力学上最优的形状。
四、抛物线的图像绘制和计算1. 使用计算机软件绘制抛物线的图像可以辅助我们更好地理解抛物线的形式和变化规律。
常用软件如Geogebra、MATLAB等都可以绘制抛物线的图像。
超详细抛物线知识点归纳总结
引言概述：抛物线是高中数学中的重要内容，具有广泛的应用领域，包括物理、工程、经济等。
本文将对抛物线的相关知识进行归纳总结，从定义、性质、方程、焦点与准线、图形以及应用等多个方面进行详细的阐述。
正文内容：一、定义和性质1.抛物线的定义：抛物线是平面内一点到固定点和固定直线的距离之比等于常数的轨迹。
2.焦点与准线的关系：焦点是抛物线上所有点到准线的距离相等的点。
3.对称性：抛物线具有关于准线对称和关于纵轴对称的性质。
4.切线方程：抛物线上任意一点的切线方程为y=mx+c，其中m 是斜率，c是截距。
5.切线与法线的关系：切线与法线互为垂线且交于抛物线上的点。
二、方程和焦点、准线1.标准方程：抛物线的标准方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c 是常数，a≠0。
2.顶点坐标：抛物线的顶点坐标为(b/2a,f(b/2a))，其中f(x)=ax^2+bx+c。
3.焦点坐标：抛物线的焦点坐标为(h,f(h+1/4a))，其中h=b/2a。
4.准线方程：抛物线的准线方程为y=f(h+1/4a)1/(4a)。
三、图形展示和性质分析1.抛物线的开口方向：a的正负决定抛物线的开口方向，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
2.抛物线的焦点位置：焦点在抛物线的顶点上方，焦点的纵坐标为f(h+1/4a)+1/(4a)。
3.抛物线的对称轴：对称轴是通过抛物线的顶点和焦点的直线。
4.抛物线的顶点与焦点距离：顶点与焦点的距离等于抛物线的准线长。
四、应用领域1.物理学应用：抛物线可以描述自由落体运动、抛射运动等。
2.工程学应用：抛物线常用于建筑物的设计、桥梁的设计等。
3.经济学应用：抛物线可以用来表示成本、收入和利润的函数关系。
4.生物学应用：抛物线可用于描述某些生物体运动的轨迹。
5.计算机图像处理应用：抛物线可以用于图像处理算法中的平滑处理。
五、总结本文对抛物线的定义、性质、方程、焦点与准线、图形以及应用进行了详细的阐述。
高中抛物线知识点总结
高中抛物线知识点总结高中数学抛物线知识点总结抛物线是高中数学中比较基础的一个章节，也是比较重要的一个内容。
在这个章节中，我们需要掌握的主要是抛物线的基本定义、性质、方程式、求零点等方面的知识。
下面，我们就来一起来看一看有关抛物线的知识点吧！一、抛物线的定义抛物线是指平面上到定点 $F$（称为焦点）距离等于到定直线$L$（称为准线）距离的动点 $P$ 所形成的图形。
简单来说，抛物线就是一个动点到定点和定线距离相等的图形。
二、抛物线的性质1. 抛物线的对称轴与准线垂直抛物线的对称轴是通过焦点和抛物线上一点的垂线平分焦点与该点连线的直线，而准线是垂直于对称轴的直线。
因此对称轴与准线垂直。
2. 焦点到对称轴距离等于焦准距的一半对于抛物线上的任意一点 $P$，其到准线距离为 $d_1$，到焦点的距离为 $d_2$，则有 $d_2 = 2d_1$。
这一性质也可表示为$PF=PD$，其中 $D$ 是抛物线上一点，且 $FD$ 为准线垂直于对称轴的交点。
3. 抛物线的开口方向由二次项系数决定抛物线的方程式为 $y=ax^2+bx+c$（或 $x=ay^2+by+c$），其中 $a$ 为二次项系数。
当 $a>0$ 时，抛物线开口向上；当$a<0$ 时，抛物线开口向下。
4. 抛物线在对称轴的焦点处与准线相切抛物线上的任意一点 $P$ 到焦点 $F$ 的距离为 $d_2$，到对称轴的距离为 $d_3$，则有 $d_2=d_3$。
因此，在对称轴上的焦点处抛物线与准线相切。
三、抛物线的方程式抛物线的标准方程式为 $y=ax^2$。
其中，$a$ 表示是抛物线的开口方向和宽度，$x$ 表示横坐标，$y$ 表示纵坐标。
这里的抛物线是以 $y$ 轴为对称轴的，开口朝上或朝下取决于 $a$ 的正负性。
如果是以 $x$ 轴为对称轴的抛物线，其方程式为 $x=ay^2$。
当抛物线的对称轴不与坐标轴重合时，我们可以通过平移坐标系的方式将对称轴移到坐标轴上，再进行求解。
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抛物线及其性质1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.开口方向 右左上下 标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>22(0)x py p =->焦 点位 置 X 正X 负Y 正Y 负焦 点坐 标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准 线方 程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范 围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈0,y x R ≥∈0,y x R ≤∈对 称轴 X 轴X 轴Y 轴Y 轴顶 点坐 标 （0,0）离心率 1e =通 径 2p焦半径11(,)A x y 12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦点弦长AB12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦长AB 的补充11(,)A x y22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，22sin p AB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：(1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧， 当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||． 弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。
4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ，焦点(,0)2pF (1) 若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124p x x =，212y y p =-。
(2) 若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α=（α≠0）。
(3) 已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ,112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• (4) 焦点弦中通径最短长为2p 。
通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．(5) 两个相切：○1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.○2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
5．弦长公式：),(11y x A ,),(22y x B 是抛物线上两点，则221212()()AB x x y y =-+-||11||1212212y y k x x k -+=-+=6.直线与抛物线的位置关系 直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）7.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线，)0( p① 联立方程法：⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=， 2210y y y += ② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得1212px y = 2222px y =将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-2121212y y px x y y +=--a. 在涉及斜率问题时，212y y pk AB +=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，021*******y py p y y p x x y y ==+=--， 即0y p k AB =， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有px p x p x x k AB 0021222==+=（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）【经典例题】（1）抛物线——二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.【例1】P 为抛物线px y 22=上任一点，F 为焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴（ ）.A 相交 .B 相切 .C 相离 .D 位置由P 确定【解析】如图，抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线是 :2pl x =-.作PH ⊥l 于H ，交y 轴于Q ，那么PF PH =， 且2pQH OF ==.作MN ⊥y 轴于N 则MN 是梯形PQOF 的中位线，()111222MN OF PQ PH PF =+==.故以PF 为直径的圆与y 轴相切，选B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的.（2）焦点弦——常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.【例2】 过抛物线()022p px y =的焦点F 作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，求证：（1）12AB x x p =++ （2）pBF AF 211=+ 【证明】（1）如图设抛物线的准线为l ，作1AA l ⊥11111,2p A BB l B AA x ⊥==+于，则AF ， 122pBF BB x ==+.两式相加即得：12AB x x p =++（2）当AB ⊥x 轴时，有AF BF p ==，112AF BF p∴+=成立； 当AB 与x 轴不垂直时，设焦点弦AB 的方程为：2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.代入抛物线方程：l XY FA(x,y)11B(x,y)22A 1B 1l2222p k x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.化简得：()()222222014p k x p k x k -++=∵方程（1）之二根为x 1，x 2，∴1224k x x ⋅=.()122111212121111112224x x p p pp p AF BF AA BB x x x x x x +++=+=+=+++++ ()()121222121222424x x p x x p p p p pp x x p x x ++++===+++++. 故不论弦AB 与x 轴是否垂直，恒有pBF AF 211=+成立. （3）切线——抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.【例3】证明：过抛物线22y px =上一点M （x 0，y 0）的切线方程是：y 0y=p （x+x 0）【证明】对方程22y px =两边取导数：22.py y p y y''⋅=∴=，切线的斜率 00x x p k y y ='==.由点斜式方程：()()20000001p y y x x y y px px y y -=-⇒=-+20021y px =，代入（）即得： y 0y=p （x+x 0）（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.例如：1.一动圆的圆心在抛物线x y 82=上，且动圆恒与直线02=+x 相切，则此动圆必过定点 （ ）()()()().4,0.2,0.0,2.0,2A B C D -显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B. 2.抛物线22y px =的通径长为2p ；3.设抛物线22y px =过焦点的弦两端分别为()()1122,,,A x y B x y ，那么：212y y p =-以下再举一例【例4】设抛物线22y px =的焦点弦AB 在其准线上的射影是A 1B 1，证明：以A 1B 1为直径的圆必过一定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A 1B 1=AB=2p ，而A 1B 1与AB 的距离为p ，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB 的一般情形给于证明.【证明】如图设焦点两端分别为()()1122,,,A x y B x y ，那么：22121112.y y p CA CB y y p =-⇒⋅==设抛物线的准线交x 轴于C ，那么.CF p =2111111.90A FB CF CA CB A FB ∴∆=⋅∠=︒中故.这就说明：以A 1B 1为直径的圆必过该抛物线的焦点.● 通法 特法 妙法（1）解析法——为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）.【例5】（10.四川文科卷.10题）已知抛物线 y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于（ ）A.3B.4C.32D.42【分析】直线AB 必与直线x+y=0垂直，且线段 AB 的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.【解析】∵点A 、B 关于直线x+y=0对称，∴设直线AB 的方程为：y x m =+. 由()223013y x mx x m y x =+⎧⇒++-=⎨=-+⎩设方程（1）之两根为x 1，x 2，则121x x +=-. 设AB 的中点为M （x 0，y 0），则120122x x x +==-.代入x+y=0：y 0=12.故有11,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 从而1m y x =-=.直线AB 的方程为：1y x =+.方程（1）成为：220x x +-=.解得： 2,1x =-，从而1,2y =-，故得：A （-2，-1），B （1，2）.AB ∴=，选C.（2）几何法——为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.【例6】（11.全国1卷.11题）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率XYABFA 1B 11MC XOYABMl x y +=ÿXYO F(1,0)AK60°M的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积（ ）A ．4 B． C． D ．8 【解析】如图直线AFAFX=60°. △AFK 为正三角形.设准线l 交x 轴于M ，则2,FM p ==且∠KFM=60°，∴24,44AKF KF S ∆==⨯=选C. 【评注】（1）平面几何知识：边长为a 的正三角形的面积用公式2S ∆=计算. （2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A 的坐标，，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.（3）定义法——追本求真的简单一着许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单. 【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线22122:1(00)x y C a b a b-=>>，的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为1F 和2F ；抛物线2C 的线为l ，焦点为21F C ；与2C 的一个交点为M ，则12112F F MF MF MF -等于（ ）A ．1-B ．1C ．12-D ．12【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半 焦距c ，离心率为e ，作 MH l H ⊥于，令1122,MF r MF r ==.∵点M 在抛物线上，1112222,MF MF r MH MF r e MH MF r ∴=====故，这就是说：12||||MF MF 的实质是离心率e.其次，121||||F F MF 与离心率e 有什么关系？注意到：()1212111122111F F e r r c e a e e MF r r r e +⋅⎛⎫====-=- ⎪⎝⎭. 这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于()12112||||11||||F F MF e e MF MF -=-+=-.∴选 A..（4）三角法——本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的.因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.【例8】（09.重庆文科.21题）如图，倾斜角为a 的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点。